I zasada dynamiki, układ inercjalny

Prawa ruchu: dynamika

Fizyka I (Mechanika)

Wykład III:

•

Bezwładno´s´c

•

I zasada dynamiki, układ inercjalny

•

II zasada dynamiki

•

III zasada dynamiki

Bezwładno´s´c

Bezwładno´s´c (inercja)

PWN 1998:

wła´sciwo´s´c układu fizycznego (ciała) charakteryzuj ˛ aca jego podatno´s´c na zmiany stanu (ruchu)

⇒ d ˛ a˙zenie układu do zachowania w stanu, w którym si ˛e znajduje d ˛ a˙zenie ciał do pozostawania w spoczynku lub w ruchu

⇒ “opór” stawiany przez układ, gdy próbujemy zmieni´c jego stan

np. gdy próbujemy wprawi´c w ruch lub zatrzyma´c ciało

I zasada dynamiki

Isaac Newton

Zasada bezwładno´sci

Zawarta w dziele:

“Zasady matematyczne filozofii naturalnej” (1687)

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu

prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone

nie zmuszaj ˛ a ciała do zmiany tego stanu.”

I zasada dynamiki

Zasada bezwładno´sci w uj ˛eciu Newtona ma dwie “wady”:

•

przyjmuje, ˙ze mo˙zna zdefiniowa´c bezwzgl ˛edny spoczynek i ruch

•

zakłada, ˙ze na ciało mog ˛ a nie działa´c ˙zadne siły

Układ odniesienia

Newton zakładał istnienie “przestrze ´n absolutna”, która “pozostaje zawsza taka sama i nieruchoma”

⇒ “absolutnego” układu odniesienia Dzi´s wiemy, ˙ze taki układ nie istnieje.

Wzgl ˛edem jakiego układu spełniona jest I zasada dynamiki ?

Je´sli dwa układy poruszaj ˛ a si ˛e wzgl ˛edem siebie z przyspieszeniem,

I zasada dynamiki nie mo˙ze by´c spełniona w obu z nich...

I zasada dynamiki

Ciało izolowane

Aby na ciało nie działały ˙zadne siły musi by´c odizolowane od wpływu innych ciał.

Bardzo trudno o “doskonał ˛ a” izolacj ˛e.

Wszystkie znane nam siły malej ˛ a z odległo´sci ˛ a

⇒ ciało uznamy za izolowane je´sli b ˛edzie dostatecznie daleko od innych ciał.

Aby zweryfikowa´c zasad ˛e bezwładno´sci musimy mie´c

ciała izolowane:

ciało obserwowane

i układ odniesienia.

Ale ka˙zda obserwacja jest zwi ˛ azana z jakim´s

Nigdy nie spełnimy idealnych warunków...

I zasada dynamiki

Układ inercjalny

Układ w którym obowi ˛ azuje I zasada dynamiki nazywamy

Je´sli istnieje jeden układ inercjalny to istnieje niesko ´nczenie wiele układów inercjalnych.

ka˙zdy inny układ poruszaj ˛ acy si ˛e wzgl ˛edem niego z pr ˛edko´sci ˛ a

Zasada bezwładno´sci jest równowa˙zna z postulatem:

Istnieje układ inercjalny

I zasada dynamiki

Układ inercjalny

Jaki układ mo˙zemy uzna´c za inercjalny ? Jest to idealizacja!

Wszystko zale˙zy od zagadnienia i oczekiwanej dokładno´sci pomiaru. Układ laboratoryjny zwi ˛ azany z powierzchnia Ziemi nie jest ´sci´sle inercjalny:

Rotacja Ziemi: a

≈ 0.03

Obieg wokół sło ´nca: a

≈ 0.006

s²

Rotacja Galaktyki:

s²

Na ogół jednak układ laboratoryjny

(zwiazany z Ziemi ˛ a) w zupełno´sci wystarcza

II zasada dynamiki

II prawo Newtona

“Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyło˙zonej siły poruszaj ˛ acej i odbywa si ˛e w kierunku prostej, wzdłu˙z której siła jest przyło˙zona”

Zmiana ruchu ciała (w układzie inercjalnym) jest zawsze wynikiem oddziaływania otoczenia (innych ciał).

Oddziaływanie to opisujemy ilo´sciowo wprowadzaj ˛ ac poj ˛ecie

Siła jest wielko´sci ˛ a wektorow ˛ a (kierunek zmiany ruchu)

Siły mo˙zemy porównywa´c ilo´sciowo niezale˙znie od ruchu ciał

naogół wykorzystujemy przy tym I zasad ˛e dynamiki (równowaga sił)

np. porównywanie ci ˛e˙zaru poprzez wa˙zenie ciał, pomiar siły dynamometrem...

II zasada dynamiki

Ruch pod wpływem stałej siły

Niech na dane ciało

mog ˛ a działa´c

siły F ⇒ ~ nadaj ˛ a

przyspieszenia ~a

L

F a

Przyjmijmy, ˙ze ~ r(0) = ~v(0) = 0 ⇒ ruch

jednostajnie przyspieszony.

Przyspieszenie mo˙zemy wyznaczy´c ró˙znymi metodami: z pomiaru

ac czas

przebycia drogi

lub uzyskan ˛ a na ko ´ncu tego odcinka pr ˛edko´s´c

.

Do´swiadczenie potwierdza proporcjonalno´s´c mi ˛edzy sił ˛ a a przyspieszeniem F ∼ a = 2L

t

= v

2L

II zasada dynamiki

Masa bezwładna

“akcelerator”

L

F a

Ustalona siła F ~ działaj ˛ ac na

ciała

nadaje im

przyspieszenia ~a

Mo˙zemy wprowadzi´c współczynniki

które okre´slaj ˛ a stosunki przyspiesze ´n ró˙znych ciał

a

: a

: a

: . . . = 1

m

: 1

m

: 1

m

: . . . Lub te˙z:

m

a

= m

a

= m

a

= . . .

Stosunki przyspiesze ´n zale˙z ˛ a od badanych ciał ale nie zale˙z ˛ a od przyło˙zonej siły Mo˙zemy wybra´c jakie´s ciało i uzna´c je za “jednostkowe”

m - masa bezwładna

II zasada dynamiki

Ruch harmoniczny

Pokaz

Siła z jak ˛ a działa spr ˛e˙zyna zale˙zy wył ˛ acznie od poło˙zenia wózka

F _x = −k · x

Pomiar przyspieszenia:

Poło˙zeniem równowagi jest x = 0 Przyjmijmy, ˙ze x(0) = R i v

(0) = 0 run harmoniczny:

x(t) = R · cos(ωt)

a(t) = −ω

· x(t)

⇒ a ∼ T

Druga zasada dynamiki:

a ∼ 1

m ⇒ T

∼ m

II zasada dynamiki

Siła

Jednostk ˛ a masy bezwładnej jest kilogram, 1 kg Druga zasada dynamiki Newtona:

F = m ~a ~

klasyczna definicja siły Jednostka siły: 1 niuton 1 N = 1 kg · 1

s²

Druga zasada dynamiki jest:

•

wnioskiem z do´swiadcze ´n

•

definicj ˛ a nowych wielko´sci (masy i siły)

II zasada dynamiki

Zasada niezale˙zno´sci działania sił

Je´sli na ciało o masie

działaj ˛ a dwie niezale˙zne siły F

i F

: F ~

= m~a

F ~

= m~a







⇒ ~ F

+ ~ F

= m(~a

+ ~a

) F = ~ m ~a

⇒ przyspieszenie wywołane przez sił ˛e wypadkow ˛ a jest równe sumie przyspiesze ´n

Zasada addytywno´sci masy

Dwie siły działaj ˛ ac na dwie masy wywołuj ˛ a równe przyspieszenie:

F ~

= m

~a F ~

= m

~a







⇒ ~ F

+ ~ F

= (m

+ m

)~a F = ~ m ~a

⇒ siła wypadkowa w działani na całkowit ˛ a mas ˛e daje takie samo przyspieszenie

II zasada dynamiki

Uogólnienie

Druga zasada dynamiki Newtona w postaci “klasycznej”

F = m ~a ~

wa˙zna jest tylko dla ciał których masa jest stała m = const Mo˙zemy jednak uogólni´c:

F = m ~ d~v dt

m=const

= d(m~v)

dt = d~ p dt gdzie ~ p = m~v - p ˛ed cz ˛ astki

F = ~ ^d~ _dt ^p

Jest słuszne tak˙ze dla ciał o zmieniaj ˛ acej si ˛e masie (np. rakieta)

oraz w

(cho´c zmieni si ˛e definicja p ˛edu).

Wynikiem działania siły jest zmiana p ˛edu ciała: zmiana p ˛edu wymaga czasu !!!

∆~ p =

Z

F dt ~

III zasada dynamiki

Zasada akcji i reakcji

F

F = −F

“Ka˙zdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie.

Wzajemne oddziaływania dwóch ciał s ˛ a zawsze równe sobie

i skierowane przeciwnie.”

F ~ ₁₂ = − ~ F ₂₁

III zasada dynamiki

Zasada akcji i reakcji

Pokaz

−F F

A B

a

a

Siły akcji i reakcji s ˛ a równe co do warto´sci.

Przyspieszenia s ˛ a odwrotnie proporcjonalne do mas:

F ~

= − ~ F

m

~a

= −m

~a

a

: a

= 1

: 1

III zasada dynamiki

Zasada akcji i reakcji

Siły akcji i reakcji s ˛ a przejawem oddziaływanie mi ˛edzy dwoma ciałami

⇒ pary sił działaj ˛ ace na ró˙zne ciała (!).

Pary sił akcji-reakcji:

nacisk kuli na stół - siła reakcji stołu

nacisk stołu na podłog ˛e - siła reakcji podłogi ale tak˙ze

ci ˛e˙zar kuli - siła przyci ˛ agania Ziemi przez kul ˛e

ci ˛e˙zar stołu - siła przyci ˛ agania Ziemi przez stół

III zasada dynamiki

Zasada akcji i reakcji

Poruszamy si ˛e dzi ˛eki siłom reakcji...

Id ˛ ac, jad ˛ ac na rowerze czy wiosłuj ˛ ac działamy sił ˛ a na ziemi ˛e (wod ˛e)

staraj ˛ ac si ˛e j ˛ a odepchn ˛ a´c. To siła reakcji powoduje nasz ruch!

III zasada dynamiki

Siła wyporu

Ciało zanurzone w cieczy traci na wadze...

⇒ Ciecz działa na ciało sił ˛ a wyporu

Ale ciecz w której ciało zanurzamy

“przybiera” na wadze...

⇒ ciało działa na ciecz...

Ł ˛ aczny ci ˛e˙zar cieczy i ciała musi pozosta´c niezmieniony...

Zasady dynamiki

1 2

Q N

S = −N S = −R O

q

Statyka

Ciało spoczywa, je´sli działaj ˛ ace na niego siły równowa˙z ˛ a si ˛e.

Równowaga ci ˛e˙zarka:

Q + ~ ~ N = 0 ⇒ Q = N Równowaga sznurka:

S ~

+ ~ S

+ ~ q = 0 ⇒ S

+ q = S

III zasada dynamiki:

S ~

= − ~ N S ~

= − ~ R

Je´sli sznurek jest niewa˙zki (~

to otrzymujemy ostatecznie,

˙ze obci ˛ a˙zenie sufitu jest równe ci ˛e˙zarowi ciała:

O = Q

Zasady dynamiki

Statyka

N

R

Q

α α

Ciało spoczywa, je´sli działaj ˛ ace na niego siły równowa˙z ˛ a si ˛e.

W przypadku ciała na równi, siła ci ˛e˙zko´sci równowa˙zona jest przez sił ˛e reakcji równi i napi ˛ecie sznurka:

R = Q · cos α N = Q · sin α

Pomijamy siły tarcia,

sznurek równoległy do równi.

Zasady dynamiki

Statyka

β α

Q N N

1 2

Ciało spoczywa, je´sli działaj ˛ ace na niego siły równowa˙z ˛ a si ˛e.

Równowaga w pionie:

Q = N

sin α + N

sin β Równowaga w poziomie:

N

cos α = N

cos β Otrzymujemy:

N

= Q cos β sin(α + β) Dla β = α:

N

= N

= Q

2 sin(α)

Zasady dynamiki

Ruch

N

R

Q

a a

α α

Je´sli ciało porusza si ˛e ruchem przyspieszonym to oznacza,

˙ze działaj ˛ ace na niego siły NIE równowa˙z ˛ a si ˛e!

W przypadku ciała na równi:

R = Q · cos α N 6= Q · sin α

N + ~ ~ Q

= m~a

Równowaga sił zachowana tylko na

kierunku prostopadłym do równi!

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. Bezwładno´s´c to d ˛a˙zenie ciała do

A zatrzymania si ˛e B zachowania ruchu C zmiany poło˙zenia D zachowania poło˙zenia

2. Układ B porusza si ˛e z przyspieszeniem wzgl ˛edem układu A. Wynika z tego, ˙ze

A A jest inercjalny B A i B jest nieinercjalny C A lub B jest nieinercjalny D B jest nieinercjalny

3. Je´sli masa ciała zwi ˛ekszy si ˛e dwukrotnie to jego przyspieszenie pod działaniem ustalonej siły b ˛edzie A dwa razy wi ˛eksze B dwa razy mniejsze C takie samo D cztery razy wi ˛eksze 4. Je´sli masa ciała poruszaj ˛acego si ˛e pod wpływem siły spr ˛e˙zysto´sci wzro´snie czterokrotnie to okres

drga ´n b ˛edzie

A dwa razy wi ˛ekszy B dwa razy mniejsze C cztery razy wi ˛eksze D nie zmieni si ˛e 5. Ciało o ci ˛e˙zarze 10 N po zanurzeniu w wodzie traci na wadze 3 N. O ile wzro´snie ci ˛e˙zar naczynia z

wod ˛a po poło˙zeniu na jego dnie tego ciała.

A 10 N B 3 N C 7 N D 13 N

6. Dwa klocki o masach m1 = 2 m2 zsuwaj ˛a si ˛e z tej samej wysoko´sci po równi pochyłej. Stosunek ich pr ˛edko´sci na ko ´ncu równi v1/v2 wynosi

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego