APT Algorytmika Problemów Trudnych: Zestaw 2 Semestr letni 2020/2021
Kraków 10 marca
Algorytmy rozgałęziające się
Zadanie 1 (1p.). Graf G jest grafem klikowym jeżeli każda jego spójna składowa jest kliką. W problemie Modyfikacji Wierzchołkowej Grafu Klikowego mamy sprawdzić, czy dla danego na wejściu grafu G oraz liczby k można usunąć z G co najwyżej k wierzchołków aby otrzymać graf klikowy. Zaproponuj algorytm o złożoności O(3knO(1)) dla tego problemu.
Zadanie 2 (1p.). W problemie Najbliższego Ciągu dla zbioru k ciągów z {0, 1}n oraz liczby d należy stwierdzić, czy istnieje ciąg w {0, 1}n, którego odległość Hamminga od wszystkich k ciągów jest ograniczona przez d.
∗ Podaj algorytm kernelizacji dla tego problemu, który zwraca jądro składające się z co najwyżej k ciągów, których długość jest ograniczona przez kd.
∗ Zaproponuj algorytm rozgałęziający się rozwiązujący problem Najbliższego Ciągu w czasie O(nk + kd(d + 1)d).
Zadanie 3 (1p.). W problemie MIN-2-SAT dla zadanej na wejściu formuły 2-SAT (każ- da klauzula składa się z dwóch literałów) oraz liczby k mamy sprawdzić, czy istnieje wartościowanie zmiennych formuły spełniające co najwyżej k klauzul. Podaj algorytm o złożoności O(2knO(1)) dla MIN-2-SAT.
Zadanie 4 (1p.). Zaproponuj algorytm o złożoności O∗(2n) sprawdzający, czy graf G o n wierzchołkach można pokolorować krawędziowo (dowolne dwie krawędzie przylegające do wspólnego wierzchołka muszą otrzymać różny kolor) 3 kolorami.
Zadanie 5 (2p.). Zaproponuj algorytm o złożoności O∗(cn) dla pewnego c < 2 sprawdza- jący, czy graf G o n wierzchołkach można pokolorować krawędziowo 3 kolorami.
Zadanie 6 (1p.). Zaproponuj algorytm (rozgałęziający się) dla problemu spełnialności 3-SAT działający w czasie O((2 − )nmO(1)) dla pewnego > 0, gdzie n oraz m to odpowiednio liczba zmiennych oraz liczba klauzul instancji wejściowej.
Zadanie 7 (1p.). Graf G jest split grafem jeżeli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa podzbiory V1 oraz V2 takie, że G[V1] jest kliką oraz G[V2] jest antykliką. W proble- mie Modyfikacji Wierzchołkowej Split Grafu mamy sprawdzić, czy dla danego na wejściu grafu G oraz liczby k można usunąć z G co najwyżej k wierzchołków aby otrzymać split graf. Zaproponuj algorytm o złożoności O(4knO(1)) dla tego problemu.
Spróbuj zredukować problem Modyfikacji Wierzchołkowej Split Grafu do problemu pokry- cia wierzchołkowego parametryzowanego przez µ = k − m (problem ten jest FPT - patrz ostatni wykład), gdzie k to rozmiar poszukiwanego pokrycia, a m to rozmiar maksymal- nego dopasowania.
Zadanie 8 (2p.). W problemie Drzewa Rozpinającego z Maksymalną Liczbą Liści pytamy, czy dla grafu spójnego G oraz liczby k istnieje drzewo rozpinające G zawierające co najmniej k liści. Zaproponuj algorytm rozgałęziający się rozwiązujący powyższy problem w czasie 4knO(1).
Strona 1/1
