Matematyka dyskretna - wykład - część 3 10. Funkcja M¨

Matematyka dyskretna - wykład - część 3 10. Funkcja M¨obiusa

Definicja 10.1

Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Mówimy, że zbiór uporządko- wany P jest lokalnie skończony, jeśli każdy podział [a, b] ⊆ P jest skończony, a, b ∈ P

Uwaga 10.1

Zbiór liczb rzeczywistych i zbiór liczb wymiernych nie są zbiorami lokalnie skończonymi. Natomiast zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych są zbiorami lokalnie skończonymi.

Rozważmy, zbiór

A(P ) =







f : P ×P → R: ^{^}

a,b∈P

∼ (a ¬ b) ⇒ f (a, b) = 0







Zauważmy, że w zbiorze A(P ) można zdefiniować dodawanie funkcji i mnoże- nie funkcji przez skalar (jako zwykłe operacje dodawania funkcji i mnożenie funkcji przez skalar). Zdefiniujemy trzecie działanie:

Definicja 10.2

Niech f, g ∈ A(P ). Funkcję f ? g: P ×P → R określoną wzorem f ? g(a, b) = 0, gdy ∼ (a ¬ b) i f ? g(a, b) = ^X

c∈[a,b]

f (a, c)g(c, b), gdy a ¬ b

nazywamy splotem Dirichleta.

Uwaga 10.2

Każdej funkcji ze zbioru A(P ) można przyporządkować macierz reprezentu- jącą tą funkcję. Wówczas dodawaniu funkcji odpowiada dodawanie macierzy.

Mnożeniu funkcji przez skalar odpowiada mnożenie macierzy przez skalar.

Gdy zbiór P jest zbiorem skończonym to splot Dirichleta odpowiada mnoże- niu macierzy odpowiadającym funkcjom f i g.

Definicja 10.3

Zbiór A(P ) wraz ze zdefiniowanymi w nim trzema działaniami: dodawaniem, mnożeniem przez skalar i splotem Dirichleta nazywamy algebrą incydencji zbioru P .

Uwaga 10.3

W definicji splotu Dirichleta od zbioru P oczekujemy, aby był lokalnie skoń- czony, gdyż w przeciwnym wypadku występująca w definicji suma mogłaby być nieskończona.

Twierdzenie 10.1

Funkcja δ: P ×P → R określona wzorem δ(a, b) =

(0, gdy a 6= b 1, gdy a = b jest elementem neutralnym splotu Dirichleta.

Dowód:

Niech f ∈ A(P ) i niech a ¬ b. Wtedy:

f ? δ(a, b) = ^X

c∈[a,b]

f (a, c)δ(c, b) = f (a, b)

gdyż δ(c, b) 6= 0 tylko, gdy c = b.

Dla δ ? f dowód jest analogiczny.

Definicja 10.4

Funkcja ζ: P ×P → R określona wzorem:

ζ(a, b) =

(0, gdy ∼ (a ¬ b) 1, gdy a ¬ b

jest funkcją charakterystyczną relacji porządku w zbiorze P . Definicja 10.5

Funkcja µ ∈ A(P ), taka że ζ ? µ = µ ? ζ = δ jest nazywana funkcją M¨obiusa zbioru P .

Twierdzenie 10.2

W zbiorze A(P ) istnieje dokładnie jedna funkcja µ: P × P → R, taka że ζ ? µ = δ oraz µ ? ζ = δ

Dowód (konstrukcja funkcji):

µ(a, b) = 0, gdy ∼ (a ¬ b). Załóżmy, że a ¬ b. Zastosujemy indukcję wzglę- dem |[a, b]| = n. Jeśli n = 1, to:

ζ ? µ(a, a) = δ(a, a) = 1 oraz

ζ ? µ(a, a) = ^X

c∈[a,a]

ζ(a, a)µ(a, a) = µ(a, a)

A więc µ(a, a) = 1. Załóżmy, że znana jest wartość funkcji µ dla wszystkich a, b ∈ P , takich że |[a, b]| < n. Niech więc |[a, b]| = n > 1. Wtedy:

ζ ? µ(a, b) = δ(a, b) = 0 oraz

ζ ? µ(a, b) = ^X

c∈[a,b]

ζ(a, c)µ(c, b) = ζ(a, a)µ(a, b) + ^X

c∈(a,b]

ζ(a, c)µ(c, b) =

= µ(a, b) + ^X

c∈(a,b]

µ(c, b), gdyż ^{^}

c∈(a,b]

a ¬ c ⇒ ^{^}

c∈(a,b]

ζ(a, c) = 1

Ostatecznie otrzymujemy (przyrównując ostatnią równość do zera), że:

µ(a, b) = − ^X

c∈(a,b]

µ(c, b)

Ponieważ [c, b] ⊂ [a, b] oraz |[c, b]| < |[a, b]| = n to wartość funkcji µ jest określona na podstawie założenia indukcyjnego.

Uwaga 10.4

Prawdziwe są następujące równości:

1^{◦ X}

c∈[a,b]

µ(a, c) = δ(a, b), gdy a ¬ b

2^{◦ X}

c∈[a,b]

µ(c, b) = δ(a, b), gdy a ¬ b 3^◦ µ(a, b) = − ^X

c∈(a,b]

µ(c, b)

4^◦ µ(a, b) = − ^X

c∈[a,b)

µ(a, c)

Twierdzenie 10.3

Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym liniowo. Wówczas:

µ(a, b) =







1 , gdy a = b

−1 , gdy |[a, b]| = 2 0 , gdy |[a, b]| > 2 Twierdzenie 10.4

Niech X będzie zbiorem skończonym i niech P = P (X) będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X. Wówczas: µ(Ø, X) = (−1)^|X|

Dowód:

Indukcja względem |X| = n. Jeśli n = 0, to X = Ø, a więc µ(Ø, Ø) = 1 = (−1)⁰. Jeśli n = 1, to X = {x} i µ(Ø, X) = −1 = (−1)¹.

Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla |Y | < n. Niech |X| = n. Wtedy:

µ(Ø, X) = − ^X

Y ∈[Ø,X)

µ(Ø, Y ) = −

n−1

X

i=0

X

Y ∈P i(X)

µ(Ø, Y ) = −

n−1

X

i=0

(−1)ⁱ n i

!

=

= −

n−1

X

i=0

(−1)ⁱ n i

!

+ (−1)ⁿ n n

!

− (−1)ⁿ n n

!!

=

= −

n

X

i=0

(−1)ⁱ n i

!

−(−1)ⁿ n n

!!

= −((1 − 1)ⁿ− (−1)ⁿ) = (−1)ⁿ = (−1)^|X|

Uwaga 10.5

Jeśli A, B ∈ P (X) oraz A ⊆ B, to µ(A, B) = (−1)^|B|−|A|

Dowód:

Niech Y ∈ [A, B]. Zbiorowi Y przyporządkujemy zbiór Y \ A ∈ [Ø, B \ A].

A ⊆ Y ⊆ B. Odwrotnie, jeśli Z ∈ [Ø, B \ A], to zbiorowi Z przyporządkuje- my zbiór Z ∪ A ∈ [A, B]. A więc przedziały [A, B] i [Ø, B \ A] są izomorficzne, więc zachowany jest porządek, zatem funkcja ζ ma takie same wartości w obu przedziały, więc także funkcja µ ma takie same wartości w obu przedziałach.

Stąd:

µ(A, B) = µ(Ø, B \ A) = (−1)^|B\A| = (−1)^|B|−|A|, gdyż A ⊆ B

Uwaga 10.6

Rozpatrzmy zbiór uporządkowany i lokalnie skończony (N, |). Niech a, b ∈ N . Wtedy

µ(a, b) =







1 gdy a = b

(−1)^s gdy a|b i a/b rozkłada się na s różnych liczb pierwszych 0 w pozostałych przypadkach

Definicja 10.6

Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym, lokalnie skończonym. Mówi- my, że funkcja F : P → R jest sumowalna w dół, jeśli zbiór supp F ∩ (←, x]

jest skończony dla każdego x ∈ P , gdzie supp F = {x ∈ P : F (x) 6= 0}.

Zbiór supp F nazywamy nośnikiem funkcji F . Lemat 10.1

Jeśli F : P → R jest sumowalna w dół, to funkcja G: P → R zdefiniowana wzorem:

G(x) = ^X

y∈(←,x]

F (y)

jest dobrze określona dla każdego x ∈ P (dla każdego x suma jest skończona) i sumowalna w dół.

Dowód:

Funkcja G jest dobrze określona bo funkcja F jest dobrze określona (co wyni- ka z definicji funkcji F ). Należy pokazać, że G jest sumowalna w dół. Załóżmy, że y ∈ supp G ∩ (←, x]. Zauważmy, że supp F ∩ (←, x] = {y₁, . . . , y_n}, bo zbiór ten jest skończony, G(y) 6= 0, bo y ∈ supp G oraz y ¬ x. Więc

0 6= G(y) = ^X

z∈(←,y]

F (z) ⇒ ^_

z∈(←,y]

F (z) 6= 0

z ∈ (←, y] ⊆ (←, x] = {y₁, . . . , y_n}

Niech więc z = y_i dla pewnego i ∈ {1, . . . , n}. Mamy: y_i ¬ y ¬ x. Zatem y ∈

n

[

i=1

[yi, x]

i suma ta jest zbiorem skończonym. Ostatecznie wobec dowolności wyboru y y ∈ supp G ∩ (←, x] ⊆

n

[

i=1

[y_i, x]

co pozwala wnioskować, że supp G ∩ (←, x] jest zbiorem skończonym, zatem funkcja G jest sumowalna w dół.

Twierdzenie 10.5 (twierdzenie inwersyjne M¨obiusa)

Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym, lokalnie skończonym, i niech F₌: P → R będzie funkcją sumowalną w dół. Niech F¬: P → R będzie funkcją określoną następująco:

F_¬(x) = ^X

y∈(←,x]

F₌(y) Wtedy

F₌(x) = ^X

y∈(←,x]

F¬(y)µ(y, x) Dowód:

X

y∈(←,x]

F¬(y)µ(y, x) = ^X

y∈(←,x]

X

z∈(←,y]

F=(z)

!

µ(y, x) =

Ponieważ z ¬ y ¬ x, można zmienić zakresy sumowania:

= ^X

z∈(←,x]

X

y∈[z,x]

F₌(z)µ(y, x) = ^X

z∈(←,x]

F₌(z) ^X

y∈[z,x]

µ(y, x) =

= F₌(x) + ^X

z∈(←,x)

F₌(z) ^X

y∈[z,x]

µ(y, x) = F₌(x)

gdyż ostatnia suma jest na mocy uwagi 10.4 jest równa 0, gdy z 6= x.

Definicja 10.7

Niech (P, ¬) będzie zb. uporządkowanym, lokalnie skończonym. Mówimy, że funkcja F : P → R jest sumowalna w górę, jeśli zbiór supp F ∩ [x, →) jest skończony dla każdego x ∈ P .

Lemat 10.2

Jeśli F : P → R jest sumowalna w górę, to funkcja G: P → R, taka że:

G(x) = ^X

y∈[x,→)

F (y)

jest dobrze określona dla każdego x ∈ P i sumowalna w górę.

Twierdzenie 10.6 (twierdzenie inwersyjne M¨obiusa II)

Niech (P, ¬) będzie zb. uporządkowanym, lokalnie skończonym, F₌: P → R będzie funkcją sumowalną w dół oraz F­: P → R będzie funkcją, taką że:

F­(x) = ^X

y∈[x,→)

F₌(y) Wtedy

F₌(x) = ^X

y∈[x,→)

F­(y)µ(x, y)

11. Zasada włączania - wyłączania.

Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym, niech {A₁, . . . , A_t} będzie ro- dziną podzbiorów zbioru X i niech T = {1, . . . , t}.

Określmy funkcję Γ: X → P (T ) wzorem: Γ(x) = {i ∈ T : x ∈ A_i} Przyjmijmy dla każdego podzbioru S ∈ P (T ) następujące oznaczenia:

A_S = ^\

i∈S

A_i oraz A(S) = {x ∈ X: Γ(x) = S}

Lemat 11.1

Prawdziwe są następujące zdania:

1^◦ x ∈ AS ⇔ S ⊆ Γ(x) 2^◦ S₁ 6= S₂ ⇒ A(S₁) ∩ A(S₂) = Ø

3^◦ A_S = ^X

R∈[S,→)

A(R)

Dowód: 1^◦ ( ⇒ ) x ∈ A_S = ^\

i∈S

A_i ⇒ ^{^}

i∈S

x ∈ A_i ⇒ S ⊆ Γ(x) = {i ∈ T : x ∈ A_i}

( ⇐ ) Niech S ⊆ Γ(x) = {i ∈ T : x ∈ A_i}. Wtedy

^

i∈S

x ∈ Ai ⇒ x ∈ ^\

i∈S

Ai = AS

2^◦

Niech S₁, S₂ ⊆ T, S₁ 6= S₂. Załóżmy, że A(S₁) ∩ A(S₂) 6= Ø, więc

_

z∈X

z ∈ A(S₁) ∩ A(S₂) ⇒ z ∈ A(S₁) ∧ z ∈ A(S₂) ⇒

⇒ z ∈ {x ∈ X: Γ(x) = S₁} ∧ z ∈ {x ∈ X: Γ(x) = S₂} ⇒

⇒ Γ(z) = S₁ ∧ Γ(z) = S₂ ⇒ S₁ = S₂ i otrzymujemy sprzeczność.

3^◦

Zauważmy, że jeśli S ⊆ R, to A_R ⊆ A_S oraz A(R) ⊆ A(S). Ponadto dla każdego R ∈ [S, →) mamy: S ⊆ R. A więc

x ∈ ^X

R∈[S,→)

A(R) ⇒ ^_

R∈[S,→)

x ∈ A(R) ⇒ ^{^}

i∈R

x ∈ A_i ⇒ x ∈ ^\

i∈R

A_i ⊆ ^\

i∈S

A_i = A_S x ∈ A_S ⇒ ^_

R∈[S,→)

x ∈ A(R) ⊆ ^X

R∈[S,→)

A(R)

Implikacja wynika z następującego faktu. Niech S = {1, . . . , n}. Do przekroju n zbiorów A₁, . . . , A_n może należeć element x, taki że x ∈ A_i, i ∈ {1, . . . , n}

i x ∈ A_n+1. Wtedy Γ(x) = {1, . . . , n + 1} = R, więc x ∈ A(R) i S ∈ [R, →).

Definicja 11.1

Niech X 6= Ø. Funkcję ν: X → (0, ∞) ⊆ R nazywamy funkcją wagową zbioru X. Jeśli A ⊆ X, to

ν(A) = ^X

x∈A

ν(x)

Ponadto ν(Ø) = 0

Twierdzenie 11.1 (twierdzenie Sylwestera)

Niech A1, . . . , A_t będą podzbiorami zbioru skończonego X i ν: X → (0, ∞) będzie funkcją wagową. Wtedy

ν

t

[

n=1

A_n

!

=

t

X

n=1

(−1)^{n+1 X}

S∈Pn(T )

ν ^\

n∈S

A_n

!

Dowód:

Określmy funkcje F₌, F­: P (T ) → R wzorami: F₌(S) = ν(A(S)) oraz F_­(S) = ^X

R∈[S,→)

F₌(R) = ^X

R∈[S,→)

ν(A(R)) = ν



 [

R∈[S,→)

A(R)



 = ν(A_S) Przedstatnia równość wynika z faktu, iż sumowanie przebiega po zbiorach parami rozłącznych (lemat 11.1), ostatnia wprost z lematu 11.1. Ponadto

F₌(S) = ^X

R∈[S,→)

F­(R)µ(S, R) = ^X

R∈[S,→)

ν(A_R)µ(S, R) Załóżmy, że S = Ø. Zauważmy, że

A(Ø) = {x ∈ X: Γ(x) = Ø} ⇒ ∼ ^_

t∈T

x ∈ A_t ⇒ A(Ø) = X \

t

[

i=1

A_i

F=(Ø) = ν(A(Ø)) = ν X \

t

[

i=1

Ai

!

= ν(X) − ν

t

[

i=1

Ai

!

Z drugiej strony F=(Ø) = ^X

R∈P (T )

ν(AR)µ(Ø, R) =

t

X

n=0

X

R∈Pn(T )

ν(AR)µ(Ø, R) =

=

t

X

n=0

X

R∈Pn(T )

(−1)ⁿν(A_R) = ^X

R∈P0(T )

(−1)⁰ν(A_R) +

t

X

n=1

(−1)^{n X}

R∈Pn(T )

ν(A_R) =

= ν(AØ) +

t

X

n=1

(−1)^{n X}

R∈Pn(T )

ν(A_R) = ν(X) +

t

X

n=1

(−1)^{n X}

R∈Pn(T )

ν ^\

n∈R

A_n

!

gdyż A_Ø = X. Porównując stronami obie wartości F₌(Ø) i mnożąc je przez

−1 otrzymujemy dowodzoną równość.

Twierdzenie 11.2 (zasada włączania - wyłączania)

Niech A₁, . . . , A_t będą podzbiorami zbioru skończonego X. Wtedy

t

[

n=1

An

=

t

X

n=1

(−1)^{n+1 X}

S∈Pn(T )

\

n∈S

An

W dowodzie należy skorzystać z twierdzenia Sylwestera z funkcją wagową ν(x) = 1 dla każdego x ∈ X

12. Problemy mini-maksowe Definicja 12.1

Niech (P, ¬) będzie skończonym zbiorem uporządkowanym. Podzbiór L ⊂ P nazywamy łańcuchem, jeśli L jest uporządkowany liniowo. Podzbiór A ⊂ P nazywamy antyłańcuchem, jeśli A jest uporządkowany antyliniowo.

Długość łańcucha L jest równa |L| − 1.

Definicja 12.2

Niech dana będzie rodzina C₁, . . . , C_n podzbiorów zbioru P . Taką rodzinę nazywamy pokryciem zbioru P , jeśli

P =

n

[

i=1

Ci

Pokrycie nazywamy zupełnym, jeśli Ci∩ Cj = Ø, gdy i 6= j

Twierdzenie 12.1 (Twierdzenie Dilwortha)

Jeśli (P, ¬) jest skończonym zbiorem uporządkowanym, to maksymalna licz- ność antyłańcucha w zbiorze P jest równa minimalnej liczbie łańcuchów po- trzebnych do pokrycia zbioru P .

Dowód:

Niech m oznacza maksymalną liczność łańcucha w zbiorze P , a n - minimal- ną liczbą łańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .

Oczywiście m ¬ n, gdyż aby pokryć zbiór P każdy element antyłańcucha musi należeć do innego łańcucha. Pokażemy,że n ¬ m. Indunkcja względem k = |P |. Załóżmy, że każdy zbiór uporządkowany, który ma mniej niż k ele- mentów spełnia twierdzenie Dilwortha.

Niech L ⊂ P będzie łańcuchem maksymalnym. Weźmy pod uwagę zbiór P \L (który jest uporządkowany) i rozpatrzmy dwa przypadki:

1^◦

Każdy antyłańcuch w zbiorze P \ L zawiera co najwyżej m − 1 elemen- tów, a więc istnieje antyłańcuch zawierający dokładnie m − 1 elementów.

Do zbioru P \ L stosujemy założenie indukcyjne: istnieje rodzina łańcuchów L₁, . . . , L_m−1 pokrywająca zbiór P \ L. Stąd P = L ∪ L₁∪ . . . ∪ L_m−1. Istnieje zatem pokrycie zbioru P rodziną złożoną z m łańcuchów, czyli n ¬ m 2^◦

W zbiorze P \ L istnieje antyłańcuch A mający m elementów. Zdefiniujmy dwa zbiory:

D =

(

x ∈ P : ^_

a∈A

x ¬ a

)

∧ G =

(

x ∈ P : ^_

a∈A

x ­ a

)

Zbiory D i G mają następujące (istotne dla dowodu twierdzenia) własności:

(a) P = D ∪ G

Załóżmy, że x ∈ P . A ∪ {x} nie jest antyłańcuchem, gdy x /∈ A. Wtedy x jest porównywalny z jednym z elementów antyłańcucha a ∈ A. Jeśli x ¬ a, to x ∈ D. Jeśli a ¬ x, to x ∈ G. Ostatecznie x ∈ D ∪ G.

(b) D ∩ G = A

Oczywiście A ⊆ D ∩ G. Jeśli zaś x ∈ D ∩ G, to x ∈ D i x ∈ G. Wobec tego istnieje a ∈ A takie, że x ¬ a oraz istnieje b ∈ A takie, że b ¬ x. A więc b ¬ x ¬ a, skąd wynika, że b ¬ a. Ponieważ jednak a, b są elementami antyłańcucha, to a = b = x.

(c) Element maksymalny łańcucha L nie należy do zbioru D

Ponieważ A ⊂ P \ L, to A ∩ L = Ø. Niech b ∈ L będzie elementem maksy- malnym łańcucha L. A więc b /∈ A. Przypuśćmy niewprost, że b ∈ D. Wobec tego istnieje a ∈ A takie, że b ¬ a. Ale ponieważ b /∈ A, to b < a. Wynika stąd, że L ∪ {a} jest łańcuchem - sprzeczność z maksymalnością łańcucha L.

(d) Element minimalny łańcucha L nie należy do zbioru G Dowód analogiczny jak w punkcie (c).

Z powyższych rozważań wynika, że zbiory D i G są niepuste, są właściwymi podzbiorami zbioru P oraz |D| < k i |G| < k. Z założenia indukcyjnego wynika, że istnieją pokrycia D₁, . . . , D_m oraz G₁, . . . , G_m zbiorów D i G.

Niech A = (a₁, . . . , a_m). Wtedy każdy element a_i należy tylko do jedne- go z łańcuchów D_i i tylko jednego z łańcuchów G_i. Zdefiniujmy łańcuchy L₁ = D₁∪ G₁, . . . , L_m = D_m∪ G_m. Tak określona rodzina m łańcuchów jest pokryciem zbioru P . A więc n ¬ m

Twierdzenie 12.2 (II twierdzenie Dilwortha)

Jeśli (P, ¬) jest skończonym zbiorem uporządkowanym, to maksymalna licz- ność antyłańcucha w zbiorze P jest równa minimalnej liczbie rozłącznych łańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .

Dowód:

Niech m oznacza maksymalną liczność antyłańcucha i niech L₁, . . . , L_m bę- dzie pokryciem zbioru P . Skonstruujemy nową rodzinę łańcuchów.

S₁ = L₁ S₂ = L₂\ L₁ . . . S_i+1= L_i+1\

i

[

k=0

L_k . . . S_m = L_m\

m−1

[

k=0

L_k

Oczywiście każdy ze zbiorów S_i jest zbiorem niepustym. Gdyby S_i+1= Ø, to musiałoby być L_i+1 ⊂ (L₁∪ . . . ∪ L_i). Wobec tego łańcuch L_i+1byłby zbędny do pokrycia zbioru P , co jest sprzeczne z wyborem liczby m.

Zatem rodzina S₁, . . . , S_m łańcuchów jest rozłącznym pokryciem zbioru P . Twierdzenie 12.3 (Twierdzenie dualne Dilwortha)

Jeśli (P, ¬) jest skończonym zbiorem uporządkowanym, to maksymalna licz- ność łańcucha w zbiorze P jest równa minimalnej liczbie rozłącznych anty- łańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .

Dowód:

Niech m oznacza maksymalną liczność łańcucha, zaś k - minimalną liczbę antyłańcuchów potrzebnych do pokrycia zbioru P .

Utwórzmy rodzinę zbiorów A_i = {x ∈ P : ranga(x) = i}. Zauważmy, że każ- dy ze zbiorów Ai jest antyłańcuchem oraz Ai ∩ Aj = Ø, gdy i 6= j. Zbiory A₀, . . . , A_m−1 tworzą m-elementowe pokrycie zbioru P .

Niech x₁, . . . , x_m będzie maksymalnym łańcuchem. Zauważmy, że każdy ele- ment xi musi należeć do innego antyłańcucha, a więc tych antyłańcuchów musi być co najmniej m. Zatem m ¬ k. Ponieważ wcześniej zbudowaliśmy pokrycie zbioru P dokładnie m antyłańcuchami, to m = k