Matematyka Dyskretna Wykład: Twierdzenie Ramseya

Matematyka Dyskretna

Wykład: Twierdzenie Ramseya

Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2019/20

twierdzenia ramseyowskie: w każdym chaosie istnieje jakiś porządek

Twierdzenia ramseyowskie to twierdzenia, które gwarantują w

nieuporządkowanych strukturach (grafach, posetach) istnienie pewnych struktur uporządkowanych.

Twierdzenia typu ramseyowskiego, z którymi zetknęliśmy się dotychczas:

I

w każdym zbiorze częściowo uporządkowanym rozmiaru n istnieje antyłańcuch rozmiaru √

n lub łańcuch rozmiaru √ n,

I

w każdym ciągu składającym się z mn + 1 parami różnych liczb istnieje

podciąg rosnący długości m + 1 lub podciąg malejący długości n + 1.

plan wykładu

I Problem o sześciu osobach na przyjęciu.

I Symetryczne liczby Ramseya R(k), ograniczenie dolne i górne na R(k):

( √

2)

6 R(k) 6 4

.

I Asymetryczne liczby Ramseya R(s, k) i dowód ich istnienia.

I Ogólne liczby Ramseya R

(l

, . . . , l

; s).

I Zastosowania: Twierdzenie Schura, Twierdzenie

Erdősa-Szekeresa.

problem z przyjęcia

Zadanie:

Na przyjęciu bawi się 6 osób, ponumerowanych liczbami naturalnymi ze zbioru [6] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zakładamy, że jeżeli osoba i zna osobę j , to osoba j zna również osobę i . Wykaż, że w gronie tych 6 osób istnieją 3 osoby, które się wzajemnie znają lub 3 osoby, które się wzajemnie nie znają.

Dowód:

I

wybierzmy osobę o numerze 6 i rozważmy relację zachodzącą pomiędzy osobą 6 a osobami ze zbioru [5],

I

wśród 5 osób ze zbioru [5] istnieje 3 osoby, które się znają z osobą 6 lub też 3 osoby, które się nie znają z osobą 6.

I

Załóżmy scenariusz pierwszy: w zbiorze [5] istnieją trzy różne osoby, powiedzmy i

, i

, i

, które znają się z osobą 6. Jeżeli przynajmniej dwie z tych osób się znają, wraz z osobą 6 tworzą trójkę parami znających się osób. Jeżeli i

, i

, i

się nie znają, tworzą trójkę parami nieznających się osób.

I

Zakładając scenariusz drugi: w zbiorze [5] istnieję trzy osoby, które nie

znają się z osobą 6, postępujemy analogicznie.

problem z przyjęcia

Zilustrujmy problem z pryjęcia w postaci grafowej (patrz rys. 1): relację znajomości i nieznajomości przedstawiamy za pomocą grafu na zbiorze wierzchołków V = [6]:

I

krawędź {i , j } jest czerwona R jeżeli i oraz j się znają,

krawędź {i , j } jest niebieska B jeżeli i oraz j się nie znają.

Twierdzenie

Każdy graf pełny na sześciu wierzchołkach, którego krawędzie pokolorowano kolorami ze zbioru {R, B} posiada monochromatyczną klikę rozmiaru 3 (tzn.

klikę na 3 wierzchołkach, której wszystkie krawędzie są pokolorowane tym samym kolorem, R lub B.

Innymi słowy wykazaliśmy, że dla każdego kolorowania c zbioru

istnieje zbiór X ⊂ [6] o mocy 3 taki, że

jest monochromatyczny względem kolorowania c. Innymi słowy, wykazaliśmy, że:

∀c :

→ {R, B} ∃X ⊂ [6] taki, że

|X | = 3 i

monochromatyczny względem c.

symetryczne liczby Ramseya

Zdefiniujmy:

R(k) – minimalna liczba N taka, że dla każdego n ≥ N i dla każdego kolorowania c :

→ {R, B} istnieje zbiór X ⊂ [n] taki, że

|X | = k oraz

jest monochromatyczny.

Liczbę R(k) nazywamy k-tą liczbą Ramseya.

wartości dla małych liczb Ramseya

Wartości dla małych symetrycznych liczb Ramseya:

I R(2) = 2 (oczywiste),

I R(3) = 3. Na poprzednich slajdach wykazaliśmy, że R(3) 6 6.

Wykażemy, że R(3) > 5, co dowodzi R(3) = 6. Aby pokazać R(3) > 5, należy wskazać kolorowanie c :

→ {R, B}, które nie zawiera monochromatycznego trójkąta. Rozważmy kolorowanie c, które koloruje krawędzie {i , i + 1} (cyklicznie) na R, a pozostałe krawędzie na B (czerwone krawędzie tworzą cykl). Łatwo sprawdzić, że kolorowanie c nie ma monochromatycznego zbioru X wielkości 3.

I Wiadomo, że R(4) = 18.

I Wartość R(5) nie jest znana, wiadomo tylko, że 43 6 R(5) 6 48.

symetryczne liczby Ramseya

Pytania:

I Czy liczba R(k) istnieje dla każdej liczby naturalnej k?

I Jeżeli tak, jakiego rzędu jest R(k)?

Wykażemy, że R(k) istnieje oraz, że:

( √

2)

6 R(k) 6 4

.

Jak dotychczas nikt nie wykazał, że:

I istnieje  > 0 taki, że ( √

2 + )

6 R(k).

I istnieje  > 0 taki, że R(k) 6 (4 − )

.

symetryczne liczby Ramseya - ograniczenie górne

Na kolejnych slajdach wykażemy, że

R(k) 6 4

.

Załóżmy zatem, że N = 4

. Naszym celem jest wykazanie, że dla każdego kolorowania c :

→ {R, B} istnieje zbiór X ⊂ [N] taki, że |X | = k oraz

jest monochromatyczny względem c. Indukcyjnie konstruujemy:

I

ciąg indeksów 1 = i

< i

< . . . < i

< i

oraz ciąg kolorów c(i

), . . . , c(i

) o wartościach w zbiorze {R, B},

I

ciąg zbiorów [N] = V

) V

) . . . ) V

6= ∅, o tej własności, że:

I

i

∈ V

dla każdego j ∈ [2k − 1],

I

|V

| ≥ 2

dla każdego j ∈ [2k − 1] (co dowodzi, że zbiory te są niepuste),

I

dla każdego j ∈ [2k − 1] oraz każdego i ∈ V

mamy c({i

, i }) = c(i

).

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenie górne

Początek konstrukcji (dla j = 1, patrz rys. 2):

I

przyjmujemy V

= [N], i

= 1 = min(V

), V

= V

\ {1}, i rozważamy dwa zbiory:

U

= {i ∈ V

: c({1, i }) = R}, U

= {i ∈ V

: c({1, i }) = B}.

I

jeżeli |U

| ≥ |U

| kładziemy V

= U

oraz c(i

) = R; w przeciwnym przypadku kładziemy V

= U

oraz c(i

) = B.

Sprawdzamy założenia indukcyjne:

I

i

∈ V

– wynika wprost z definicji i

,

I

|V

| = N ≥ 2

– wynika z definicji V

oraz stąd, że N = 4

≥ 2

,

|V

| ≥

≥

≥ 2

jako że |V

| to liczba całkowita oraz

V

to większy ze zbiorów U

, U

tworzących podział V

\ {1},

c({i

, i }) = c(i

) dla każdego i ∈ V

wynika wprost z definicji V

oraz

c(i

).

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenie górne

Załóżmy, że zbiory V

, . . . , V

, V

, indeksy i

, . . . , i

, oraz kolory c

, . . . , c

są już zdefiniowane dla pewnego j ≥ 1 oraz że spełniają one wszystkie założenia indukcyjne.

Konstrukcja i

, V

, c(i

) dla indeksu j + 1:

I

kładziemy i

= min(V

), V

= V

\ {i

}, i rozważamy dwa zbiory:

U

= {i ∈ V

: c({i

, i }) = R}, U

= {i ∈ V

: c({i

, i }) = B}.

I

jeżeli |U

| ≥ |U

| kładziemy V

= U

oraz c

= R; w przeciwnym przypadku kładziemy V

= U

oraz c(i

) = B.

Sprawdzamy założenia indukcyjne:

I

i

∈ V

– wynika wprost z definicji i

,

I

|V

| ≥

≥

≥ 2

jako że |V

| to liczba całkowita oraz V

to większy ze zbiorów U

, U

tworzących podział V

\ {i

}.

I

c({i

, i }) = c(i

) dla każdego i ∈ V

wynika wprost z definicji V

oraz c(i

).

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenie górne

I

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy zbiory V

, . . . , V

, indeksy i

< . . . < i

oraz kolory c(i

), . . . , c(i

).

I

Ponieważ |V

| ≥ 2

= 1, przyjmujemy i

= min(V

) oraz ustalamy c(i

) na dowolny spośród kolorów, R lub B.

I

Z zasady szufladkowej, w zbiorze i

< i

< . . . < i

istnieje podzbiór X mocy k składający się z elementów

i

< i

< . . . < i

< i

taki, że

c(i

) = c(i

) = . . . = c(i

) = c(i

) patrz rys. 3.

Przyjmijmy bez straty ogólności, że c

= R.

I

Twierdzimy, że wszystkie pary ze zbioru

mają kolor czerwony.

I

Wybierzmy parę {i

, i

} dla pewnych indeksów l < t ze zbioru [k].

Ponieważ c(i

) = R oraz i

∈ V

( V

, z założenia indukcyjnego o kolorze c(i

) = R oraz zbiorze V

wnosimy

c(i

, i

) = R,

co kończy dowód.

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenia dolne

Czy potrafimy wskazać jakieś ograniczenie dolne na R(k)?

I

Łatwo wykazać, że (k − 1)

6 R(k) (patrz rys. 4). Wystarczy rozważyć zbiór X składający się z (k − 1)

elementów, podział X = X

∪ . . . ∪ X

na k − 1 podzbiorów wielkości k − 1, oraz kolorowanie c, które każdą parę elementów z tego samego zbioru X

koloruje na czerwono, zaś każdą parę o elementach w różnych zbiorach X

, X

na niebiesko. Oczywiście, w kolorowaniu tym największy zbiór monochromatyczny ma rozmiar k − 1.

I

Wykazaliśmy dotychczas, że (k − 1)

< R(k) < 4

, a zatem szacowania

nasze są bardzo daleko od siebie.

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenia dolne

Na kolejnych slajdach pokażemy wykładnicze ograniczenie dolne na R(k):

( √

2)

6 R(k).

Przyjmijmy N = ( √ 2)

.

Zaprezentowany będzie dowód niekonstruktywny, co oznacza, że będziemy dowodzić istnienia kolorowania zbioru

, które nie zawiera zbioru

monochromatycznego rozmiaru k, chociaż kolorowania takiego nie skontrujemy.

Idea dowodu:

I

zliczymy wszystkie kolorowania

barwami ze zbioru {R, B} a następnie w zbiorze tym zliczymy wszystkie złe kolorowania, to znaczy takie, które zawierają zbiór monochromatyczny rozmiaru k,

I

zauważymy, że złych kolorowań jest istotnie mniej niż wszystkich kolorowań

, co będzie dowodzić istnienia dobrego kolorowania zbioru

[N]

2

, to znaczy takiego, które nie zawiera monochromatycznej kliki

rozmiaru k.

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenia dolne

Wszystkie kolorowania

:

I

liczba wszystkich kolorowań zbiorów z

barwami R lub B wynosi 2(

).

Złe kolorowania

(oznaczmy je przez B):

I

każde złe kolorowanie to takie, w którym pewien zbiór Y ⊂ [N] jest monochromatyczny, tzn. wszystkie krawędzie z

mają ten sam kolor (patrz rys. 5),

I

dla ustalonego zbioru Y ⊂ [N] rozmiaru k oznaczmy przez B

wszystkie złe kolorowania, w których zbiór Y jest monochromatyczny,

I

każde złe kolorowanie należy do pewnego zbioru B

, gdzie Y przebiega po wszystkich k-elementowych podzbiorach [N], tzn.

B = [

{B

: Y ⊂ [N], |Y | = k}.

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenia dolne

Mamy:

|B| 6 N k

!

· 2(

)

(

) · 2, gdyż dla każdego ustalonego zbioru Y ⊂ [N] rozmiaru k

|B

| = 2(

)

(

) · 2,

jako że każde kolorowanie ze zbioru B

możemy otrzymać wybierając jeden z

dwóch kolorów na krawędzie ze zbioru

oraz jeden z dwóch kolorów na

każdą z krawędzi ze zbioru

\

.

symetryczne liczby Ramseya – ograniczenia dolne

Aby dowieść istnienia dobrego kolorowania wystarczy udowodnić:

N k

!

· 2(

)

(

) · 2 < 2(

),

co jest równoważne:

N k

!

< 2(

)

.

Przypomnijmy, że N jest największą liczbą naturalną taką, że N 6 ( √ 2)

. Wtedy:

N

6 2

, co implikuje

N k

! 6 n

k! < n

2

6 2

k(k−1)

2 −1

= 2(

)

(jako że k! > 2

),

i dowodzi istnienia dobrego kolorowania zbioru

.

asymetryczne liczby Ramseya

Zdefiniujmy:

R(r , b) – minimalna liczba N taka, że dla każdego n ≥ N i dla każdego kolorowania c :

→ {R, B} istnieje X ⊂ [n] taki, że |X | = r i wszystkie elementy

są czerwone lub istnieje Y ⊂ [n]

taki, że |Y | = b i wszystkie elementy

są niebieskie.

Liczby R(r , b) nazywamy asymetrycznymi liczbami Ramseya.

Asymetryczne liczby Ramseya są dobrze zdefiniowane jako, że R(r , b) 6 R(k)

dla k = max{r , b}.

asymetryczne liczby Ramseya – ograniczenie górne

Wykażemy, że:

R(r , b) 6 r + b − 2 r − 1

! .

I

nierówność zachodzi dla r = 2, gdyż R(2, b) = b =

,

nierówność zachodzi dla b = 2, gdyż R(r , 2) = r =

,

I

wykażemy, że zachodzie R(r , b) 6 R(r − 1, b) + R(r , b − 1), co z indukcji po r + l będzie implikować

R(r , b) 6 R(r − 1, b) + R(r , b − 1) 6

+

=

.

asymetryczne liczby Ramseya – ograniczenie górne

Pozostaje zatem wykazać, że:

R(r , b) 6 R(r − 1, b) + R(r , b − 1),

co sprowadza się do wykazania, że dla każdego kolorowania c :

→ {R, B}, gdzie N = R(r − 1, b) + R(r , b − 1), istnieje X ⊂ [N] taki, że |X | = r i X jest czerwony (tzn. wszystkie elementy z

są czerwone względem c) lub istnieje Y ⊂ [N] taki, że |Y | = b i Y jest niebieski.

Dowód:

I

ustalmy kolorowanie c :

→ {R, B}.

I

przyjmijmy U

= {i ∈ [N − 1] : c({i , N}) = R} oraz U

= {i ∈ [N − 1] : c({i , N}) = B}.

I

ponieważ U

oraz U

stanowią podział [N − 1], albo |U

| ≥ R(r − 1, b) albo |U

| ≥ R(r , b − 1),

I

Załóżmy, że |U

| ≥ R(r − 1, b) (drugi przypadek jest analogiczny).

Wtedy w zbiorze U

istnieje (r − 1)-elementowy zbiór czerwony, co wraz z elementem N daje r −elementowy zbiór czerwony, lub istnieje

b−elementowy zbiór niebieski.

uogólnione liczby Ramseya

Zdefiniujmy

R

(l

, l

, . . . , l

; s)

jako najmniejszą liczbę N taką, że dla każdego kolorowania c :

→ [s]

istnieje j ∈ [s] oraz zbiór X ⊂ [N] taki, że |X | = l

oraz X jest koloru j (tzn.

wszystkie k-elementowe podzbiory zbioru X mają kolor j w kolorowaniu c).

Uwagi:

I

tym razem kolorujemy k-elementowe podzbiory [N],

wykorzystujemy kolory ze zbioru s-elementowego,

I

dla każdego kolrowania c :

→ [s], gdzie N = R

(l

, . . . , l

; s) ma zawsze sitnieć j ∈ [s] oraz zbiór wielkości l

koloru j ,

I

dalece nie jest oczywiste, że liczba R

(l

, l

, . . . , l

; s) istnieje (jest poprawnie zdefiniowana).

Przy takiej definicji:

I

symetryczne liczby Ramseya R(k) to R

(k, k; 2),

asymetryczne liczby Ramseya R(r , b) to R

(r , b; 2).

ogólne liczby Ramseya

Twierdzenie Ramseya w wersji ogólnej orzeka, że liczby R

(l

, l

, . . . , l

; s)

są poprawnie określone dla każdego k ≥ 1, s ≥ 1, oraz l

, l

, . . . , l

≥ k.

Oznacza to, że dla każdego k ≥ 1, s ≥ 1, oraz l

, l

, . . . , l

≥ k istnieje N takie, że dla każdego kolorowania c :

→ [s] istnieje j ∈ [s] oraz zbiór X ⊂ [N]

taki, że |X | = l

oraz wszystkie k-elementowe podzbiory X mają kolor j względem kolorowania c (skrótowo: X ma kolor j ).

Innymi słowy, jeżeli wszystkie k-elementowe podzbiory [N] są pokolorowane, to

przy N zmierzającym do nieskończoności, do nieskończoności również rośnie

maksymalny zbiór monochromatyczny zawarty w [N] (którego wszystkie

k-elementowe podzbiory mają ten sam kolor).

ogólne liczby Ramseya – ograniczenie górne

Wykażemy, że liczby R

(l

, l

, . . . , l

; s) są poprawnie określone.

Dowód indukcyjny: indukcja po k, s, a następnie po P

l

.

Dowód dla k = 1, s oraz l

, . . . , l

dowolne. Zauważmy, że

R

(l

, l

, . . . , l

; s) 6 (l

− 1) + (l

− 1) + . . . (l

− 1) + 1.

Każdy zbiór rozmiaru (l

− 1) + (l

− 1) + . . . (l

− 1) + 1, którego każdy element pokolorowany jest na jeden z kolorów ze zbioru [s] zawiera zbiór mocy l

, którego wszystkie elementy mają kolor j , dla pewnego j ∈ [s].

I

Dowód dla s = 1, k ≥ 2 oraz l

dowolne. Zauważmy, że R

(l

; 1) 6 l

.

Kolorując tylko kolorem 1 każdy zbiór mocy l

ma kolor 1.

I

Dowód dla dowolnego k ≥ 2, dowolnego s ≥ 2, oraz dowolnych l

, . . . , l

, z których l

= k dla pewnego j ∈ [s]. Zauważmy, że

R

(l

, . . . , l

, k, l

, . . . , l

; s) 6 R

(l

, . . . , l

, l

, . . . , l

; s − 1).

Jeżeli przynajmniej jeden podzbiór k-elementowy otrzyma kolor j ,

kolorowanie jest poprawne; w przeciwnym przypadku do dyspozycji mamy

s − 1 kolorów, co dowodzi powyższej nierówności.

ogólne liczby Ramseya – ograniczenie górne

Dowód przypadku ogólnego:

I

ustalmy k, s, l

, . . . , l

takie, że k ≥ 2, s ≥ 2, l

, . . . , l

> k.

I

Przyjmijmy

L

= R

(l

, . . . , l

, l

− 1, l

, . . . , l

; s) dla każdego j ∈ [s].

Z założenia indukcyjnego liczby L

, . . . , L

są poprawnie określone.

I

Wykażemy, że

R

(l

, . . . , l

; s) 6 R

(L

, L

, . . . , L

; s) + 1.

Z założenia indukcyjnego liczba N = R

(L

, L

, . . . , L

; s) + 1 jest poprawnie określona.

I

Wystarczy zatem pokazać, że dla każdego kolorowania c :

→ [s]

istnieje j ∈ [s] oraz zbiór X

⊂ [N] taki, że |X

| = l

oraz X

jest koloru j .

Ustalmy zatem jedno takie kolorowanie c podzbiorów k-elementowych

zbioru [N] kolorami ze zbioru [s].

ogólne liczby Ramseya – ograniczenie górne

Dowód przypadku ogólnego (kontynuacja):

I

Rozważmy kolorowanie c

:

→ [s] podzbiorów

(k − 1)-elementowych zbioru [N − 1] zdefiniowane następująco:

c

(X ) = c(X ∪ {N}) dla każdego X ∈ [N − 1]

k − 1

! .

To znaczy, każdy (k − 1)−elementowy podzbiór [N − 1] ma ten sam kolor co k-elementowy podzbiór X ∪ {N} zbioru [N] w kolorowaniu c (patrz rys. 6).

I

Kolorowanie c

jest kolorowaniem (k − 1)−elementowych podzbiorów zbioru [N − 1] wielkości R

(L

, . . . , L

; s) kolorami ze zbioru [s].

Zatem istnieje j ∈ [s] oraz X ⊂ [N − 1] liczności L

, którego wszystkie podzbiory (k − 1)−elementowe mają kolor j w kolorowaniu c

(patrz rys.

7).

ogólne liczby Ramseya – ograniczenia górne

Dowód przypadku ogólnego (kontynuacja):

I

Zbiór X ma zatem rozmiar L

, które z definicji jest równe

R

(l

, . . . , l

, l

− 1, l

, . . . , l

; s). Rozważmy kolorowanie c zawężone do k-podzbiorów zbioru X . Z definicji L

dostajemy, że:

I w X istnieje podzbiór X

mocy l

taki, że wszystkie podzbiory k-elementowe mają kolor t, dla pewnego t ∈ [s] \ {j } (rys. 8), lub

I w X istnieje podzbiór X

mocy l

− 1 taki, że wszystkie podzbiory k-elementowe mają kolor j (rys. 9). W

szczególności, wszystkie podzbiory k-elementowe X

∪ {N}

mają kolor j w c, jako że ich (k − 1)-elementowe zawężenia do

zbioru [N − 1] mają kolor j względem c

.

Zastosowania tw. Ramseya: Twierdzenie Schura

Twierdzenie Schura (1916)

Dla dowolnego k ≥ 2 istnieje N takie, że dla każdego kolorowania c : [N] → [k]

istnieją liczby x, y , z ∈ [N] takie, że:

x + y = z oraz c(x ) = c(y ) = c(z).

Dowód:

I

Wykażemy, że N = R

(3, 3, . . . , 3; k) spełnia warunki twierdzenia.

I

Niech c : [N] → [k] będzie dowolnym kolorowaniem elementów z [N].

I

Rozważmy kolorowanie c

:

→ [k] zdefiniowane c

({i , j }) = c(|i − j |).

I

Z definicji N, istnieją trzy liczby i < j < k takie, że c

({i , j }) = c

({j , k}) = c

({i , k}).

I

Przyjmijmy x = j − i , y = k − j , z = j − i i zauważmy, że x + y = z oraz c(x ) = c(y ) = c(z) jako, że c(x ) = c

({i , j }), c(y ) = c

(j , k),

c(z) = c

(i , k).

Zastosowania tw. Ramseya: Twierdzenie Erdősa-Szekeresa

Twierdzenie Erdősa-Szekeresa (1935)

Dla każdego n istnieje N takie, że dla dowolnych N punktów w pozycji ogólnej na płaszczyźnie pewne n spośród nich są w pozycji wypukłej (patrz rys. 10).

Zbiór punktów P na płaszczyźnie jest w pozycji ogólnej jeżeli żadne trzy punkty z P nie są współliniowe.

Powiemy, że zbiór punktów płaszczyzny P znajduje się w pozycji wypukłej jeżeli żaden z punktów z P nie leży wewnątrz otoczki wypukłej zawierającej wszystkie punkty z P (najmniejszego zbioru wypukłego zawierającego wszystkie punkty z P).

Przedstawimy dwa różne dowody powyższego twierdzenia.

Zastosowania tw. Ramseya: Twierdzenie Erdősa-Szekeresa

Pierwszy dowód będzie się opierał na dwóch obserwacjach.

Obserwacja 1.

Zbiór punktów P jest w pozycji wypukłej wtedy i tylko wtedy, gdy każde 4 punkty z P są w pozycji wypukłej.

Dowód. Jeżeli P nie jest w pozycji wypukłej, to pewien punkt z P leży we wnętrzu pewnego trójkąta, którego wierzchołkami są punkty z P (patrz rys.

11).

Obserwacja 2.

W zbiorze P dowolnych 5 punktów na płaszczyźnie w pozycji ogólnej istnieje 4 punkty, które są w pozycji wypukłej (patrz rys. 11).

Dowód. Załóżmy, że każde cztery punkty z P nie są w pozycji wypukłej.

Oznacza to, że otoczką wypukłą P jest trójkąt T o wierzchołkach w P zawierający w swoim wnętrzu dwa pozostałe punkty z P, powiedzmy A, B.

Zauważmy, że po jednej stronie prostej przechodzącej przez punkty A, B

znajdują się dwa wierzchołki trójkąta T . Zauważmy, że punkty te, wraz z

punktami A, B, są w pozycji wypukłej.

Zastosowania tw. Ramseya: Twierdzenie Erdősa-Szekeresa

Dowód 1.:

I

Wykażemy, że N = R

(n, 5; 2) spełnia warunki Twierdzenia Erdősa-Szekeresa.

I

Rozpatrzmy zbiór P składający się z N punktów znajdujących się w pozycji ogólnej. Wykażemy, że pewne n spośród nich znajduje się w pozycji wypukłej.

I

Rozpatrzmy kolorowanie c zbioru

(wszystkich podzbiorów czteroelementowych P) zdefiniowane następująco

c({A, B, C , D}) =

 R jeżeli punkty A, B, C , D są w pozycji wypukłej, B w przeciwnym wypadku.

I

Z Obserwacji 2. wynika, że w zbiorze P nie może istnieć 5-elementowy zbiór, którego wszystkie podzbiory czteroementowe są koloru B.

Ponieważ |P| = R

(n, 5; 2), w zbiorze P musi istnieć podzbiór Q wielkości n taki, że wszystkie zbiory z

są koloru R. Z Obserwacji 1.

wynika, że zbiór Q jest w pozycji wypukłej.

Zastosowania tw. Ramseya: Twierdzenie Erdősa-Szekeresa

Dowód 2.

Oznaczenie: Dla punktu A płaszczyzny R

przez X (A) oznaczmy wartość odciętej punktu A (wartość A na osi OX ).

Ciąg punktów P = (A

, . . . , A

) spełniający warunki:

I

X (A

) < X (A

) < . . . < X (A

),

I

dla każdego i ∈ [2, n − 2] punkt A

znajduje się pod prostą (nad prostą) przechodzącą przez punkty A

i A

,

nazywamy n-kubkiem (n-czapką, odpowiednio) (patrz rys. 12).

Oczywiście, każdy n-kubek oraz każda n-czapka składa się z punktów w pozycji

wypukłej. Aby udowodnić twierdzenie Erdősa-Szekeresa wystarczy wykazać, że

dla każdego n istnieje N takie, że każdy zbiór P składający się z N punktów w

pozycji wypukłej o różnych wartościach X (A) dla A ∈ P zawiera n-kubek lub

n-czapeczkę.

Zastosowania tw. Ramseya: Twierdzenie Erdősa-Szekeresa

Niech f (k, l ) oznacza najmniejszą liczbę N taką, że każdy zbiór N-elelmentowy w pozycji ogólnej o różnych wartościach X () zawiera k-kubek lub l -czapkę.

Wtedy N = f (n, n) spełnia warunki Twierdzenia Erdősa-Szekeresa. Wystarczy wykazać, że f (k, l ) jest poprawnie określona dla każdych k, l ≥ 2.

Zauważmy, że:

I

f (k, 2) = 2 oraz f (2, l ) = 2 dla każdych k, l ≥ 2.

Wykażemy, że:

I

f (k, l ) 6 f (k − 1, l) + f (k, l − 1) − 1,

co będzie prowadzić do f (k, l ) 6

+ 1. Istotnie,

f (k, 2) = 2 =

+ 1 oraz f (2, l) = 2 =

+ 1,

f (k, l ) 6 f (k − 1, l) + f (k, l − 1) − 1 6

(

+ 1) + (

+ 1) − 1 6

+ 1.

Zastosowania tw. Ramseya: Twierdzenie Erdősa-Szekeresa

Pokażemy, że f (k, l ) 6 f (k − 1, l) + f (k, l − 1) − 1.

I

Niech P będzie zbiorem punktów w pozycji ogólnej, |P| ≥ f (k, l ).

I

Załóżmy, że P nie ma l -czapeczki.

I

Rozważmy zbiór

E = {p ∈ P : P ma (k − 1)−kubek „kończący się” na p}.

I

Ponieważ każdy podzbiór składający się z f (k − 1, l ) elementów zawiera (k − 1)-kubek, zbiór E liczy co najmniej f (k, l − 1) punktów.

I

w zbiorze E istnieje zatem (l − 1)-czapka, powiedzmy (B

, . . . , B

).

Ponieważ B

jest w E , istnieje k − 1-kubek (A

, . . . , A

, B

).

I

Zauważmy teraz, że (A

, . . . , A

, B

, B

) jest k-kubkiem lub (A

, B

, . . . , B

) jest l -czapką w zależności od tego, czy punkt B

leży poniżej/powyżej prostej porzechodzącej przez punkty A

oraz B

.