Matematyka Dyskretna Wykład VIII Grzegorz Bobiński (UMK)

Matematyka Dyskretna

Wykład VIII

Grzegorz Bobiński (UMK)

2.3 Reguła włączania i wyłączania

Twierdzenie 2.14 (reguła włączania i wyłączania) Jeśli X1, . . . , Xnsą zbiorami i |J| < ∞, to

|X₁∪ · · · ∪ X_n| = X

∅6=I ⊆[1,n]

(−1)^{|I |−1}|X_I| =

n

X

k=1

(−1)^k−1· X

I ∈Cn,k

|X_I|,

gdzie X{i1,...,ik }:= X_i1∩ · · · ∩ X_ik.

Dowód Indukcja na n.

1^◦n ≤ 2.

1.1 n = 1.

|X1∪ · · · ∪ Xn| = |X1|.

P

∅6=I ⊆[1,1](−1)^{|I |−1}|XI| = (−1)^|{1}|−1· |X{1}| = |X1|.

1.2 n = 2.

|X1∪ · · · ∪ Xn| = |X1∪ X2|.

P

∅6=I ⊆[1,2](−1)^{|I |−1}|X_I| = |X₁| + |X₂| − |X₁∩ X₂|.

Twierdzenie 2.14 (reguła włączania i wyłączania) Jeśli X₁, . . . , X_nsą zbiorami i |J| < ∞, to

|X1∪ · · · ∪ Xn| = X

∅6=I ⊆[1,n]

(−1)^{|I |−1}|XI| =

n

X

k=1

(−1)^k−1· X

I ∈Cn,k

|XI|,

gdzie X{i1,...,ik }:= X_i1∩ · · · ∩ X_ik.

2^◦n > 2.

Niech Y_i:= X_i∩ X_n, i ∈ [1, n − 1].

|X₁∪ · · · ∪ X_n| = |(X₁∪ · · · ∪ X_n−1) ∪ X_n|

= |X1∪ · · · ∪ Xn−1| + |Xn| − |(X1∪ · · · ∪ Xn−1) ∩ Xn| [(Z.I) dla 2]

= |X1∪ · · · ∪ Xn−1| + |Xn| − |(X1∩ Xn) ∪ · · · ∪ (Xn−1∩ Xn)|

= |X1∪ · · · ∪ Xn−1| + |Xn| − |Y1∪ · · · ∪ Yn−1|

=P

∅6=I ⊆[1,n−1](−1)^{|I |−1}· |XI| + |Xn| −P

∅6=I ⊆[1,n−1](−1)^{|I |−1}· |YI| [(Z.I) dla n − 1]

=P

∅6=I ⊆[1,n−1](−1)^{|I |−1}· |X_I| + |X_n| −P

∅6=I ⊆[1,n−1](−1)^{|I |−1}· |X_{I ∪{n}}|

=P

∅6=I ⊆[1,n]

n6∈I

(−1)^{|I |−1}· |XI| +P

I ={n}(−1)^{|I |−1}· |XI| +P

{n}6=I ⊆[1,n]

n∈I

(−1)^{|I |−1}· |XI|

=P

∅6=I ⊆[1,n](−1)^{|I |−1}· |X_I|.

Przykład

Jeśli n := p₁^m1· · · p^ml_l , m1, . . . , ml> 0, p1, . . . , pl∈ P, pi6= pjdla i 6= j , to ϕ(n) = n · 1 − ¹

p1
· · · 1 −_pl¹
.

Dowód

Dla i ∈ [1, k] definiujemy Xiwzorem

X_i:= {m ∈ [0, n − 1] : p_i| m}.

Zauważmy, ze

|X_i1∩ · · · ∩ X_ik| = n p_i1· · · p_ik. Stąd

ϕ(n) = |[0, n − 1] \ (X₁∪ · · · ∪ Xl)|

= n − |X₁∪ · · · ∪ Xl|

= n −Pl k=1

P

1≤i1<···<ik ≤l(−1)^k−1· |X_i1∩ · · · ∩ X_ik|

= n +Pl k=1

P

1≤i1<···<ik ≤l(−1)^k· |X_i1∩ · · · ∩ X_ik|

= n +Pl k=1

P

1≤i1<···<ik ≤l(−1)^k·_pi ⁿ

1···pik

= n · 1 +Pl k=1

P

1≤i1<···<ik ≤l −_pi¹

1

· · · −_pi¹

k

= n · 1 −_p1¹
· · · 1 −_pl¹
.

Oznaczenie (permutacje bez punktów stałych)

Dla n ∈ N definiujemy Pni P_n⁰wzorami Pn:= P_[1,n]i

P⁰_n:= {a ∈ Pn: a(i ) 6= i dla wszystkich i ∈ [1, n]}.

Lemat 2.15

Jeśli n ∈ N, to |Pn⁰| = n! ·P

k∈[0,n]

(−1)k k! .

Przypomnienie

(2.1): |Pn | = n!.

(2.3): |Cn,k | =

n k

 .

Dowód

Dla i ∈ [1, n] niech X_i:= {a ∈ P_n: a(i ) = i }.

Zauważmy, że |X_i1∩ · · · ∩ X_ik| = P[1,n]\{i1,...,ik } (2.1)

= (n − k)!.

Stąd

|P_n⁰| = |Pn\ (X1∪ · · · ∪ Xn)| = |Pn| − |X1∪ · · · ∪ Xn|

= |Pn| −P

k∈[1,n](−1)^k−1·P

{i1,...,ik }∈Cn,k|X_i1∩ · · · ∩ X_ik|

= n! +P

k∈[1,n](−1)^k·P

I ∈Cn,k(n − k)!

= n! +P

k∈[1,n](−1)^k· ⁿ_k
· (n − k)! [(2.3)]

= (−1)⁰·^n!+P (−1)^k·^n!= n! ·P (−1)k.

Oznaczenie

Dla x ∈ R definiujemy [x] ∈ Z wzorem

[x ] :=

(bxc jeśli x − bx c <¹₂, bxc + 1 jeśli x − bx c ≥¹₂.

Uwaga

Jeśli x ∈ R, k ∈ Z i |x − k| <¹₂, to [x ] = k.

Wniosek 2.16

(1) Jeśli n ∈ N+, to |P_n⁰| = [^n!_e].

(2) lim_n→∞^{|P0n |}

|Pn |=¹_e. Dowód

Wiadomo, że ¹_e−P

k∈[0,n]

(−1)k k!

<_(n+1)!¹ . (∗) W szczególności lim_n→∞P

k∈[0,n]

(−1)k

k! =¹_e. (∗∗) Stąd limn→∞

|P0n |

|Pn | (2.15)+(2.1)

= limn→∞P

k∈[0,n]

(−1)k k!

(∗∗)= ¹_e. Ponadto,

 ^n!_e − |P⁰_n|

(2.15)

= 

^n!_e − n! ·P

k∈[0,n]

(−1)k k!

 = n! ·

¹_e−P

k∈[0,n]

(−1)k k!

(∗)

< _(n+1)!^n! =_n+1¹ ≤¹₂.