Berekening van thermische stratificatie bij variabele weersomstandigheden Oostvoornsemeer 1972, 1974

VOORWOORD SYMBOLENLIJST blz. l Thermische stratificatie , 1 1.1 Definitie 1 1 . 2 Voorkomen 1 1. 3 Oorzaken 1 1.4 Cyclus 2 1.5 Gevolgen , 3 1 .6 Berekeningsmethoden 4

2 Prob leems tel 1 ing 6

3 De energiemethode , 7 3.1 De gemengde oppervlaktelaag 7 3.2 Ontwikkelingen van de oppervlaktelaag en de afleiding van het

gehele profiel 8 3.2.1 Isotherme ontwikkeling , 8 3.2.2 Ontwikkeling omhoog 10 3.2.3 Ontwikkeling omlaag 11 3.3 Overgangen tussen de ontwikkelingen 13 3.4 Termen in de vergelijkingen , 14 3.4.1 De schuifspanningssnelheid .,.,,..,..,.., 14 3.4.2 De gemiddelde flux van opdrijvende kracht 14 3.4.3 Het dichtheidsverschil bij entrainment , 15 3.4.4 Het volume als functie van de diepte 16 3.5 De stelsels vergelijkingen na substitutie van de termen 16 3.5.1 Isotherme ontwikkeling , 17 3.5.2 Ontwikkel ing omhoog 17 3.5.3 Ontwikkeling omlaag 17 3.5.4 Samenvatting van de vergelijkingen 18 3.6 De netto-warmteflux door het wateroppervlak 18 3.6.1 De warmt eb a lans lucht-water 20 3.6.2 Warmte-uitwisselingscoëfficiënt en evenwichtstemperatuur .... 23 3.6.3 Berekening van de natte bolteuiperatuur .... 24

3.7 Noodzakelijke gegevens 25 3.7.1 Beginvoorwaarde voor het temperatuurprofiel 25 3.7.2 Weersgegevens voor de periode van berekening 25 3.7.3 Fysische constanten 26 3.7.4 Omrekeningsfactoren en optredende coëfficiënten 28 3.7.5 Optimale mengings- en entrainmentcoëfficiënt 30 4 Methode van oplossen 31 4.1 De stelsels vergelijkingen voor L en T 31 4.1.1 Het stelsel voor de isotherme ontwikkeling 32 4.1.2 Het stelsel voor de ontwikkeling omhoog 32 4.1.3 Het stelsel voor de ontwikkeling omlaag 32 4.1.4 Oplosbaarheid van de stelsels 33 5 Resultaten 34 5.1 De optimale mengings- en entrainmentfactoren 34 5.2 De resultaten voor 1974 35 5.3 De resultaten voor 1972 35 5 .4 Interpretatie 36 6 Conclusie 39 APPENDIX: Numerieke oplossingsmethode

A. 1 De interpolerende functies voor W.», k en I ,,,..., I A.2 De lengte van het integratie-interval ,. III

A.3 Afleiding van de functie T(z, tn +j)- IV

A.4 Berekening van de functie T VII A. 5 Berekening van de doelfuncties VII A.6 De volgorde van berekening IX A.7 Opmerkingen over de oplossingsmethode XII REFERENTIES

Dit onderzoek is uitgevoerd door ir. G.J.G. Kok (Vakgroep Hydraulica en Af-voerhydrologie, Landbouwhogeschool) in samenwerking met ir. J.H.G. Verhagen en ir. K.D. Maiwald (Waterloopkundig Laboratoriuin) in het kader van het Eco-logisch Model Onderzoek ten behoeve van Rijkswaterstaat, Deltadienst, Afd. Milieu-onderzoek (opdracht 2214 aan Landbouwhogeschool en opdracht R 870 aan

A - constant A = constant o A(z) CD cE CM c P c p dL dt e a e a = constant = constant = constant = constant = constant _ dL(t) dt = ea(t) Fk - Fk(t) FT = FT (t) e e F W] 0 - ÏW1 0(t) f(W„ f(w2(t)) ) = f(W-(t)) g = constant g = constant G = G(t) G = G(t) h = constant : idem

: oppervlak van de waterspiegel : nat oppervlak van het bekken als

functie van de diepte : dragcoëfficiënt

: entrainmentcoëfficiënt : mengingscoëfficiënt

: warmtecapaciteit van water : warmtecapaciteit van water

: snelheid waarmee het grensvlak zich verplaatst

: dampdruk

: daggemiddelde dampdruk op 2 m hoogte : verzadigde dampdruk bij temperatuur

TK

(°K)

: interpolerende functie voor k : interpolerende functie voor T

nT'd

2

V

2

: interpolerende functie voor W

-1,2 o„2 3,-3 m d C x m d m 2 m 1 1 1 Joule kg"1 °c"1 cal g"1 V 1

m d

mbar mbar mbar •» 1 m d °C 1 ~" 1 3 -3 s ,n : windfunctie t.b.v. verdamping, waarbij W„ in m/s : idem : versnelling t.g.v. de zwaartekracht : idem : globale straling

: gemeten dagelijkse globale straling : maximale diepte van het bekken

e

: i -punt vanaf het oppervlak, waaruit het T(z,t ) profiel is samengesteld

, -1,-1 mm mbar d mm mmHg d m d -2 m s T i - 2 , - 1 Joule m d Joule m d

m

m, °C

IM JM k =

k =

K

-kb kb

L =

L. 1 k(t) k(t) K(t) = constant = constant L(t) = L.(t) Lh

k

lb m =

M

MAX MAX MAX n =

N

NL = constant = constant = constant constant - MAX(t.) = MAX (z.) constant

: aantal punten in de z-richting waar-op Tb(zi (t.) en Tm(zi >t.) vergeleken worden; i = 1(1) IM

: aantal tijdstippen op Jjt ,tf] waar-op T, (z.,t.) en I (z.,t.) vergeleken worden; j = 1(1) JM : warmte-uitwisselingssnelheid : daggeraiddelde warmte-uitwisselings-snelheid : warmte-uitwisselingscoëfficiënt : coëfficiënt in formule van Brunt : idem

: diepte van de oppervlaktelaag : idem; i = 1,2 of 3 respectievelijk

voor een isotherme ontwikkeling, een ontwikkeling omhoog, of omlaag

: verdampingswarmte van water : verdampingswarmte van water : coëfficiënt in formule van Brunt : coëfficiënt voor de bewolkingsgraad : aantal deelintervallen AT

: maximum absolute verschil over de diepte als functie van t.

J

: maximum absolute verschil over de tijd als functie van z.

: maximum absolute verschil over de diepte en over de tijd

: coëfficiënt voor de bewolkingsgraad : aantal deelintervallen At

: aantal punten (H(i), T(i)} van het T(z,t) profiel m d-1 m d Joule m d °C _ i mbar 2 mmïïg 2 m m — 9 _ i Joule m mm - - 2 - 1 cal cm mm

NS

P = P(t) P = P(t)

Pm

q = q(t)

: aantal halveringen van At : fractie zonneschijn

: dagelijks gemiddelde fractie zonne-schijn

: gewichtsfactor in basispunt t : netto-warmteflux tussen lucht en

water 1

1

1 1 —2 — 1 Joule m d qe = qe( t )

V

=

V

C t )

nr nr nr r m

s = '

t t s t = m t = n constant S(t) t + nAi s t + mAt s : idem; i = 1,2, of 3, respectievelijk voor een isotherme ontwikkeling, een ontwikkeling omhoog of omlaag

: netto-warmteflux t.g.v. geleiding : netto-warmteflux t.g.v, verdamping : netto-straling

: netto-straling indien de watertempe-ratuur gelijk zou zijn aan de lucht-temperatuur

: netto-straling indien de watertempe-ratuur gelijk zou zijn aan de natte boltemperatuur : reflectiecoëfficiënt : stapfunctie e : 4 -graads splmefunctie : tijdcoördinaat : begintijdstip berekening : eindtijdstip berekening : basispunt in stapfuncties

: tijdstip waarop functie T(z,t) wordt berekend t i - 2 , , Joule m d Joule m d T T -2.-1 Joule m d T i -2.-1 Joule m d T i " 2 - 1 Joule m d Joule m d 1 1 1 d d d d

t.

J

T = T 0 T

o

T. T(z,t) - To( t ) • To( t ) = T (t)

: tijdstip waarop het fiel is gemeten : watertemperatuur : watertemperatuur van laag ; idem ; idem, i = 1,2, of 3, temperatuurpro-de oppervlakte-respectievelijk

d

o 0 o

T

T" a TA fe TE

f

n T N TN T < m - constant = Ta(t)

" \(t)

= Te(t) " TE( t ) = Tn(t) ' TN( t> :z.,t.) Tb(z.,t.)

T .

m m

voor een isotherme ontwikkeling, een ontwikkeling omhoog, of omlaag

temperatuur direct onder de oppervlak-telaag

isotherme temperatuur op t s

daggemiddelde luchttemperatuur van de metingen op 2 m hoogte

luchttemperatuur

daggemiddelde evenwichtstemperatuur, berekend

evenwichtstemperatuur

daggemiddelde natte boltemperatuur, berekend

natte boltemperatuur idem, na k -iteratie

temperatuur op diepte z, en tijdstip t., berekend door lineaire interpo-latie van het gemeten temperatuur-profiel

idem, berekend door lineaire inter-polatie van het berekende temperatuur-profiel

laagste, waargenomen watertemperatuur van het seizoen

K

raax V(h) = constant V(z) V(L.) = V(L,(t)) w = w (t) w = w (t) z z W = W (t) z z wb(o) = wb(o,t) wb.(o) = wb.(o,t) z. 1 a. constant ai( t ) 3 = constant Y = constant ó =• <S(ï) At = constant

van het seizoen

: inhoud van het bekken

: inhoud van de oppervlaktelaag als functie van de diepte

: idem; i = 1,2, of 3; respectievelijk voor een isotherme ontwikkeling, een ontwikkeling omhoog, of omlaag

: schuifspanningssnelheid in water : daggemiddelde windsnelheid gemeten

op z m hoogte

: windsnelheid op z m hoogte

: gemiddelde flux van opdrijvende kracht door het wateroppervlak

: idem; i = 1,2, of 3; respectievelijk voor een isotherme ontwikkeling, een ontwikkeling omhoog of omlaag

: dieptecoördinaat

: diepte waarop gemeten en berekende temperatuurprofiel worden geïnter-poleerd en vergeleken

: ruwheidshoogte bij het logaritmisch windprofiel

: thermische uitzettingscoëfficiënt van water; i = 1,2, of 3; respectie-velijk voor een isotherme ontwikkeling een ontwikkeling omhoog of omlaag : coëfficiënt in p-T-relatie

: psychrometer constante

: verandering van dampdruk bij verande-ring van temperatuur

; elementair tijdsinterval bij integratie

'C 3 m m m d-1 -1 '" 1 m d m d 2 - 3 m d m m

m

V

1

V

2

mbar K mbar K d

AT = constant Ap = Ap(t) AT p = constant a p = constant P(T) o = constant o = constant a ~ a(t.)

o = a(z.)

T = T(t)

: staplengte van gemeten stapfuncties ; dichth.eidsversch.il over het grensvlak : verschil van T en T .

raax m n

: gemiddelde verschil over de diepte als functie van t.

J

: gemiddelde verschil over de tijd als functie van z.

: gemiddelde verschil over diepte en tijd

: dichtheid van de lucht : dichtheid van water bij 4 C

: dichtheid van water bij temperatuur T°C

: constante van S. Boltzmann : idem

: standaardafwijking voor de verschil-len over de diepte, als functie van t.

J

: standaardafwijking voor de verschillen over de tijd, als functie van z.

: standaardafwijking voor de verschillen over de diepte en de tijd

: schuifspanning tussen lucht en water : exponent in functie e (T) ö kgm o„ kgm kgm -3 -3 kgm T .. -2,-1 o-4 Joule m d K cal cm min °K kgm d 1

I Thermische stratificatie 1.1 Definitie

Voor een watermassa betekent thermische stratificatie het optreden in ver-ticale richting van waterlagen van verschillende temperatuur, veroorzaakt door ongelijkmatige opwarming. Daar de dichtheid van water afhankelijk is van de temperatuur, betekent thermische stratificatie tevens het optreden

in verticale richting van waterlagen van verschillende dichtheid. Het water met de grootste dichtheid bevindt zich aan de bodem, het water met de

klein-ste dichtheid nabij de oppervlakte. Water heeft zijn grootklein-ste dichtheid bij 4 C en de dichtheid neemt meer dan rechtevenredig af bij hogere en bij la-gere temperaturen. Dit onderzoek beperkt zich tot situaties met watertempe-raturen groter dan 4° C, zodat met thermische stratificatie hier altijd het optreden van warmer water boven kouder wordt bedoeld.

1.2 Voorkomen

Onder de in Nederland voorkomende klimatologische omstandigheden treedt in het zomerseizoen thermische stratificatie op in diepe watermassa's met wei-nig doorstroming en circulatie.

Voorbeelden zijn zandzuigputtem, diepe stroomgeulen in afgesloten zeearmen en wielen, diepe grote kommen ontstaan door dijkdoorbraken. Het voorkomen van water van voldoende diepte voor het ontstaan van thermische stratifi~ catie is in Nederland blijkbaar gebonden aan menselijke activiteiten. 1.3 Oorzaken

Het optreden van thermische stratificatie in diepe putten hangt af van de meteorologische en hydrologische omstandigheden.

De opwarming of afkoeling van een waterbekken vindt hoofdzakelijk plaats aan het wateroppervlak en hangt af van de warmte-uitwisseling tussen lucht en water. Deze uitwisseling van thermische energie wordt bepaald door de meteorologische omstandigheden.

Het transport van warmte van het oppervlak naar grotere diepte vindt plaats door mengingsprocessen onder invloed van de turbulentie. De turbulentie hangt af van de toevoer van mechanische energie door de wind.

Het is nu de balans tussen de toegevoerde hoeveelheid thermische en mecha-nische energie die bepaalt welke verticale temperatuurverdeling optreedt.

Dit zijn tijdsafhankelijke processen.

Indien de diepe put een onderdeel is van een groter waterbekken en of door-stroomd wordt met water van elders, kunnen de hydrologische omstandigheden mede de toevoer van thermische en mechanische energie bepalen. Dit van buiten

toegevoerde stromende water draagt door zijn mechanische energie bij aan de mengingsprocessen en indien het toegevoerde water een andere temperatuur heeft bepaalt het mede de warmte-inhoud van het bekken. Dit onderzoek beperkt zich tot een diepe put, zonder doorstroming en met constant waterpeil.

Het optreden van thermische stratificatie in diepe putten zonder doorstroming wordt dus bepaald door:

- de diepte van de put,

- de warmte-uitwisseling tussen lucht en water aan het oppervlak, - de opwekking van turbulentie door de wind.

1.4 Cyclus

Het jaarlijks verloop van de verticale temperatuurprofielen in een diepe put zonder doorstroming wordt geïllustreerd door de gemeten profielen, Rijkswater-staat Q3 , 14] in figuur 72.9 t/m 72.18 en figuur 74.10 t/m 74.48 van het Oostvoornse Meer. Het Oostvoornse Meer (Brielse Gat) is een oude riviermon-ding van de Oude Maas, nu afgesloten aan de zee-en aan de landzijde en gele-gen tussen het Brielse Meer en de Noordzee. Mede ten gevolge van zandwinnin-gen heeft het bekken een maximale diepte van ca. 40 m.

De metingen in het vroege voorjaar van '72 en '74 laten zien dat het water-bekken in deze periode nagenoeg isotherm is, d.w.z. gelijk van temperatuur over de gehele diepte. Onder deze omstandigheden levert de wind voldoende energie om de toegevoerde hoeveelheid warmte te mengen over de gehele diepte figuur 72.9 en figuur 74.10.

Wat later in het voorjaar blijkt zich aan de oppervlakte een zone met hogere temperatuur te ontwikkelen (epilimnion), die via een steile temperatuurgra-die'nt (thermocline), overgaat in een zone aan de bodem met lagere temperatuur

(hypolimnion), figuur 72.10 en figuur 74.11 t/m 74.18. Onder deze omstandig-heden is de door de wind opgewekte turbulentie onvoldoende geweest om de door het wateroppervlak toegevoerde warmte te mengen over de gehele diepte. Lagen van verschillende temperatuur, dus verschillende dichtheid zijn niet geneigd om spontaan met elkaar te mengen, dat kost energie, die in dit geval geleverd moet worden door de wind. Hoezeer de wind van invloed is blijkt uit het effect van de periode met harde wind eind mei '72.

Figuur 72,11 laat zien dat de warmere oppervlaktelaag naar grote diepte is gedaald en zich tot een diepte van 31 meter gemengd heeft met het koudere water eronder. Tot op deze diepte is de turbulentie in staat geweest het water te mengen.

Gedurende de voorzomer zijn perioden van sterke opwarming en geringe wind oorzaak van het ontstaan van dunne warme oppervlaktelagen, die door afwis-seling met perioden van geringere opwarming en hardere wind in diepte toe-nemen, zich daarbij mengend met het onderliggende water, Er ontstaat een trapsgewijze profiel met meerdere temperatuursprongen, veroorzaakt door de afwisseling in weersomstandigheden, figuur 72.12 t/m 72.13 en figuur 74.19 t/m 74.26. De termen thermocline, epi- en hypolimnion zijn voor deze situ-atie niet zo eenduidig.

Midden in de zomer maken de opwarming en menging vaak gedurende langere tijd evenwicht met elkaar en tekent zich een tweelagen systeem af, gescheiden door een thermocline die zich handhaaft op ongeveer constante diepte, figuur 72.14 t/m 72.15 en figuur 74.27 t/m 74.35.

In de nazomer overheerst de afkoeling. De oppervlaktelaag daalt in tempera-tuur, zodat het dichtheidsverschil met het diepere water kleiner wordt, waardoor de menging van beide minder energie kost. De thermocline zakt on-der deze omstandigheden naar beneden en het epilimnion daalt in temperatuur, figuur 72.16 t/m 72.17 en figuur 74.36 t/m 74.43.

Tenslotte bereikt de thermocline de bodem en wordt het bekken weer isotherm. Dit is het gevolg van de verdergaande afkoeling en de menging door de wind. Figuur 72.18 (bijna) en figuur 74.44 t/m 74.48.

Van herfst tot voorjaar is het waterbekken isotherm met watertemperaturen groter of gelijk 4 C, maar in koudere winters treden temperaturen lager dan 4 C op, eventueel met ijsvorming en inverse stratificatie (kouder water boven warmer).

De eerste ontwikkeling heet een "warm monomictische-", de tweede een "ditnic-tische"-ontwikkeling, beide met directe stratificatie (warm boven koud water) in de zomer Hutchinson |_4J .

1.5 Gevolgen

Het optreden van thermische stratificatie heeft belangrijke gevolgen voor het verticaal transport van warmte, impuls en opgeloste stoffen. In de tur-bulente oppervlaktelaag vindt de overdracht plaats door turtur-bulente mengings-processen. Ter hoogte van de spronglaag sterft de turbulentie nagenoeg uit

en onder de spronglaag is de overdracht van warmte, impuls en opgeloste stof-fen in grootte-orde vele malen kleiner dan erboven.

Vindt in het water een belangrijk zuurstof verbruik plaats door oxydatie van afbreekbare stoffen, dan blijkt de toevoersnelheid van zuurstof in de zone onder de spronglaag onvoldoende, zodat zuurstofloosheid optreedt onder de spronglaag. Het verticaal transport van zuurstof vindt plaats door dezelfde processen als het transport van warmte en evenals voor de warmte treedt de atmosfeer op als de belangrijkste bron, Tegelijkertijd uitgevoerde zuurstof en temperatuurmetingen laten zien dat het zuurstof en temperatuurprofiel na-genoeg parallel lopen. Overigens hangt het zuurstofprofiel niet alleen af van de verticale transportsnelheid van zuurstof, maar ook van de locale zuurstof-productie en consumptie,

Omdat bijna alle oppervlaktewater in Nederland belast is met afbreekbare stof-fen, of met voedingsstoffen die opbloei van algen veroorzaken die na afster-ving moeten worden afgebroken, gaat thermische stratificatie vrijwel altijd gepaard met problemen voor de zuurstofhuishouding en aanverwante chemisch biologische parameters.

1.6 Berekeningsmethoden

Hoewel over het optreden van thermische stratificatie onder verschillende klimaatstypen bijzonder veel kwalitatieve informatie bestaat, Hutchinson [4] blijken kwantitatieve interpretaties bijzonder moeilijk.

De toepassing van advectie en of diffusiemodellen blijkt voor dit type van transport op grote problemen te stuiten.

Advectiemodellen voldoen alleen dan goed wanneer de verticale snelheden bekend zijn. Dit is het geval bij sommige stuwmeren met hydraulisch goed gedefinieer-de in™ en uitlaatstromingen, b.v. Ryan en Harlemen [\2].

Diffusiemodellen (niet-lineairè) worden vaak toegepast als over de stroming weinig bekend is. De diffusiecoëffié'nt is dan een sterk variërende functie van diepte en tijd. De grootte van deze coëfficiënt moet dan van te voren be-rekend worden uit de optredende temperatuurprofielen en wordt eventueel gere-lateerd aan de optredende weersomstandigheden. De berekende coëfficiënten worden toegepast in het diffusiemodel, maar het bezwaar is dat het goede ant-woord er eigenlijk van te voren is ingestopt en onrealistische waarden voor de diffusiteit optreden, b.v. Sundaram [l7].

Ook worden advactie en diffusietermen gecombineerd toegepast.

op energie beschouwingen berust. Deze methode is afgeleid door Verhagen ]j9] en wordt in het volgende uitgewerkt en toegepast voor het Oostvoornse Meer. De methode veronderstelt geen voorkennis van de gemeten temperatuurprofielen, maar geeft uitsluitend de responsie van het meer op de weersomstandigheden gegeven een gemeten beginvoorwaarden voor het temperatuurprofiel.

De probleemstelling is het berekenen van de watertemperatuur als functie van de diepte en als functie van de tijd voor een waterbekken met weinig door-stroming en circulatie en van voldoende diepte voor het ontstaan van thermi-sche stratificatie onder de in Nederland voorkomende weersomstandigheden. Gegeven wordt een isotherm temperatuurprofiel gemeten in het vroege voorjaar en de dagelijks gemiddelde weersomstandigheden gedurende de periode van be-rekening. De periode van berekening omvat de gehele stratificatie-cyclus van-af de isotherme toestand in het vroege voorjaar tot en met de isotherme toe-stand in het najaar. Het temperatuurprofiel wordt gevraagd van oppervlakte tot bodem.

Voor deze berekening wordt gebruik gemaakt van de "energiemethode". De bere-kening wordt toegepast op het Oostvoornse Meer voor de jaren 1972 en 1974. De resultaten van berekening worden vergeleken met de meetgegevens, die be-schikbaar zijn gesteld door de Deltadienst van Rijkswaterstaat.

Voor de gegevens van 1974 zullen optimale mengings- en entrainmentfactoren worden berekend. (IJkingsfase).

3 De energiemethode

Uit de energievergelijking voor turbulente beweging, Phillips [\ ij heeft Verhagen |j9j vergelijkingen afgeleid voor de diepte van de gemengde opper-vlaktelaag. Hierbij is gebruik gemaakt van ervaringen met een fysisch twee-lagenraodel in een windtunnel. Door verwaarlozing van onbelangrijke termen zijn eenvoudige formules verkregen.

3.1 De gemengde oppervlaktelaag

De diepte tot waarop de aan het oppervlak opgewekte turbulentie doordringt en het profiel homogeen gemengd is, heet de mengingsdiepte. Ter plaatse stelt zich een grensvlak in. Tot op deze diepte wordt de door het wateroppervlak aangevoerde warmte homogeen verspreid.

z = 0-, wateroppervlak

grensvlak

z = ti-v'/////f 7777777^77777 / ///ff/ / ff / bodem

figuur 1

Figuur 1 is een definitieschets van de gemengde oppervlaktelaag die geldt op zeker tijdstip.

Afhankelijk van de ontwikkeling van de mengingsdiepte heeft Verhagen twee ver-gelijkingen opgesteld voor de mengingsdiepte L.

w

wb(o)

L

- ~ ApdL §

w b ( o ) + g ü

-o

L = L(t) : diepte van het grensvlak m

wF(o) = wb~(o,t) : gemiddelde flux van opdrijvende kracht door het

2 —3 wateroppervlak m d w = w (t) : schuifspanningssnelheid in water aan het

water-oppervlak m d Ap = Ap(t) : dichtheidsverschil over het grensvlak kgm ~rr ~ 1-"J2 '• snelheid waarmee het grensvlak beweegt ra d

_2 g = constant : versnelling ten gevolge van de zwaartekracht m d p - constant : dichtheid van water bij 4° C. kgm De temperatuur van de gemengde oppervlaktelaag, zal worden afgeleid uit de warmtebalans voor deze laag (zie 3.2).

3.2 Ontwikkelingen van de oppervlaktelaag en de afleiding van het gehele profiel

Door de vergelijkingen voor de mengingsdiepte en de warmtebalans voor de op-pervlaktelaag worden uitdrukkingen gegeven waaruit op ieder- gewenst tijdstip de diepte en temperatuur van de oppervlaktelaag kunnen worden berekend. Bij deze berekeningswijze wordt verondersteld, dat onder het grensvlak, in de zone tussen de oppervlaktelaag en de bodem geen enkele vorm van warmte-overdracht plaatsvindt.

Afhankelijk van de weersomstandigheden kan het grensvlak zich echter verplaat-sen en kunnen verschillende ontwikkelingen, van de oppervlaktelaag worden on-derscheiden.

Van de diepte en temperatuur van de oppervlaktelaag, berekend op achtereen-volgende tijdstippen, wordt een "boekhouding" bijgehouden, waaruit op ieder gewenst tijdstip het temperatuurprofiel als functie van de diepte kan worden gereconstrueerd, zie A.3.

De volgende ontwikkelingen van de oppervlaktelaag zijn mogelijk, die ieder optreden onder speciale voorwaarden.

3.2.1 Isotherme ontwikkeling

De oppervlaktelaag strekt zich uit van oppervlakte tot bodem en geheel het profiel is gelijk van temperatuur. Deze situatie overheerst tussen herfst en voorjaar (afgezien van inverse stratificatie). Onder deze omstandigheden is de toevoer van mechanische energie door de wind, voldoende om de door het wateroppervlak aangevoerde warmte te mengen over geheel het profiel. Bij warmte-onttrekking aan het wateroppervlak, draagt de wind er mede toe bij dat geen instabiele temperatuurinversie ontstaat. Geheel het profiel wordt instantaan gemengd en neemt isotherm in temperatuur toe of af. Warmtetran-sport naar de bodem wordt niet in rekening gebracht.

De volgende vergelijkingen gelden voor deze toestand.

L = h o 1

O.i)

(1.2) dT

CP v(h)

ir

(1.3) Onder de voorwaarde: L s 0 of L. ï h waarbij: L

w

wbj(o) (1.4) (1.5) L = L(t) q = V(h) h = c = P A = 0 q(t) = constant constant constant constant

diepte van de gemengde laag temperatuur van de gemengde laag

netto-warmteflux tussen lucht en water inhoud van het bekken

maximale diepte

warmtecapaciteit van water oppervlak van de waterspiegel

m Joule m dn 3 m m Joule kg"1 °C~1 2 m

De index 1 aan T, L, wb(o) en q heeft betrekking op hun grootte in de isotherm toestand.

Vergelijking (1.3) is de warmtebalans voor isotherme omstandigheden. Het lin-kerlid is de verandering van warmte-inhoud van het bekken, het rechterlid is het netto-warmtetransport door het wateroppervlak.

Vergelijking (1.5) is vergelijking (a) van Verhagen.

wbj(o) S — r — (tijdens opwarming, bij voldoende toevoer van mechanische ener-gie door de wind om het homogeen te mengen dan wel tijdens afkoeling).

NB. de schuifspanningssnelheid w is altijd positief.

Vergelijking (1.1) en (1.2) beschrijven continu het gehele temperatuurprofiel tijdens de isotherrae ontwikkeling.

Ze zijn samen te vatten tot:

T(z,t) = TQ(t) voor 0 s z s h (1.6)

3.2.2 Ontwikkeling omhoog

Tijdens een "ontwikkeling omhoog" beweegt het grensvlak naar boven of hand-haaft het zich op een constante hoogte boven de bodem. Deze ontwikkeling treedt op bij opwarming, wanneer de toevoer van mechanische energie door de wind onvoldoende is om de door het wateroppervlak aangevoerde warmte te men-gen over de gehele diepte.

Onder deze omstandigheden ontwikkelt zich een oppervlaktelaag, die afneemt in diepte en toeneemt in temperatuur. De wind is nu niet in staat de arbeid te leveren die nodig is om het lichtere water wat ontstaat aan de oppervlak-te, te mengen met het zwaardere water op grotere diepte. De turbulentie sterft uit beneden de oppervlaktelaag.

Deze ontwikkeling overheerst in de opwarmingsperiode, van het voorjaar tot en met het midden van de zomer,

De volgende vergelijkingen gelden voor deze toestand:

L - L2 (2.1) To = T2 ( 2-2 ) dT V(L ) dV(L ) po C P dt " po C P T2 " d t — = Ao \ <2'3> dL Onder de voorwaarde: 0 < L„ < h en - 5 — ^ 0 (2.4) l dt s ' waarbij: L2 = — — (2.5)

De index 2 aan T, L, wb(o) en q heeft betrekking op hun groutte tijdens een ontwikkeling omhoog.

Vergelijking (2.3) is de warmtebalans voor de dunner wordende oppervlaktelaag. In het linkerlid is de eerste term de verandering van warmte-inhoud van de oppervlaktelaag, terwijl de tweede term staat voor het warmteverlies wat ont-staat door het afnemen van het volume. In het rechterlid ont-staat het netto-warmtetransport door het wateroppervlak.

Vergelijking (2.5) is vergelijking (a) van Verhagen. Voorwaarde (2.4) geldt indien

* V

o )

> i r

en

f t

l n wb

2 * ft

ln3w

*-w*3

Met andere woorden er moet opwarming optreden, groter dan —r—, terwijl de toe-name van de logaritme van de flux van drijfvermogen groter of gelijk moet zijn

dan de toename van de derde macht van de logaritme uit de schuifspanningssnelheid. Vergelijking (2.1) en (2.2) beschrijven op ieder tijdstip gedurende de

ont-wikkeling omhoog het profiel van de oppervlaktelaag. Ze zijn samen te vatten als

T(z,t) - TQ(t) voor 0 a z < L(t) (2.6) Omdat onder het grensvlak geen warmte-overdracht wordt verondersteld, kan het profiel tussen grensvlak en bodem worden afgeleid uit de waarden van L en TQ berekend op vorige tijdstippen. Dit wordt geïllusteerd door figuur 72.25 en 72.26.

3.2.3 Ontwikkeling omlaag

Tijdens een "ontwikkeling omlaag" beweegt het grensvlak naar beneden. De war-mere oppervlaktelaag dringt dan door in het koudere water eronder en mengt

zich er mee tot aan de niéuwe positie van het grensvlak. Men spreekt ook wel van "entrainment".

Deze ontwikkeling treedt op wanneer de toevoer van mechanische energie door de wind groot is ten opzichte van de toegevoerde warmte of wanneer het water-oppervlak afkoelt, terwijl het grensvlak zich nog boven de bodem bevindt. On-der deze omstandigheden ontwikkelt zich een oppervlaktelaag die toeneemt in diepte, terwijl haar temperatuur verandert door warmte-uitwisseling met de atmosfeer en menging met het koudere water, in de zone waarover entrainment optreedt.

Op het grensvlak bevindt zich een temperatuursprong, die mede de entrainment-snelheid bepaalt.

Deze ontwikkeling van toenemende laagdikte aan het oppervlak overheerst in de afkoelingsperiode, van het midden van de zomer tot het najaar en treedt inci-denteel op in de voorzomer bij tussentijdse afkoeling of opwarming die ver-gezeld gaat van harde wind.

De volgende vergelijkingen gelden voor deze toestand.

L - L3 (3.1) To = T3 ( 3'2 ) aT V(L ) dV(L ) p c —J. - p c T — v - i - = A q„ (3.3) o p dt 'o p z dt o H3 w J *3

—

dL w - L wb,(o)

ar'

h

« V

(3

-

4)

di Onder de voorwaarde: 0 < L„ < h en 3 — > 0 (3.5) j at

T = T (t) : temperatuur direct onder de oppervlaktelaag °C.

De index 3 aan T, L, wb(o) en q heeft betrekking op hun grootte tijdens een ontwikkeling omlaag.

Vergelijking (3.3) is de warmtevergelijking voor de dieper wordende opper-vlaktelaag. In het linkerlid is de eerste term de verandering van warmte-in-houd van de oppervlaktelaag, terwijl de tweede term het warmtetransport door het grensvlak L„ ten gevolge van tnenging voorstelt met water van temperatuur T , dat zich bevindt in de zone waarover entrainment plaatsvindt. In het rechterlid staat de warmte-uitwisseling met de atmosfeer.

Vergelijking (3.4) is Verhagen's vergelijking (b) herschreven.

Voorwaarde (3,5) geldt zolang de uitkomsten van L„ fysische betekenis hebben en w*3

wb < .___ , D.w.z. afkoeling, of een flux van opdrijvende kracht die klein is L3

ten opzichte van de derde macht van de schuifspanningssnelheid gedeeld door de spronglaagdiepte.

Vergelijking (3.1) en (3.2) beschrijven op ieder tijdstip gedurende de ont-wikkeling omlaag het profiel van de oppervlaktelaag, samen te vatten als:

T(z,t) To(t) voor L(t) (3.6) Omdat onder het grensvlak geen verticale warmte-uitwisseling wordt veronder-steld kan het profiel onder het grensvlak worden afgeleid uit de waarden van L en T berekend op vorige tijdstippen, Dit wordt geïllustreerd door figuur 72.25 en 72.26.

3.3 Overgangen tussen de ontwikkelingen

Afhankelijk van de weersomstandigheden en de toestand waarin het profiel is, kunnen tussen de drie ontwikkelingen verschillende overgangen optreden samen" gevat in figuur 2, isotherme ontwikkeling ontwikkeling omlaag ontwikkeling omhoog figuur 2

De isotherme ontwikkeling kan overgaan in een ontwikkeling van het grens-vlak omhoog. Deze gaat over in een ontwikkeling omlaag. De ontwikkeling

om-laag heeft twee mogelijkheden. Ze gaat door tot het grensvlak de bodem be-reikt en verandert in een isotherme ontwikkeling, of ze gaat voordat het grensvlak de bodem bereikt over in een nieuwe ontwikkeling omhoog. Ontwikke-lingen omhoog en omlaag kunnen elkaar dus afwisselen zonder dat een isotherme toestand wordt bereikt.

Figuur 72.26 is het fasevlak van L en T , getekend voor een periode in 1972. Het laat zien op welke wijze overgangen optreden en figuur 72,25 toont hoe op elk tijdstip het gehele profiel kan worden afgeleid uit voorgaand bereken-de waarbereken-den. Zie A.3.

Er moet opgemerkt worden dat het optreden van de ontwikkeling omhoog in de voorzomer en de ontwikkeling omlaag in de nazomer slechts een globale

classi-ficatie is. In het voorjaar wordt via de ontwikkeling omhoog de isotherme toe-stand verlaten en in het najaar wordt via de ontwikkeling omlaag de isotherme toestand bereikt. In de tussenliggende periode kunnen vele overgangen

plaats-vinden tussen ontwikkelingen omhoog en omlaag ten gevolge van schommelingen in de verhouding van thermische en mechanische energie. Perioden van warm weer met weinig wind veroorzaken een opwaartse ontwikkeling, perioden van koeler weer met meer wind geven aanleiding tot een neerwaartse ontwikkeling van het grensvlak,

3.4 Termen in de vergelijkingen

In de tot nu toe geformuleerde vergelijkingen komen een aantal termen voor, die uitgedrukt kunnen worden in de meteorologische omstandigheden.

3.4.1 De schuifspanningasnelheid

Voor de schuifspanning tussen lucht en water geldt:

T

= p

o

w* - c

D

p

a

wJ

Q

(4.!)

zodat a 3/2 3 C D

w* = <J9-_£) wj (4.2)

o « 1 H-0

t = T(t) : schuifspanning aan het wateroppervlak kgm d

"" 1

W1 0 = W.„(t) : windsnelheid boven het water op 10 m hoogte m d c = constant: "dragcoëfficiënt" 1 p = constant: dichtheid van lucht. kgm 3.4.2 De gemiddelde flux van opdrijvende kracht

Bij afwezigheid van verschillen in zoutconcentratie is de flux van opdrijven-de kracht volgens Verhagen ]j9]

wb.(o) - * - - (4.3) o p

c*. = a.(t) ; thermische uitzettingscoëfficiënt van water °C De dichtheid als functie van de temperatuur is:

p(T) - p {1 - 3(T " 4)2} (4.4) o

p(T) : dichtheid van water als functie van de temperatuur kgra T = T(t) : watertemperatuur °C g = constant. °C Voor de thermische uitzettingscoëfficiënt volgt dan:

1 dV d l 1 dp „n/m l\ // e\

a

i

=

V d T 7

= p

d T p - " d ï ^

a

23CT.-4) (4.5)

(NB. 3 is zeer klein)

Voor de netto-warmteflux door het wateroppervlak wordt de afkoelingsformule van Newton gebruikt, waarbij K en T nog nadej

meteorologische omstandigheden zijn. Zie 3.6.

van Newton gebruikt, waarbij K en T nog nader te bepalen functies van de

£ e - Ti) (4.6) 0 1 1 K = K(t) : warmte-uitwisselingscoê'fficiënt Joule m d °C T = T (t) : evenwichtstemperatuur. C Na substitutie van (4.5) en (4.6) in (4,3) kan de netto-flux van opdrijvende kracht worden samengevat als:

w b

(o) = l i ê - K(T - T )(T - 4) (4.7)

x p *-• " i x

o p

De index i is 1, 2 o£ 3, respectievelijk voor een isotherme ontwikkeling, een ontwikkeling omhoog, of voor een ontwikkeling omlaag.

3.4.3 Het dichtheidsverschil bij entraimnent

De dichtheidssprong over het grensvlak onder omstandigheden dat het grens-vlak omlaag beweegt is:

Ap - p(T ) - p(T.) (4.8) z J

Ap « 3 - 8) (4.9) De term in de noemer van vergelijking (3.4) wordt dan:

(4.10)

3.4.4 Het volume als functie van, de diepte

In eerste benadering is voor het Oostvoornse Meer aangenomen dat het horizon-tale oppervlak lineair afneemt met de diepte:

A(z) -Ao(l

-De inhoud van de gemengde oppervlaktelaag is dan;

(4.11)

V(L) = ] A(z) dz = AQ | (1 - ^) dz

a -è

(4.12)

A(z) : horizontaal nat oppervlak.

_m

Figuur 3 illustreert deze aanname: z = O A(z) z = hk z = 0 - V(z) z = h

3.5 De stelsels vergelijkingen na substitutie van de termen

Substitutie van de in 3.4 gevonden relaties in de vergelijkingen van 3,2 geeft de volgende resultaten:

3.5.1 Isotherme ontwikkeling

Vergelijking (1.5) wordt na substitutie van (4.2) en (4.7) 3/2

(5.1) • s P K(T - T.)(l. - 4)

p c e I 1

o P

Vergelijking (1.3) kan na substitutie van (4.12) voor L = h en (4.6) worden herschreven als:

d Tl K

dt ih p c e 1

° P

3.5.2 Ontwikkeling omhoog

Vergelijking (2.5) wordt na substitutie van (4.2) en (4.7): 3/2

C

\

( p > W10

L - o (5.3) o P

Vergelijking (2,3) kan na substitutie van (4.12) voor L = L en (4.6) en na toepassing van de kettingregel worden herschreven als:

dT„ h K(T - To)

a r '

e

<

5

-*>

3.5.3 Ontwikkeling omlaag

Vergelijking (3.4) wordt na substitutie van (4.2), (4.7) en (4.10) . „ 3/2

o P

Vergelijking (3.3) kan na substitutie van (4.12) voor L = L en (4.6) en na toepassing van de kettingregel worden herschreven als:

•u v- dL

3.5.4 Samenvatting van de vergelijkingen Indien wordt gesteld:

3/2 2 g

= a (5.7)

en (5.8) k - k(t) ; warrate-uitwisselingssnelheid m d a = constant m~'d ° dan kunnen de vergelijkingen worden vereenvoudigd en met hun voorwaarden worden samengevat in het volgende schema (fig. 4) (zie volgende blz.). De mogelijke overgangen tussen de stelsels zijn aangegeven, zoals in figuur 2.

3.6 De netto-warmteflux door het wateroppervlak

Bij afwezigheid van andere warmtebronnen of putten wordt de. temperatuur van het waterbekken uitsluitend bepaald door de warmte-uitwisseling tussen lucht en water.

De netto-snelheid van warmte-uitwisseling door het wateroppervlak is gelijk aan de som van de snelheden, waarmee warmte wordt overgedragen door stralings-processen, verdamping en geleiding. Voor deze warmte-uitwisselingsprocessen

afzonderlijk bestaan vele empyrische formules, die over het algemeen een be-perkt geldigheidsbereik hebben. Met deze formules kan de netto-warmteflux

ISOTHEEM E ONTWIKKELIN G L = h T = T VOORWAARDE : L £ 0 o f L , = "1 0 1 k(T £

4

)

dT l ONTWIKKELIN G OMLAA G L =L 3 VOORWAARDE : 0 < L < h e n -p-^ 3 a t

>

0

4

)

8

)

(h -d t III . 1 III . 2 III. 3 III . 4 III. 5 L 3 ( h ~ 2 ^

figuu

r

4

1.

1

1.

2

>

h

1.

3

1. 4 1. 5 ONTWIKKELIN G OMHOO G VOORWAARDE : a T — 2 k( T - e dT 2 h k( T L T o 0 <

w

3 10

V

e = L 2 = T 2 L-> < (T 2 -T2 ) h 4) d L L , ( h ^ )

worden uitgedrukt als een ingewikkelde functie van gemeten meteorologische grootheden.

Edinger et al [3j geeft een lineaire benadering van de netto-warmteflux tus-sen lucht en water door deze te schrijven als de afkoelingswet van Newton voor een lichaam dat warmte uitwisselt met zijn omgeving. Zie vergelijking

(4.6). Hierin treden op een warmte-uitwisselingscoëfficiënt en een evenwichts-temperatuur, die beide kunnen worden uitgedrukt in de meteorologische gege-vens.

Voor de toepassing onder Nederlandse omstandigheden kan gebruik worden ge-maakt van ëén van de vele empyrische formules die in de literatuur bekend.-zijn voor de afzonderlijke processen. Voor het deltagebied wordt gebruik ge-maakt van de relaties die Keyman en Wessels [7] hebben toegepast voor het berekenen van de natuurlijke watertemperatuur van de Rijn. Een inleiding tot de warmtebalans geeft Bottemanne [j], terwijl Jirka et al [ö] een overzicht geeft van alternatieve formules voor de afzonderlijke processen.

3.6.1 De warmtebalans lucht-^water

De warmtebalans aan het wateroppervlak kan worden samengevat als

q = q - q - q (6.1) q - q(t) : netto-warmteflux, positief indien naar

bene-den gericht Joule m d -2 -1 q = q (t): netto-straling Joule m d

nr nr _« _-q = _-q (t) : warmteflux ten gevolge van verdamping Joule m d

—? — l

q = q (t) : warmteflux ten gevolge van geleiding Joule m d c c

De netto-straling zou, indien de watertemperatuur gelijk is aan de lucht-temperatuur gelijk zijn aan:

q' = (1 - r) G - a T^(l - lb - kb /e~)(m + np) (6.2) nr A &

q' = q1 (t) : netto-straling, indien de watertemperatuur gelijk

is aan de luchttemperatuur Joule m d -2 -1 G » G(t) : globale straling Joule m d T. = T (t) : luchttemperatuur °K

A A

e = e (t) : dampdruk mbar

P = p(t) r = constant a = constant lb "• constant kb = constant m = constant n = constant fractie zonneschijn reflectiecoëf ficiënt

constante van S. Boltztnann coëfficiënt in Brunts' formule coëfficiënt in Brunts' formule coëfficiënt voor bewolkingsgraad coëfficiënt voor bewolkingsgraad

1 Joule m d 1 mbar * 1 1

K

In bovenstaande formule is voor de langgolvige instraling de formule van Brunt \ï\ toegepast, terwijl de emissiecoëfficiënt van water gelijk aan 1 is gesteld.

De werkelijke netto-straling wordt mede bepaald door de watertemperatuur en bedraagt

4 A

q = q' + o TA - ö T„

nr Tir A 0 (6.3)

T- = T (t) : watertemperatuur van de oppervlaktelaag. JK

De watertemperatuur van de oppervlaktelaag is echter onbekend. Als hulpmid-del wordt daarom gebruik gemaakt van de natte boltemperatuur, die rechtstreeks bekend is of afgeleid kan worden uit de luchttemperatuur en de datnpdruk.

q = q' + o

nr nr - o + a TN - o Tc (6.4)

W

T (t) : natte boltemperatuur, 'K

De eerste drie termen van het linkerlid van (6.4) vormen samen de netto-straling als de watertemperatuur gelijk zou zijn aan de natte boltemperatuur:

+ a T* - o

A (6.5)

q = q (t) : netto-straling als de watertemperatuur gelijk zou

zijn aan de natte boltemperatuur. Joule m dT i - 2 . - 1 De langgolvige uitstraling bij watertemperatuur T in de omgeving van de natte boltemperatuur T bedraagt volgens een eerste orde Taylor benadering:

S u b s t i t u t i e van ( 6 . 5 ) en ( 6 . 6 ) i n ( 6 . 4 ) g e e f t voor de n e t t o - s t r a l i n g :

q = q* + Aa (T - T ) T^ ( 6 . 7 )

nn r ^nr N O N v J

De netto-warmteflux ten gevolge van verdamping bedraagt volgens Penman [jo]:

q

e

= L

h

f (

V

C e W

"

e

a> <

6

"

8

>

—' ï w il

f(w ) - f(w (t)) : windfunctie voor de verdamping mm mbar d e = e (t) : verzadigde dampdruk bij watertemperatuur T mbar

w w o

e = e (t) : dampdruk van de lucht mbar a a - 2 - 1 L, = constant : verdampingswarntte van water Joule m ram De warmteflux ten gevolge van geleiding bedraagt:

1C= Y Lhf ( wz) ( T0- TA) (6.9) Y = constant : psychrometer constante. mbar °K

De som van de fluxen ten gevolge van verdamping en geleiding is:

%

+ q

c

= L

h

f ( w 2 ) { ( e

w " V

+ Y (T

0 " V

} (6

*

10)

Omdat de watertemperatuur T onbekend is, is e onbekend. De grootheid e wordt verwijderd via de psychrometervergelijking (6.11)

e (T^) = e (T (t)): verzadingsdampdruk bij de natte boltemperatuur T . mbar Dit geeft voor (6.10);

- eg) + y (TQ - y } (6.12) Nu kan het verschil in dampdruk benaderd worden als

e - e de (T) 6

• Ï ~ T ; ° -ar-

/ T

<5 - 6(t) : toename van de dampdruk als de luchttemperatuur

stijgt met 1° K mbar °K Dit geeft voor beide fluxen als resultaat:

qe +qc= Lh£ ( wz) ( Y+ « ) ( TQ- TH) « De warmtebalans (6.1) kan met (6,7) en (6.14) nu worden samengevat als:

q = q*r + {4a T^ + Lh tfrjiy + &)}(T^ - TQ) (6.15) 3.6.2 Warmte-uitwisselingscoëfficiënt en evenwichtstemperatuur

In de stationaire toestand (met q = 0 ) , neemt de watertemperatuur de evenwichts-temperatuur aan. De evenwichtsevenwichts-temperatuur is een denkbeeldige waterevenwichts-temperatuur, waarbij de warmte-overdracht tussen lucht en water gelijk aan nul is.

q = 0 voor Tn = T (6.16)

TT, = T_(t) : evenwichtstemperatuur. K Substitutie van (6.16) in (6.15) geeft:

q

nr

+ { 4

°

T

N

+ L

h

f(wz)(Y + 6 ) } ( T

N " V " °

(6<17)

Indien vergelijking (6.17) wordt afgetrokken van (6.15) ontstaat een uitdruk-king voor q die lineair is in T :

q = {4a T^ + Lh f(wz)(y + 6)}(Tg - TQ) (6.18) Deze relatie wordt samengevat als Newtons afkoelingswet:

q = K(TE - TQ) (6.19) waarbij de warmte-uitwisselingscoëfficiënt wordt gedefinieerd als

K = 4a T^ + Lh £(wz)(y + <S) (6.20)

— 9 _ i _« K = K(t) : warmte-uitwisselingscoëfficiënt. Joule m d K

Substitutie van (6.20) in (6.17) geeft voor de evenwichtstemperatuur

*

Voor q kan op grond van (6.2) en (6.5) worden geschreven:

q* = (1 - r) G - o T*(l - lb - kb /ë~)(m + np) + Til* A 3.

+ o T* - a T* (6.22) 2\. IN

De relaties (6,19) t/m (6.22) definiëren de warmteflux als functie van de meteorologische grootheden G, T , T , e , w en p, die gemeten kunnen

wor-xi IN ei Z

den in een nabij het waterbekken gelegen meteostation. 3.6.3 Berekening van de natte boltemperatuur

In de maandelijkse overzichten van de weersgesteldheid, uitgegeven door het KKMI Q}], komt de natte boltemperatuur niet voor, maar wel de daggemiddelden van de overige grootheden. De natte boltemperatuur kan iteratief bepaald wor-den uit de daggemiddelde luchttemperatuur en dampdruk met behulp van de psy-chrometervergelijking (6.11) en de relatie voor de verzadigde dampdruk als functie van de temperatuur.

T : K iteratief bepaalde natte boltemperatuur, bekend T : K+l iteratief bepaalde natte boltemperatuur, onbekend.

K+l

De psychrometervergelijking (6.11) voor T geeft:

a % N N - V

(6

K+1

De verzadigde dampdruk bij temperatuur T bedraagt bij een eerste orde K

Substitutie van (6.24) in (6.23) geeft na herschrijving:

e + Y

Gegeven een beginschatting voor T,, bij K • 1 kan T^ worden berekend met (6.25) voor K = 1, 2, ... zolang tot voldaan wordt aan de gewenste nauwkeu-righeid.

3.7 Noodzakelijke gegevens

Voor het toepassen van de stelsels vergelijkingen I, II en III zijn de vol-gende fysische en meteorologische gegevens noodzakelijk:

3;7.1 Beginvoorwaarde voor het temperatuurprofiel

Als beginvoorwaarde wordt een isotherm temperatuurprofiel opgegeven, gemeten in het vroege voorjaar.

L(t ) - h (7.1)

W

a T

é

a

'

2)

T, is de isotherme temperatuur gemeten op t = t , Er moet dus een temperatuur-0 S

meting beschikbaar zijn, verricht onder omstandigheden dat een isotherme ont-wikkeling optreedt.

3.7.2 Weersgegevens voor de periode van berekening

De noodzakelijke weersgegevens kunnen ontleend worden aan de maandelijkse overzichten van de weersgesteldheid, KNMI [ëj . Van het dichtstbijgelegen station, Vlïssingen worden de daggemiddelden opgegeven in de volgende een-heden:

-2 -1 G : globale straling Joule cm d T : luchttemperatuur op 2 m hoogte C

e : dampdruk op 2 m hoogte W.Q : windsnelheid op 10 m hoogte p : dagelijkse fractie zonneschijn

mbar

£ m s

1

-1

Overstreping betekent dagelijks gemiddelde waarde. Noodzakelijk is de waar-nemingsreeks van daggeraiddelden gedurende de periode van berekening, van het vroege voorjaar tot de late herfst, d.w.z. over de periode waarin de watertemperatuur van het Oostvoornse Meer zijn gemeten.

3.7.3 Fysische constanten

In de voorgaande formules treedt een aantal fysische coëfficiënten op, waar-voor gedurende de periode van berekening de volgende constante waarden wor-den aangenomen: ,-3 CD pa po c p 6 g Y a

h

f(w

z

)

r lb kb m n h z = 2 x 10 = 1 .2 = 1000 = 1 =

7.17

x 106 =

9.81

- .67 =

8.132

x

10~

U =

58.5

= .35

(.50

+ .54 w ) z = .07 - .53 =

.077

SB 2 - .8 = 41.00 = .02 1 kg m , - 3 kg m cal g"1 V1

V

2 m s mbar °K~1 c a l cm min —2 ~1 c a l cm mm mm mm Hg d 1 1 mm Hg 1 1 m m

Wu [20]

Smithsonian M.T.

Penman [lO]

Kramer [9]

Kramer [9]

Penman [lO]

Penman [10]

Een accent boven de grootheid betekent dat ze moet worden omgerekend.

Verder wordt aangenomen dat gedurende de periode van berekening een constante verhouding bestaat tussen de wind gemeten op een bepaalde hoogte (z,) en de wind gevraagd op een andere hoogte (z„). Hiertoe wordt een logaritmisch windprofiel aangenomen: ( 7-3 ) z w In — z„ z 1 z, . 1 1 In — z o z = constant : ruwheidshoogte m w = w (t) : windsnelheid op hoogte z„ m d Z2 Z2 2 w = w (t) : windsnelheid op hoogte z, m d

Aangenomen wordt de waarde voor langgras, z = .02 m,

Ook wordt een constante relatie aangenomen tussen de verzadigingsdampdruk en de temperatuur: e (T) = 10<t>(T) met K T ) = - 7.90298 (37^16 - 1) + 5.02808 10log (^—-) ... „7 11.344(1 - 3 7 r^1 6) - 1.3816 x 10 {10 i - 1} ... - 3.49149(373'16 - I) + 8.1328 x 10 {10 - !} + 10Xog (1013.246) (7.4) e (T) : verzadigingsdampdruk mbar s T : temperatuur °K Deze relatie geldt voor T a 273.16° K, Smithaonian M.T. [l5].

3.7.4 Omrekeningsfactoren en optredende coëfficiënten

De eenheden gebruikt in de stelsels I t/m III zijn m, kg, Joule, dag en °C.

De fysische constanten en weersgegevens zijn gedeeltelijk in andere eenheden

bekend. De volgende omrekeningen worden toegepast:

X°C = X + 273.16° K

1 mbar= .749 mm Hg

1 cal = 4 . 1 9 Joule

1 dag = 86400 s.

In de formules (6.20) t/m (6.22) geldt dan:

N

= 10

4

x G

- T + 273.16

_n

- T + 273.16

a

= P

= ï

In

.02

In

10

.02

x

= .3705 x

4.19 x 60 x 24 x 10

H

x 8 = 4.9065 x 10"

.6

= 4.19 x

_x

= 2.4512 x 10

6

f(W

2

) = .749 x f(W

2

) = .2622 (.50 + .54 x W

2

)

Y

<5

r

lb

kb

m

n

= .67

= e

g

( T

A +

1) - e

g

( T

A

;

= .07

= .53

= (.749)* kb - .0666

- .2

= .8

Joule m "d

°K

°K

mbar

1

ms

Joule m d K

_2 — |

Joule m mm

. -1,-1

mm mbar d

mbar K

mbar °K~

1

1

1

mbar

5

1

1

De dagelijks gemiddelde warmte-uitwisselingscoëfficiënt K en

evenwichtstem-peratuur T- worden dan:

K = .01962 x (Tn + 273.16)J + (321280 + 125300 x W,o) x (.67 + e (T + 274.16) - e (T + 273.16)) (7.5)

V

= 9300 * G - 0049064 (TA + 273.16)4 x {(.47 - .0666 tte)(.2 + .8 p) - 1} + (T + 273. a n 16) (7.6) T„ - T + 273.16 + ti n (7.7)

K

Functie e (T) is gegeven in (7.4).

De dagelijks gemiddelde natte boltemperatuur T wordt berekend door iteratie n

n

met de formule (6.25) waarbij de functie e (T) eveneens gegeven is door (7.4). 1 S

Voor K - 1 wordt gekozen TN = ï" + 273.16 - 5° K. Afbreekcraterium is - TJ| £ .05 zodat T = T^ - 273.16° C.

Voor het oplossen van de stelsels I t/m III zijn nodig de functies W.n(t), k(t) en Te(t). Hiervoor zijn nu de daggemiddelde waarden W]0» k, en T ;

| x 60 x 60 x 24 x W] 0 « 43200 x W] Q md (7.8) k =

K

K

103 x 4.19 x 103 x e 4.19 x 106

P

md-1 (7.9) T = T - 273.16 6 IJ (7.10) Voor de constante a (5.7) in de stelsels I t/m III geldt:

2 x 10 J x 1.2, - 3

10

2 x (60 x 60 x 24)2x g x 7.17 x 10

- 3.5405 x 10"15 m~'d2 °C2

Indien de term a W3 n in de teller van 1,4, II.4 en III.4 wordt samengevat

W

-3 2

(

2 x IQ ^x 1.2

) (

|

x 6 0 x 6 0 x 2 4

)

3

2 x (60 x 60 x 2 4 )

Z

x g x 7.17 x 10

zodat A = ,285445 nT'd

2

°C

2

m V "

3

/ ( | m )

3

a~

3

.

3.7.5 Optimale mengings-en entrainmentcoëfficiê'nt

Voor het verkrijgen van optimale resultaten met de gegeven methode en de

ge-geven weersgege-gevens worden aan de stelsels I t/m III twee constanten c

M

en c„

toegevoegd, die niet volgen uit de fysische basiseenheden, maar waarvan de

optimale grootte wordt vastgesteld door de berekende temperatuurprofielen te

vergelijken met de gemeten.

De wind komt in de teller van 1.4, II.4 en III.4 voor tot de derde macht. De

wind die gemeten is in een weerstation op enige afstand van het meer wordt

geëxtrapoleerd naar het meer. Dit geeft extrapolatiefouten die ten gevolge

van de derde machtsfunctie van grote invloed zijn. Om bij de gegeven W

] n

en

dragco'êfficiënt c~ de juiste mengingsdiepte te verkrijgen, wordt in de teller

van 1.4, II.4 en III.4 aan A W

1f1

de coëfficiënt c

M

toegevoegd, zodat geldt:

a W

3 Q

= c

M

x A x Ü

3 0

(7.12)

In de afleiding die Verhagen voor de formule (b) geeft wordt de onzekerheid

vermeld, die bestaat over de term g ™ -r:-. Verschillende onderzoekingen op

o

laboratoriumschaal geven tegenstrijdige resultaten.

Om de juiste entrainmentsnelheid te verkrijgen wordt daarom de coëfficiënt

c ingevoerd in de noemer van III.5, zodat geldt:

dL 2 {c x A x W

3

- k" (T - T )(T - 4) L }

£.

= u

LÜ

e J J

i_ f7

ION

4 Methode van oplossen

De probleemstelling vraagt het bepalen van de functie T(z,t) voor 0 S z s h en t < t s t p gegeven een beginvoorwaarde voor het temperatuurprofiel en de weersgegevens gedurende de periode van berekening.

Volgens de energiemethode kan de oplossing gevonden worden door de diepte L en temperatuur TQ van de gemengde oppervlaktelaag te berekenen als functie van de tijd voor tg < t < tf. De functie T(z,t) wordt samengesteld uit de berekende functies L(t) en T (t).

o

De functies L(t) en T (t) worden berekend uit de stelsels I t/m III, gegeven de beginvoorwaarden (7.1) en (7.2), de meteorologische grootheden W n(t)

(7.8), k(t) (7.9) en ^ ( t ) (7.10) voor tg * t £ tf en de constanten A (7.11), cM (7.12) en cE (7.13).

De meteorologische grootheden worden berekend uit de dagelijks gemiddelde meteorologische gegevens G(t), WjQ(t), ^ ( t ) , ëa(t), p(t), gegeven voor t £ t £ tf,

s t

4.1 De stelsels vergelijkingen voor L en T

Op het interval tg Ê t £ tf worden L(t) en T (t) beschreven door verschillen-de stelsels vergelijkingen (zie fig. 4) die alle gelverschillen-den onverschillen-der verschillenverschillen-de voorwaarden. Gegeven beginvoorwaarden (7.3) en (7.2) worden gestart met het isotherme stelsel I. Wanneer de oplossing niet meer voldoet aan voorwaarde 1.3, wordt overgegaan naar stelsel II. Voor de continuïteit wordt de laatst geaccepteerde oplossing voor L en T van stelsel I als beginvoorwaarde door-gegeven aan stelsel II. Voldoet de oplossing van II niet meer aan voorwaarde II.3, wordt overgegaan op stelsel III. Voor de continuïteit wordt de laatst geaccepteerde oplossing van. stelsel II als beginvoorwaarde doorgegeven aan stelsel III enz.. De stelsels kunnen dus onbeperkt in elkaar overgaan vol-gens het schema in figuur 2 en figuur 4, waarbij het laatst geaccepteerde resultaat voor L en T van het oude stelsel wordt doorgegeven aan het nieuwe stelsel.

Er wordt dus continuïteit tussen de stelsels verondersteld en er wordt aange-nomen dat op ieder tijdstip een van de ontwikkelingen geldt.

4.1.1 Het stelsel voor de isotherme ontwikkeling

Gegeven T als beginvoorwaarde op t = t , of gegeven T] als continuïteits-voorwaarde op het tijdstip van overgang van een ontwikkeling omlaag naar een isotherme ontwikkeling, moet de functie Tj(t) worden opgelost uit de eerste orde gewone differentiaalvergelijking (1.5). Deze vergelijking heeft niet-constante coëfficiënten k en T . De berekende T (t) wordt gesubstitueerd in (1.4), Dit geeft Lj(t). Zolang als L (t) voldoet aan de voorwaarde (1.3) wor-den aan L(t) en T (t) waarwor-den toegekend volgens (1.1) en (1.2). Wordt voor zekere t niet meer aan (1.3) voldaan, dan wordt verder gerekend met stelsel II.

4.1.2 Het stelsel voor de ontwikkeling omhoog

Gegeven T„ als continuïteitsvoorwaarde op het tijdstip van overgang naar een ontwikkeling omhoog (uit een isotherme ontwikkeling of uit een ontwikkeling omlaag) moet T n U ) w o rden opgelost uit de eerste orde gewone differentiaal-vergelijking (II.5). In de noemer van II.5 komt de functie L (t) voor, gede-finieerd in (II.4). Substitutie van (II.4) in (II.5) laat zien dat de diffe-rentiaalvergelijking (II.5) niet—lineair is in T„ en dat er niet-constante coëfficiënten Wlf), k en T in optreden. De optredende T^Ct) wordt gesubstitu-eerd in (II.4). Dit geeft L„(t). Zolang als wordt voldaan aan voorwaarde

(II.3) worden aan L(t) en T (t) waarden toegekend volgens (II.1) en (II.2), Wordt voor zekere t niet meer voldaan aan voorwaarde (II.3) dan wordt verder gerekend met stelsel III.

4.1.3 Het stelsel voor de ontwikkeling omlaag

Gegeven L en T als continuïteitsvoorwaarde op het tijdstip van overgang van een ontwikkeling omhoog naar een ontwikkeling omlaag moeten L~(t) en T (t) worden opgelost uit het stelsel gekoppelde eerste orde gewone

differentiaal-,dL3

vergelijkingen (III.4) en (III.5). In vergelijking (III,5) komt -?— voor. Substitutie van (III.4) in (III.5) laat zien dat zowel (III.4) als (III.5) niet-lineair zijn in L„ en in T„ en dat er niet-constante coëfficiënten W.~, k en T in optreden.

Zolang wordt voldaan aan voorwaarde (III.3) worden aan L(t) en T (t) waarden toegekend volgens (III. 1) en (III.2). Wordt voor zekere t niet meer voldaan aan voorwaarde (III.3), dan wordt overgegaan op een isotherme ontwikkeling of op

een ontwikkeling omhoog. Als op dat tijdstip geldt: L 5. h, wordt met stelsel I verder gerekend, wanneer geldt: L„ < h wordt met stelsel II verder gerekend. 4.1.4 Oplosbaarheid van de stelsels

Door het optreden van lineaire rechterleden en of het optreden van niet-constante coëfficiënten in de differentiaalvergelijkingen (1.5), (II.5),

(III,4) en £111.5) zullen analytische oplossingen in het algemeen niet worden gevonden.

De numerieke oplossingsmethode welke is toegepast, wordt behandeld in de ap-pendix.

Voor het toetsen van de "energiemethode" biedt het Oostvoornse Meer goede omstandigheden. Het meer wordt niet doorstroomd, de invloed van de wind is ten gevolge van het cirkelvormige oppervlak nagenoeg onafhankelijk van de windrichting en het meer is van. voldoende diepte voor het ontstaan van ther-mische gelaagdheid. Het meer heeft voorts een constant chloridegehalte en de chemische stratificatie die optreedt, beïnvloedt niet de dichtheidsverdeling. Gedurende het stratificatieseizoen wordt het temperatuurprofiel gemeten door de Deltadienst van Rijkswaterstaat. Beschikbaar zijn drie-wekelijkse metin-gen, verricht in 1972 en wekelijkse metinmetin-gen, verricht in 1974. De metingen zijn uitgevoerd in 5 punten. De metingenjverricht bij boei 3 worden represen-tatief geacht voor geheel het meer. Boei 3 ligt centraal in het meer en er treedt de grootste diepte op.

De daggemiddelde weersgegevens worden ontleend aan de "maandelijkse

overzichten van de weersgesteldheid" uitgegeven door het KNMI. Het dichtst-bijzijnde station Vlissingen wordt representatief geacht voor het Oostvoornse Meer.

5.1 De optimale mengings" en entrainmentfactoren

Omdat de metingen van 1974 het langste interval bestrijken met de grootste meetdichtheid (om de week) worden waarden van o. en c„ bepaald door bereke-ning van er voor 1974. De standaardafwijkingen van de verschillen tussen de gemeten en berekende temperatuur over de diepte en over de tijd staan ver-meld in figuur 74.1 voor verschillende combinaties van c en c . De

verschil-len tussen gemeten en berekende temperatuur zijn berekend om de meter (IM = 42) op de tijdstippen van meting t. (JM = 39).

Verondersteld is,dat de meting de toestand te 12.00 uur representeert. De optimale waarden van c en c„ treden op bij minimale waarde van de doel-functie a.

Voor 1974 wordt gevonden (figuur 74.1):

a . . = 1.2103° C voor cM = .60 en c,„ = 2.25. minimaal M E

Uit de overige cijfers van figuur 74.1 blijkt dat de gevoeligheid van 5 voor variatie in c, en c niet uitgesproken groot is. Omdat berekening van o voor één combinatie van c., en c„ een omvangrijke berekening is, is het

minimum van o slechts globaal gelocaliseerd.

Er is geen optimaliseringstechniek toegepast omdat berekening van veel waar-den van a te veel rekentijd zou vragen. Bij At = .1 dag kost één waarde van o enkele minuten rekentijd.

5.2 De resultaten voor 1974

De beginvoorwaarde voor 1974 is: L(t ) = 41.00 m en T (t ) = 4.4° C. Tijd-stip t = 0 d valt te 0.00 uur op 7-3-'74. TijdTijd-stip t = 274.d valt te 24.00 uur op 5~12-'74. De voorgeschreven weersgegevens staan in figuur 74.2 t/m

74.6. De berekende natte boltemperatuur, warmte-uitwisselingscoëfficiënt en evenwichtstemperatuur staan resp. in figuur 74.7 t/m figuur 74.9. Voor A = .285445, en de optimale waarden c,, = .60 en c = 2.25, die een minimale 5 geven is de functie T(z,t) en T (z., t.) getekend in de figuren 74.10 t/m 74.48.

Door lineaire interpolatie van functie T(z,t) wordt functie T,(z., t.) be-paald op de tijdstippen van meting.

Figuur 74.49 geeft u(t.) en figuur 74.50 geeft a(t.) Figuur 74.51 geeft y(z.) en figuur 74.52 geeft a(z.) Figuur 74.53 geeft MAX(t.) en figuur 74.54 geeft MAX(z.).

Deze doelfuncties zijn berekend volgens (A.5) met IM = 42 en JM = 39. Het eindresultaat is: y 0 m MAX « 0. 1. 7. 18 21 49

°C

°C

°C

ijking c — . 6

M

1974 en c 2.25 5.3 De resultaten voor 1972

De mengings- en entrainmentfactoren cM en c ,die een minimale o gaven voor 1974,zijn toegepast voor 1972.

De beginvoorwaarde voor 1972 is: L(t ) = 41.00 m en T (t ) = 6.8° C. Tijd-stip t = 0 valt te 0.00 uur op 18-4-'72. TijdTijd-stip t = 197.0 valt te 24.00 uur op 31-10-'72. De voorgeschreven weersgegevens staan in figuur 72.1 t/m

72.5. De berekende natte boltemperatuur, warmte-uitwisselingscoëfficiënt en evenwichtstemperatuur staan resp. in figuur 72.6 t/m 72.8. Voor A = .285445 en de optimale waarden cM - .6 en c„ = 2.25 van 1974 wordt de functie T(z,t) berekend. De berekende functie T(z,t) en de gemeten functie T (z,t) zijn getekend in figuur 72.9 t/m 72.18. Voorts zijn voor de verschillen tussen

T (z,, t.) en T, (z,, t.) de berekende doelfuncties getekend; Figuur 72.19 geeft ü(t,) en figuur 72.20 geeft a(t.)

Figuur 72.21 geeft M(Z.) en figuur 72.22 geeft a^z/) Figuur 72.23 geeft MAX(t.) en figuur 72.24 geeft

Voor de gehele berekening is het eindresultaat

M 0 MAX = 0 . 13 0 . - 4 . 44 99 64

°C

°c

o

_c.

•verificatie c = .6 en 1972 cE - 2. 25

De verschillen tussen gemeten en berekende temperatuur zijn weer bepaald om de meter (IM = 42) op de tijdstippen van meting t. (JM - 10). Als tijdstip t. wordt 12.00 uur aangenomen op de dag van meting,

J

Figuur 72.26 geeft een deel van het fasevlak van L en T voor 0 s t £ 21,5 d. Het fasevlak wordt samengesteld door projectie van de functies L(t) en T (t) op het L-T-vlak. Door figuur 72.25 op figuur 72.26 te leggen, wordt aange-toond hoe de functie T(z,t) wordt samengesteld. Vergelijk met A.3.

5.4 Interpretatie

De optimale waarden c = .6 en c„ = 2.25 die voor de berekening van 1974 een minimale o geven, worden geverifieerd voor 1972. Deze verificatie valt bij-zonder gunstig uit: a? 2 < a? 4 en ^ 7 2 < ^ 7 4 - v°or de gemiddelde afwij-kingen geldt: y_ > ü-,,1 maar beide zijn zeer klein. Onder enig voorbehoud,

o.a. dat de totale omstandigheden in het Oostvoornse Meer gelijk zijn aan die van '72 en '74, kan de conclusie worden getrokken dat de waarden c = .6 en c_ = 2.25 ook voor andere jaren een minimale standaardafwijking zullen geven. De waarde c„ - .6 betekent dat de wind W1 A gemeten te Vlissingen, met een

1/3

factor (0.6) ' - .8434 moet worden gereduceerd, voor extrapolatie naar het Oostvoornse Meer.

De waarde c_ = 2.25 betekent dat de onbekende coëfficiënten in de noemer van formule (b), waarvan het gezamenlijk resultaat voorlopig op 1 was gesteld, voor de practijk een waarde van circa 2.25 hebben.

De verschillen tussen de gemeten en berekende temperaturen kunnen het gemak-kelijkst worden geïnterpreteerd met de volgende doelfuncties voor de

verschil-len:

1. De gemiddelde afwijking over de diepte als functie van de tijd, functie y(t,), toont voor 1974 (fig. 74.49) een te hoge warmte-inhoud van het

pro-fiel in het voorseizoen en een te lage warmte-inhoud in de afkoelingsperiode. Voor 1972 (fig. 72.19) is nagenoeg voor geheel het seizoen de warmte-in-houd te laag, maar de afwijking is weer het grootst tijdens de afkoeling. 2. De gemiddelde afwijking over het jaar als functie van de diepte, functie

y(z.)> toont voor 1974, figuur (74.51) een te lage warmte-inhoud voor het bovenste deel van het profiel, een te grote warmte-inhoud op ca. 25 m en een juiste warmte-inhoud op grotere diepte. Voor 1972 (fig. 72.21) treedt nagenoeg over het gehele profiel gemiddeld een te lage warmte-inhoud op met de grootste afwijking aan de bodem.

3. De standaardafwijking over de diepte als functie van de tijd, functie a(t.)s toont voor 1974 (fig. 74.50) dat de standaardafwijking in het isothertne voor- en naseizoen zeer klein is en duidelijk groter is tijdens stratifi-catie. Hierbij is de spreiding in de opwarmingsperiode lager dan in de af-koelingsperiode, Voor 1972 (fig. 72.20) treedt een zelfde beeld van a(t.) op als voor 1974,

4. De standaardafwijking over het jaar als functie van de diepte, functie

CT(Z.), toont voor 1974 (fig. 74.52) dat de grootste spreiding optreedt tus-sen de 15 en 27 m, terwijl ze elders nagenoeg constant is. Voor 1972 (fig. 72.22) is de standaardafwijking onregelmatig over de diepte, met de groot-ste waarden aan de bodem.

5. Het maximum absolute verschil over de diepte als functie van de tijd, func-tie MAX(t.)j toont voor 1974 (fig. 74.53) dat de extreemste afwijkingen optreden midden in de zomer en bij de afkoeling. Kleinere extreme afwij-kingen komen voor bij de opwarming en in de isotherme toestand van voor-en najaar zijn de afwijkingvoor-en zeer klein. Voor 1972 (fig, 72.23) treedt globaal hetzelfde beeld op als voor 1974, maar op de laatste meetdag is het temperatuurprofiel nog net niet isotherm.

6. Het maximum absolute verschil over het jaar als functie van de diepte, functie MAX(z.), geeft zowel voor 1974 (fig. 74.54) als voor 1972 (fig. 72.24) ongeveer dezelfde informatie als de functie a(z.) voor deze jaren, maar de absolute afwijkingen geven een geproncearder beeld dan de stan-daardafwijkingen.

Deze functies en de afwijking y, de standaardafwijking o en het maximum abso-lute verschil MAX berekend over diepte en tijd, kunnen tenslotte worden ver-geleken met de verschillen tussen de maximale en minimale watertemperatuur die in de natuur optreden:

1974 T - T , - 19,0 - 4.4 = 14.6 °C = AT „max min.

y =0.1811 °C = 1.2% van AT a = 1.2103 °C « 8.3% van AT MAX = 7.49 °C = 51.2% van AT.

1972 T - T , = 18.6 - 6.8 = 11.8 °C = AT „max m m

Ü « U.4442 °C = 3.8% van AT o " 0.9940 °C •» 8.4% van AT =4.6 °C * 38.0% van AT.

Uitgedrukt als percentage van AT zijn o voor 1974 en 1972 dus gelijk en de resultaten voor beide jaren zijn even goed of slecht te noemen.

De grote afwijking in het absolute verschil geeft een overtrokken beeld, dat is toe te schrijven aan het feit dat in een sterk gestratificeerde toestand het grensvlak enkele meters te diep of te ondiep is berekend.

Scherpe temperatuursprongen, zoals berekend met deze methode,treden ook in de natuur op, na perioden van harde wind in de zomer, maar ze worden door een diffusie-mechanisme weer afgevlakt. Dit diffusieproces ontbreekt in het huidige model. Voor de zone tussen bovenste grensvlak en bodem zou de diffu-sievergelijking opgelost moeten worden, waarbij voor de diffusiecoëfficiënt een constante waarde zou optreden nl. 2 m d , Verboom \j8\- De randvoorwaarde aan de bovenkant zou echter bewegend zijn en naar een practische oplossing wordt nog gezocht.

6 Conclusie

De belangrijkste conclusie is dat met de "energiemethode11 de gehele stratifi-catie-cyclus verrassend goed kan worden berekend. Deze berekening komt tot stand zonder voorafgaande interpretatie van de gemeten temperatuurprofielen, in tegenstelling tot andere berekeningsmethoden, die interpretatie vooraf eisen van de gemeten temperatuurprofielen.

De methode is getoetst door het vergelijken van berekende en gemeten water-temperaturen van het Oostvoornse Meer.

In de "ijkingsfase" zijn voor de wekelijkse gegevens van 1974 een optimale mengings- en entrainmentcoëfficiënt vastgesteld. Bij dit optimum treedt voor de verschillen over diepte en tijd (ca. | jaar) tus3en gemeten en berekende temperatuur een standaardafwijking op van 1.21 °C.

In de "verificatiefase" is voor de drie wekelijkse gegevens van 1972 een stan-daardafwijking voor de verschillen over diepte en tijd gevonden van 0.99 °C, gebruikmakend van de optimale mengings- en entrainmentcoëfficiënt van 1974. De methode blijkt inderdaad geschikt om de totale stratificatie-cyclus te simuleren.

De belangrijkste tekortkoming in deze fase van het onderzoek is het ontbreken van een diffusieproces in de zone tussen het bovenste grensvlak en de bodem. Door entrainment veroorzaakte temperatuursprongen zouden door dit proces

ge-leidelijk weer worden afgevlakt.

Op het ogenblik vindt ijking ên verificatie van de methode plaats voor een meer met doorstroming, peilvariatie en belangrijke warmte-advectie door ri-vieren (Lough Leane, Killarney, Co Kerry, Ireland).

Verdere ontwikkeling van de methode is zeer gewenst, omdat de berekeningsmethode een belangrijke steun zou kunnen bieden bij de interpretatie van "verticale aspecten" van de waterkwaliteit van diepe bekkens, zoals gelaagdheid in de zuurstof-, voedingsstoffen-, algen-, of zware metalen-concentraties.

In de beheers- c.q. ontwerpsfeer kan een dergelijke methode dienstbaar zijn voor het vaststellen van de vormgeving, het doorstroomregime etc. van be-staande of te creëren bekkens.