APROKSYMACJA ZASTĘPCZYCH PARAMETRÓW I ROZKŁADU POLA ELEKTRYCZNEGO W PRZEWODZĄCYCH WARSTWACH PERIODYCZNYCH MATERIAŁÓW ZŁOŻONYCH PRZY ZASTOSOWANIU MODELU OBWODOWEGO

(1)

DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0014

__________________________________________

* Politechnika Białostocka

Adam STECKIEWICZ^*

APROKSYMACJA ZASTĘPCZYCH PARAMETRÓW I ROZKŁADU POLA ELEKTRYCZNEGO

W PRZEWODZĄCYCH WARSTWACH PERIODYCZNYCH MATERIAŁÓW ZŁOŻONYCH PRZY ZASTOSOWANIU

MODELU OBWODOWEGO

W artykule rozpatrzono wyznaczenie rozkładu pola elektrycznego, poprzez zastosowanie metod modelowania obwodowego periodycznie rozłożonych struktur przewodzą- cych. Zaproponowano geometrię struktur tworzących warstwę roboczą materiału złożo- nego. Przykładowy materiał poddano analizie polowej za pomocą Metody Elementów Skończonych (MES) oraz obwodowej przy zastosowaniu ekwiwalentnego schematu elektrycznego, obliczając rozkład potencjału elektrycznego. Na podstawie obu modeli określono zastępczą rezystancję materiału widzianą z wybranej pary zacisków oraz oszacowano całkowitą rozpraszaną moc cieplną. Wyniki obliczeń porównano z pomiarami rzeczywistych prototypów, wytworzonych metodą druku 3D. Scharakteryzowano dokładność metod obliczeniowych. Omówiono efektywność metody obwodowej, w kontekście odwzorowania zjawisk i właściwości elektrycznych materiałów o złożonej geometrii i różnym sposobie zasilania.

SŁOWA KLUCZOWE: materiały laminarne, struktury periodyczne, rozkład potencjału.

1.WSTĘP

Kompozyty elektromagnetyczne stanowią grupę złożonych materiałów o efektywnych właściwościach kształtowanych na poziomie faz składowych [1, 4]. Rozróżnić można materiały hybrydowe [2], w których prowadzi się do kontrolowanego rozproszenia cząstek jednego materiału w innym, a także mate- riały „składane” z kilku warstw o różnych właściwościach fizycznych i grubo- ściach [3]. Pośrednią formą między nimi są materiały laminarne z przewodzącą elektrycznie warstwą periodyczną [5, 6]. Charakteryzują się cienkowarstwową budową, której podstawowym elementem jest warstwa robocza (przewodzącą), uformowana z powtarzalnie rozłożonych - w obrębie powierzchni 2D - komórek o dobieranej strukturze (rys. 1). Geometria komórek decyduje o wypadkowych właściwościach elektrycznych, termicznych, mechanicznych powstałego mate-

(2)

170 Adam Steckiewicz

riału. Układy tego typu mogą być stosowane, np. jako struktury pasywne o pa- rametrach rozłożonych (odmiana radiatorów porowatych niskiej mocy [7]), skupionych (drukowane cewki małej indukcyjności), czy układy aktywne z rozproszoną generacją ciepła (np. maty cieplne [5]). Wypadkowe parametry kształtowane są w obrębie pojedynczego elementu Ωe, osadzonego na warstwie nośnej ΩB, poprzez dobór materiału i geometrii wewnętrznej (rys. 1). Uporząd- kowana struktura komórek Ωe o stałych rozmiarach Δx × Δy × Δz tworzy układ ΩM. Zastosowanie elastycznych materiałów pozwala na tworzenie komponen- tów o dowolnym kształcie i dopasowaniu ich do szczególnych wymagań. Perio- dyczny układ Ωe pozwala na uzyskanie materiału charakteryzującego się ujed- norodnieniem właściwości w ramach powierzchni i zwiększoną odpornością na uszkodzenia struktury.

Rys. 1. Analizowany materiał złożony ΩM z warstwą periodyczną komórek Ωe

W artykule przedstawiono model numeryczny i obwodowy materiałów laminarnych z komórkami o geometrii krzyżowej. Omówiono wyniki obliczeń rozkładu stacjonarnego pola elektrycznego w obrębie warstwy przewodzącej i podłoża (ΩB) uzyskane na podstawie obu modeli - przy wymuszeniu napię- ciowym, zadanym na wybranej parze zacisków zewnętrznych. Scharakteryzo- wano dokładność obliczeń metody obwodowej względem polowej (numerycznej). Oszacowano zastępczą rezystancję widzianą z pary zacisków zasilających i rozpraszaną moc cieplną. Rezultaty obliczeń porównano z pomiarami prototy- pu wykonanego techniką druku 3D.

(3)

2.MODELANALIZOWANEGOMATERIAŁU 2.1. Model polowy

Rozpatrywane zjawiska dotyczą stacjonarnego lub quasi-stacjonarnego pola elektrycznego, w którym szybkość zmian prądu elektrycznego ma pomijalny wpływ na układ. Zagadnienie może zostać wówczas uproszczone do przypadku 2D i analizy wyłącznie warstwy przewodzącej, zaś nieprzewodzące podłoże Ω_B jest częściowo pomijane – uwzględniane są jedynie wypełnienia przestrzeni między i wewnątrz komórkami (rys. 2). Potencjał elektryczny V = V(x,y) w układzie opisuje równanie Laplace’a



^ ^V



⁰

     , (1) z periodycznie zmienną w obrębie układu przewodnością elektryczną σ = σ(x,y).

Rys. 2. Widok na materiał ΩM z warstwą komórek Ωe z zaznaczeniem par zacisków zasilających

Dla każdego z wymuszeń (lokalizacji zacisków) obliczano przestrzenny roz- kład gęstości prądu elektrycznego J = J(x,y) w obrębie układu

 V

  

J , (2)

co pozwoliło na oszacowanie natężenia prądu przepływającego przez materiał Iz z d



 



^J  ⁽³⁾

Na tej podstawie obliczono zastępczą rezystancję widzianą z pary zacisków

 

¹

z u g z

R  V V I^ (4)

oraz całkowitą rozpraszaną moc cieplną

(4)

1

M

Pc z ^dxdy



 



^J ⁽⁵⁾

Wymuszeniem były zadane na brzegach Γ skalarne warunki brzegowe w po- staci potencjału elektrycznego V_u = 5V i V_g = 0V. Wspólnie stanowiły one na- pięcie przyłożone do odpowiedniej pary zacisków zasilających układ. Rozpa- trzono zatem 6 przypadków zasilania układu, kolejno z zacisków 1u1g, 2u2g,

…, 6u6g. Rozmieszczenie zacisków i metodyka badań była identyczna w przy- padku materiału z komórkami o niskiej (rys. 3a) i wysokiej (rys. 3b) rezystancji zastępczej, zwanymi dalej komórkami typu „plus” i „malta”.

Rys. 3. Budowa rozpatrywanych elementów Ωe: a) komórka „plus”; b) komórka „malta"

Komórka Ωe miała stałe wymiary zewnętrze Δx = Δy = 10 mm i Δz ≈ 0,6 mm (stąd szerokość materiału l = 80 mm i długość d = 50 mm). Ich budowa we- wnętrzna opiera się na kształcie znaku plus lub krzyża maltańskiego (rys. 3).

Symetryczna geometria modyfikowana jest przez wycięcie „w” wpływające na szerokość ramion, długość styku przez wysokość „h1”, a nachylenie krawędzi ścieżki poprzez parametr „h2”. Rezystancje zastępcze komórek Rk wyznaczono oddzielnie, rozwiązując ich model polowy (przy wymuszeniach zadanych na krawędziach komórki (rys. 3b) z potencjałem próbnym Vp = 1V) opisany za pomocą (1) z wykorzystaniem MES oraz stosując dalej zależności (3) i (4).

Tabela 1. Parametry komórek.

Typ ∆x=∆y [mm] w [mm] h1 [mm] h2 [mm] Rk [Ω]

"plus" 10 7,0 1,5 3,0 1230,10

"malta" 10 5,0 8,0 6,5 209,96

2.2. Model obwodowy

Analiza numeryczna układu dużej skali (zawierającego tysiące komórek), staje się problemowa ze względu na rozmiary modelu. Rozwiązaniem jest za-

(5)

stosowanie modeli obwodowych, w których rzeczywisty układ zastępowany jest ekwiwalentnym schematem elektrycznym. Wówczas oszacowanie rozkładu pola sprowadza się do rozwiązania problemu sieciowego. Wymaga on połącze- nia z metodą polową na poziomie pojedynczej komórki, w celu wyznaczania rezystancji sieci na podstawie polowego modelu elementu Ωe.

Rys. 4. Schemat elektryczny elementu Ωe: a) dwuwęzłowy; b) czterowęzłowy

Opór komórki „plus” jest 5-krotnie większy (tabela 1) jedynie wskutek zmiany parametrów w, h1, h2 przy tych samych wymiarach zewnętrznych. Pro- ponowany schemat elektryczny komórki [5] uwzględnia skupioną wartość rezy- stancji R każdego z ramion (rys. 4b) i wykorzystuje fakt, iż dla symetrycznych komórek R równe jest rezystancji zastępczej Rk (rys. 3b, 4a). Własność ta pozwala na szybkie przygotowanie schematu komórek i sieci z nich złożonych (rys. 5).

Rys. 5. Model obwodowy struktury periodycznej w postaci szeregowo-równoległego połączenia schematów zastępczych komórek składowych Ω_e o jednakowej rezystancji R_k

(6)

Przy założeniu jednorodności struktury rezystancje sieci będą identyczne, stąd badanie pojedynczej komórki umożliwia szybką konstrukcję modelu obwodowego pełnego układu. Rozwiązanie sieci odwzorowującej układy z rysun- ków 1 i 2, przeprowadzić można dowolną metodą obwodową. Efektem będzie oszacowanie, np. rozkładu potencjału V w poszczególnych węzłach i prądu źródła Iz, a przy znanym wymuszeniu podłączonym do wybranej pary zacisków (np. 1u1g na rys.5) - także rezystancji zastępczej Rz. Znajomość Rz posłuży dalej do obliczenia mocy rozpraszanej w układzie Pc (iloczyn Rz i kwadratu Iz) co jest szczególnie istotne, gdy układ taki projektowany jest jako mata cieplna.

2.3. Prototypowanie techniką druku 3D

Przedstawiony materiał Ω_M zaprojektowano i wykonano w dwóch wariantach struktury komórek Ω_e: typu „plus” i „malta”. Materiał budujący komórki (prze- wodzący filament "Proto-pasta Conductive PLA" o średnicy 2,85 mm) charakte- ryzował się efektywną przewodnością o zmierzonej wartości σ_f = 18,65 S/m.

Każdy prototyp obejmował wytworzenie jedynie warstwy przewodzącej (robo- czej) z pominięciem podłoża Ω_B, które nie bierze udziału w kształtowaniu wła- ściwości elektrycznych. Do wytworzenia próbek posłużono się drukarką 3D

"Ultimaker 2+" współpracującą z wkładem 3 mm i dyszą 0,25 mm.

Rys. 6. Widok na fragment stanowiska pomiarowego i próbkę materiału (komórki typu „malta”)

Procedura druku materiału polega na przygotowaniu trójwymiarowego mo- delu układu, z pominięciem materiału izolacyjnego Ω_B, a następnie wprowadze- niu go do programu dokonującego podziału na nanoszone przez głowicę warstwy i ścieżki jej ruchu. Etap ten jest istotny ze względu na konieczność stwo- rzenia warstwy inicjacyjnej o grubości min. 0,15 mm, niezbędnej do osadzenia materiału na podstawie drukarki (w innym przypadku PLA odkleja się od podło- ża). Jednocześnie warstwa ta przez swą „chropowatą” powierzchnię powoduje niejednorodność grubości utworzonego materiału (nie jest to uwzględniane w rozważanych modelach numerycznym i obwodowym).

(7)

3.PORÓWNANIEMODELUPOLOWEGOIOBWODOWEGO Modele polowe i obwodowe rozwiązano ze względu na potencjał V w tzw.

węzłach układu, czyli punktach styku komórek. Przy różnych parach zacisków - do których przyłączano zasilanie - otrzymano różne Rz. Skrajne jej wartości występują przy skrajnych zaciskach, czyli 1u1g i 6u6g. Wtedy rozpraszana jest w układzie odpowiednio najmniejsza i największa moc. Wynika to wprost z efektywnej drogi i przekroju poprzecznego dla przypływającego ładunku, np.

przy zasilaniu z pary 1u1g odległość między zaciskami jest największa.

Dokładność modelu obwodowego względem polowego opisuje błąd względ- ny %∆R_z. Układ zbudowany z komórek „plus” niemal idealnie odwzorowuje (błąd poniżej 1%) stan elektryczny materiału i umożliwia precyzyjne określenie zastępczych parametrów. Jednak dla układu z komórek „malta” błąd wzrasta do wartości średniej 6,56%. W tym przypadku model obwodowy nie jest w stanie oddać złożoności geometrii i zjawisk polowych w silniej zdeformowanych ko- mórkach. W obu układach największy błąd (wielokrotnie wyższy od innych) wystąpił przy zasilaniu z zacisków 3u3g.

Tabela 2. Zastępcze parametry elektryczne układu zbudowanego z komórek „plus”.

Zaciski Iz [mA] Model polowy Rz [kΩ] PC [mW] Iz [mA] Model obwodowy Rz [kΩ] PC [mW] %∆Rz

1u1g 1,224 4,084 6,121 1,229 4,067 6,147 –0,42%

2u2g 1,479 3,382 7,393 1,488 3,359 7,442 –0,66%

3u3g 1,554 3,218 7,770 1,498 3,337 7,491 3,72%

4u4g 1,565 3,195 7,824 1,578 3,168 7,892 –0,86%

5u5g 1,845 2,709 9,227 1,864 2,683 9,318 –0,98%

6u6g 2,056 2,432 10,278 2,076 2,409 10,379 –0,97%

Tabela 3. Zastępcze parametry elektryczne układu zbudowanego z komórek „malta”.

Zaciski Iz [mA] RModel polowy z [kΩ] PC [mW] Iz [mA] Model obwodowy Rz [kΩ] PC [mW] %∆Rz

1u1g 7,183 0,696 35,915 6,925 0,722 34,626 3,72%

2u2g 8,822 0,567 44,108 8,384 0,596 41,921 5,22%

3u3g 9,305 0,537 46,525 8,440 0,592 42,198 10,25%

4u4g 9,394 0,532 46,972 8,891 0,562 44,456 5,66%

5u5g 11,214 0,446 56,068 10,501 0,476 52,505 6,78%

6u6g 12,596 0,397 62,982 11,697 0,427 58,483 7,69%

Oszacowanie rozkładu pola elektrycznego za pomocą modelu obwodowego, polegało na obliczeniu wartości potencjału w węzłach sieci, a następnie interpo- lowaniu dyskretnych rezultatów w obrębie prostokątnej powierzchni 2D mate-

(8)

176

riału. Poró wyznacza skończony żeniem ro z zacisków numerycz wierzchni jak w pr w obrębie z zacisków kład pow się średni losowy. W padkowy 2g, ..., 6g)

Rys. 7. R

ównując otrz ano w pona

ych, każdy z ozkładu pola

w 1u1g (rys.

znym, a mo i wyniósł 1,1

rzypadku pa e materiału z

w 6u6g (rys ierzchniowy ią wartością Wyjątkiem je wzrost błęd ).

Rozkład potencj po

Ad

zymane wyn ad 800.000

z obliczanyc a. Przykładem

7), gdzie ro oduł średnieg

18% (odchyl arametrów z komórkami

. 8a) |%∆Vsr

y błędów osz wynoszącą est stale pow dów względn

jału na powierz odstawie model

dam Steckiewi

niki z modele równomiern ch modeli ce m jest układ zkład potenc go błędu w lenie standar zastępczych i „plus” były

r| = 0,32% o zacowania po

ok. 1% i j wtarzający si nych w obsz

zchni układu zas lu: a) polowego

icz

em polowym nie rozmiesz echował się

z komórkam cjału jest iden zględnego | rdowe %∆Vo

, błędy osz y niższe, np.

oraz %∆Vos = otencjału (ry est on z reg ię w każdym zarze zacisk

silanego z zacis o; b) obwodowe

m, w którym zczonych el precyzyjnym mi „malta”, z ntyczny jak w

%∆Vsr| dla Vos = 1,42%).

zacowania p dla układu z

= 0,33%. Typ ys. 8b) chara guły nierówn m analizowan ków uziemian

sków 1u1g otrzy ego

potencjał lementach m przybli-

zasilanym w modelu całej po- Podobnie potencjału zasilanego powy roz- akteryzuje nomierny, nym przy-

nych (1g,

ymany na

(9)

Tabela 4. A

Poprze błędu wz wartościa dowe jest że spodzie będą mnie

Rys. 8.

b) pow

Analiza statys

Zaciski 1u1g 2u2g 3u3g 4u4g 5u5g 6u6g Średnia ednie wniosk

ględnego mi mi rzędu 1 ÷ t w przybliże

ewane błędy ejsze od dwu

. a) rozkład pote wierzchnia błędu

tyczna błędów

|%∆

"plus"

0,24%

0,41%

4,50%

0,27%

0,32%

1,01%

ki potwierdza ieści się w

÷ 2%. Powta eniu równe ś y obliczeń roz

ukrotności w

encjału w układ u względnego l

w obliczeń roz

∆V sr|

"malta"

1,18%

2,13%

4,03%

1,89%

1,77%

1,50%

2,08%

a prosta anal przedziale o arza się też średniemu b zkładu pola artości błędu

dzie z komórka iczonego międz

zkładu potencj

%

"plus"

0,41%

0,46%

1,14%

0,38%

0,32%

0,51%

liza statystyc od 0,5% do

zależność, i łędowi. Zate elektryczneg u średniego.

mi „plus” zasila zy modelem po

jału metodą o

%∆Vos

"malta"

1,42%

2,57%

2,27%

2,44%

2,00%

1,65%

2,06%

czna (tabela 4 4%, z domi ż odchylenie em oczekiwa go metodą ob

anym z zaciskó olowym a obwo

obwodową.

4). Moduł inującymi e standar- ać można, bwodową,

ów 6u6g odowym

(10)

4.WERYFIKACJAMODELI

Obliczenia modeli zweryfikowano na stanowisku pomiarowym (rys. 6) wy- posażonym w multimetry „RIGOL DM3068” i generator „RIGOL DG4062”

wytwarzający sygnał sinusoidalny o f = 1 kHz i Usk = 5 V. Badaniom poddano próbki materiałowe z komórkami typu „plus” i „malta” wytworzonymi techno- logią druku 3D. Rezystancję widzianą z każdej pary zacisków wyznaczano me- todą techniczną. Metodologia pomiaru polegała na regulacji napięcia zasilające- go tak, by to na zaciskach próbek napięcie skuteczne ustalone wyniosło U_sk. Wówczas odczytywano natężenia prądu I_z przepływającego przez materiał.

W pierwszej kolejności zmierzono rezystancję komórek R_k, następnie prąd i napięcie dla 6-ciu par zacisków, a finalnie potencjał elektryczny V w punktach styku komórek (węzłach) w strukturze „malta” przy zasilaniu z 5u5g.

Tabela 5. Wyniki pomiarów parametrów elektrycznych prototypów.

Zaciski "plus"

Usk [V] Iz [mA] Rz [kΩ] Pc [mW] %∆RMES %∆RMO

1u1g 5,010 1,251 4,005 6,268 –11,62% –11,99%

2u2g 5,009 1,477 3,391 7,398 –13,58% –14,15%

3u3g 5,001 1,586 3,153 7,932 –11,57% –8,28%

4u4g 5,011 1,632 3,070 8,178 –9,81% –10,59%

5u5g 5,006 1,845 2,713 9,236 –13,46% –14,31%

6u6g 5,005 2,070 2,418 10,360 –12,82% –13,67%

Zaciski "malta"

Usk [V] Iz [mA] Rz [kΩ] Pc [mW] %∆RMES %∆RMO

1u1g 5,005 7,449 0,672 37,282 3,60% 7,46%

2u2g 5,039 8,090 0,623 40,766 –9,00% –4,26%

3u3g 5,016 9,114 0,550 45,716 –2,37% 7,65%

4u4g 5,001 9,474 0,528 47,379 0,83% 6,53%

5u5g 5,020 10,400 0,483 52,208 –7,62% –1,36%

6u6g 5,011 11,224 0,446 56,243 –11,09% –4,25%

Wyznaczone pomiarowo rezystancje komórek Rk wyniosły 1251,88 Ω ("plus") i 214,38 Ω ("malta"), zatem w porównaniu do obliczeń numerycznych (tabela 1) rozbieżność sięgała odpowiednio -1,74% i -2,06%. Obliczenia polowe dają niedoszacowane wartości R_k, lecz wciąż pozostają dokładne. Przekłada się to na małe błędy oszacowania R_z (np. 0,83%) dla poszczególnych par zacisków (tabela 5), których średnia wartość:

‒ dla układu "plus" wynosi |%∆R_MP|_sr = 12,14% (metoda polowa) i |%∆R_MO|_sr = 12,16% (metoda obwodowa)

‒ dla układu "malta" |%∆R_MP|_sr = 5,75% i |%∆R_MO|_sr = 5,25%.

(11)

Mimo zgo ściej z wię Zwery Punktowo niu przek numerycz uziemieni porównan stał wraz padku po obszaru ( giczne wi jednoznac znaczaniu zasilanych

Rys. 9.

odności R_k w ększym błęd yfikowano ta o mierzone n kątnie przyło znym ze śre ia (5g) wzras nia modelu o ze zbliżanie orównania m 10,38%) i je ielkości dla m cznie na duż u rozkładu po h z dowolnej

Rozkład poten na podsta

w prototypie dem, np. 14,3 kże rozkład napięcie w m ożonym napi

dnim błędem sta już do 15 obwodowego em się do za modelu obwo ego odchylen modelu polow żą poprawno

ola w złożon j pary zacisk

ncjału na powier wie: a) modelu

i modelach, 1%.

potencjału w miejscach sty

ięciem (zacis m 6,8% (ob 5,8%. Jest to o z polowym acisku masy odowego z p nie standardo

wego (11,33 ość metody m nych geometr ków.

rzchni układu z u polowego; b) p

R_z układu w w przykładow yku komórek

ski 5u5g), p bszar zacisku identyczny m, gdzie błąd

(potencjału pomiarami, ś owe (7,64%)

% i 8,88%).

modelowania rycznie struk

zasilanego z zac pomiarów labor

wyznaczana je wym układzi k „malta”, pr pokrywa się

u 5u), ale w trend jak w p

względny ta odniesienia) średni błąd d ) jest niższe

Weryfikacja a obwodowe kturach perio

cisków 5u5g otr ratoryjnych

est najczę- ie (rys. 9).

rzy zasila- w modelu w obszarze przypadku akże wzra- ). W przy- dla całego

niż analo- a wskazuje ego w wy- odycznych,

rzymany

(12)

5.PODSUMOWANIE

W pracy przedstawiono model elektryczny przykładowych laminarnych ma- teriałów złożonych, rozwiązywany metodą numeryczną i obwodową. Zapropo- nowano geometrię komórek formujących warstwę roboczą. Dwa układy obliczono ze względu na rozkład pola elektrycznego, a ich prototypy wytworzono techniką druku 3D. Oszacowano ich parametry zastępcze przy zasilaniu z wybranej pary zacisków krawędziowych. Modele obwodowe układów zostały po- zytywnie zweryfikowane: rozkład pola otrzymany na jego podstawie pokrywa się z modelem polowym (błąd średni wyniósł 1% ÷ 2%, a odchylenie standar- dowe 0,5 ÷ 2%). Zidentyfikowano wpływ sposobu podłączenia źródła i we- wnętrznej budowy elementów: model obwodowy materiału z elementami o wyż- szej rezystancji charakteryzował się średnim błędem 1,26%, a spodziewany błąd obliczeń drugiego układu przekraczał 6%. Oba modele zweryfikowano - po- prawnie określiły przybliżony rozkład potencjału, zachowując trend zmian war- tości rezystancji zastępczej w zależności od budowy komórek i pary zacisków zasilających. Prototypowanie materiałów laminarnych za pomocą druku 3D, zapewnia szybką weryfikację właściwości elektrycznych warstwy roboczej.

Z kolei obliczenia teoretyczne służące aproksymacji parametrów materiału, mo- gą zostać przeprowadzone z dobrą dokładnością metodą obwodową, zamiast metody numerycznej.

Badania zostały zrealizowane w ramach pracy MB/WE/6/2017 i sfinansowane ze środ- ków na naukę MNiSW

LITERATURA

[1] Abramovich H., Intelligent Materials and Structures, De Gruyter, 2016.

[2] Carillo-Castillo A., Osuna-Alarcon J.G., Preparation and Characterization of Hy- brid Materials of Epoxy Resin Type Bisphenol A With Silicon and Titanium Ox- ides by Sol Gel Process, Journal of the Mexican Chemical Society, v.55, 2011 [3] Moore R., Electromagnetic Composites Handbook, McGraw-Hill Edu., 2016.

[4] Pal R., Electromagnetic, mechanical and transport properties of composite materials, CRC Press, 2014.

[5] Steckiewicz A., Butryło B., Aproksymacja właściwości elektrycznych periodycznych materiałów złożonych, IAPGOŚ, t. 7, nr 4, 2017.

[6] Steckiewicz A., Porównanie metod obwodowych i numerycznych do obliczeń stacjonarnego pola elektrycznego w materiałach warstwowych, Poznan Univ. of Technology Academic Journals: Electrical Engineering, nr 89, 2017.

[7] Tsuda S., et. al, Thermal Management Technique Using Control of Thermal Radia- tion Spectrum for Encapsulated Electronic Devices, IEEE Tran. on Components, Packaging and Manufacturing Tech., v. 5, nr 7, 2015.

(13)

APPROXIMATION OF EQUIVALENT PROPERTIES AND ELECTRIC FIELD DISTRIBUTION IN PERIODIC CONDUCTIVE LAYERS OF COMPOSITE

MATERIALS BY ELECTRICAL NETWORK MODEL

The paper presents the determination of electric field distribution by application of the electrical network model of periodically arranged conductive structures. The geome- tries of periodic structures were proposed. Electric field analysis in 2D numerical model of material was performed by the Finite Element Method as well as equivalent network model. In addition the equivalent material resistance between selected pair of terminals and total dissipated power were estimated. The results were compared with the meas- urements of prototypes performed by 3D printing. The accuracy of both calculation methods were characterized. The effectiveness of network method was discussed in context of electric properties and phenomena of materials with complex periodic geom- etry and various types of power supply terminal locations.

(Received: 31.01.2018, revised: 09.03.2018)

(14)