Kodowanie g¸este

Algebraiczne aspekty kryptografii

7. KOMUNIKATY KWANTOWE. Protok´o l BB84. Kodowanie g¸este.

1. Twierdzenie o zakazie klonowania kwantowego. Zadna ewolucja dy-˙ namiczna (operator unitarny) U nie realizuje klonowania nast¸epuj¸acej postaci (przy ustalonym |ψi)

|ξ ⊗ ψi ⇒ |ξ ⊗ ξi

Zad.1 Udowodni´c twierdzenie o zakazie klonowania kwantowego.

(Wskaz´owka: hξ₁⊗ ψ|U^∗U |ξ₂⊗ ψi =?)

Protok´o l BB84. Nadawca A (=Alice) wysy la fotony w jednej z 4 polaryzacji:

|0i , |1i , |+i = 1

√2(|0i + |1i) i

|−i = 1

√2(|0i − |1i) (+−-stany Hadamarda).

Wysy laj¸ac ci¸ag x1, x2, ..., xi, ... ∈ {0, 1} dla ka˙zdego xiAlice wysy la jeden z powy˙zszych wektor´ow: |0i lub |+i dla x_i = 0 i |1i lub |−i dla x_i = 1 (wybieraj¸ac baz¸e polaryzacji dla ka˙zdego x_i losowo).

Odbiorca B wybieraj¸ac losowo baz¸e standardow¸a lub Hadamarda wykonuje pomiar otrzymanego wektora i og lasza ci¸ag analizator´ow (tzn. powy˙zsze bazy). Alice og lasza polaryzatory, kt´ore s¸a zgodne z analizatorami Boba.

Zakaz klonowania kwantowego nie pozwala osobie przechwytuj¸acej informacj¸e za- chowa´c polaryzacj¸e foton´ow wys lanych przez A w 100 procentach (w trakcie dalszego przekazywania foton´ow do B).

2. Kodowanie g¸este.

Alice i Bob odpowiednio dzia laj¸a w rejestrach H_A i H_B w uk ladzie H_A⊗ H_B. Stany Bella w uk ladzie H_A⊗ H_B:

|Φ⁺⁻_ABi = 1

√2(|00i + (odp: - ) |11i),

|Ψ⁺⁻_ABi = 1

√2(|01i + (odp: - ) |10i).

Operatory Pauli w H_A:

σ₁ = |1ih0| + |0ih1| , σ₂ = i|1ih0| − i|0ih1| , σ₃ = |0ih0| − |1ih1|.

Zad. 2. Czy stany Bella s¸a spl¸atane? Czy tworz¸a baz¸e w H_A⊗ H_B?

1

Dzia lania w pierwszym rejestrze powoduj¸a nast¸epuj¸ace zmiany:

(σ₁⊗ I)|Φ⁺⁻_ABi = |Ψ⁺⁻_ABi , (σ₁⊗ I)|Ψ⁺⁻_ABi = |Φ⁺⁻_ABi , (σ3⊗ I)|Φ⁺⁻_ABi = |Φ⁻⁺_ABi , (σ3⊗ I)|Ψ⁺⁻_ABi = |Ψ⁻⁺_ABi.

Zad. 3. Jakie zmiany powoduj¸a dzia lania przy pomocy σ₂?

Kodowanie g¸este: ˙Zeby przekaza´c dwa bity x i y startuj¸ac ze stanu |Φ⁺_ABi, nadawca A stosuje po kolei σ₁^x i σ₃^y w swoim rejestrze.

Udost¸epniaj¸ac odbiorcy B swoj kubit (np. w postaci fotonu), nadawca A przekazuje stan

σ₃^yσ₁^x(|Φ⁺_ABi),

kt´ory mo˙ze by´c rozpoznany w wyniku pomiaru w bazie sk ladaj¸acej si¸e ze stan´ow Bella.

2