Z badań nad procesem uogólniania i stosowaniem w nim symbolu literowego przez uczniów w wieku 10-14 lat

S E R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 25 (2 0 0 3 )

Lidia Zaręba

Akademia Pedagogiczna, Kraków

Z badań nad procesem uogólniania

i stosowaniem w nim symbolu literowego

przez uczniów w wieku 10-14 lat

W s t ę p

Matematykę jako naukę można analizować z dwóch różnych punktów widze­ nia: jako produkt specyficznej aktywności człowieka lub jako samą tę aktywność

(Krygowska, 1979, s. 13). Współczesne poglądy na nauczanie szkolnej mate­ matyki kierują uwagę na drugie ujęcie, podkreślając potrzebę własnej aktyw­ ności uczniów, preferowanie metod stwarzających okazję do odkrywania i two­ rzenia matematyki, ograniczanie przekazu gotowych wiadomości (np.: Kąkol, 2000; Matematyka i komputery, 1999; Nowecki, 1999; Dąbrowski, 1999a, 1999b; Wilk-Siwek, 1995, 1999). Nadal aktualne są słowa Z. Krygowskiej: Współcze­

sna dydaktyka eksponuje [... ] aktywność twórczą, czynny i świadomy udział uczącego się w odkrywaniu pojęć, wzorów, twierdzeń, dowodów, w schematyzo- waniu sytuacji, w ich matematyzowaniu, ogólnie w rozwiązywaniu problemów bardzo zróżnicowanych, obejmujących całość materiału nauczania (Krygowska,

1981, s. 13).

Zmiana koncepcji nauczania nakłada nowe zadania na nauczyciela, który

oprócz dotychczasowej funkcji przekaźnika wiedzy musi być jeszcze doskona­ łym organizatorem procesu uczenia się matematyki, co wyraża się w dążeniu

do wiązania procesu przekazywania wiedzy z samodzielnym j e j zdobywaniem

przez ucznióu), samodzielnym uczeniem się matematyki (Matematyka i kompu­

152

Uwzględniając obecne trendy w nauczaniu matematyki, a jednocześnie jej abstrakcyjną naturę, warto zwrócić uwagę na aktywność uogólniania, aktyw­ ność, której efekt można wyrażać stosując symbol literowy. Wykorzystywanie litery do wyrażania treści abstrakcyjnych nie jest jednak zadaniem łatwym. Analiza trudności i rodzajów błędów popełnianych przez uczniów podczas ope­ rowania wyrażeniami algebraicznymi i symbolem literowym pozwala skierować uwagę na problemy związane z nazywaniem wyrażeń algebraicznych, zapisy­ waniem ich postaci, gdy znana jest nazwa (np. Krygowska, 1955; Wyniki. . . ,

1988), błędy wynikające z braku rozumienia znaku ” jako znaku liczby

przeciwnej do danej (np. Krygowska, 1955), spowodowane brakiem rozumie­ nia sensu litery jako symbolu matematycznego (np. Ćwik, 1988), bądź błędy dotyczące nieumiejętności podstawiania wyrażeń za zmienne (np. Kiczmer, 1986). Przyczyny tego rodzaju błędów tkwią być może w tym, iż przedmiotem zainteresowania tradycyjnego nauczania matematyki są najczęściej treści po­ jęciowe, takie jak na przykład figury geometryczne, przekształcenia oraz ich

własności. To na nich skupia głównie uwagę nauczyciel kształtując je i opraco­ wując. Liter (zmiennych) po prostu się używa (Konior, 1996, s. 74) i traktuje się je tak, jak alfabet, który jest już w posiadaniu uczniów. Dlatego organizując proces nauczania skierowany na rozwijanie umiejętności uogólniania, warto by znać także możliwości uczniów w zakresie stosowania symbolu literowego.

Problem atyka badawcza

Uogólnianie w matematyce, w literaturze z dydaktyki tego przedmiotu,

rozumiane jest jako aktywność a zarazem narzędzie do tworzenia pojęć i twier­ dzeń, uogólnienie zaś to wynik procesu uogólniania, czyli pewne pojęcie, sąd, twierdzenie, dostrzeżona i sformułowana prawidłowość, hipoteza. W tym kon­ tekście „zabieg uogólniania pojęć” polega na budowaniu pojęcia ogólniejszego od uogólnianego; aby można było stwierdzić, że dane pojęcie jest uogólnie­ niem pewnego innego pojęcia, zakres nazwy pojęcia mniej ogólnego powinien

zawierać się w zakresie nazwy pojęcia ogólniejszego (Nowak, 1989, s. 248). Z ko­

lei operację prowadzącą od danego twierdzenia szczególnego do sformułowania

twierdzenia, którego szczególny przypadek znaliśmy, nazywamy uogólnianiem twierdzenia (Nowak, 1989, s. 292).

W pracy badawczej interesuje mnie problematyka związana z uogólnia­

niem twierdzeń, czyli poszukiwaniem twierdzeń, których szczególnym przy­

padkiem jest twierdzenie wyjściowe. Termin, twierdzenie wyjściowe, oznacza tu każde zdanie prawdziwe w ramach danej teorii, np. Pole kwadratu o boku

nianiu twierdzeń w różnych sytuacjach. Aby uwypuklić uogólnianie, które jest przedmiotem moich zainteresowań, a jednocześnie nie rozbudowywać artykułu, zamieszczam w artykule jedynie krótkie charakterystyki sytuacji związanych z interesującą mnie problematyką. Jedną z nich jest wnioskowanie empi­

ryczne1 prowadzone bądź w świecie materialnym, bądź w świecie matema­

tyki. W pierwszym przypadku uczeń obserwuje fizyczne stosunki przestrzenne lub ilościowe, matematyzuje je i formułuje hipotezę matematyczną, w drugim natomiast stawia taką hipotezę po przeprowadzeniu ciągu prób matematycz­ nych (np. obliczeń) i dostrzeżeniu pewnej prawidłowości w rezultatach tych prób. Ostatnia sytuacja nosi nazwę uogólniania typu indukcyjnego.

W kontekście uogólniania twierdzeń wymienia się także uogólnianie ro­ zumowania. Polega ono na rozumowaniu w jednym szczególnym przypadku i dostrzeżeniu, że to rozumowanie pozostanie poprawne przy ogólniejszych da­ nych lub wymaga tylko pewnych niewielkich modyfikacji, aby do ogólniejszego rezultatu prowadzić (Krygowska, 1977, s. 113). Mamy z nim do czynienia

w matematyce szkolnej w przypadku uzmienniania stałych oraz podczas

uogólniania przez dostrzeżenie prawa rekurencji. Uzmiennianie stałych

to rozumowanie umożliwiające — przy odpowiednio dobranym przykładzie — zmianę występujących w nim stałych na inne i pozwalające uświadomić uczniowi nieistotność wyboru danych liczb dla wystąpienia obserwowanego związku. Uogólnianie przez dostrzeżenie prawa rekurencji to inaczej uogólnia­ nie rozumowania, zastosowanego w przypadku szczególnym poprzez zauważe­ nie prawa rekurencji wiążącego poszczególne przypadki szczególne.

Ważną rolę na gruncie uogólniania twierdzeń odgrywa także uogólnia­

nie przez unifikację, polegające na sformułowaniu twierdzenia, które byłoby

uogólnieniem wszystkich podanych wcześniej uczniowi twierdzeń, będących przypadkami szczególnymi poszukiwanego twierdzenia.

W prezentowanych badaniach interesowałam się uogólnianiem typu in­

dukcyjnego. Przykład tego rodzaju uogólniania podaję za Krygowską:

1 Literatura odnosząca się do tego i pozostałych typów uogólnienia:

wnioskowanie empiryczne — Krygowska, 1979, s. 137, 144 indukcja przyrodnicza — Krygowska, 1979, s. 137

uogólnianie typu indukcyjnego —- Krygowska, 1977, s. 112-113; Krygowska, 1979, s. 137;

Mnich, 1980, s. 71-72, 79-81; Gucewicz-Sawicka, 1982, s. 113; Nowak, 1989, s. 292; Polya, 1993, s. 70, 113-121; Ciosek, 1995, s. 22;

uogólnianie rozumowania — Krygowska, 1977, s. 113-115; Ciosek, 1995, s. 32;

uzmiennianie stałych — Krygowska, 1977, s. 77-78; Mnich, 1980, s. 79; Nowak, 1989,

s. 311-313; Turnau, 1990, s. 140-142; Ciosek, 1995, s. 32;

uogólnianie przez dostrzeżenie prawa rekurencji — Krygowska, 1977, s. 116-118 uogólnianie przez unifikację — Krygowska, 1977, s. 115-116; Mnich, 1980, s. 84-85; Cio

154

Uczeń ma obliczyć sumę

1

_ L _ L

n ~ F 2 + 2~3 + 3 -4 + (n — 1) • n

Zaczyna rozumowanie od obliczenia pierwszych trzech wyrazów ciągu Sn Otrzymuje:

Si 1

2

Są to trzy szczególne twierdzenia. Uczeń zauważa, że te równości można otrzymać z równości Sn — odpowiednio przez podstawienie n = 1 ,

<n

jest twierdzeniem ogólniej-2, n — 3. Twierdzenie ^ Sr

nCN n + 1

szym od każdego z trzech wymienionych twierdzeń, bo każde z nich można otrzymać z tego twierdzenia przez specyfikację. Każde z tych trzech twier­ dzeń szczególnych jest twierdzeniem prawdziwym, tego jesteśmy pewni, twierdzenie ogólne natomiast jest w tej fazie jeszcze tylko hipotezą, której słuszność trzeba badać (Krygowska, 1977, s. 112-113).

W prowadzonych przeze mnie badaniach uczeń miał, po wykonaniu ciągu prób matematycznych, dostrzec pewną prawidłowość w rezultatach tych prób i sformułować hipotezę matematyczną. Szczególną uwagę zwracałam na

to, jaką formę przyjmie dokonane przez ucznia uogólnienie i czy wyrazi je on stosując symbol literowy.

Opis badań

Artykuł nawiązuje do badań opublikowanych na łamach Rocznika Nauk

Pedagogicznych (Zaręba, 2001) stanowiąc ich rozszerzenie na większą, zróżni­

cowaną wiekiem grupę badawczą. Jednocześnie jest on sprawozdaniem z szer­ szych badań prowadzonych w ramach mojej pracy doktorskiej. Prezentowane w zamieszczonym tu artykule badania opierają się na analizie wytworów prac uczniów; analiza ilościowa i jakościowa tych prac podpowiada pewne hipotezy w zakresie zarysowanej problematyki badawczej.

Celem podjętych badań jest: 1 2

1. wyodrębnienie rodzajów uogólnień stosowanych przez uczniów w wieku 10-14 lat i określenie możliwości badanych w odniesieniu do tych rodzajów uogólnień,

2. określenie możliwości uczniów wyróżnionej grupy w zakresie stoso­

odpowiedzi na pytanie, czy prawidłowe stosowanie tego symbolu znaj­ duje się w strefie możliwości przeciętnego ucznia badanej grupy, w strefie najbliższych możliwości czy też może wykracza poza jego możliwości, 3. wyróżnienie typowych sposobów postępowania obrazujących my­

ślenie badanych uczniów podczas rozwiązywania zadań ukierunko­

wanych na uogólnianie oraz określenie związku między sposobem postę­ powania ucznia a efektem jego pracy,

4. charakterystyka rodzajów trudności występujących u badanych

uczniów w trakcie procesu uogólniania i określenie możliwości uczniów

w pokonywaniu tych trudności.

M etodą badawczą wykorzystaną w prezentowanych w artykule bada­

niach diagnostycznych jest analiza wytworów prac uczniów, tj. analiza rozwią­ zań specjalnie skonstruowanych zestawów zadań (testów) ukierunkowanych na wywołanie u badanych procesu uogólniania. Testy przeprowadziłam wśród uczniów polskich i czeskich, a następnie poddałam je analizie ilościowej i ja­ kościowej.

Narzędzie badawcze stanowiły zestawy zadań nazwane krótko testami

(testy: „Proste” — rys. 1, str. 156; „Ramki” — rys. 2, str. 157; „Krzyże” cz. 1 — rys. 3, str. 158 i „Krzyże” cz. 2 — rys. 4, str. 159). Pierwsze dwa wymienione testy są m ojego autorstwa, pomysł wykorzystania w ostatnim teście figury w kształcie krzyża zrodził się pod wpływem lektury Łamigłówki

z Manchesteru (1993, s. 42).

W teście pierwszym chodziło o określenie odległości między prostymi. Było ich kolejno: 3, 5, 7, 25 i n. Dla porządku podaję prawidłową odpowiedź w sy­ tuacji n prostych: odległość wynosi „n — 1” . Następny test polegał na uzu­ pełnieniu tzw. ramek dla odpowiednich liczb. Liczby te zadane były konkret­ nie i ogólnie przez n. Ramka liczby n zbudowana jest z czterech liczb czyta­ nych kolejno wierszami: n, n + 1 oraz n -f 10, n + 11. Ostatni, dwuczęściowy test „Krzyże” wymagał od ucznia obliczenia obwodów i pól figur w kształcie krzyża. Poprawne odpowiedzi dla n-tej figury to: D = 4n -f 8 lub D = (n -f 2) -4 oraz P = (n + 2)2 — 4 lub P = n2 -f 4n.

Testy zostały tak skonstruowane, aby stwarzały uczniowi możliwość

156

Dane są zbiory prostych równoległych. Sąsiednie proste są odległe od siebie o 1 cm. W każdym przypadku znajdź odległość pierwszej prostej od ostatniej.

a) dane są trzy proste b) danych jest pięć prostych

| r - ... . 'S ________

... \c

Odp. Odległość w y n osi... Odp. Odległość w y n o si...

c) danych jest siedem prostych d) danych jest 25 prostych

Odp. Odległość w y n osi... Odp. Odległość w y n o si...

e) danych je s t« prostych f) Uzasadnij ostatnią odpowiedź.

Odp. Odległość w y n osi...

1) Uzupełnij tabelkę do 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

2) Czwórki liczb można otoczyć ramką. W tabelce zaznaczono dwie ramki:

ramkę .. ______ ramkę liczby 8

W

Zaznacz w tabeli ramkę dla liczby 57. 3) Uzupełnij ramki dla liczb:

a) 84 b) 102 c) 55 84 102 155 94 112 166 d) 71 e) 147 f) 289 71 72 147 289 290 158 g) 43 h) 176 i) 382 43

4) Uzupełnij ramkę dla liczby n. Opisz po kolei co robiłeś i dlaczego.

158

1) Dorysuj czwarty i piąty krzyż z tej serii. Oblicz obwód D i pole P każdego z krzyży.

Wyniki zapisz w tabeli.

Numer krzyża 1 2 3 4 5

Obwód - D Pole - P

2) Bez rysowania odgadnij obwód i pole szóstego krzyża. Napisz słownie, w jaki sposób to odgadłeś.

3) Uzupełnij tabelkę.

Numer krzyża 7 8 9 10 20 n

Obwód - D Pole - P

Jak obliczałeś obwód krzyża o numerze « ?

Jak obliczałeś pole krzyża o numerze n l

Magda i Przemek obliczali obwód D i pole P krzyży różnymi sposobami:

Oto co napisała M agda:

Obliczam obwód: mnożę długość wyróżnionych ramion krzyży przez 4.

Obliczam pole, do pola zamalowanego kwadratu dodaję pola czterech białych ramion krzyża.

Oto co napisał Przemek:

Obwód krzyża: liczę tak jak obwód kwadratu, w którym się on mieści, bo przecież długość jednego ramienia jest taka jak długość boku tego kwadratu.

Pole: Gdybym wyciął z dorysowanego kwadratu 4 narożne kwadraciki, to miałbym krzyż. Dlatego obliczę pole kwadratu i odejmę 4.

Oblicz tymi sposobami obwód i pole dla krzyża o numerze: 4, 5, 10, ..., n

(4) (4)

(5) (5)

(10) (10)

(" ) («)

Uzasadnij odpowiedzi z ostatniego przykładu («)

Przykładowo zadania testu „Krzyże” - cz. 1. prowokować mogą (w za­ leżności od prowadzonego przez ucznia rozumowania) kolejno do czynności: konkretnych (w przypadku krzyży o numerach: 1, 2, 3, 4 i 5), konkretno- wyobrażeniowych (w przypadku krzyży o numerach: 6, 7, 8, 9, 10), wyobraże­ niowych (w przypadku dwudziestego krzyża) oraz abstrakcyjnych (przy obli­ czeniach dla krzyża o numerze n). O to szczegółowe uzasadnienie takiej klasy­ fikacji:

• Zadanie pierwsze wymaga od ucznia obserwacji regularności w budo­ wie narysowanych trzech krzyży; stanowi to w moim odczuciu podstawę do wykonania czynności konkretnej. Czynnością taką jest narysowanie czwartego i piątego krzyża oraz przeliczenie jednostek długości i jedno­ stek pola (jednostką długości jest bok kwadratu sieci, jednostką pola — kwadrat sieci, na której umieszczone są krzyże).

• Zadanie drugie, czyli odgadywanie obwodu i pola szóstego krzyża bez podpory w postaci rysunku tego krzyża prowokuje, moim zdaniem, do czynności konkretno-wyobrażeniowych. Aby łatwiej odtworzyć sposób myślenia ucznia, to zadanie oraz następne zawierają polecenie słownego uzasadnienia odpowiedzi.

• Zadanie trzecie prowokuje kolejno do:

- czynności konkretno-wyobrażeniowych (w przypadku krzyży o nu­ merach: 7, 8, 9, 10),

- czynności wyobrażeniowych (w przypadku dwudziestego krzyża), - czynności abstrakcyjnych (przy obliczeniach dla krzyża o nume­

rze n).

czy pola danego krzyża od numeru tego krzyża. Obwód krzyża o nu­ merze 6, 7, 8, 9 czy 10 można także obliczyć przetwarzając informacje w sposób ikoniczny, to znaczy odpowiednio modyfikując krzyż. Przykła­ dowo obwód krzyża o numerze 10 jest taki sam jak obwód najmniejszego kwadratu, w którym krzyż ten się mieści, tzn. kwadratu o boku długości 12 jednostek. Prawidłowe rozwiązanie, w przypadku krzyża dwudzie­ stego, może powstać w wyniku tego typu rozumowania lub rozumowa­ nia numerycznego, polegającego na przykład na dodawaniu do obwodu krzyża o numerze 10 ciągle 4 jednostek, aż do uzyskania prawidłowego wyniku, bądź na wykonaniu obliczeń arytmetycznych: 20 — 10 = 10, 48 + 10 • 4 = 88. W przypadku rozumowania numerycznego uczeń może jednak obyć się bez rysunku konkretnych krzyży i czynności przelicza­

nia. Ponadto na tym poziomie osiągnąć on musiał poprzedni etap uogól­ nienia, tzn. dostrzegł rekurencyjną prawidłowość. Dlatego też przypadek wymagający obliczenia obwodu krzyża dwudziestego, ujęty jest jako pro­ wokujący czynności wyobrażeniowe. Obliczenia dla krzyży od 6 do 10 ze względu na różnorodność interpretacji (w zależności od sposobu myśle­ nia ucznia) mogą, moim zdaniem, wyzwalać czynności na pograniczu konkretnych i wyobrażeniowych.

Ostatni przypadek, tzn. obliczanie obwodu i pola krzyża o numerze n an­ gażuje, jak sądzę, operacje abstrakcyjne. Aby prawidłowo rozwiązać za­ danie w tym przypadku, uczeń powinien uzmiennić stałą i uzależnić wy­ nik od numeru krzyża.

Klasyfikacja zadań na prowokujące do czynności konkretnych, wyobraże­ niowych i abstrakcyjnych jest moją własną propozycją, powstałą między in­ nymi, w oparciu o kilkuletnie obserwacje uczniów i ich matematycznej dzia­ łalności (w latach 1993-1999 byłam nauczycielem matematyki i pracowałam z częścią badanej grupy uczniów).

Test „Krzyże” był dwuczęściowy, konstrukcja taka była celowa. Część 1. testu, podobnie jak test „Proste” czy „Ramki” , z zamierzenia nie sugerowała sposobu rozwiązania; badany mógł wykorzystać rekurencyjną prawidłowość ciągłego wzrostu obwodu o 4 jednostki, mógł także dostrzec inną drogę prowa­ dzącą do rozwiązania. Otwartość zadania pod względem metody rozwiązania, dawała możliwość obserwacji, jaka metoda jest badanym bliższa i na ile efek­ tywna (ile osób postępujących zgodnie z nią osiąga ostateczne rozwiązanie). Rozwiązując zadania tej części testu, uczeń mógł mieć trudności z symbolicz­

nym zapisem odpowiedzi w przypadku krzyża o numerze ich przyczyną mo­

wość. Sugestię tę stanowiły dwa sposoby rozwiązania zadania: sposób Magdy i sposób Przemka. Przykładowo, w odniesieniu do obwodu, sposób Magdy po­ legał na pomnożeniu wyróżnionych w teście ramion krzyży przez 4; w sposo­ bie Przemka sprowadzano obwód krzyża do obwodu najmniejszego kwadratu, w którym krzyż ten się mieści. Karta „Krzyże” - cz. 2. miała nie tylko zasu­ gerować zależność ale także pom óc w odpowiedzi na pytanie, w jakim stopniu ewentualna trudność ucznia w symbolicznym zapisie prawidłowości jest po­ wiązana ze sposobem jego postępowania.

Organizacja i przebieg badań

Testy rozwiązywali uczniowie różnych grup wiekowych, pochodzący ze szkół polskich (okolic Krakowa, Przemyśla, Rzeszowa i Sandomierza) i czeskich (Usti nad Łabą i okolic). Każda z uczniowskich prac otrzymała swój numer identyfi- kacyjny, będący pewną liczbą w przypadku pracy ucznia polskiego, bądź liczbą z sygnaturą „c” przy pracy ucznia czeskiego. Takie oznaczenia prac uczniów stosuję w dalszej części artykułu.

W ybór uczniów w średnim wieku szkolnym jest celowy; chodzi bowiem o to, aby zgodnie z piagetowską teorią rozwoju intelektualnego poddać badaniom uczniów, którzy wiekowo znajdują się w stadium operacji formalnych2.

Badania przeprowadzono w klasach, do których uczęszczała porównywalna liczba uczniów zdolnych, przeciętnych i słabych3. Dwie klasy uczyłam osobiście (od klasy czwartej do ósmej włącznie), uczniowie tych dwóch klas rozwiązywali zadania wszystkich trzech testów („Proste” i „Ramki” w klasie V, „Krzyże” w klasie VII). Wszyscy poddani badaniom rozwiązywali zadania testów w na­ turalnych warunkach szkolnych w ramach lekcji matematyki. Przed rozpoczę­ ciem pracy nauczyciel matematyki poinformował uczniów, że ich prace nie będą oceniane, czas na rozwiązanie zadań testu nie jest dłuższy niż 45 minut (w przypadku testu „Krzyże” , każda jego część przeprowadzona została w in­ nym dniu). Dodatkowo, przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań każdej części testu „Krzyże” , ustalona została jednostka długości i jednostka pola.

2J. Piaget wyróżnia cztery główne stadia rozwojowe człowieka (Kurcz, 1979, s. 279-280): I. Stadium sensomotoryczne (trwa od urodzenia dziecka do końca drugiego roku życia). II. Stadium przedoperacyjne (rozpoczyna się od końca drugiego roku życia i trwa do wieku około sześciu- siedmiu lat).

III. Stadium operacji konkretnych (trwa do około jedenastego roku życia). IV. Stadium operacji formalnych (zaczyna się około jedenastego roku życia).

Podane granice chronologiczne wymienionych etapów są względne, co oznacza, że mogą występować znaczne przesunięcia w czasie trwania danego stadium.

Na tablicy pojawił się zapis:

1J'2

W ciągu tygodnia od badania poprawiłam prace. Jeśli jakaś wypowiedź ucznia nie była dla mnie jasna z powodu błędnego rozwiązania bądź z powodu trudności w odtworzeniu prawdopodobnego rozumowania badanego, uczeń po­ nownie otrzymał pracę, by udzielić pisemnych odpowiedzi na postawione d o­ datkowo przeze mnie pytania. Sytuację taką ilustruję fragmentem pracy nr 13.

3) U z u p e łn ił t a b e l k ą .

Numer k rzy 2 a 7 8 9 10 ’ 20 Obwód - D _{3 6 4 - ~ W ń}

l 3 ! ~ T C T P o le - P t f O M l W o j *

Ccu tCi fe&bn&w'

Ł>wwarllł'Utó HliP* , y irhatOo te auvo«i ■

Jak o b l i c z a ł e ś obw ód k rzy ża o n um erzj n?A i 6 0 V i i u i i i vi 11 ; a . i

JU&lbU. /K. . 4 r. f-.pę^O vofu/u. .p&te* fi Stcyi_ uJwuiąjLdo.tnie. Miisńj. tp ...

jaK otil iczałes pole krzyza o numerze n/

óCp&wk*,. %. c(o p d yjf ■ * ... ... jjfc) (Dtiótjo fcak * ...

rys. 5. Kserokopia pracy nr 13 (cz. 1)

Pytania opatrzone znakiem gwiazdki to pytania, które postawiłam uczen­ nicy. W odpowiedzi otrzymałam następujące wyjaśnienie (cz. 2. pracy nr 13):

Obtacd ko&iułch b**(*ji

)

QUHfkAvxP

$<ę

°^ ff’

5JcotO obwocL 4o k^J3aJj hKń^o^iP . Oblićou/tbm, :

K

+

A p*MpOĄ*ai!a,

kt&cmJu bfJcUuji 4*1

,

Obu!o& joSu+L /ntoumo- obi. ko+M&ajty. ec ***r Ma, of>&' *uad*aiu

Ł.

c^ u % b^xkJ^^oc ^cJ«oeŚi " & k«M Cobto) cbćUy/Ź*

• i /

/nuo**

povou)*&c do

cbUu^j^c pk

^Otojtbrfctm

v

Q&H

a

.

aux

. pcCe a

(toe*ejjtyt

ivJux^t

^ faolcu.

kvJodtatu.

cdleJatn. k

<Uaiu^>ce

c

U

clo

J

om

.

untcUiAc pcU

rys. 6. Kserokopia pracy nr 13 (cz. 2), ciąg dalszy z poprzedniej strony

Choć wyjaśnienie w przypadku tej pracy nie jest poprawne, pozwala ono jed­ nak na częściowe odtworzenie sposobu rozumowania uczennicy.

Inne, szczegółowe informacje odnośnie organizacji badań zawiera tabela 1.

Kraj Rodzaj testu Rok szkolny Wiek uczniów (w latach) Rok nauki w szkole4 Liczba klas Liczba uczniów poddanych badaniu Liczba prac poddanych analizie P o ls k a „Proste” 1994/95 (XII) 11 V 25 6 44 38 „Ramki” 1994/95 1995/96 (V, VI) 12 V 11 226 191 „Krzyże” 1996/97 1997/98 13, 14 VII, VIII 6 90 87 C z e ch y „Proste” 1996/97 10, 11 V, VTb 5 96 63 „Ramki” 1996/97 10, 11 V, VI 9 187 172 „Krzyże” 1996/97 (XI) 13,14 VIII, IX 6 114 78

T a b e la 1. Organizacja badań — pisemnych prac uczniów

Z analizy wyeliminowane zostały prace, które w moim przeświadczeniu przemawiają za brakiem rozumienia przez badanego ucznia pojęcia, na któ­ rym ma on bazować podczas rozwiązywania zadań testu. Przykładowo spośród testów „Krzyże” odrzucone zostały prace, w których badany nie dostrzega ana­ logii w kształcie kolejnych krzyży, nie rozumie, jak powstaje rysunek czwartego i piątego krzyża; tego typu zachowanie widoczne jest w pracy nr 49.

4R.ok nauki w szkole podaję według ówczesnego systemu kształcenia.

5Uczniowie obu klas poddani zostali w kolejnych latach badaniu testami „Ramki” oraz „Krzyże” .

ry s. 7. Kserokopia pracy nr 49

W przypadku testu „Proste” wykluczone zostały m. in. prace, w których uczeń rysuje schematycznie pewną liczbę prostych, natomiast odległość mierzy za pom ocą linijki. Takie postępowanie ilustruje fragment pracy nr 20.

C) AUCkCyw _{<b) flrfc 1£ pH0r*fcj4v}

Gcbp. Oc^AjO^ciL wWwtfw • ' .

5

polskich (p), czeskich (c), czy też prace wszystkich uczniów poddanych bada­ niu (p, c).

Problematyka

Test

„Proste” „Ramki” „Krzyże” Rodzaje uogólnień stosowane przez uczniów x P, c x p, c x p, c Określenie możliwości badanych w odniesieniu do

stosowanych przez nich uogólnień x p, c x p, c x p, c Możliwość stosowania symbolu literowego do wy­

rażania zależności x p, c x p, c x p, c

Sposób postępowania prowadzący do rozwiązania zadań testu

x p W pływ sposobu postępowania na ostateczny

efekt pracy ucznia x p

Trudności związane z procesem uogólniania

i możliwość ich pokonywania x p x p

W pływ aspektu, w jakim badany rozumie sym­ bol literowy w zadaniu na poprawność odpowie­ dzi w przypadku ogólnym n

x p

Tabela 2. Problematyka badań uwzględniana w analizie danego testu

Wnioski z badań

R o d z a je u o g ó ln ie ń s to so w a n e p rz e z u cz n ió w

W oparciu o rozwiązania zadań wymagających od ucznia obliczeń w sytu­ acji ogólnej7 n wyróżniłam trzy r o d z a je u o g ó ln ie ń stosowane przez uczniów badanej grupy. Na użytek niniejszej pracy nadaję tym uogólnieniom charak­ teryzujące je nazwy:

1. u o g ó ln ia n ie p o p r z e z p r z y k ła d występujące na dwóch poziomach: • p o z io m 1. — uczeń rozwiązuje zadanie8 dla konkretnej, wybranej

przez siebie liczby; nie określa przy tym, czy możliwy jest wybór innej liczby (na poziom taki wskazują np. rozwiązania w pracach nr: 26, 179, 16c),

7Przez „sytuację ogólną n" rozumiem fragment zadania prowokujący do czynności abs­ trakcyjnych i wykorzystujący symbol literowy n, np. polecenie obliczenia obwodu krzyża o numerze n, uzupełnienie ramki dla liczby n.

6) i * * r * t T u ■f) U/<a»CuJrvyj ( M u i odp<»wvCxkó a tp . odito^cw * * I - w . T?— ry s. 9. Kserokopia pracy nr 26 46 % Z(> 4) Uzupełnij ramkę dla liczby n.

Opisz po kolei co robiłeś i dlaczego.

. . I c b w . . . S t k . . .(d ew o. . ut .

flc ię c . zjxjxo z* . . p o. .ixfrev*.

''° - u •'MĄc Pt- Jk b . . . W . .pogL

u* UuwC kc& OAAAk 2,5 a' 2 ^

ry s. 10. Kserokopia pracy nr 179

4) Dopln ramećek pro ćislo n :

Odpov&T oduvodni. ..(%Uld^...4MaatAAJuĆ^ ry s. 11. Kserokopia pracy nr 16c

| () U/la^oA*^ OltodbvUq cdprisUdź .

N

Z* Vi w m ^oc p o d p i s

LcZkf rys. 12. Kserokopia pracy nr 19

2. uogólnianie werbalne opisujące czynności potrzebne dla uzyska­

nia wyniku — uczeń dostrzega istnienie zależności dla dowolnej liczby, opisuje słownie tę zależność, nie używając w tym celu zmiennej, a więc pisząc przykładowo: Obwód krzyża o numerze n oblicza się dodając od

liczby 12 do liczby n ciągle Ą (12 jest obwodem pierwszego krzyża, dla­

tego tę właśnie liczbę uczeń zamierza stopniowo zwiększać o 4); Aby

obliczyć obwód n trzeba wiedzieć obwód poprzedniej figury; Obwód krzyża n zwiększył się o 4j od poprzedniego obwodu krzyża;

3. uogólnianie symboliczne ujmujące zależność w postaci wzoru

ze zmienną — uczeń dostrzega zależność i wyraża ją symbolicznym ję­ zykiem matematyki z użyciem zmiennej, np. zapisuje wzór na obwód krzyża n-tego w postaci 4n + 8.

Analiza rozwiązań zadań testów nie jest wystarczająca do porównania możliwości badanych względem wyróżnionych rodzajów uogólnień. Podsuwa ona jednak hipotezę, iż uogólnienie poprzez przykład, jak i uogólnienie

werbalne poprzedzają uogólnienie symboliczne. Weryfikacja tej hipo­

tezy oraz ustalenie pozostałych zależności między wyróżnionymi rodzajami uogólnień, są celem obserwacji indywidualnych, które są obecnie przedmiotem dogłębnej analizy.

Możliwości uczniów w zakresie stosowania symbolu literowego w procesie uogólniania

Analizując rozwiązania zadań testów, korzystałam z interpretacji pojęcia stref możliwości Wygotskiego, przeprowadzonej przez H. Siwek (Siwek, 1989, s. 65). Strefy te odnoszą się, w tym wypadku, nie do pojedynczego dziecka, lecz do grupy badanych uczniów. Według tej interpretacji dana aktywność znajduje się:

a) w strefie możliwości przeciętnego dziecka w danej klasie, gdy zada­ nie wymagające tej aktywności uczniowie badanej grupy rozwiązywali w granicach 75-100%,

b) w strefie najbliższych możliwości, jeśli procent odpowiedzi popraw­ nych zawiera się w granicach 50-75,

c) powyżej możliwości, jeśli ten procent nie osiąga 50.

Dla każdego rodzaju testu obliczyłam procent odpowiedzi, w których zasto­ sowano zmienną do wyrażenia zależności oraz procent odpowiedzi z poprawnie zastosowanym symbolem literowym. Otrzymałam zestawienia, których wyniki ilustruję na wykresie I (rys. 13 dla grupy uczniów polskich) oraz na wykre­ sie II (rys. 14 dla grupy uczniów czeskich). Ze względu na dużą liczbę testów zapisuję skrótowo oznaczenia tych testów (według opisu z tabeli 3).

Skrót Opis testu

PR „Proste”

R „Ramki”

K-1D „Krzyże” cz. 1; fragment dotyczący obwodów figur K-1P „Krzyże” cz. 1; fragment dotyczący pól figur

K-2D-M „Krzyże” cz. 2; fragment dotyczący obwodów figur liczonych sposobem Magdy K-2D-P „Krzyże” cz. 2; fragment dotyczący obwodów figur liczonych sposobem Przem­

ka

K-2P-M „Krzyże” cz. 2; fragment dotyczący pól figur liczonych sposobem Magdy K-2P-P „Krzyże” cz. 2; fragment dotyczący pól figur liczonych sposobem Przemka

T a b e la 3. Wykaz skrótowych oznaczeń testów

□ Uczeń stosuje zmienną □ Uczeń poprawnie stosuje zmienną

Wyniki sugerują, że symboliczny i poprawny zapis logicznej zależności, znajduje się powyżej możliwości przeciętnego ucznia badanej grupy uczniów polskich. Rodzi się pytanie: Czy przyczyną takiej sytuacji nie jest słabe przygo­ towanie uczniów do stosowania symboliki literowej? Optymistyczne są jednak zestawienia procentowe informujące o tym, jaka część badanych stara się po­ sługiwać takim zapisem (bez wnikania w poprawność zapisu). Wyniki analizy sugerują, iż stosowanie zmiennej do wyrażania zależności liczbowych, znajduje się w strefie najbliższych możliwości uczniów tej grupy.

Zestawienie dla prac czeskich (rys. 14) sugeruje, że także dla przeciętnego ucznia czeskiego, w wieku 10-14 lat, umiejętność poprawnego, symbolicznego zapisu logicznej zależności jest poza strefą możliwości. Stosowanie zaś sym­ bolu literowego leży przypuszczalnie w strefie możliwości przeciętnego 13-14- letniego ucznia czeskiego, natomiast wykracza poza możliwości przeciętnego ucznia w wieku 10-12 lat.

H Uczeń stosuje zmienną □ Uczeń poprawnie stosuje zmienną

ry s. 14. Stosowanie zmiennej do wyrażania zależności — zestawienie procen­ towe dla grupy czeskich uczniów

Porównanie wyników analizy dla grupy uczniów polskich i grupy uczniów czeskich sugeruje, iż nie tylko wiek decyduje o tym, że uczeń jest według terminologii Piageta w stadium operacji formalnych. Istotny wpływ mają na to: ilość i jakość jego doświadczeń związanych z symboliką literową. W polskim programie nauczania matematyki i w podręcznikach, formalna matematyka pojawia się wcześniej, niż w przypadku Czech.

Sposoby postępowania obrazujące myślenie badanych uczniów9

Analizując rozwiązania zadań pierwszej części testu „Krzyże” , dostrzegłam cztery charakterystyczne sposoby postępowania uczniów:

1. rozumowanie numeryczne oparte na prawie rekurencji — uczeń za­

uważa, że obwód każdej kolejnej figury zwiększa się o 4 jednostki: Obwód

zwiększa się o Ą jednostki w każdym kolejnym krzyżu (praca nr 50), 2. rozumowanie geometryczne polegające na zauważeniu regularności

w toku obserwacji figur geometrycznych, np.:

a) obliczając obwód uczeń tworzy iloczyn długości „skróconego ra­ mienia” krzyża przez 4 i dodaje 8 jednostek, przy czym „skrócone ramię” to odcinek wyróżniony na poniższym rysunku,

„skrócone ramię”

rys. 15.

b) badany sprowadza obwód krzyża do obwodu najmniejszego kwa­ dratu, w którym krzyż ten się mieści. Przykładowo, obwód krzyża piątego to obwód kwadratu o boku długości 7 jednostek.

3. rozumowanie numeryczne i geometryczne (występujące równole­ gle w pracy ucznia), tzn. uczeń uzasadnia rozwiązania zadań dwoma sposobami; czyni tak przykładowo autorka pracy nr 72.

2) Bez ry sow a n ia o d g a d n ij obwód i p o le s z ó s t e g o k r z y ż a . j J N a p isz s ło w n ie , w ja k i s p o s ó b t o o d g a d ł e ś . *— 1

.p = £2j-... bo . .28] + U

(] rM

. .%:A A

h

P = . H . t 2 - - K & =<J60 W . .lig - a ; t ...fcJ * 3.

ę.» 1 ęt=. ę J. . Śjy vs fęąu. ,/h.o. joote. . |

uxlfto i^#5fc,' ./yrut'

3 i U z u p e łn ij t a b e lk e .

joote. (.T9S-Ę.)...

y<?^.. Ivo^pj^jvvu-'. . .k&^-ótd...

Numer k r z y ż a 7 8 9 10 20 Obwód - D 2 6 , ' * * o i uu { <fi l P o le - P J O L J m l m i _{m *} • 4___ ft(L+Z),K+fvĄ,t

Jak o b l i c z a ł e ś obwód k rzy ża o num erze

.*&( . .ębtJCpLdto

pOpfnjęĄ^ch., k*3»fLł. .«. . /e«. .'Wcę . . <ux/«>*o,5 .^h»y.

znil«łę/(^^vą ...\ J , ... .S v /...y .

r y s. 17. Kserokopia pracy nr 72 (cz. 1)

£\ 7 lc-cwL<de$>o /*■ Kł^k / frtu* A.*£Wu. <JfeU»Uu.

U ^ jitC U iu U A . k u » C U SU ctfcU

<uofc,c' lo*r<U!U*xt^.

<wu^ę oHuuLCbc -obuidd o * waonrto ó t • 0

/* ,

dlujlCSŁ boku <J VcukUkrCbto

łoić. (cole/' ^ c o r - uMmOMCL O kOtej'/ruQ JubaĆf '»u ‘^ a cu ^ *ł^ .

ry s. 18. Kserokopia pracy nr 72 (cz. 2)

4. trafianie, przeliczanie lub brak określenia toku swego rozumo­ wania przez ucznia, np. autor pracy nr 54 sam przyznaje się do tego.

2) Bez rysowania odgadnij obwód i pole szóstego krzyża. Napi/*z słownie, JOJaJo sposób to odgadłeś.

% y - 3 i ... y . ~ & o ... ...

Biorąc pod uwagę sposób postępowania prowadzący do rozwiązania zadań, pierwsza część testu „Krzyże” stwarzała sytuację otwartą — uczeń mógł wyka­ zać się własną inwencją i pomysłowością rozwiązania. W sytuacji tej uczniowie częściej rozumowali numerycznie. Przykładowo, w przypadku zadań dotyczą­ cych obwodu samą rekurencję dostrzegło 69 spośród 87 uczniów, jedynie drogę geometryczną — 4 osoby, obie drogi — 6 osób.

Dla badanej próbki 87 uczniów zarysowała się następująca prawidłowość: największą zdolność do uogólnienia symbolicznego lub werbalnego zaprezen­ towali w swoich pracach ci, którzy dostrzegli obie drogi rozumowania: nu­ meryczną i geometryczną, mniej wydajne okazało się stosowanie wyłącznie rozumowania geometrycznego; dostrzeżenie jedynie drogi wykorzystującej re­ kurencję dało wyniki jeszcze niższe.

Możliwość obserwacji wpływu sposobu rozumowania na ostateczne efekty pracy uczniów, daje także analiza rozwiązań zadań drugiej części testu „Krzy­ że” . W części tej zasugerowano badanym geometryczną drogę postępowania. Dla obu części testu, zestawiłam liczby uczniów, którzy dokonali odpowied­ niego rodzaju uogólnienia. W przypadku drugiej części testu zestawienie od­ noszę osobno do zadań rozwiązywanych sposobem Magdy, osobno do zadań rozwiązywanych sposobem Przemka. Przykładowe zestawienie w obrębie za­ dań, dotyczących pola krzyża nr n, podaję w tabeli 4. Obrazowo ujmuje to wykres z rysunku 20.

Test Uogólnienie

Poprzez przykład Werbalne Symboliczne Brak

K-1P 2 5 14 66

K-2P-M 0 2 44 41

K-2P-P 1 1 27 58

Tabela 4. Liczbowy rozkład odpowiedzi uczniów w przypadku pola figury o numerze n

Liczba ^0 -• uczniów 60 50 40 30 20 10 0

Poprzez przykład Werbalne Symboliczne Brak Uogólnienie

El Test K-1P □ Test K-2P-M B Test K-2P-P ~~|

174

W wyniku ukierunkowania badanych na rozumowanie geometryczne (co zrobiono w części 2. testu) wzrosła liczba uczniów, którzy osiągnęli uogólnienie symboliczne. Taką samą zależność stwierdziłam analizując zadania dotyczące obwodu.

Trudności występujące u badanych uczniów10

Aby wyróżnić i scharakteryzować trudności towarzyszące uczniom w proce­ sie uogólniania, zanalizowałam rozwiązania cyklu zadań prezentowane osobno przez każdą osobę poddaną badaniu, innymi słowy — na każdą z prac spoj­ rzałam całościowo, biorąc pod uwagę poprawność rozwiązań zadań związanych z odpowiednim rodzajem czynności (konkretnych, wyobrażeniowych i abstrak­ cyjnych). W tabeli 5. określiłam liczbę badanych, którzy osiągnęli określony poziom czynności11, co w moim rozumieniu oznacza, iż poprawnie rozwiązali zadania angażujące czynności tego poziomu i poziomów niższych.

Osiągnięty poziom czynności Test PR R K-1D K-1P K-2D-M K-2D-P K-2P-M K-2P-P K 25 177 67 51 78 65 70 67 W 25 163 31 25 61 55 67 62 A 7 85 15 14 25 23 45 28

T a b e la 5. Liczbowe zestawienie próbki uczniów polskich ze względu na osiągnięty przez nich poziom czynności (K — konkretnych, W — wyobrażeniowych, A —- abstrakcyjnych)

Na podstawie zestawienia określam hipotetyczne możliwości pokonywania kolejnych progów przez badanych uczniów (zawarte w tabeli 6.). Możliwości te wyrażam wyznaczając w s p ó łc z y n n ik i m o żliw o ści p o k o n a n ia o d p o ­ w ie d n ich p r o g ó w (progu przy przejściu od poziomu czynności konkretnych do wyobrażeniowych oraz od poziomu czynności wyobrażeniowych do abs­

trakcyjnych). W spółczynniki te oznaczam przez i mw-^A i określam

następująco:

w a

ITAk-iW — T ) m W^A — >

k w

gdzie:

10Zgodnie z zapowiedzią w tabeli 2. wnioski z zakresu tej problematyki są wynikiem analizy prac uczniów polskich. Dlatego wszelkie dane liczbowe dotyczące tej tematyki odnoszą się do próbki uczniów polskich.

77lx-.iv

m W-*A k w a

— współczynnik możliwości przejścia od poziomu czynności konkret­ nych do poziomu czynności wyobrażeniowych,

— współczynnik możliwości przejścia od poziomu czynności wyobra­ żeniowych do poziomu czynności abstrakcyjnych,

— liczba osób, które osiągnęły poziom czynności konkretnych (po­ prawnie rozwiązały zadanie na tym poziomie czynności),

— liczba osób, które osiągnęły poziom czynności wyobrażeniowych, — liczba osób, które osiągnęły poziom czynności abstrakcyjnych. Innymi słowy, współczynnik możliwości pokonania odpowiedniego progu infor­ muje, jaką część osób, które rozwiązały zadanie na poziomie niższym, stanowią osoby, które rozwiązały zadanie na poziomie następnym (wyższym). Przykła­ dowo, w przypadku testu „Ramki” współczynniki te wynoszą: m K^ w = 0, 92,

771 — 0,52. Współczynnik możliwości Test PR R K-1D K-1P K-2D-M K-2D-P K-2P-M K-2P-P 77Ik- +w 1 0,92 0,46 0,49 0,78 0,85 0,96 0,93 77 lw->A 0,28 0,52 0,48 0,56 0,41 0,42 0,67 0,45

T a b e la 6. Hipotetyczne możliwości pokonywania kolejnych progów (wyrażone za po­ mocą współczynników możliwości)

Globalne spojrzenie na każdą z prac (analiza rozwiązań cyklu zadań prezen­ towanych przez każdą badaną osobę z osobna) pozwala zauważyć, że w przy­ padku sześciu, spośród ośmiu testów wraz z przechodzeniem do zadań angażu­ jących wyższy poziom czynności, współczynniki możliwości maleją. Oznacza

to, że im wyższy jest poziom czynności, do jakich prowokuje zadanie, tym więk­ sza jest liczba uczniów mających z tymi zadaniami problem. Jedynie w przy­ padku pierwszej części testu „Krzyże” (K-1D i K-1P) wraz z przechodzeniem do wyższego poziomu czynności, współczynniki rosną. Hierarchia trudności jest więc w pierwszej części „Krzyży” zachwiana, naturalną wydaje się kolej­

ność odwrotna. W ydaje się, że przyczyna takiego stanu rzeczy tkwi w tym, że ta część „K rzyży” , swoją treścią i postacią, stwarzała sytuację otwartą ze względu na sposób rozwiązania zadania (badanym nie sugerowano sposobu rozumowania). Być może uczniowi trudno było wymyślić sposób rozwiązania zadania (stąd trudność przy przejściu od sytuacji konkretno-wyobrażeniowej do wyobrażeniowej), ale jeśli znalazł taki sposób sa m o d zie ln ie , to przejście od sytuacji wyobrażeniowej do abstrakcyjnej było dla niego łatwiejsze.

użytego w zadaniu symbolu literowego. Analizie poddanych zostało 38 prac uczniów polskich. Spośród nich:

• 16 osób napisało, że n jest niewiadomą (np. w pracach nr: 2 i 13),

&) *■ aty. *t ‘" £ ry s. 21. Kserokopia pracy nr 2 J&nmoOW- o d l e D t o i L e ^ t ^ w i a d o m a t a l e J a ł t atp. o d iK fw ; /n, / ) U/10aocVvv^ Cłtcjdźwc'^ od^w i*^ . lmJjQy\K h ^WUn\/y y is jk ry s. 22. Kserokopia pracy nr 13

5 osób potraktowało n jako zmienną (np. w pracach nr: 14 i 25),

6) cUy^

Cttf. ftUt-fW UtWtf

ł ) vfyJbnte

odup^i^i/.

[J ltiZ b u O ' /(botL

0 o * , ; YtrACAVL /) U/ta^ac^ Cłtecfcw^ Odp«wtuk[/ .

U

pvUj|>aAku

jcj-t 'J!iś p^śtejd)^ ć

• w wypowiedziach 3 osób dostrzegłam rozumienie litery n jednocześnie w dwóch aspektach: niewiadomej i zmiennej (np. w pracach nr: 3 i 19),

e) c U w ^ *»

Cdf. OdU-fińi C /* .

/] U/ioaocU^

1<y>\ć«,uxxiL rw itifc TV^WvaAc^

Uu1k)j k '**©ifc V GLVUXCiOuC W d o > c ^ . ry s. 25. Kserokopia pracy nr 3 «■) ć U w C ~ Cttp. Oduu^it “ T " *I w - * / ) Ołfeajfcwttf

N

óst^c

jaka kolWtdc Uczb>

178

• 1 uczeń potraktował n jako stałą (praca nr 24).

t ) dwwjcC ( * «» SĄ. rys. 27. /) U/tOvCU^J (rtbodbvX^ CXip^wvU^ . / a »j d jJ oa x*tf t & .

j i l l i (Ofk<xy~y

W pozostałych 13. pracach nie zdołałam określić aspektu rozumienia sym­ bolu literowego przez badanego (uczeń nie pisał uzasadnienia lub wstawiał za

n konkretną liczbę tak, że nie można stwierdzić, czy można dokonać innego

podstawienia).

Z wyróżnionymi aspektami zestawiłam typy odpowiedzi udzielanych przez uczniów w sytuacji ogólnej n (tabela 7). Charakterystykę wyróżnionych typów przedstawiłam we wcześniejszym artykule (Zaręba, 2001, s. 110-111).

Aspekt symbolu literowego

Typ odpowiedzi w sytuacji ogólnej n Symbolicznie dobrze Symbolicznie źle Konkretnie dobrze Konkretnie źle Słownie dobrze Przyp. wątpliwy lub brak odp.

Niewiadoma 14 1 1 Zmienna 2 1 2 Niewiadoma i zmienna 1 2 Stała 1 ? 5 4 1 3

T a b e la 7. Liczbowe zestawienie badanych uczniów polskich, uwzględniające typy odpowie­ dzi w sytuacji ogólnej n oraz aspekty rozumienia symbolu n (na podstawie analizy testów „Proste” )

Zakończenie

Podjęte i opisane w artykule badania dotyczyły: rodzajów uogólnień sto­ sowanych przez uczniów w wieku 10-14 lat, możliwości badanych w zakresie stosowania symbolu literowego w procesie uogólniania, sposobów postępowa­ nia oraz trudności tych uczniów w trakcie rozwiązywania zadań, ukierunkowa­ nych na uogólnianie. Analiza pisemnych rozwiązań zadań testów pod kątem postawionych problemów badawczych sugeruje następujące wnioski:

1. Istnieją co najmniej trzy rodzaje uogólnień, które może stosować uczeń w wieku 10-14 lat. Są to: uogólnianie poprzez przykład (poziomu 1. i poziomu 2.), polegające na rozwiązaniu zadania dla konkretnej, obra­ nej przez ucznia liczby, uogólnianie werbalne opisujące czynności ucznia i uogólnianie symboliczne, ujmujące zależność w postaci wzoru ze zmien­ ną (terminologia własna na użytek przeprowadzonych badań). Prawdo­ podobnie uogólnianie poprzez przykład, jak i uogólnianie werbalne są dla uczniów badanej grupy łatwiejsze niż uogólnianie symboliczne. 2. Symboliczny i poprawny zapis logicznej zależności znajduje się powy­

żej możliwości przeciętnego ucznia badanej próbki, natomiast stosowa­ nie zmiennej d o wyrażania zależności liczbowych (bez wnikania w po­ prawność zapisu), znajduje się w strefie najbliższych możliwości uczniów badanej grupy.

3. Sposób rozumowania, prowadzony przez badanego, ma wpływ na efekt końcowy jego pracy. Prawdopodobnie rozumowanie geometryczne (pole­ gające na zauważeniu regularności w toku obserwacji figur geometrycz­ nych) szybciej niż rozumowanie wyłącznie numeryczne (oparte na prawie rekurencji) prowadzi do uogólnienia symbolicznego czy werbalnego. 4. Im wyższy poziom czynności, do których dane zadanie prowokuje (p o ­

ziom czynności konkretnych, wyobrażeniowych lub abstrakcyjnych), tym zadanie jest dla badanego trudniejsze. Możliwość symbolicznego zapisu dostrzeżonej przez ucznia zależności uzależniona jest przypuszczalnie od aspektu, w jakim rozumie on symbol literowy użyty w zadaniu.

W szczególności, niewiadoma pozostaje kolejność wykonywania zadań testu, mająca istotny wpływ na prawdziwość postawionych hipotez. Choć przepro­ wadzone badania mogą być obarczone błędem, to jednak sugerują kierunek dalszych prac badawczych. Nasuwa się potrzeba przeprowadzenia badań in­ dywidualnych, na podstawie których mogłyby zostać uzupełnione i zweryfiko­ wane, sformułowane w artykule hipotezy. Mam jednak świadomość, że nawet takie badania mogą nadal zawierać błędy w interpretacji. Proces uogólniania jest bowiem operacją umysłową, podczas gdy możliwości interpretacji dotyczą jedynie o b s e rw o w a ln y ch zachowań i działań badanego ucznia.

L ite ra tu ra

C i o s e k , M.: 1995, O roli przykładów w badaniu matematycznym, Dydak­

tyka matematyki 17, 5-85.

Ć w i k , M.: 1988, Pytanie nauczyciela jako środek kontroli w nauczaniu ma­ tematyki, Dydaktyka Matematyki 8, 7-50.

D ą b r o w s k i , M. , P i s k o r s k i , P., Z a w a d o w s k i , W .: 1999a, Pro­

gram nauczania matematyki w klasach 4-6 szkoły podstawowej, WSiP Spółka

Akcyjna, Warszawa.

D ą b r o w s k i , M. , P i s k o r s k i , P., Z a w a d o w s k i , W .: 1999b, Pro­

gram nauczania matematyki w klasach I-III gimnazjum, Wydawnictwa Szkolne

i Pedagogiczne Spółka Akcyjna, Warszawa.

G u c e w i c z - S a w i c k a , I.: 1982, Proces uogólniania w nauczaniu ma­ tematyki, w: Podstawowe zagadnienia dydaktyki matematyki pod red. I. Gu- cewicz-Sawickiej, PWN, Warszawa, 107-118.

K ą k o 1 H., P o w ą z k a, Z.: 2000, Przewodnik metodyczny klasa II gim­

nazjum, , O nauczaniu i uczeniu się matematyki w klasie II gimnazjum, W y­

dawnictwo Kleks, Bielsko-Biała.

K i c z m e r, M.: 1986, Rozumienie litery jako symbolu matematycznego przez

uczniów na różnym poziomie, Praca magisterska wykonana pod kierunkiem

doc. dr. hab. S. Turnaua, Kraków.

K o n i o r , J.: 1996, O pojęciu zmiennej w nauczaniu szkolnym matematyki,

Dydaktyka Matematyki 18, 71-102.

K r y g o w s k a , Z.: 1955, O poprawne rozumienie przez uczniów symbolu literowego w nauce algebry, Matematyka 4, 21-32.

K r y g o w s k a , Z.: 1977, Zarys dydaktyki matematyki cz. 3, WSiP, War­ szawa.

K r y g o w s k a Z.: 1981, Główne problemy i kierunki badań współczesnej dydaktyki matematyki, Dydaktyka Matematyki 1, 7-60.

K u r c z , I.: 1979, Czynność uczenia się, w: Psychologia, red. T. Tomaszew­ ski, PW N, Warszawa, 247-293.

Łamigłówki z Manchesteru. Zadania otwarte dla szkoły podstawowej cz. 2.:

1993, WSiP, Warszawa.

Matematyka i komputery, Materiały Grupy Roboczej Stowarzyszenia Nauczy­ cieli Matematyki Matematyka i Komputery: 1999, Drukarnia Offsetowa Jerzy

Małysz, Bielsko-Biała.

M n i c h , W .: 1980, Aktywności matematyczne jako kryterium doboru zadań

w nauczaniu matematyki (rozprawa doktorska — promotor: prof, dr A. Z.

Krygowska, W SP Kraków).

N o w a k , W.: 1989, Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, War­ szawa.

N o w e c k i, B. J., K 1 a k 1 a, M.: 1999, Matematyka. Przewodnik dla na­

uczyciela. Klasa czwarta szkoły podstawowej, Wydawnictwo Kleks, Bielsko-

Biała.

P i a g e t J.: 1966, Narodziny inteligencji dziecka, PW N, Warszawa. P o l y a , G.: 1993, Jak to rozwiązać?, PWN, Warszawa.

S i w e k , H.: 1989, Rapport d ’un fragment de recherche sur le developpement de simples activites mathematiques chez des enfants legerement handicapes de 1’ecole elementaire w: Recherches en Didactique des Mathematiques, 10, n° 1, 61-110.

T u r n a u , S.: 1990, Wykłady o nauczaniu matematyki, PWN, Warszawa. W i l k - S i w e k , H.: 1995, Przewodnik metodyczny 1, 2. O nauczaniu

i uczeniu się. matematyki w klasie pierwszej i drugiej szkoły podstawowej, W y­

dawnictwo Kleks, Bielsko-Biała.

W i l k - S i w e k , H.: 1999, Matematyka. Program realistyczno-czynnościo­

wego kształcenia w klasach IV- VI szkoły podstawowej. Cztery strony świata,

Wydawnictwo Kleks, Bielsko-Biała

Wyniki ogólnopolskich badań osiągnięć uczniów, nauczycieli i szkół 1981-1988:

1988, Instytut Kształcenia Nauczycieli im. W . Spasowskiego w Warszawie, Warszawa.

Z a r ę b a , L.: 2001, Dojrzałość do stosowania symbolu literowego w procesie uogólniania u uczniów w średnim wieku szkolnym, w: Rocznik Komisji Nauk