MODELOWANIE TOPOLOGII INTERNETU

(1)

2004

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 9 - 10 grudnia 2004 Maciej Piechowiak*, Piotr Zwierzykowski

Politechnika Poznańska

Instytut Elektroniki i Telekomunikacji ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań {mpiech,pzwierz}@et.put.poznan.pl

MODELOWANIE TOPOLOGII INTERNETU

Streszczenie: W pracach związanych z badania- mi nowych algorytmów sieciowych istnieje potrze- ba właściwego doboru modelu rzeczywistej sieci transportowej. Szczególnym przypadkiem takiej sieci jest Internet. W artykule przedstawiono metody modelowania topologii Internetu. Zaprezen- towano także aktualny stan badań oraz przedstawiono i porównano najpopularniejsze rozwiązania.

1. WPROWADZENIE

Gwałtownemu wzrostowi topologii Internetu to- warzyszą problemy związane z routingiem, rezerwacją zasobów i administracją segmentami sieci. Projekto- wanie wydajnych algorytmów dla sieci, których za- daniem byłoby rozwiązanie istniejących problemów, opiera się na numerycznych symulacjach bazujących na abstrakcyjnym modelu rzeczywistej sieci.

Internet jest zbiorem hostów połączonych siecią składającą się z łączy (media transmisyjne) oraz ro- uterów. Obraz taki narzuca niejako graf jako natu- ralną strukturę opisu rzeczywistej sieci. Współczesny Internet jest zbiorem połączonych ze sobą domen czyli zgrupowanych węzłów sieci (routerów), które objęte są wspólną administracją i współdzielą informacje o routingu. Internet składa się z tysięcy takich domen administracyjnych, gdzie każda zawiera przynajmniej jeden system autonomiczny (AS). W celu modelowania topologii sieci Internet nie jest jednak konieczne i celowe opisywanie całej sieci. Dynamika zmian topologii związana z losowym dołączaniem i odłączaniem hostów nie pozwala na zbudowanie modelu odzwier- ciedlającego aktualną strukturę. Z punktu widzenia efektywności badanych algorytmów, użycie takiego modelu w procesie symulacji jest nieekonomiczne i ce- chuje się dużą złożonością obliczeniową. Okazuje się, że wystarczające jest badanie ruchu w pojedynczych domenach (lub systemach autonomicznych), a tak- że ruchu międzydomenowego, ponieważ takie badania odzwierciedlają większość zdarzeń zachodzących w całej sieci. W modelowaniu topologii wykorzystuje się następujące metody generowania grafów:

• metody regularne,

• losowe grafy płaskie,

• metody hierarchiczne,

• metody wykorzystujące zależności potęgowe.

* autor jest pracownikiem Instytutu Mechaniki Środowiska i Informatyki Stosowanej Akademii Bydgoskiej

Istnieją topologie, które nie wymagają specjal- nych metod losowej generacji - są to struktury regularne np. siatka, gwiazda, drzewo, pierścień czy krata [3]. Struktury regularne można zostosować np.

w uproszczonych modelach sieci (np. modelując spe- cyficzne konfiguracje rzeczywistych sieci LAN). Za- stosowanie metod tego typu w modelowaniu topologii Interentu jest bardzo ograniczone.

Najważaniejsze metody wykorzystywane do generowania topologii Internetu zaliczają się do metod hierarchicznych (często wykorzystują losowe grafy płaskie) i do metod wykorzystujących zależności po- tęgowe, lub stanowią ich połączenie.

Jednym z najpopularniejszych generatorów topologii jest symulator powstały w ramach projektu GT-ITM [2]. Wprowadza on strukturę domeno- wą transit-stub (podział sieci na domeny przejściowe i szczątkowe) próbując odzwierciedlić rzeczywistą hie- rarchiczną topologię Internetu. Dodatkowo wprowadza modyfikacje metody Waxmana przy generowaniu losowych grafów na każdym poziomie struktury hierarchicznej¹.

Inne rozwiązanie można znaleźć w projekcie Tiers [9]. Założeniem projektu Tiers jest również od- zwierciedlenie rzeczywistej topologii Internetu. Roz- wiązanie to bazuje na trzypoziomowej hierarchii od- zwierciedlającej sieci LAN, MAN i WAN.

Kolejnym projektem jest BRITE 1.0 [1]. Symu- lator posiada zaimplementowany model generacyjny z kilkoma punktami swobody z uwzględnieniem spo- sobu rozmieszczenia węzłów na płaszczyźnie. W za- leżności od doboru parametrów generacji, wyjściowe struktury zbliżone są do modelu Waxmana [4] lub modelu Barabasi-Albert [5].

Inne podejście można spotkać w projektach In- et [7] oraz PLRG [10], których założeniem jest od- tworzenie właściwości połączeniowych sieci. W pierw- szej fazie generatory wyznaczają stopień węzła grafu (liczba sąsiadów danego węzła) wykorzystując roz- kład power-law [6]. W kolejnych krokach tworzone są połączenia między węzłami. W pierwszym etapie projekt Inet sprawdza spójność utworzonej sieci poprzez wyznaczenie drzewa rozpinającego z użyciem węzłów

1Metoda Waxmana pozwala generować losowe grafy płaskie.

Uzyskane w tej metodzie rozwiązania odzwierciedlają specy- ficzne zależności sieci transportowych - tzn. punkty sieci roz- mieszczane są na płaszczyźnie, a prawdopodobieństwo krawę- dzi między dwoma punktami jest funkcją odległości między nimi [4].

(2)

o stopniu węzła większym niż dwa. Nastepnie do ist- niejącego drzewa dołączane są węzły o stopniu rów- nym jeden a pozostałe wezły, które nie osiągnęły zało- żonego stopnia, łączone są ze sobą nawzajem. PLRG przyjmuje jako argument liczbę węzłów generowanej sieci oraz wykładnik potęgi α. Wykładnik ten, będacy parametrem rozkładu power-law [6], wykorzystywany jest do przypisania a priori stopnia węzła - węzłom generowanej topologii.

Artykuł podzielono na cztery rozdziały. W rozdziale 2 przedstawiono podstawowe metody generowania topologii sieci. Rozdział 3 zawiera opis dwóch podstawowych generatorów topologii Interne- tu - GT-ITM oraz BRITE. Rozdział 4 stanowi podsumowanie.

2. MODELE SIECI

W rozdziale przedstawiono podstawowe modele wykorzystywane do generowania topologii sieci tj.: losowe grafy płaskie, struktury hierarchiczne oraz prawa potęgowe.

A. Losowe grafy płaskie

Metody tej klasy w literaturze określa się mia- nem metod random flat - grafy konstruowane są po- przez losowe dodawanie krawędzi do danego zbioru wierzchołków. Modele te nie odzwierciedlają rzeczywistej struktury sieci, jednak ze względu na swą pro- stotę są powszechnie stosowane w analizowaniu pro- blemów sieciowych.

W modelu G(n, p) [8] rozważa się niezależnie każ- dą krawędź grafu pełnego Kn i z prawdopodobień- stwem p wybiera się ją do grafu losowego G o n wierz- chołkach. Wartość oczekiwana liczby krawędzi grafu G wynosi ^pn(n−1)₂ .

W modelu G(n, k) [8] dana jest liczba wierzchoł- ków grafu oraz liczba jego krawędzi. Algorytm tworzenia grafu zakłada sekwencyjne dodawanie losowa- nych krawędzi (aż do uzyskania k krawędzi). W związ- ku z tym w każdym kroku algorytmu należy spełnić warunek jednakowego prawdopodobieństwa wyloso- wania każdej jeszcze nie wybranej krawędzi.

Inne metody dodają krawędzie z prawdopodo- bieństwem będącym pewną funkcją odległości między węzłami. Metoda Waxmana [4] definiuje prawdopodo- bieństwo krawędzi między węzłem u i v jako:

P (u, v) = αe^−d^βL (1) gdzie 0 < α, β ≤ 1, d jest odległością euklidesową między węzłem u i v, a L =√

2 jest maksymalną od- ległością między dwoma dowolnymi węzłami. Zwięk- szenie parametru α powoduje wzrost liczby krawędzi w grafie, podczas gdy zwiększenie parametru β zwięk- sza stosunek krawędzi długich do krótkich.

W literaturze zaproponowano szereg modyfikacji metody Waxmana metody [2]. Jedną z nich jest meto- da Exponential , która uzależnia prawdopodobieństwo od odległości między węzłami (prawdopodobieństwo krawędzi zbliża się do 0, gdy odległość osiąga L):

P (u, v) = αe^L−d^−d (2) Kolejną modyfikacją metody Waxmana jest metoda Locality, która z kolei dzieli zbiór krawędzi na dwie klasy i wyznacza prawdopodobieństwo na podstawie przynależności do danej klasy długości (r jest w tym przypadku granicą):

P (u, v) =

½ α jeżeli d < r

β jeżeli d ≥ r (3) Inne podejście do problemu zaproponowali Bara- basi i Albert [5]. Proponowany model sugeruje dwie przyczyny występowania zależności potęgowych (po- wer laws) w rozkładzie liczby krawędzi wychodzących z danego węzła: stopniowy wzrost sieci oraz preferen- cyjne przyłaczanie. Wzrost sieci wynika z przyłącza- nia nowych węzłów do istniejącej struktury co powoduje stopniowe zwiększanie rozmiaru sieci, przy czym przyłączanie to odbywa się w sposób preferencyjny - istnieje większe prawdopodobieństwo, że nowy węzeł połączy się z istniejącymi węzłami o dużym stopniu węzła (węzły popularne). Jeżeli węzeł u przyłącza się do sieci, prawdopodobieństwo, że połączy się z wę- złem v (należącym już do niej) określa zależność:

P (u, v) = P dv

k∈Vdk (4)

gdzie dvjest stopniem węzła docelowego, V jest zbiorem węzłów przyłączonych do sieci, a P

k∈Vdk jest sumą wszystkich krawędzi wychodzących węzłów już przyłączonych do sieci.

B. Struktury hierarchiczne

Sieć Internet rozpatrywaną na poziomie domen oraz systemów autonomicznych (AS) można przedsta- wić w postaci struktury hierarchicznej [1, 7]. Zapre- zentowane w rozdziale 2.A. metody generowania losowych grafów płaskich znajdują zastosowanie w procesie tworzenia struktur na poszczególnych poziomach hierarchii.

Rys. 1. Generowanie struktury N-poziomowej

(3)

B.1 Metoda N-poziomowa (N-level)

N-poziomowa metoda generowania opiera się na rozłożeniu grafu wygenerowanego na danym poziomie na siatce kwadratowej. Przy czym graf rozłożony jest w taki sposób, aby każdy węzeł był przypisany do jed- nego kwadratu (Rys. 1). Następnie każdy węzeł w grafie jest zastępowany grafem spójnym. Tak więc, każdy węzeł w grafie jest skojarzony z jednym z S² kwa- dratów. Graf najwyższego poziomu jest konstruowa- ny z użyciem parametru skalującego S1, a każdy kwadrat zawierający węzeł jest dzielony w ten sam sposób ze współczynnikiem skalującym następnego poziomu (S2. . . Sn).

B.2 Metoda domen przejściowych i szczątkowych (transit-stub)

Domena jest grupą węzłów pod wspólną admini- stracją. W topologii Internetu można wyróżnić dome- ny przejściowe (transit) oraz szczątkowe (stub). W do- menie szczątkowej, jeśli dwa punkty należą do domeny, to ścieżka je łącząca pozostaje całkowicie we- wnątrz domeny. Restrykcji takich nie posiada domena przejściowa.

domeny przejœciowe

domeny szcz¹tkowe po³¹czenie stub-stub

Rys. 2. Struktura domenowa Internetu

W pierwszym kroku generowany jest losowy graf płaski z wykorzystaniem jednej z metod omówionych w rozdziale 2.A. Każdy węzeł - w tak wygenerowa- nym grafie - reprezentuje całą domenę przejściową (transit). Następnie każdy z węzłów jest zastępowany spójnym grafem reprezentującym szkieletową topolo- gię tej domeny przejściowej. W kolejnym kroku dla każdego węzła w obrębie każdej z tych domen przej- ściowych generowane są grafy, które reprezentują do- meny szczątkowe (stub). Każda z tych domen połączo- na jest krawędzią z odpowiadającą jej domeną transit.

B.3 Metoda systemów autonomicznych (top-down) W przeciwieństwie do metody transit-stub, top-down [1] bazuje na opisie sieci za pomocą sys- temów autonomicznych (Rys. 3). Proces generacyjny składa się z trzech etapów:

• wygenerowanie losowego grafu płaskiego reprezen- tującego sieć systemów autonomicznych,

• wygenerowanie losowego grafu dla każdego węzła sieci AS z użyciem innego modelu generacyjnego (od- wzorowanie połączeń między routerami w systemie autonomicznym),

• połączenie utworzonych systemów według sieci wy- generowanej w pierwszym etapie.

topologia AS

topologie poziomu routerów

³¹cza miêdzy systemami

wêze³ AS

Rys. 3. Struktura hierarchiczna top-down

C. Prawa potęgowe

Badania przedstawione w pracy [6] wykazują, że topologia współczesnego Internetu wykazuje zależno- ści (prawa) potęgowe postaci y ∼ x^α.

Prawa potęgowe, których reprezentantem jest rozkład dalekosiężny (heavy-tailed distribution) wy- stępują w wielu zjawiskach naturalnych (zjawiska fi- czyczne, społeczne itp.)². W Internecie rozkład dale- kosiężny obserwuje się w kontekście ruchu generowanego w sieci oraz właściwości topologii (sposób rozmieszczenia węzłów sieci).

Rozkład dalekosiężny można opisać zależnością:

P [X > x] ∼ x^α, gdy x → ∞, 0 < α < 2 (5) Wykładnik potęgi α może być użyty do charaktery- zowania badanego grafu. W tym celu zaproponowa- no nowe metryki grafowe. Częstotliwość f_d stopnia węzła d jest liczbą węzłów, które posiadają stopień węzła (outdegree) o wartości d. Jeżeli węzły w grafie zostaną uporządkowane zgodnie z malejącą wartością stopnia węzła, to wtedy rząd (rank), oznaczany jako rv, jest indeksem węzła v w tak ustalonej sekwencji.

Dla powyższych metryk sporządza się charakterystyki badanych topologii wykreślając pary (rv, dv) w skali logarytmicznej.

3. TOPOLOGIA INTERNETU

W rozdziale zaprezentowane zostaną dwa podstawowe generatory topologii Internetu GT-ITM oraz BRITE.

A. GT-ITM

Głównym celem projektu GT-ITM jest wsparcie badań nad dużymi intersieciami z wykorzystaniem skalowalnych, realistycznych modeli [2]. Projekt ma

2Jeśli przyjrzymy się rozmieszczeniu geograficznemu ludzi na całym świecie, okazuje się, że większość powierzchni Ziemi jest całkowicie pusta (bądź bardzo rzadko zaludniona), podczas gdy istnieje niewielka liczba miejsc gęsto zaludnionych. Podobną zależność można zauważyć w odniesieniu do węzłów w sieci Internet.

(4)

także na celu zastosowanie powyższych modeli w roz- wijaniu nowych algorytmów routingu multicast. Za- proponowane podejście modelowania topologii stanowi połączenie technik teoretycznych i eksperymental- nych.

Pierwszym etapem generowania topologii jest sformułowanie definicji wierności modelu. W nastep- nym kroku definicja ta jest implementowana w postaci szeregu komponentów zawierających:

• geograficzne modele sieci - struktury, które wykra- czają poza proste topologie, implementujące dodat- kowe reguły i warunki,

• techniki kompozycyjne dla dużych modeli intersieci agregujących mniejsze komponenty sieciowe,

• modele warstwy sesji typowych aplikacji korzysta- jących z danej topologii (np. aplikacje multicast),

• modele ruchu generowanego w sesji.

W modelowaniu topologii Internetu wykorzystane zostały nastąpujące metody:

• losowe grafy płaskie (dodają losowo krawędzie do istniejącego zbioru węzłów bez zachowania struktury między węzłami) - bazują głównie na metodzie Waxmana i jej modyfikacjach: Exponential i Locali- ty (patrz Rozdział 2); zaimplementowano też metodę G(n, p), która dodaje krawędzie między dowolnymi węzłami z prawdopodobieństwem p (metoda ta nazy- wana jest także Pure Random),

• struktury regularne - grafy o określonej strukturze (siatka, krata, pierścień, łańcuch itp.),

• struktury hierarchiczne - łączą modele płaskie w struktury wielopoziomowe w celu zapewnienia większej kontroli nad generowaną topologią oraz lep- szego odwzorowania rzeczywistej sieci (metoda N - poziomowa, metoda domen przejściowych i szczątko- wych - patrz Rozdział 2).

Autorzy projektu wprowadzają szereg metryk pozwalających porównać i na tej podstawie ocenić generowane grafy:

• średni stopień węzła (average node degree):

dav= 2m

n (6)

gdzie n - liczba węzłów, m - liczba krawędzi,

• średnica (diameter) - jest długością najdłuższej spo- śród najkrótszych ścieżek między dwoma dowolnymi węzłami w grafie; mała średnica odpowiada krótszym ścieżkom w grafie,

• hop-diameter - jest długością najdłuższej spośród najkrótszych ścieżek między dwoma dowolnymi wę- złami w grafie, przy czym najkrótsze ścieżki są wyzna- czane i oceniane na podstawie liczby skoków (hops) czyli krawędzi wchodzących w skład tej ścieżki (koszt jednostkowy),

• length-diameter - jest długością najdłuższej spośród najkrótszych ścieżek między dwoma dowolnymi wę- złami w grafie, przy czym najkrótsze ścieżki wyznaczane są z użyciem długości euklidesowej jako metryki,

• hop-length-diameter - jest metryką złożoną; naj- krótsze ścieżki wyznaczane są na podstawie liczby skoków, a średnica to największa wartość długości euklidesowej wśród tak wyznaczonych ścieżek,

• policy-hop-diameter - metryka używana w sieciach hierarchicznych, gdzie krawędziom przypisane są wagi (routing weights) w zależności od poziomu w struktu- rze; najkrótsze ścieżki wyznaczane są z użyciem tych wag, a średnica jest najdłuższą ze ścieżek z użyciem liczby skoków jako kryterium,

• liczba bikomponentów (bicomponents) - bikompo- nent jest maksymalnym zbiorem takich krawędzi, że każde dwie krawędzie w zbiorze są we wspólnym cy- klu prostym; liczba bikomponentów jest miarą stopnia spójności i nadmiarowości krawędzi w grafie (mniej- sza liczba bikomponentów odpowiada wiekszej liczbie ścieżek między węzłami w grafie).

B. BRITE

Drugim spośród omawianych generatorów jest generator BRITE (Boston university Representative Internet Topology gEnerator). Celem projektu BRI- TE jest dostarczenie badaczom szereg modeli topologii sieciowych i związanych z nimi metod generacyj- nych. Przy czym dotyczy to zarówno metod popular- nych, implementowanych we wcześniejszych projektach, jak i nowych, zaproponowanych przez autorów projektu. Niewątpliwą zaletą BRITE jest elastyczność i łatwość adaptacji nowych modeli (np. poprzez im- portowanie ich z zewnętrznych zbiorów).

Proces generacyjny dowolnej topologii przebiega w czterech etapach:

• rozmieszczenie węzłów sieci na płaszczyźnie,

• połączenie węzłów sieci w celu stworzenia spójnej struktury (z wykorzystaniem metod generacji opisa- nych w rozdziale 2),

• nałożenie atrybutów na połączenia między węzła- mi (koszt, opóźnienie itp.) oraz na węzły (np. identy- fikatory systemów autonomicznych w metodzie top- down),

• eksport struktury do określonego formatu.

Utworzenie nowego węzła sprowadza się do wy- boru punktu na płaszczyźnie, a następnie powołaniu i inicjalizacji odpowiedniej struktury reprezentującej ten węzeł w grafie. Klasa RouterModel posiada zaim- plementowaną metodę PlaceNodes, która rozmiesz- cza węzły na płaszczyźnie w sposób losowy oraz zgod- nie z rozkładem dalekosiężnym (heavy tail).

W drugim przypadku BRITE dzieli płaszczyznę na kwadraty (rozmiar płaszczyzny i kwadratów to parametry generacji). Każdemu kwadratowi przypisywana jest liczba węzłów wyznaczona z rozkładu da- lekosiężnego i tak wyzaczone węzły zostają rozmiesz- czone w odpowiadającym kwadracie w sposób losowy.

Ostatnim etapem generacji jest nałożenie me- tryk (np. szerokość pasma) na istniejące krawędzie (łącza) w sieci. Przypisanie parametru odbywa się we- dług rozkładu jednostajnego, wykładniczego lub da- lekosiężnego. Istnieje też możliwość przypisania stałej wartości wszystkim łączom.

BRITE dostarcza także modeli sieciowych na po- ziomie systemów autonomicznych (flat AS-level). Kla- sy ASWaxman i ASBarabasiAlbert³rozmieszczają wę-

3Rys. 4 zawiera zestawienie modeli klas oraz ich klas pochodnych.

(5)

zły na płaszczyźnie. Węzły te mogą wskazywać na skojarzone z nimi topologie.

modele p³askie (routery)

Router Waxman

AS Waxman

BRITE

GT-ITM

NLANR

Inet Router

Barabasi

AS Barabasi

modele zewnêtrzne

(pliki) modele

p³askie (AS)

model hierarch.

(top-down)

model hierarch.

(bottom-up) m o d e l e

Rys. 4. Modele klas i klas pochodnych projektu BRITE

Struktury hierarchiczne generowane przez BRI- TE są strukturami dwupoziomowymi. Założenie to pozwala modelować dwupoziomową hierarchię routingu utrzymującą się od czasu, gdy sieć ARPANET rozwinęła się w sieć-sieci łączącą wiele systemów au- tonomicznych. Generowanie sieci hierarchicznej opie- ra się na modelu top-down (patrz Rozdział 2). Plik konfiguracyjny zawiera parametry kontrolujące roz- kład szerokości pasma poszczególnych łączy, zarówno w domenach (lub AS), jak i między systemami auto- nomicznymi.

Topology: ( 5 Nodes, 8 Edges )

Model ( 1 ): 5 1000 100 1 1 2 0.15 0.2 1 10 1024 Nodes: (5)

0 216.00 663.00 3 3 -1 RT_NONE 1 347.00 333.00 3 3 -1 RT_NONE 2 384.00 926.00 3 3 -1 RT_NONE 3 27.00 309.00 4 4 -1 RT_NONE 4 212.00 187.00 3 3 -1 RT_NONE Edges: (8):

0 2 0 312.08 1.04 10.00 -1 -1 E_RT_NONE 1 2 1 594.15 1.98 10.00 -1 -1 E_RT_NONE 2 3 1 320.90 1.07 10.00 -1 -1 E_RT_NONE 3 3 2 712.84 2.38 10.00 -1 -1 E_RT_NONE 4 4 0 476.02 1.59 10.00 -1 -1 E_RT_NONE 5 4 3 221.61 0.74 10.00 -1 -1 E_RT_NONE 6 0 3 401.29 1.34 10.00 -1 -1 E_RT_NONE 7 1 4 198.85 0.66 10.00 -1 -1 E_RT_NONE

Rys. 5. Listing wyeksportowanej struktury (model Waxmana)

Druga metoda (bottom-up) generuje strukturę hierarchiczną zaczynając od poziomu routerów znaj- dujących się w systemach autonomicznych. W następ- nym kroku każdemu węzłowi AS przypisywana jest określona liczba routerów. Odbywa się to na dwa spo- soby:

• wybieranie losowe - w każdym kroku wybierany jest

losowo jeden węzeł (router) i przypisywany do i-tego AS, aż do osiągnięcia założonej wielkości; powyższe czynności należy powtórzyć dla pozostałych AS,

• losowy spacer po grafie - w każdym kroku zostaje wybrany losowo sąsiad aktualnego węzła; każdy od- wiedzony węzeł zostaje przypisany do i-tego AS, aż do osiągnięcia założonej wielkości; powyższe czynno- ści należy powtórzyć dla pozostałych AS,

Główną funkcjonalnością projektu BRITE jest możliwość importowania i eksportowania modeli sieci z (i do) zewnętrzych plików (odpowiada za to klasa ImportedFileModel).

Na Rys. 5 przedstawiono listing wyeksportowanej struktury: model Waxmana (graf płaski) dla sieci o 5 węzłach i 8 krawędziach. Druga linia pliku zawiera informacje o generowanym modelu (1 - Waxman) oraz wartości parametrów z pliku konfiguracyjnego.

Wartość -1 w polu ASid oznacza, że węzeł nie ma odpowiadającego mu systemu autonomicznego. Z tego samego względu pola ASfrom i ASto również zawierają wartość -1.

C. Porównanie generatorów

Na Rys. 6 przedstawiono charakterystyki trzech reprezentatywnych topologii. Topologie uzyskano przy użyciu aplikacji BRITE. Przedstawione rysun- ki pozwalają dokonać oceny generatorów pod kątem występowania praw potęgowych w rozkładzie węzłów i krawędzi.

Modelowi GT-ITM brak pewnych cech, które po- zwoliłyby uzyskać równowagę między właściwościami struktury hierarchicznej, a właściwościami związany- mi z występowaniem tychże praw potęgowych (specyfika tego modelu nie uwzględnia zresztą takich za- lezności).

Model Waxmana zaimplementowany w BRITE ma na celu generowanie sieci w sposób losowy, nie odzwierciedla zatem rozkładu dalekosiężnego stop- ni węzła (outdegrees) w badanej sieci. Z kolei model Barabasi-Albert (również zaimplementowany w BRITE) doskonale odtwarza właściwości topologii Internetu pod kątem występowania praw potęgowych w rozkładzie węzłów i krawędzi.

Przedstawiony przykład jest jednym z wielu możliwych porównań. Jednakże w wyniku przeprowa- dzonych testów trudno wskazać jednoznacznie, który spośród omawianych generatorów topologii jest naj- lepszy. Każdy z proponowanych generatorów imple- mentuje różne modele generacyjne. Wybór modelu zależy od wielu czynników, takich jak: specyfika roz- wiązywanego problemu, rozmiar badanej struktury, a także właściwości oczekiwanych charakterystyk - struktura (np. sieć hierarchiczna), bądź spójność (roz- kład krawędzi wychodzących z poszczególnych wę- złów).

(6)

(a)

(b)

(c)

Rys. 6. Wykresy stopnia węzła w funkcji rzędu (rank) dla modelu Barabasi-Albert - BRITE (a),

modelu Waxmana - BRITE (b) oraz modelu transit-stub - GT-ITM (c)

4. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono rozwiązania pozwa- lające na modelowanie topologii współczesnych sieci transportowych, ze szczególnym naciskiem położo- nym na sieć Internet. Opisano również szereg metryk służących analizie i porównaniu badanych struktur.

Przedstawiono różne klasy metod generowania takich struktur (losowe grafy płaskie, sieci regularne, sieci hierarchiczne i metody wykorzystujące prawa potęgo- we). O ile metody generowania losowych grafów pła- skich można odnieść do wielu typów sieci transportowych, o tyle pewne rozwiązania są reprezentatywne tylko dla sieci Internet (struktury hierarchiczne i modele wykorzystujące zależności potęgowe). W końcu zaprezentowano najpopularniejsze rozwiązania (projekty badawcze) mające na celu wsparcie badań nad nowymi algorytmami sieciowymi - projekty GT-ITM i BRITE. Prezentowane w artykule generatowy mo- gą zostać wykorzystane m.in. do rozwijania nowych algorytmów routingu.

SPIS LITERATURY

[1] A. Medina, A. Lakhina, I. Matta, J. Byers: BRITE: An Approach to Universal Topology Generation, IEEE/ACM MASCOTS, pp. 346-356, Aug 2001.

[2] E. W. Zegura, K. L. Calvert, M. J. Donahoo: A Quan- titative Comparison of Graph-based Models for Internet Topology, IEEE/ACM Transactions on Networking, Dec 1997.

[3] E. W. Zegura, K. L. Calvert, S. Bhattacharjee: How to Model an Internetwork, IEEE INFOCOM ’96, San Fran- cisco, CA, 1996.

[4] B. Waxmann: Routing of multipoint connections, IEEE Journal on Selected Area in Communications, vol. 6, pp.

1617-1622, Dec 1988.

[5] A. L. Barabasi, R. Albert: Emergence of Scaling in Ran- dom Networks, Science, pp. 509-512, 1999.

[6] M. Faloutsos, P. Faloutsos, C. Faloutsos: On Power-Law Relationships of the Internet Topology, ACM Computer Communication Review, Cambridge, MA, 1999.

[7] C. Jin, Q. Chen, S. Jamin: Inet: Internet Topology Gene- rator, Technical Report Research Report CSE-TR-433-00, University of Michigan at Ann Arbor, 2000.

[8] K. Balińska: Projektowanie algorytmów i struktur danych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2003.

[9] M. Doar: A Better Model for Generating Test Networks, IEEE GLOBECOM, Nov 1996.

[10] W. Aiello, F. Chung, L. Lu: A Random Graph Model for Massive Graphs, 32nd Annual Symposium in Theory of Computing, 2000.