___________________________
* Politechnika Poznańska.
Ryszard PORADA*
APROKSYMACJA FILTRU DOLNOPRZEPUSTOWEGO W ASPEKCIE STEROWANIA
UKŁADÓW ENERGOELEKTRONICZNYCH
Sterownie układu typu SISO typowo oparte jest na aproksymacji układu zamkniętego odpowiednio zoptymalizowaną transmitancją, odpowiadającą charakterystyce filtru dolnoprzepustowego. W odniesieniu do układów energoelektronicznych pracujących jako układy zamknięte, dotychczas stosowane metody nie w pełni są skuteczne ze względu na obecność zmodulowanego napięcia lub prądu. Omówiono stosowane aproksymacje i ich właściwości częstotliwościowe w porównaniu z zaproponowaną aproksymacją.
Przedstawiono również metody opisu częstotliwościowego przekształtnika jako zmodulowanego źródła napięcia. Pokazano wybrane wyniki badań porównawczych tradycyjnych i nowo proponowanych aproksymacji.
1.WPROWADZENIE
Układy przekształtnikowe powinny zapewnić maksymalnie wierne (statyczne i dynamiczne) odwzorowanie sygnałów zadanych na wyjściu energetycznym, w możliwie najszerszym pasmie częstotliwości. Właściwości takie można uzyskać w układach energoelektronicznych pracujących jako układy zamknięte, sterowane z wykorzystaniem różnych wariantów modulacji, szczególnie najprostszej modulacji MSI. Tak sformułowane zadanie wiąże się z liniowym przenoszeniem sygnałów napięcia lub prądu przez układy energoelektroniczne co oznacza, że zamknięta struktura układu powinna wykazywać cechy idealnego filtru dolnoprzepustowego.
Energoelektroniczne niezależne źródła napięcia i prądu znajdują zastosowanie w elektroakustyce (wzmacniacze szerokopasmowe), jako różnego rodzaju generatory energetycznych wielkości wzorcowych, jako bloki wykonawcze w układach aktywnej kompensacji szeregowej i równoległej, a także magnetoterapii [4, 5]. Na takie układy narzuca się zwiększone (w stosunku do innych zastosowań) wymagania związane z dokładnością sterowania, szybkością reakcji oraz odpornością na zakłócenia, a przede wszystkim odwzorowywania sygnałów zadanych, w określonym paśmie częstotliwości, zarówno w stanach statycznych, jak i dynamicznych.
W pracy przedyskutowano stosowane aproksymacje i ich właściwości częstotliwościowe w porównaniu z zaproponowaną nową aproksymacją charakterystyki częstotliwościowej układu zamkniętego, dla zapewnienia szerszego pasma przenoszenia. Przedstawiono również nową metodę opisu częstotliwościowego przekształtnika jako zmodulowanego źródła napięcia.
Pokazano wybrane wyniki badań porównawczych tradycyjnych i nowo proponowanych aproksymacji.
2.TRANSMITANCJAUKŁADUZAMKNIĘTEGO
Układy sterowania mają zwykle strukturę pętli zamkniętej [1,2,3,7], w której sygnały wyjściowe so(t) są doprowadzone zwrotnie w celu zmodyfikowania sygnałów wejściowych sr(t) – rysunek 1.
Go(s)
)
(s
) (t so )
(t sr
) (s GR
Rys. 1. Struktura ogólna układu z pętlą sprzężenia zwrotnego
Transmitancja układu zamkniętego (dla (s)1, tzn. dla układu z pełnym sprzężeniem zwrotnym) ma postać:
) ( ) ( 1
) ( ) ) (
( G s G s
s G s s G
G
o R
o R
z (1)
Zadaniem regulacji (dla często występujących przypadków regulacji programowej lub śledzącej) jest realizacja dwóch zasadniczych funkcji: 1) dostatecznie dokładnego odwzorowywania na wyjściu przebiegu wielkości zadanej, stałej lub zmiennej w czasie, 2) minimalizacji wpływu zakłóceń na wielkość regulowaną. W przypadku idealnym układ regulacji zamkniętej powinien spełniać warunek so(t)sr(t). Wynika stąd następująca zależność:
) 1 (
) ) (
(
s S
s s S
G
r z
o (2)
Oznacza to idealne przenoszenie wszystkich składowych częstotliwościowych sygnału zadanego. W takich warunkach cała dynamika procesu jest korygowana przez sprzężenie zwrotne – sygnał so(t) „nadąża” bez opóźnienia za sygnałem zadanym sr(t). Ponieważ nie jest możliwa praktyczna realizacja układu o transmitancji spełniającej warunek (2) przy zadanej transmitancji obiektu, dlatego stawia się następujące ograniczone wymaganie: moduł charakterystyki
częstotliwościowej Gz(s) powinien, w możliwie najszerszym pasmie częstotliwości, mieć wartość stałą równą jedności.
Tak określone kryterium odnosi się do kształtu charakterystyki częstotliwościowej układu zamkniętego. Pożądane cechy układu zamkniętego można skojarzyć także z typową funkcją systemu telekomunikacyjnego, jaką jest transmisja bez zniekształceń [6]. Tym samym układ zamknięty powinien reprezentować cechy filtru dolnoprzepustowego w określonym, możliwie szerokim pasmie częstotliwości. Cel ten jest realizowany przez określenie pożądanej dla danych obiektów i celu sterowania charakterystyki modułowej, czemu służą różne metody optymalizacyjne [1, 2, 3]. Dla wielu przypadków praktycznych stosowane są transmitancje wynikające np. z tzw. optimum modułu:
2
2 2
2 1 ) 1
(s s s
Gz
(3)
lub optimum symetrii [2, 3]:
3 3 2
28 8
4 1
4 ) 1
(
s s
s s s
Gz
(4)
gdzie jest sumą małych stałych czasowych obiektu sterowania. Przy określonej transmitancji układu zamkniętego dobór regulatora jako elementu dopasowującego transmitancję obiektu do zadanej transmitancji układu zamkniętego może przebiegać dwoma drogami – według opracowanych i podawanych w literaturze [1, 2, 7] metod doboru parametrów regulatora GR(s) lub wyznaczony na podstawie ogólnej transmitancji układu zamkniętego w postaci:
) ( )) ( 1 (
) ) (
( G s G s
s s G
G
o z
z
R (5)
Każda z metod określa właściwości częstotliwościowe układu zamkniętego, a tym samym kształt odpowiedzi układu na skok jednostkowy.
Nadal poszukiwane są lepsze aproksymacje układu zamkniętego, które przy stosunkowo niskim rzędzie transmitancji umożliwią rozszerzenie pasma częstotliwości, a tym samym zwiększenie dynamiki odpowiedzi na skok jednostkowy [2, 3]. W pracy zaproponowano nową aproksymację filtru dolnoprzepustowego (a tym samym układu zamkniętego, szczególnie dla układów energoelektronicznych) w następującej prostej postaci:
2
1 2
) 1
( abs ab s
s bs Gz
(6)
Współczynnik b ma zasadniczy wpływ na pasmo przenoszenia (dotyczy małych stałych czasowych układu), natomiast współczynnik a – na kształt charakterystyki częstotliwościowej (odpowiada współczynnikowi tłumienia układu).
dla współczynnika a odpowiadającego okresowi modulacji T równego N 100s (kolor zielony), 10s (kolor czerwony), 1s (kolor niebieski) oraz a2,375. Ważną cechą tej aproksymacji jest liniowa zależność pasma przenoszenia od przyjętego okresu modulacji.
Rys. 2. Charakterystyki amplitudowa i fazowa transmitancji określonej wzorem (6) dla a = const oraz b = var.
Rys. 3. Charakterystyki amplitudowa i fazowa transmitancji określonej wzorem (6) dla a = var. oraz b = const
Na rysunku 3 pokazano charakterystyki modułowe i fazowe transmitancji (6) dla okresu modulacji T równego N 100s oraz współczynnika a przyjmującego wartości 2,375, 1,14142 oraz 1. Wynika z nich możliwość zmiany kształtu charakterystyki modułowej w szerokim zakresie przez zmianę wartości
współczynnika a . Warto także zaznaczyć, że niewielkie zmiany tego współczynnika znacząco zmieniają pasmo przenoszenia układu.
Rysunek 4 przedstawia porównanie właściwości częstotliwościowych układu zamkniętego wyrażone transmitancjami (3), (4) i (6).
Rys. 4. Charakterystyki amplitudowa i fazowa transmitancji układu zamkniętego określonej wg kryterium modułu (kolor czerwony), kryterium symetrii (kolor niebieski) oraz wzorem (6)
Proponowana nowa aproksymacja ma znacznie szersze pasmo przenoszenia dla tych samych parametrów (małej stałej czasowej i współczynnika tłumienia), ponadto cechuje się korzystniejszą charakterystyką fazową (graniczna wartość kąta fazowego wynosi ()90o).
3.TRANSMITANCJAMODULOWANEGOŹRÓDŁANAPIĘCIA Algorytmy sterowania ogólnie można podzielić na optymalne parametrycznie oraz optymalne strukturalnie [2, 3]. W pierwszym przypadku dobór nastaw regulatorów oraz ich struktura nie są związane bezpośrednio ze strukturą obiektu sterowanego. W drugim przypadku synteza regulatora wynika z samej struktury obiektu, natomiast współczynniki go opisujące – również z modelu obiektu.
Układy energoelektroniczne są układami, które na nieciągły sygnał sterujący odpowiadają generowaniem nieciągłego napięcia wyjściowego. Ich opis jako obiektu regulacji bazuje najczęściej na transmitancji odpowiadającej członowi opóźniającemu:
A s
s
GM( ) e (4)
gdzie jest czasem trwania impulsu napięcia, dobieranym, zależnie od przyjętego wariantu modulacji MSI, z przedziału (0,T ). Charakterystyki modułowa i
fazowa takiego członu nie odzwierciedlają jednak właściwości częstotliwościowych przekształtnika jako źródła modulowanego napięcia.
Ponieważ przekształtnik jest układem silnie nieliniowym i niestacjonarnym, jego jednoznaczny opis transmitancyjny nie jest możliwy. Można jednak rozważać poszczególne przypadki układów. Przedstawiono dwa podstawowe, dotyczące układów DC/DC oraz DC/AC.
Dla układu DC/DC zadaniem przekształtnika jest przekształcanie stałego napięcia źródła energii na napięcie stałe o regulowanej wartości średniej. Dla przyjętej modulacji MSI kształt napięcia wyjściowego pokazano na rysunku 5.
tk
TN t
A
TN
Rys. 5. Nieskończony ciąg impulsów prostokątnych napięcia wyjściowego
tk
TN t
A
TG G 2
T
A
Rys. 6. Skończony okresowy ciąg impulsów prostokątnych napięcia wyjściowego
W dziedzinie czasu pojedynczy impuls prostokątny można przedstawić jako )]
( ) ( [ )
( k
o t A t t t
s 1 1 (1(t) – funkcja skoku jednostkowego). Transformata Laplace’a tego wyrażenia ma postać (dla tk ):
sTN snT s
p o
M A s
A s t s s G
n
N
1 e
1 e
e 1 e
)] 1 ( [ ) (
0
L (7)
W przypadku przekształtnika DC/AC, jego zadaniem jest przekształcenie stałego napięcia źródła na napięcie przemienne o regulowanej wartości skutecznej.
Dla przyjętej modulacji MSI (tzw. sterowania wielopulsowego [4]) kształt napięcia wyjściowego pokazano na rysunku 6.
Jest to skończony, okresowy ciąg przemiennych impulsów prostokątnych unipolarnych. Posługując się tą samą metodologią jak w przypadku poprzednim, można znaleźć przybliżoną (ze względu na skończoną liczbę impulsów w okresie
T ), dla G stałego czasu impulsu tk
, transmitancję przekształtnika w postaci:N G sT T s s
M s A s
G
e 1
e 1 e ) 1
( ( 2) (8)
Zaprezentowaną metodą można określić przybliżone transmitancje przekształtnika jako zmodulowanego źródła napięcia dla różnych wariantów modulacji i sposobu jej wykorzystania w przypadku konkretnego przekształtnika.
Transmitancje (7) oraz (8) uwzględniają wszystkie istotne parametry przekształtnika, jak okres modulacji T , czas trwania impulsu N oraz okres sygnału zadanego T . Są jednak mało wygodne w opisie przekształtnika jako G obiektu regulacji ze względu na obecność funkcji opóźniających o różnych czasach opóźnienia. Doprowadzenie do bardziej użytecznej postaci wymaga aproksymacji funkcji opóźniającej. Istnieje wiele różnych metod tej aproksymacji [6]. Dla aproksymacji Padé pierwszego rzędu transmitancja falownika wyrażona wzorem (8) ma przybliżoną postać:
) 4 )(
2 (
) 2 ( ) 4
(
G N
M s sT
s sT
G
(9)Rys. 7. Charakterystyki amplitudowa i fazowa transmitancji przekształtnika DC/AC dla modulacji wielopulsowej: a) aproksymacja 1-szego rzędu; b) aproksymacja 2-szego rzędu
c) transmitancja wyrażona wzorem (8)
Na rysunku 7 przedstawiono charakterystyki częstotliwościowe przekształtnika dla [ms]
20
G
T , TN 100[s] oraz 0,05TN. Widoczne są wszystkie składowe częstotliwościowe związane z modulacją (przebieg c). Aproksymacja 2-giego rzędu (9) mająca cechy filtru dolnoprzepustowego (przebieg a) odzwierciedla z dobrą
ok. 3,5 kHz, przy pierwszym prążku związanym z częstotliwością nośną 10 kHz). Na rysunku 7 przedstawiono także charakterystykę częstotliwościową aoproksymacji Padé 2-giego rzędu (przebieg b). Wzrost rzędu transmitancji aproksymującej (4-tego rzędu) umożliwia lepsze odwzorowanie bardzo małych częstotliwości przy jednoczesnym dużym tłumieniu składowych w pasmie do ok. 3,5 kHz, które mają istotne znaczenie dla odbiorników o małych stałych czasowych.
4.PODSUMOWANIE
W pracy zaproponowano nową aproksymację charakterystyki częstotliwościowej układu zamkniętego, zapewniającą szersze pasmo przenoszenia. Przedstawiono także nową metodologię opisu częstotliwościowego przeksztatnika jako zmodulowanego źródła napięcia. Pokazano wybrane wyniki badań porównawczych tradycyjnych i nowo proponowanych aproksymacji.
Uzyskane transmitancje niskich rzędów mogą być wykorzystane do innego niż klasyczny sposobu doboru transmitancji regulatora, szczególnie w odniesieniu do sterowania układami energoelektronicznymi w strukturach zamkniętych.
LITERATURA
[1] Brzózka J., Regulatory i układy automatyki. MIKOM, Warszawa 2004.
[2] Byrski W., Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2007.
[3] Grega W., Metody i algorytmy sterowania cyfrowego w układach scentralizowanych i rozproszonych. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2004.
[4] Mohan N.: Power elektronics: John Wiley&Sons, New York 1989.
[5] Porada R.: Badania symulacyjne energoelektronicznego szerokopasmowego źródła napięcia. ZKwE'05, Poznań/Kiekrz, 2005, s. 247-248.
[6] Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. WKŁ, Warszawa 2000.
[7] Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1972.
THE APPROXIMATION OF THE LOW-PASS FILTER IN THE ASPECT OF CONTROL OF POWER ELECTRONICS SYSTEMS
Control of SISO system is typically based on approximation of a closed system suitably optimized transmittance, answering to the characteristics of the low-pass filter. In reference to power electronics systems working as closed systems, the methodes applied up to now are not fully effective due to the presence of modulated voltage or current. One discussed applied approximations and their frequency properties in comparison with proposed approximation. Presente are also methodes of frequency description of a converter as a modulated voltage source. Selected comparative researches results traditional and newly proposed approximation are presented.
