polskichgospodarstwdomowychmetodamistatystycznymi Modelowaniezamo¿noœci

Naukowej M³odych Ekonomistów, która odby³a siê we wrzeœniu 2009 r.

w Warszawie. By³a ona zorganizowana przez WNE UW, SGH, SGGW, Politechnikê Warszawsk¹ oraz Instytut Wiedzy i Innowacji.

Modelowanie zamo¿noœci

polskich gospodarstw domowych metodami statystycznymi

Maciej Jagielski, mgr, Wydzia³ Fizyki, Uniwersytet Warszawski

Ryszard Kutner, prof. dr hab., Zak³ad Fizyki Biomedycznej, Instytut Fizyki Doœwiad- czalnej, Wydzia³ Fizyki, Uniwersytet Warszawski

Wstêp

¯yjemy w czasach, w których do opisu z³o¿onoœci otaczaj¹cego nas œwiata nie wystarczy ju¿ pos³ugiwanie siê metodologiami, jakie oferuj¹ poszczegól- ne dyscypliny naukowe. Coraz czêœciej konieczne jest po³¹czenie metod sto- sowanych do tej pory w zupe³nie ró¿nych, czasem nawet bardzo odleg³ych od siebie dziedzinach nauki. Jedn¹ z takich dyscyplin jest ekonofizyka, która przy u¿yciu metod i modeli stosowanych w fizyce opisuje wybrane procesy ekonomiczne, a tak¿e wzbogaca metodologiê ekonomii. Takie interdyscypli- narne podejœcie prowadzi do g³êbszego zrozumienia istoty tych procesów.

Na przyk³ad interdyscyplinarne spojrzenie na problemy dzisiejszych gos- podarek rynkowych daje interesuj¹ce rezultaty w przypadku analizy docho- dów ludnoœci w Polsce. Temat ten zosta³ omówiony w niniejszej pracy. Przed- stawiono tutaj analizê empirycznych skumulowanych rozk³adów rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce, przyk³adowo, w latach 2000 i 2006.

Rozk³ady te porównano z przewidywaniami praw Pareto, Prawa Efektów Pro-

porcjonalnych, uogólnionego modelu Lotka-Volterra oraz modeli zderzeñ.

1. Opis bazy danych

W analizie wykorzystano dane G³ównego Urzêdu Statystycznego dotycz¹ce rocznych dochodów gospodarstw domowych w latach 2000 oraz 2006. Po usu- niêciu niewielkiej liczby rekordów (252 w 2000 r. oraz 231 w 2006 r.), dla któ- rych dochód by³ mniejszy b¹dŸ równy zero, baza danych zwiera³a odpowied- nio 35 911 i 37 277 obserwacji. Niedodatnie wartoœci dochodu uznano za obserwacje b³êdne, gdy¿ zgodnie z definicj¹ dochód do dyspozycji to:

Dochód rozporz¹dzalny pomniejszony o pozosta³e wydatki. Dochód do dyspozycji przeznaczony jest na wydatki na towary i us³ugi konsumpcyjne oraz przyrost oszczêd- noœci [GUS, 2009].

2. Analiza rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce

Celem niniejszego opracowania jest analiza empirycznych rozk³adów sku- mulowanych rocznych dochodów gospodarstw domowych. Rozk³ady te zosta-

³y skonstruowane zgodnie z nastêpuj¹c¹ definicj¹:

( ) ( )

Õ = >

å

m N I m

m

i

1

(1) gdzie:

m — roczny dochód do dyspozycji, N — liczba obserwacji w próbie,

I(m

> m) — funkcja indykatorowa postaci:

( )

I m m m

m m

i i

= >

£ ì í

ïï îïï 1 0

dla

dla (2)

A zatem, dla ustalonego m zliczano gospodarstwa domowe indeksowane i (i = 1, 2, …, N), których dochód jest wiêkszy ni¿ m, i dzielono przez liczbê obserwacji w próbie. Wartoœæ m zmieniano co 1000 z³ (jest to krok dyskretyza- cji histogramu rozk³adu), poczynaj¹c od 0.

W pierwszej kolejnoœci do „ogonów” powy¿szych rozk³adów dopasowano s³abe prawo Pareto [Richmond i in., 2006] (rys. 1.; skala log-log)

:

( ) ( )

Õ m » m m

(3)

gdzie:

m

— czynnik skaluj¹cy

: ^m

^{= exp} ( ^{const a ,} )

a — wyk³adnik Pareto.

1 W przypadku wszystkich przedstawionych analiz wyniki dla roku 2003 mo¿na znaleŸæ w pracy [Jagielski, 2009] oraz [Jagielski, Kutner, 2010].

2 Dla roku 2000 parametr m₀wynosi 70,8 ± 0,8 z³ a dla roku 2006: 77 ± 2 z³.

Rys. 1.

Dopasowanie s³abego prawa Pareto (linia ci¹g³a) do empirycznego skumulowanego rozk³adu dochodów gospodarstw domowych w Polsce (punkty) z roku 2000 (a = 3,113 ± 0.005) i 2006 (a = 2,928 ± 0,009)

Na rysunku 1. parametr a oznacza wyk³adnik Pareto (tzn. a = a

). Z ko- lei const jest sta³¹, pochodz¹c¹ z dopasowania prostej (w skali log-log). Mo¿e- my zauwa¿yæ, ¿e s³abe prawo Pareto dobrze opisuje ogony analizowanych roz- k³adów. Aby uzyskaæ tak dobre dopasowania konieczne by³o usuniêcie ok.

20–40 obserwacji skrajnych, czyli gospodarstw domowych osi¹gaj¹cych naj- wiêksze dochody (szara czêœæ krzywej w dolnej czêœci wykresów). Usuniête obserwacje stanowi³y ok. 0,06% badanej populacji.

Rys. 2.

Ranking gospodarstw domowych (linia ci¹g³a oznacza dopasowanie, a punkty dane empiryczne)

— rok 2000 oraz 2006

Wartoœæ wyk³adnika Pareto otrzymujemy tak¿e analizuj¹c ranking gospo- darstw domowych, czyli wykres dochodów gospodarstw domowych w zale¿-

1000 10000 100000 1000000

1E – 5 1E – 4 1E – 3 0,01 0,1 1

a = 3,113 ±0,005 Const = 13,26 ± 0,03 Rok 2000

m

P()m

a = 2,928 ± 0,009 Const = 12,72 ± 0,05 Rok 2006

10000

1000 100000 1000000

m 0,01

0,1 1

P()m

1E – 3

1E – 4

1E – 5

1 10 100 1000 10000

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

Ranking Rok 2000

aRanking= 0,3244 ± 0,0004

Const = 5,7357 ± 0,0014

1/aPareto= 0,3212 ± 0,0005

Dochód

1 10 100 1000 10000

10 100 1000 10000 100000 1000000

Ranking Rok 2006

aRanking= 0,33516 ± 0,0002

Const = 5,8910 ± 0,0006

1/aPareto= 0,3415 ± 0,0010

Dochód

noœci od ich miejsca w rankingu. Odpowiednie wykresy w skali logarytmicz- nej zamieszczono na rysunku 2.

Œredniozamo¿ne gospodarstwa domowe opisywane s¹ w skali logaryt- micznej prost¹ o nachyleniu a

. Okazuje siê, ¿e odwrotnoœæ wyk³adnika Pareto uzyskanego w przypadku rozk³adów skumulowanych rocznych docho- dów gospodarstw domowych jest bardzo zbli¿ona do wyznaczonych wartoœci a

. Wskazuje to na zgodnoϾ obu zastosowanych metod [Bouchard, Pot- ters, 2001].

Do omawianych rozk³adów skumulowanych dopasowano równie¿ skumu- lowany rozk³ad log-normalny, wynikaj¹cy z Prawa Efektów Proporcjonalnych [Armatte, 1995]. Wyniki — w skali logarytmicznej — zosta³y zaprezentowane na rysunku 3.

:

( ) ( )

Õ = - æ - -

è çç

çç ö

ø ÷÷

é ÷÷

ë ê ê ê

ù û ú ú ú

m 1 m m

2 1

2

erf ln

m

s (4)

Rys. 3.

Dopasowanie skumulowanego rozk³adu log-normalnego (linia ci¹g³a) do skumulowanego rozk³adu dochodów gospodarstw domowych w Polsce (punkty) z roku 2000 i 2006

Skumulowany rozk³ad log-normalny bardzo dobrze opisuje skumulowane dochody ubogich gospodarstw domowych. Fakt, ¿e skumulowany rozk³ad log-normalny wykazuje tak dobr¹ zgodnoœæ z danymi empirycznymi wynika bezpoœrednio z za³o¿eñ Prawa Efektów Proporcjonalnych. W modelu tym zak³ada siê, ¿e zmiany dochodu mog¹ byæ niewielkie, co znajduje uzasadnie- nie w przypadku ubogich gospodarstw domowych [Armatte, 1995]. Z kolei s³a- be prawo Pareto jest odpowiednie do opisu dochodów œredniozamo¿nych

1000 10000 100000 1000000

1E–5 1E–4 1E – 3 0,01 0,1 1

Rok 2000

m

P()m

m s

= 9,83 ± 0,01

= 0.58 ± 0,02

= 0,0 m0

1E–5 1E–4 1E – 3 0,01 0,1 1

P()m

1000 10000 100000 1000000

m m

s

= 10,07 ± 0,01

= 0.59 ± 0,02

= 0,0 m0

Rok 2006

3 Parametr m₀wynosi 0, gdy¿ nie wp³ywa on na wyniki estymacji pozosta³ych parametrów;

w celu dopasowania krzywych pos³u¿ono siê algorytmem Levenberga-Marquardta.

gospodarstw domowych, poniewa¿ w tym przypadku zaczyna odgrywaæ rolê konkurencja rynkowa. Firmy konkuruj¹ miêdzy sob¹, a ich zyski przek³adaj¹ siê na zarobki pracowników — jednostek tworz¹cych gospodarstwa domowe [Yamamoto i in., 2006]. Dlatego te¿ analiza wykresów na rysunkach 1. oraz 3.

nasuwa pytanie o wartoœæ dochodu w punkcie przeciêcia siê skumulowanego rozk³adu log-normalnego i s³abego prawa Pareto. Punkt ten mo¿e stanowiæ umown¹, lecz zarazem wystarczaj¹co precyzyjn¹ (ze wzglêdu na niewielki b³¹d) granicê podzia³u miêdzy ubogimi a œredniozamo¿nymi gospodarstwami domo- wymi. Graniczna wartoœæ rocznego dochodu stanowi¹ca rozró¿nienie miêdzy ubogimi a œredniozamo¿nymi gospodarstwami domowymi wynosi oko³o:

• 29 000 z³otych w roku 2000,

• 36 000 z³otych w roku 2006.

Do rozwa¿anych rozk³adów empirycznych dopasowano tak¿e rozk³ad sku- mulowany pochodz¹cy z uogólnionego modelu Lotka-Volterra — rys. 4.

[Richmond, Solomon, 2001; Solomon, Richmond, 2002]:

( ) ( )

Õ = -

æ - è çç

ç ö

ø ÷÷

x x ÷

1

G a a 1 a ,

(5) gdzie:

a — wyk³adnik kszta³tu opisuj¹cy dopasowan¹ funkcjê,

x = m/<m> — wzglêdny dochód gospodarstwa domowego (<m> — œrednia wartoœæ dochodu gospodarstwa domowego w analizowanej próbie).

Rys. 4.

Dopasowanie uogólnionego modelu Lotka-Volterra (linia ci¹g³a) do skumulowanego rozk³adu dochodów gospodarstw domowych w Polsce (punkty) z roku 2000 (a = 3,88 ± 0,09) i 2006 (a = 3,7 ± 0,1)

4 Skala log-log; w celu dopasowania krzywych pos³u¿ono siê algorytmem Levenberga-Mar- quardta.

0,01 0,1 1 10 100

1E–5 1E–4 1E – 3 0,01 0,1 1

x=m/< >m

P()x

Rok 2000

= 3,88 ± 0,09 a

1E–5 1E–4 1E – 3 0,01 0,1 1

P()x

0,01 0,1 1 10

x=m/< >m

Rok 2006

= 3,7 ± 0,1 a

Choæ uogólniony model Lotka-Volterra nie opisuje tak dobrze skumulowa- nego rozk³adu rocznych dochodów gospodarstw domowych jak skumulowany rozk³ad log-normalny i Pareto, to jednak ró¿nice te s¹ niewielkie. Istotn¹ za- let¹ tego modelu jest mo¿liwoœæ scharakteryzowania analizowanych rozk³a- dów za pomoc¹ pojedynczej funkcji. Oferuje on tak¿e cenne podejœcie teore- tyczne na poziomie mikroskopowym, w którym dochód gospodarstwa domo- wego determinowany jest przez dochody dotychczas uzyskiwane i przez wyso- koœæ œwiadczeñ pomocy spo³ecznej (ogólniej mówi¹c redystrybucjê docho- dów w spo³eczeñstwie) oraz ogólny stan gospodarki [Richmond, Solomon, 2001; Solomon, Richmond, 2002].

W modelu Lotka-Volterra mo¿na wyznaczyæ efektywn¹ minimaln¹ roczn¹ wartoœæ dochodu m

:

m

= - m + < >

a a

1

1 , (6)

poni¿ej której prawdopodobieñstwo osi¹gania mniejszych dochodów gwa³- townie maleje

Na podstawie powy¿szego wzoru otrzymujemy minimalne wartoœci rocz- nego dochodu:

• w roku 2000: m

= 13 183,88 z³ dla <m> = 22 339,35 z³;

• w roku 2006: m

= 16 373,32 z³ dla <m> = 28 501,70 z³.

W dotychczasowych rozwa¿aniach nie analizowano dochodów najbogat- szych gospodarstw domowych, gdy¿ obserwacje takie by³y zbyt ma³o liczne, aby mo¿na by³o je poddaæ opisowi statystycznemu. Problem ten mo¿na po- œrednio rozwi¹zaæ analizuj¹c np. wartoœæ maj¹tku 100 najbogatszych Pola- ków w postaci rankingu

(rys. 5.; skala logarytmiczna).

Rys. 5.

Ranking 100 najbogatszych Polaków z roku 2006 (aPareto= 1,14 ± 0,03; linia ci¹g³a oznacza do- pasowanie, a punkty — dane empiryczne)

5 Dane o maj¹tku 100 najbogatszych Polaków w roku 2006 zosta³y uzyskane ze strony inter- netowej tygodnika „Wprost” [Rankingi Wprost, 2009].

1 10 100

1E7 1E8 1E9

Rok 2006

aranking= 0,88 ± 0,02

Const = 10,05 ± 0,3

aPareto= 1/aranking= 1,14 ± 0,03

Ranking

Bogactwo

Zgodnie z tym, co pokazano wczeœniej, jeœli ranking najbogatszych (krezu- sów) mo¿na w skali logarytmicznej opisaæ zale¿noœci¹ liniow¹, to wówczas do- chody krezusów podlegaj¹ s³abemu prawu Pareto o wyk³adniku a

= 1/ a

. Choæ w tym przypadku zamiast o dochodach mówimy o bogactwie, to jednak z w³asnoœci rozk³adu Pareto wynika, ¿e nie wp³ywa to na obserwowa- ne uniwersalnoœci [Mandelbrot, 1960].

Otrzymane wartoœci wyk³adnika Pareto s¹ bliskie jednoœci, co jest zgodne z wynikiem teoretycznym uzyskanym na podstawie modelu zderzeñ ze zró¿ni- cowan¹ sk³onnoœci¹ jednostek do oszczêdzania [Bhattacharyya i in., 2005;

Chatterjee, Chakrabarti, 2007 i referencje tam¿e]. Zatem mo¿na oczekiwaæ,

¿e bogacenie siê klasy œredniej bêdzie polega³o (z formalnego punktu widze- nia) na maleniu wyk³adnika Pareto. Z kolei mechanizm zdobywania docho- dów przez najbogatszych, podobnie jak w przypadku œredniozamo¿nych gos- podarstw domowych, opiera siê na istnieniu konkurencji rynkowej [Yama- moto i in., 2006]. W tym przypadku jednostki tworz¹ce gospodarstwa domowe s¹ przewa¿nie w³aœcicielami (konkuruj¹cych) firm, z których czerpi¹ swój dochód. Dochody tych firm opisywane s¹ prawem Zipfa [Okuyama i in., 1999], czyli w³aœnie s³abym prawem Pareto z wyk³adnikiem a

= 1.

Zakoñczenie

W pracy dokonano analizy empirycznych rozk³adów skumulowanych doty- cz¹cych rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce w latach 2000 i 2006. Okaza³o siê, ¿e mog¹ one byæ bardzo dobrze opisywane zarówno sku- mulowanym rozk³adem log-normalnym w przypadku ubogich gospodarstw domowych, jak równie¿ s³abym prawem Pareto dla gospodarstw œrednioza- mo¿nych. Punkt przeciêcia obu rozk³adów mo¿e wyznaczaæ granicê podzia³u miêdzy ubogimi, a œredniozamo¿nymi gospodarstwami domowymi. Fakt, ¿e skumulowany rozk³ad log-normalny wykazuje tak dobr¹ zgodnoœæ z danymi empirycznymi wynika bezpoœrednio z za³o¿eñ Prawa Efektów Proporcjonal- nych. W modelu tym zak³ada siê, ¿e zmiany dochodu mog¹ byæ niewielkie, co znajduje uzasadnienie w przypadku ubogich gospodarstw domowych.

Wœród rozwa¿anych modeli obiecuj¹ce wyniki uzyskano tak¿e dla uogól-

nionego modelu Lotka-Volterra. Model ten w dobrym przybli¿eniu odzwier-

ciedla analizowane rozk³ady oraz oferuje cenne podejœcie teoretyczne na po-

ziomie mikroskopowym, w którym dochód gospodarstwa domowego jest

okreœlony jest przez dochody dotychczas uzyskiwane i przez wysokoœæ œwiad-

czeñ pomocy spo³ecznej (redystrybucjê dochodów w spo³eczeñstwie) oraz ak-

tualny stan gospodarki. Dziêki temu, i¿ wyk³adnik Pareto opisuj¹cy dochody

œredniozamo¿nych gospodarstw domowych mo¿na uzyskaæ zarówno poprzez

analizê rozk³adów skumulowanych, jak i rankingu, uda³o siê tak¿e wyznaczyæ

jego wartoœæ dla najbogatszych jednostek spo³eczeñstwa polskiego. A zatem

skumulowane roczne dochody gospodarstw domowych mog¹ byæ opisane

w ca³ym zakresie za pomoc¹ rozk³adów:

• skumulowanego log-normalnego w przypadku ubogich gospodarstw domo- wych,

• skumulowanego s³abego rozk³adu Pareto z wyk³adnikiem równym oko³o 3 w przypadku œredniozamo¿nych gospodarstw domowych,

• skumulowanego s³abego rozk³adu Pareto z wyk³adnikiem równym oko³o 1 w przypadku najbogatszych gospodarstw domowych.

Otrzymane rezultaty daj¹ impuls do dalszych badañ. Przede wszystkim interesuj¹cym by³oby dokonanie analogicznej analizy w przypadku woje- wództw i porównanie jej z wynikami uzyskanymi w skali ca³ego kraju. Cen- nych informacji dostarczy³yby równie¿ studia nad dochodami spo³eczeñstw innych krajów Europy. Zebrane w ten sposób informacje mog³yby pos³u¿yæ budowie bardziej zaawansowanych modeli teoretycznych uwzglêdniaj¹cych zarówno zró¿nicowany terytorialnie charakter zamo¿noœci spo³eczeñstw, jak te¿ dynamikê zmian ich dochodów.

Podziêkowania

Sk³adamy podziêkowanie G³ównemu Urzêdowi Statystycznemu za udo- stêpnienie nieidentyfikowalnych danych Ÿród³owych dotycz¹cych rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce w latach 2000, 2003 oraz 2006.

Bibliografia

Armatte M., 1995, Robert Gibrat la loi de l’effet proportionnel, „Mathématiques et scien- ces humaines” nr 129.

Bhattacharyya P., Chatterjee A., Chakrabarti B.K., 2005, A common mode of origin of power laws in models of market and earthquake, „Physica A” nr 381.

Bouchard J.-P., Potters M., 2001, Theory of financial risks: from statistical physics to risk management, Cambridge University Press, Cambridge.

Chatterjee A., Chakrabarti B.K., 2007, Kinetic exchange models for income and wealth distributions, „The European Physical Journal B” nr 60.

G³ówny Urz¹d Statystyczny, 2009, http://www.stat.gov.pl/.

Jagielski M., 2009, Badanie zamo¿noœci gospodarstw domowych w Polsce metodami egzotycznej i tradycyjnej fizyki statystycznej, praca magisterska dostêpna w biblio- tece IFD Wydzia³u Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego.

Jagielski M., Kutner R., 2010, Study of households’ income in Poland by using the stati- stical physics approach, „Acta Physica Polonica A” t. 117, z. 4.

Mandelbrot B., 1960, New Methods in Statistical Economics, „The Journal of Political Economy” nr 71.

Okuyama K., Takayasu M., Takayasu H., 1999, Zipf’s law in income distribution of com- panies, „Physica A” nr 269.

Rankingi Wprost, 2009, http://100najbogatszych.wprost.pl/.

Richmond P., Hutzler S., Coelho R., Repetowicz P., 2006, A Review of Empirical Stu- dies and Models of Income Distributions, w: Chakrabarti B.K., Chakraborti A., Chat- terjee A., Society in Econophysics and Sociophysics: Trends and Perspectives, WILEY- -VCH, Weinheim.

Richmond P., Solomon S., 2001, Power laws are disguised Boltzmann laws, „Internatio-

nal Journal of Modern Physics C” nr 12.

Solomon S., Richmond P., 2002, Stable power laws in variable economies; Lotka-Volter- ra implies Pareto-Zipf, „The European Physical Journal B” nr 27.

Yamamoto K., Miyazima S., Yamamoto H., Ohtsuki T., Fujihara A., 2006, The pow- er-law exponent and the competition rule of the high income model, w: Takayasu H., Practical Fruits of Econophysics: Proceedings of the Third Nikkei Econophysics Sym- posium, Springer, Tokyo.

A b s t r a c t

The aim of this work is to analyze the empirical cumulative layouts of annual household income in Poland between 2000 and 2006. Data were collected from the Central Statistical Office. The layouts were compared with predictions of Pareto rights, Law of Proportionate Effect, generalized Lotka-Volterra model and models of collisions. It turned out that middle class and wealthy Polish households are described very well by the cumulative distributions of Pareto, which differ by the value of the Pareto exponent. On the other hand the income of poor households is described by a cumulative log-normal distribution. To describe the poor and middle class households the generalized Lotka-Volterra model can be used, which provides the theoretical interpretation of the level of individual households.