Funkcje ciągłe

Granica funkcji

Definicja

Niech ∅≠ A ⊂ R. Powiemy, Ŝe x∈R jest punktem skupienia zbioru A (w sensie Heinego) jeŜeli

[PSH] ∃{x_n}_{n N} ⊂ A\{x}

∈ _nlim xⁿ

∞

→ = x

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy symbolem A^d.

Punkt zbioru A, który nie jest jego punktem skupienia nazywamy punktem izolowanym zbioru A.

Przykłady : A ≡ <2, 3) ∪ {4} → A^d = <2, 3> → i 4 jest punktem izolowanym zbioru A. 4∈A\A^d. A ≡ N → A^d = N ⁿ= ∅ → A\A^d = A

A ≡ { n

1}_n∈N → A^d = {0} → A\A^d = A.

Definicja (Heinego granicy funkcji w punkcie)

Niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→R i niech xo∈X będzie punktem skupienia zbioru D. Powiemy, Ŝe funkcja f ma w punkcie x_o∈X granicę g∈Y jeŜeli dla dowolnego ciągu elementów {x_n}_n∈N ⊂ D\{x_o} spełniony jest warunek:

(*) _n

nlim x

∞

→ = xo w (X,δ) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ =g.

Piszemy wtedy lim f(x)

xo

x→ = g. Mamy więc [GH] lim f(x)

xo

x→ = g ∈R ≡ _{{x } D\{xo}}

N n

n ⊂

∀ ∈ _n

nlim x

∞

→ = x_o⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ =g∈R

Definicja (Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie)

Niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→R i niech x_o∈X będzie punktem skupienia zbioru D. Powiemy, Ŝe funkcja f ma w punkcie x_o∈X granicę g∈Y jeŜeli

[GC] lim f(x)

xo

x→ = g ∈R ≡≡≡≡ ∀ε>0 ∃δ >0 ∀x∈D 0 < |x-x_o| < δ ⇒ |f(x)-g| < ε.

Uwaga. Okazuje się, Ŝe warunki [GH] i [GC]są równowaŜne (dlatego mogliśmy uŜyć tych samych symboli „ lim f(x)

xo

x→ = g” w tych warunkach mogą .

Granice funkcji o wartościach liczbowych

Twierdzenie

Niech ∅≠D⊂R i f:D→R oraz g:D→R i niech a będzie punktem skupienia zbioru D.

Wówczas jeŜeli istnieją granice

a x

lim→ f(x) ∈R i

a x

lim→ g(x)∈R, to

(1)

a xlim

→ (f+g)(x) =

a xlim

→ f(x) +

a xlim

→ g(x) (2) ∀c∈K

a xlim

→ cf(x) = c

a xlim

→ f(x) (3)

a xlim

→ (fg)(x) =

a xlim

→ f(x)

a xlim

→ g(x)

(4) JeŜeli ∀x∈D g(x)≠0 ∧

a xlim

→ g(x)≠0, to

a xlim

→

f

g (x) = ^{x a} lim→ f(x)

a x

lim→ g(x) (5)

a xlim

→ |f|(x) = |

a xlim

→ f(x)|

Dowód (4)

Niech {xn}_n∈N ⊂D\{xo} i niech _n

nlim x

∞

→ = xo w (X,d) i niech

a xlim

→ f(x) ≡g oraz

a xlim

→ g(x)≡h. Wobec definicji Heinego mamy więc

(1) lim f(x_n)

n→∞ = g ∧ ^{lim g(x}n⁾ n→∞ =h

Z twierdzenia o granicy ilorazu ciągów mamy

h g ) x ( g

) x ( lim f

n n

n =

∞

→ ,czyli z definicji Heinego

h g ) x ( g

) x ( lim f

a

x =

→ , co

kończy dowód.

Granice jednostronne Definicja

Niech ∅≠D⊂R. Powiemy, Ŝe a∈R jest lewostronnym (prawostronnym) punktem skupienia zbioru D jeŜeli istnieje ciąg {x_n}_n∈N⊂ D taki, Ŝe _n

n

x

lim→∞ = a i ∀n∈N x_n < a (∀n∈N x_n > a).

Piszemy wówczas a∈ D^d– (a∈D^d+)

Łatwo sprawdzić, Ŝe a∈ D^d_–⇔∀ε>0 (a-ε,a)∩D ≠∅. [a∈D^d₊⇔∀ε>0 (a,a+ε)∩D ≠∅].

Definicja

Niech ∅≠D⊂R. Niech f:D→R i niech a∈D^d_– (a∈D^d₊)

Powiemy, Ŝe g∈R jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f w punkcie a jeŜeli (*) ∀{x_n}_n∈N⊂ D ( _n

nlim x

∞

→ = a ∧∀n∈N x_n < a) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ = g.

((**) ∀{x_n}_n∈N⊂ D ( _n

nlim x

∞

→ = a ∧∀n∈N x_n > a) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ = g.) Piszemy wtedy

→a+ x

lim f(x) = g (

→a− x

lim f(x) = g ).

Analogicznie definiujemy granice jednostronne dla g = ∞ i g = -∞.

Twierdzenie (o granicach jednostronnych)

Niech ∅≠D⊂R. Niech a będzie punktem skupienia zbioru D i f:D→Y Na to by istniała granica

a xlim

→ f(x) = g∈Y potrzeba i wystarcza, by istniały granice

→a+ x

lim f(x),

→a− x

lim f(x) i miała miejsce równość

→a+ x

lim f(x) =

→a− x

lim f(x) = g.

Dowód (warunek konieczny) Zakładamy, Ŝe

(1) g ≡

a x

lim→ f(x)

Niech {xn}_n∈N⊂ D ( _n

nlim x

∞

→ = a ∧∀n∈N xn < a).

Z (1) dla ciągu {x_n}_n∈N mamy lim f(x_n)

n→∞ = g, więc

→a− x

lim f(x) = g. Analogicznie

→a+ x

lim f(x) = g.

Dowód (warunek wystarczający) ZałóŜmy teraz, Ŝe istnieją granice

→a+ x

lim f(x) ,

→a− x

lim f(x) i ma miejsce równość (2) x→a+

lim f(x) =

→a− x

lim f(x) = g.

Niech {x_n}_n∈N⊂ D\{a} i _n

nlim x

∞

→ = a.

ZauwaŜmy, Ŝe co najmniej jedną z nierówności:

(3) x_n < a ; x_n >a

spełnia nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N.

RozwaŜmy przypadki:

(i) obie nierówności w (3) spełnia nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N.

Niech {x_k }_{n N}

n ∈ , {x_s }_{n N}

n ∈ będą podciągami ciągu {x_n}_n∈N takimi, Ŝe {x_k }_{n N}

n ∈ 4{xs }n N

n ∈ = {x_n}_n∈N spełniającymi odpowiednio nierówności

kn

x < a ;

sn

x >a.

Niech ε>0. Wobec (2) dla tej liczby oraz {x_k }_{n N}

n ∈ , {x_s }_{n N}

n ∈ mamy (3) ∃p∈R ∀n≥p d(f(

kn

x ),g) < ε (4) ∃r∈R ∀n≥r d(f(x_sn),g) < ε.

Niech q ≡ max{r,p}. Niech n≥q . Oczywiście, dla pewnego m∈N mamy (5) n = k_m lub n = s_m

PoniewaŜ x_n =

kn

x lub x_n =

sn

x , oraz k_m = n ≥ q ≥ p lub s_m = n ≥ q ≥ r, to z (3) i (4) mamy d(f(x_n)) < ε, czyli )

x ( f

lim _n

n→∞ = g, a więc

a xlim

→ f(x) = g.

(ii) nierówność x_n >a spełnia co najwyŜej skończona ilość wyrazów.

Wówczas nierówność x_n < a spełnia nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N. Niech {x_k }_{n N}

n ∈ będzie podciągiem ciągu {x_n}_n∈N powstałym z niego przez opuszczenie wszystkich ewentualnych wyrazów, które spełniają nierówność

x_n >a. Ciągi {x_n}_n∈N, {x_k }_{n N}

n ∈ róŜnią się tylko co najwyŜej skończoną ilością wyrazów.

Dla ciągu {x_k }_{n N}

n ∈ mamy wobec (2) (5) lim f(x_kn)

n→∞ = g

poniewaŜ ciągi {x_n}_n∈N, {x_k }_{n N}

n ∈ róŜnią się tylko co najwyŜej skończoną ilością wyrazów mamy teŜ (6) lim f(x_n)

n→∞ =g.

Stąd

a xlim

→ f(x) = g.

(iii) nierówność x_n < a spełnia co najwyŜej skończona ilość wyrazów.

Analogicznie jak wyŜej otrzymujemy

a xlim

→ f(x) = g.

Twierdzenie

Niech (Y,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅≠D⊂R. Niech a ∈D^d. Na to by istniała granica

a xlim

→ f(x) = ∞ potrzeba i wystarcza, by istniały granice

→a+ x

lim f(x)

→a− x

lim f(x) i miała miejsce równość

→a+ x

lim f(x) =

→a− x

lim f(x) = ∞. Analogicznie dla -∞.

Dowód (róŜni się drobnymi szczegółami technicznymi od dowodu poprzedniego twierdzenia)

Funkcje ciągłe

Definicja

Niech ∅≠ D ⊂ X i f:D→R. Powiemy, Ŝe funkcja f jest ciągła w punkcie a∈D jeŜeli

[CH] ∀∀∀∀{xn}_{n∈∈∈∈N} ⊂⊂ D ⊂⊂

∞

→ n

lim xn = a ⇒⇒⇒⇒

∞

→ n

lim f(xn) = f(a).

[CC] ∀∀∀∀ε>0 ∃∃∃∃r>0 ∀∀x∈∀∀ ∈∈D |x – a| < r ∈ ⇒⇒⇒⇒ |f(x) – f(a)| < ε.

Uwaga 1

RównowaŜności warunków [CC] i [CH] dowieźć moŜna zupełnie analogicznie jak [GH] i [GC]

Uwaga 2

ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli a∈D^d , to z (*) wynika, Ŝe

a xlim

→ f(x) = f(a).

Istotnie, jeŜeli dla dowolnego ciągu {xn}_n∈N ⊂ D

∞

→

nlim xn = a ⇒

∞

→

nlim f(xn) = f(a), to tym bardziej dla ciągów {x_n}_n∈N ⊂ D\ {a} prawdziwa jest implikacja

∞

→

nlim x_n = a ⇒

∞

→

nlim f(x_n) = f(a).

WykaŜemy, Ŝe jeŜeli dla a∈D^d , mamy

a xlim

→ f(x) = f(a), to f jest ciągła w punkcie a ∈ D.

Twierdzenie

Niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→R oraz niech a∈D∩D^d. JeŜeli

a xlim

→ f(x) = f(a), to f jest ciągła w punkcie a ∈ D.

Dowód

Zakładamy, Ŝe (1) a∈D∩D^d

oraz (2)

a xlim

→ f(x) = f(a) [∀{xn}_n∈N ⊂ D\{a}

∞

→

nlim xn = a ⇒

∞

→

nlim f(xn) = f(a)]

NaleŜy wykazać, Ŝe (*) ∀{x_n}_n∈N ⊂ D

∞

→

nlim x_n = a ⇒

∞

→

nlim f(x_n) = f(a).

Niech {xn}_n∈N ⊂ D oraz (3) nlim→∞xn = a

WykaŜemy, Ŝe

(**)nlim→∞f(x_n) = f(a) [∀ε > 0 ∃s∈N ∀n≥s | f(x_n) – f(a) | < ε ] RozwaŜmy przypadki

(i) Prawie wszystkie wyrazy ciągu {x_n}_n∈N ⊂ D równe są elementowi a (czyli tylko co najwyŜej skończona ilość wyrazów ciągu {xn}n∈N ⊂ D róŜna jest od a.

(ii) Po opuszczeniu w ciągu {xn}_n∈N ⊂ D wyrazów równych elementowi a, zostaje w nim nieskończona ilość wyrazów (siłą rzeczy róŜnych od a). Istnieje więc podciąg

{ }

∈ ciągu {x_n}_n∈N ⊂ D złoŜony z wyrazów róŜnych od a.

Ad(i)

W tym przypadku prawie wszystkie wyrazy ciągu { f(x_n} }_n∈N ⊂ D równe są elementowi f(a), czyli

∞

→

nlim f(x_n) =

∞

→

nlim f(a) = f(a), co kończy dowód (*) w przypadku (i).

Ad (ii)

Mamy tu wobec (3) (4) nlim→∞ x_kn= a ∧

{ }

∈ ⊂ D\{a}

więc wobec (2)

(5) nlim→∞f(x_kn) = f(a) [ ∀ε > 0 ∃s∈N ∀n≥s z | f(x_kn) – f(a) | < ε ].

Przystępujemy do dowodu (**) Niech ε > 0. Wobec (5) mamy

(6) ∃s∈N ∀n≥s | f(x_kn) – f(a) | < ε Niech n ≥ k_s.

RozwaŜmy przypadki (iii) n ∈

{ }

∈ ( ∃ m ∈ N k_m = n ≥ k_s , wiec teŜ m ≥ s ) (iv) n ∉

{ }

∈ ( wobec definicji tego podciągu xn = a ) Ad (iii)

Mamy wobec (6) z racji m ≥ s (7) |( f(xn) , f(a) ) = | f(x_km) – f(a) | < ε Ad (iv)

Tu

(8) | f(xn) – f(a) | = | f(a) – f(a) | = 0 < ε.

Wobec powyŜszego twierdzenia i uwagi przed nim mamy następujący wniosek

Wniosek

Niech ∅≠ D ⊂ X i f:D→Y oraz niech a∈D∩D^d. Funkcja f jest ciągła w punkcie a ∈∈∈ D ⇔∈ ⇔⇔⇔

a xlim

→ f(x) = f(a),

Definicja

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅≠ D ⊂ X. Punkt a∈D, który nie jest punktem skupienia zbioru D nazywamy punktem izolowanym tego zbioru. (Elementy zbioru D\D^d to punkty izolowane D)

Twierdzenie

Niech ∅≠ D ⊂ X i f:D→Y. JeŜeli a∈D\D^d , to f jest ciągła w punkcie a.

Dowód

Niech a∈D\D^d. Wówczas a nie jest granicą Ŝadnego ciągu punktów zbioru D\{a}, czyli jedynymi ciągami elementów zbioru D zbieŜnymi go punktu a są ciągi od pewnego miejsca stałe i równe a.

Jeśli wiec {x_n}_n∈N ⊂ D oraz

(1) nlim→∞xn = a, to

(2) ∃k∈R ∀n>k xn = a.

więc (3)n→∞

lim f(x_n) =

∞

→ n

lim f(a) = f(a)

Wniosek.

Niech ∅≠ D ⊂ X i f:D→R. Funkcja f jest ciągła w punkcie a ∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy a jest punktem izolowanym zbioru D lub gdy granica funkcji f w punkcie a równa jest jej wartości w tym punkcie.

f:D→Y jest ciągła w a∈D ⇔ a∈D\D^d∨

a xlim

→ f(x) = f(a).

Twierdzenie (o ciągłości superpozycji)

Niech ∅≠ D ⊂ R i f:D→Y⊂R i g:f(D)→Z⊂R. JeŜeli funkcja f jest ciągła w a∈D i funkcja g jest ciągła w b=f(a), to superpozycja g○f jest ciągła w punkcie a∈D.

Dowód

Niech {x_n}_n∈N⊂D i

∞

→ n

lim x_n = a. Wobec ciągłości f w punkcie a∈D mamy (1) n→∞

lim f(x_n) = f(a) = b

Wobec ciągłości g w punkcie b z (1) mamy (2) n→∞

lim g(f(x_n)) = g(f(a)) = g(b).

a to oznacza ciągłość g○f w punkcie a.

Wniosek

Niech ∅≠ D ⊂ R i f:D→Y⊂R i g:f(D)→Z⊂R. Niech a∈D^d . JeŜeli istnieje granica

a xlim

→ f(x) = b ∈f(D) i funkcja g jest ciągła w punkcie b, to

a x

lim→ (g)f)(x) = g(b), co zapisać moŜemy równieŜ

a x

lim→ (g)f)(x) = g(

a x

lim→ f(x)) = g(b).

Twierdzenie

JeŜeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie a∈D, to ciągłe są równieŜ funkcje |f|, f+g, fg, f/g (g(a)≠0). [ JeŜeli K=C to ciągłość funkcji f jest równowaŜna ciągłości funkcji Re(f), Im(f)}

Dowód ( wynika z własności granic).

Definicja.

Niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→R. Powiemy, Ŝe funkcja f jest ciągła w zbiorze D jeŜeli jest ciągła w kaŜdym punkcie tego zbioru. Zbiór wszystkich funkcji ciągłych f:D→R oznaczamy przez CD.

Twierdzenie

Funkcje elementarne (wielomiany, funkcje wymierne, niewymierne, potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne, cyklometryczne) są funkcjami ciągłymi.

Dowód

WykaŜemy, Ŝe funkcje wymierne są ciągłe. Dowody dla niektórych wymienionych wyŜej funkcji będą na ćwiczeniach. Pozostałe znaleźć moŜna np. w „Kołodzieju”.

Niech c∈R. ZauwaŜmy, Ŝe funkcja f:R→R określona wzorem ∀x∈R f(x) ≡ c jest ciągła, bo dla dowolnego a∈R mamy

a xlim

→ f(x) = c = f(a). Równie łatwo wykazać, Ŝe funkcja id_R jest ciągła. Wobec poprzedniego twierdzenia ciągłe są więc wielomiany i w konsekwencji funkcje wymierne.