Igloo na Marsie?
Andrzej Odrzywołek
Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ
Wykład andrzejkowy 2017
30 listopada 2017
Problem podziału sfery na identyczne elementy
1 siatki numeryczne na sferze
2 kopuły teleskopów,
reaktorów i podziemnych
laboratoriów
3 eksperymenty i obserwacje z
pełnym zakresie kąta
bryłowego
4 soczewki detonacyjne
5 demontowalne obiekty
militarne
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Problem podziału sfery na identyczne elementy
1 siatki numeryczne na sferze
2 kopuły teleskopów,
reaktorów i podziemnych
laboratoriów
3 eksperymenty i obserwacje z
pełnym zakresie kąta
bryłowego
4 soczewki detonacyjne
5 demontowalne obiekty
militarne
Problem podziału sfery na identyczne elementy
1 siatki numeryczne na sferze
2 kopuły teleskopów,
reaktorów i podziemnych
laboratoriów
3 eksperymenty i obserwacje z
pełnym zakresie kąta
bryłowego
4 soczewki detonacyjne
5 demontowalne obiekty
militarne
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Problem podziału sfery na identyczne elementy
1 siatki numeryczne na sferze
2 kopuły teleskopów,
reaktorów i podziemnych
laboratoriów
3 eksperymenty i obserwacje z
pełnym zakresie kąta
bryłowego
4 soczewki detonacyjne
5 demontowalne obiekty
militarne
Problem podziału sfery na identyczne elementy
1 siatki numeryczne na sferze
2 kopuły teleskopów,
reaktorów i podziemnych
laboratoriów
3 eksperymenty i obserwacje z
pełnym zakresie kąta
bryłowego
4 soczewki detonacyjne
5 demontowalne obiekty
militarne
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Problem podziału sfery na identyczne elementy
1 siatki numeryczne na sferze
2 kopuły teleskopów,
reaktorów i podziemnych
laboratoriów
3 eksperymenty i obserwacje z
pełnym zakresie kąta
bryłowego
4 soczewki detonacyjne
5 demontowalne obiekty
militarne
Problem podziału sfery na identyczne elementy
1 siatki numeryczne na sferze
2 kopuły teleskopów,
reaktorów i podziemnych
laboratoriów
3 eksperymenty i obserwacje z
pełnym zakresie kąta
bryłowego
4 soczewki detonacyjne
5 demontowalne obiekty
militarne
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Budujemy igloo!
Kto i dlaczego miałby budować igloo?
1 studencka tradycja
2 głowa rodziny zabawiająca dzieci
3 architekci, artyści
4 himalaiści, taternicy, polarnicy (szkolenie)
5 zimowe miejsca schronienia
6 szkoły przetrwania
7 bezdomni
8 pierwsze bazy na Marsie
Nieudolne budowle „amatorskie”
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Przyczyny porażki
nieznajomość poprawnego sposobu budowy
brak doświadczenia
użycie de facto złego materiału budowlanego
niewłaściwy wybór miejsca
Igloo 6= Quinzhee
Gęstość śniegu
1 świeży śnieg (puch) – 50-70 kg/m 3
2 śnieg nawiany (ubity wiatrem) – 350-400 kg/m 3
3 mokry śnieg – 700-800 kg/m 3
4 lód – 917 kg/m 3
Technika Eskimosów
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Technika Eskimosów
Technika Eskimosów
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Technika Eskimosów
Technika Eskimosów
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Technika Eskimosów
Technika Eskimosów
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Technika Eskimosów
Technika Eskimosów: podsumowanie
1 wybór płaskiego miejsca z dużą ilością lekkiego zbitego śniegu
2 wytyczenie okręgu stanowiącego podstawę igloo
3 wycinanie cegieł - każda o innym (aczkolwiek podobnym)
kształcie
4 jedyne narzędzie: stalowy nóż (dawniej: kość „słoniowa”)
5 czas budowy: 40 min - 2 dni (1.5 h)
6 leworęczni budują igloo o odwrotnej skrętności
7 po wstawieniu zwornika igloo musi wytrzymać ciężar
człowieka, pomimo że ścianę można przebić pięścią
8 drzwi wycinamy na końcu
9 prace wykończeniowe: uszczelenienie, otwory wentylacyjne
(obowiązkowa dziura w dachu i pod drzwiami; ryzyko
uduszenia CO 2 )
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Technika Eskimosów: efekt końcowy
Budowa z użyciem formy
Usprawnienie procesu budowy z użyciem mokrego śniegu
używając wiadra (miski, kosza na śmieci, doniczki itp.)
formujemy śniegowe cegły
układamy je na kształt igloo
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Budowa z użyciem formy
Usprawnienie procesu budowy z użyciem mokrego śniegu
używając wiadra (miski, kosza na śmieci, doniczki itp.)
formujemy śniegowe cegły
układamy je na kształt igloo
W poszukiwaniu idealnej formy
Okazuje się, że użycie ogólnodostepnych kształtów nie rozwiązuje
prawie żadnego problemu z amatorską budową igloo.
Postawienie problemu matematycznie
Czy istnieje taka bryła, która powielona wielokrotnie złoży
się na kształt półsferycznej powłoki (o pewnej grubości) ?
Dodatkowe warunki:
1 spiralny schemat budowy Eskimosów powininen w zarysie
przetrwać (jako wypróbowany)
2 element powtarzalny powinien mieć objętość wielokrotnie
mniejszą niż komplente igloo
3 kształt musi umożliwiać zastosowanie jak foremki
4 rozkład nie powinien być zbyt „dziwaczny”
Podobne warunki stawia się eksperymentom badającym
kąt bryłowy 4π, siatkom numerycznym itp.
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Trójkąty M¨ obiusa
Jednokrotne pokrycie sfery identycznymi trójkątami
1
p + 1
q + 1
r > 1
α = π/p, β = π/q, γ = π/r , S = π
1
p + 1
q + 1
r − 1
p, q, r – liczby naturalne (Schwarz, 1873).
Istnieją także inne, egzotyczne pokrycia trójkątami, bez symetrii
odbiciowej.
Trójkąt 235
Szczególnie interesujący wydaje się najmniejszy trójkąt sferyczny
M¨ obiusa, dla którego:
Własności trójkąta 235
1 kąty dwuścienne:
A = π 5 , B = π 3 , C = π 2
2 boki:
a = cos −1
q
1
10 5 + √
5
,
b = cos −1 1+
√
5
2 √
3
,
c = cos −1
q
1
15 5 + 2 √
5
.
3 suma 1 2 + 1 3 + 1 5 = 31 30 > 1;
4 pole powierzchni:
S = R 2 δ = 4πR 120 2
do pokrycia sfery potrzebujemy 60 „lewoskrętnych” + 60
„prawoskrętnych” trójkątów
najmniejszy z elementów grupy trójkątnej na sferze
podpokryciem jest połowa sfery
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Wielościany bazowane na trójkącie 235
Wielościany bazowane na trójkącie 235
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Siatka wielościanu
aby poskładać obie
„cegiełki” (lewo- i
prawoskrętną) wystarczy
jedna siatka
podstawy trójkatne są
równoległe (można wyjąć
zawartość po otwarciu
każdej ze ścian bocznych)
w celu użycia jako foremki,
większy trójkąt bądź jedna
ze ścian bocznych musi
pozostać otwarta
Procedura budowy igloo
1 rysujemy okręgi odpowiadające
wewnętrznemu i zewnętrznemu
promieniowi igloo
2 ustawiamy gotowe cegły,
pamiętając o skrętności
3 pierwsza „warstwa” 12 cegieł
gotowa
4 dokładamy kolejne warstwy
5 zaczynamy zamykać konstrukcję
6 wszystkie cegły, oprócz 4
(zwornika) ułożone
7 gotowe igloo
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Procedura budowy igloo
1 rysujemy okręgi odpowiadające
wewnętrznemu i zewnętrznemu
promieniowi igloo
2 ustawiamy gotowe cegły,
pamiętając o skrętności
3 pierwsza „warstwa” 12 cegieł
gotowa
4 dokładamy kolejne warstwy
5 zaczynamy zamykać konstrukcję
6 wszystkie cegły, oprócz 4
(zwornika) ułożone
7 gotowe igloo
Procedura budowy igloo
1 rysujemy okręgi odpowiadające
wewnętrznemu i zewnętrznemu
promieniowi igloo
2 ustawiamy gotowe cegły,
pamiętając o skrętności
3 pierwsza „warstwa” 12 cegieł
gotowa
4 dokładamy kolejne warstwy
5 zaczynamy zamykać konstrukcję
6 wszystkie cegły, oprócz 4
(zwornika) ułożone
7 gotowe igloo
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Procedura budowy igloo
1 rysujemy okręgi odpowiadające
wewnętrznemu i zewnętrznemu
promieniowi igloo
2 ustawiamy gotowe cegły,
pamiętając o skrętności
3 pierwsza „warstwa” 12 cegieł
gotowa
4 dokładamy kolejne warstwy
5 zaczynamy zamykać konstrukcję
6 wszystkie cegły, oprócz 4
(zwornika) ułożone
7 gotowe igloo
Procedura budowy igloo
1 rysujemy okręgi odpowiadające
wewnętrznemu i zewnętrznemu
promieniowi igloo
2 ustawiamy gotowe cegły,
pamiętając o skrętności
3 pierwsza „warstwa” 12 cegieł
gotowa
4 dokładamy kolejne warstwy
5 zaczynamy zamykać konstrukcję
6 wszystkie cegły, oprócz 4
(zwornika) ułożone
7 gotowe igloo
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Procedura budowy igloo
1 rysujemy okręgi odpowiadające
wewnętrznemu i zewnętrznemu
promieniowi igloo
2 ustawiamy gotowe cegły,
pamiętając o skrętności
3 pierwsza „warstwa” 12 cegieł
gotowa
4 dokładamy kolejne warstwy
5 zaczynamy zamykać konstrukcję
6 wszystkie cegły, oprócz 4
(zwornika) ułożone
7 gotowe igloo
Procedura budowy igloo
1 rysujemy okręgi odpowiadające
wewnętrznemu i zewnętrznemu
promieniowi igloo
2 ustawiamy gotowe cegły,
pamiętając o skrętności
3 pierwsza „warstwa” 12 cegieł
gotowa
4 dokładamy kolejne warstwy
5 zaczynamy zamykać konstrukcję
6 wszystkie cegły, oprócz 4
(zwornika) ułożone
7 gotowe igloo
A. Odrzywołek Igloo na Marsie?
Time-lapse
CLICK: timelapse
78 79
Dr Andrzej Odrzywolek
Institute of Physics, Jagiellonian University
How to Build the Per-
fect Igloo
B
uilding an igloo, or dome in general, is a task humanity has faced since antiquity.The chord lengths of geodesic domes were considered classified military information in the United States until the sixties, and some believe that the secrets of medieval cathedral dome build- ers form the origins of Freemasonry Even now, the construction is not an easy procedure.
The Inuit are known for their ability to build snow domes. They build layers of bricks in a spiral pat- tern, causing the dome to close in loxodromically (see Figure 1) Due to the multitude of different brick shapes, this method is rather difficult for the amateur to carry out.
Mathematical Formulation In developing an easier process for igloo-build- ing, we are interested the following question: is it possible to split the spherical dome into identical elements? The answer is yes, of course. For exam- ple, we can cut the dome into n slices using lines of longitude, forming spherical triangles with two right angles at the base. Such a form would not be very useful for our purposes though. We must im-
pose additional requirements on our block forms, with the first two considered essential, and the fi- nal two ideal:
1. We want to use as few different shapes as pos- sible, ideally just one.
2. The volume and dimensions of the shapes should be small fractions of the total dome vol- ume and radius.
3. The shapes should be roughly polyhedral.
4. The building procedure should be described by a simple algorithm.
Very similar requirements are found in many ar- eas of science, for instance in the construction of grids on spheres in climate research, and in foot- ball construction.
It is well known that if three positive inte- gers p, q, r satisfy 1/p+ 1/q + 1/r > 1, then the spherical triangle with angles A = π/p, B = π/q, C = π/r provides a non-overlapping tiling of the sphere. Since the area of each triangle is S = π(1/p + 1/q + 1/r - 1), the half-sphere is divid- ed into 2π/S segments. The smallest possible such triangle has p = 2, q = 3, r = 5. It is a right angled triangle, which splits the half-sphere into 60 tiles.
30 of them are 'left-handed', and the remaining 30 are the mirrored counterparts of these.
Given a tessellation of the sphere, it is conceptu- Figure 1 The Inuit method for build-
ing an igloo
ally very easy to split a spherical dome of given thickness. We draw aligned spherical triangles (polygons in general) on the inner and outer sphere, and connect them by straight line seg- ments (see Figure 2).
The Construction Procedure Combining the above gives us a method for con- structing an igloo. To start the dome, we begin with two concentric circles (see Figure 3a). To initialise construction, we first place 12 segments in a non-trivial order (Figure 3b). Note that three elements of the same orientation are placed next to each other, on three different triangle sides. The first row has point reflection symmetry with re- spect to the centre of the circles. Further blocks are simply reflections of those already placed (Figures 2c and 2d). The most difficult opera- tion is the placement of the final four elements Figure 2 Conversion from spherical triangles into polyhedral
dome elements (left) and the net of the dome elements (right)
(Figures 2e and 2f), which should ideally all be placed at once.
Paper, gypsum, wet snow and ice bricks have been used to test this procedure on small scales. The igloo has some tendency to come apart under its own weight, so a band around the base must be used.
Conclusion
The '2, 3, 5' spherical triangle above provides a working solution to the igloo building problem, requiring only two different brick forms (the two orientations). Another interesting solution is based on geodesic domes (two different equi- lateral triangles, 90 bricks). It is still not known whether any single small block type is sufficient to tile the hemispherical dome. Possible search areas are exceptional spherical tilings, and nearly spherical polyhedrons similar to the deltoidal icositetrahedron.
References
[1] Douglas Wilkinson; 1949; Arc- tic notebook no. 1: How to build an igloo;
http://www.nfb.ca/film/how_to_build_an_igloo.
[2] Robert J. Mac, G. Dawson; 2003;
Tilings of the Sphere with Isosceles Trian- gles; Disc. and Comp. Geom. 30, 467-487;
http://cs.stmarys.ca/~dawson/images4.html.
Figure 3 The construction of the igloo, left-handed and right-handed blocks coloured red and blue respectively
!["Stosunki polsko-pomorskie w drugiej połowie XVI wieku : zarys polityczny", Zygmunt Boras, Poznań-Słupsk 1965 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)