Algebra liniowa i geometria

(1)

Algebra liniowa i geometria

– informatyka –

Większość zadań w niniejszym skrypcie pochodzi z materiałów przygotowanych przez dra K. Górnisiewicza.

Teorię oraz część zadań opracowano na podstawie następujących książek:

• G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej cz. I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, War- szawa 2002.

• G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej cz. II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, War- szawa 2002.

(2)

Spis treści

1 Ciało liczb zespolonych C 3

1.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . 3

1.1.1 Działania na liczbach zespolonych . . . 3

1.1.2 Postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . 3

1.2 Zadania . . . 5

2 Podstawowe struktury algebraiczne 12 2.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . 12

2.2 Zadania . . . 14

3 Podstawowe struktury algebraiczne cz. 2. Grupy permutacji 22 3.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . 22

3.2 Zadania . . . 25

4 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 28 4.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . 28

4.2 Zadania . . . 29

5 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana 33 5.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . 33

5.2 Zadania . . . 34

6 Wyznacznik macierzy — opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 49 6.1 Teoria . . . 49

6.2 Zadania . . . 51

7 Wyznacznik macierzy - kontynuacja 55 7.1 Zadania . . . 55

8 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni liniowej (opracowano na podstawie BG „Elementy algebry liniowej t. I”) 60 8.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . 60

8.2 Zadania . . . 64

9 Macierz przejścia z bazy do bazy, macierz przekształcenia liniowego, wartości własne, wek- tory własne, diagonalizacja macierzy 71 9.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . 71

9.1.1 Macierz przejścia z bazy do bazy . . . 71

9.1.2 Macierz przekształcenia liniowego . . . 72

9.1.3 Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne . . . 73

9.1.4 Diagonalizacja macierzy . . . 73

9.2 Zadania . . . 75

(3)

1 Ciało liczb zespolonych C

1.1 Wprowadzenie teoretyczne

Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych z = (a, b) .

Często taką parę zapisujemy w postaci kanonicznej:

z = a + bi, gdzie i²= −1.

• a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, oznaczamy Re z,

• b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, oznaczamy Im z.

Liczbą przeciwną do liczby z jest liczba

−z = −a − bi, natomiast sprzężeniem liczby z jest liczba

¯

z = a − bi.

Moduł liczby zespolonej:

|z| =p a²+ b².

Dwie liczby zespolone są równe, gdy ich części rzeczywiste są sobie równe oraz ich części urojone są sobie równe.

1.1.1 Działania na liczbach zespolonych

Niech z = a + bi, z⁰ = c + di będą liczbami zespolonymi.

• Dodawanie, odejmowanie:

z ± z⁰ = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d) i.

• Mnożenie:

z · z⁰= (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i.

• Dzielenie:

z

z⁰ =a + bi

c + di =a + bi

c + di·c − di

c − di = ac + bd

c²+ d² +bc − ad

c²+ d²i = ac + bd

|z⁰|² +bc − ad

|z⁰|² i 1.1.2 Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczbę zespoloną:

z = a + bi możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej:

z = |z| (cos φ + i sin φ) , gdzie φ nazywamy argumentem liczby z, oznaczamy arg z.

Zauważmy, że:

cos φ = a

|z|, sin φ = b

|z|.

Zauważmy również, że taka postać daje nam zapis jednoznaczny z dokładnością do 2π. Żeby uzyskać jednoznaczność zapisu, wprowadzimy pojęcie argumentu głównego liczby zespolonej z. Argument główny oznaczać będziemy Arg z, Arg z ∈ [ 0, 2π).

arg z = Arg z + 2kπ, dla k ∈ Z.

(4)

|z|

-b

ϕ

|z|

a

b z

|z|

-a

z-

Re Im

-z

Rysunek 1. Interpretacja geometryczna

Własności 1.1. Niech z, z1, z2 będą liczbami zespolonymi:

1. Re (z₁± z2) = Re z1± Re z2, 2. Im (z₁± z₂) = Im z₁± Im z₂, 3. |z1· z2| = |z1| · |z2|,

4. |^z_z¹

2| = ^|z_|z¹^|

2|, 5. z · ¯z = |z|² 6. z₁± z2= ¯z1± ¯z2, 7. z₁· z₂= ¯z₁· ¯z₂, 8.

z1

z₂

=^z_z^¯_¯¹

2, 9. z ∈ R ⇐⇒ ¯z = z,

10. arg (z1· z2) = arg z1+ arg z2, 11. arg

z₁ z2

= arg z₁− arg z₂.

Postać trygonometryczna ułatwia nam mnożenie i dzielenie liczb zespolonych:

z₁· z2= |z₁||z2| (cos (φ1+ φ₂) + i sin (φ₁+ φ₂)) , (1.1) z1

z2

= |z1|

|z2|(cos (φ1− φ2) + i sin (φ1− φ2)) , dla z26= 0. (1.2) Twierdzenie 1.1 (wzór Moivre’a). Niech z = |z| (cos φ + i sin φ). Wówczas dla dowolnego n ∈ N, mamy:

zⁿ= |z|ⁿ(cos nφ + i sin nφ)

Twierdzenie 1.2. Niech z = |z| (cos φ + i sin φ). Wówczas dla dowolnego n ∈ N, istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z, tzn. rozwiązań równania ωⁿ= z, które dane są wzorami:

ω_k= p|z|ⁿ

cosφ + 2kπ

n + i sinφ + 2kπ n

, gdzie k = 0, 1, . . . n − 1.

(5)

1.2 Zadania

Zadanie 1.1.

Znaleźć część rzeczywistą i urojoną oraz obliczyć moduł i sprzężenie liczb zespolonych:

a. (5 − 3i) (1 + i) b. (2 − 4i) (2 − i)

c. ¹⁻ⁱ_1+i

d. ³ⁱ⁺⁴_i

e. (^√³⁻ⁱ)(⁻¹⁺ⁱ^√³)

(1+i)²

f. ⁽¹⁺ⁱ⁾_(1−i)²2⁺ⁱ−i

g. (2 + i)³ h. √

i i. √

8 − 6i

Rozwiązanie zadania 1.1.

a. z = (5 − 3i)(1 + i) = 5 + 5i − 3i + 3 = 8 + 2i, Re z = 8, Im z = 2, |z| =√

8²+ 2²= 2√

17, z = 8 − 2i¯ b. z = (2 − 4i)(2 − i) = 4 − 2i − 8i − 4 = −10i,

Re z = 0, Im z = −10, |z| =p(−10)²= 10, z = 10i¯ c. z = ¹⁻ⁱ_1+i = _(1+i)(1−i)⁽¹⁻ⁱ⁾² = ¹⁻²ⁱ⁻¹₁2−i² =⁻²ⁱ₂ = −i,

Re z = 0, Im z = −1, |z| = 1, z = i¯ d. z = ³ⁱ⁺⁴_i = ^−i(3i+4)_i(−i) = 3 − 4i,

Re z = 3, Im z = −4, |z| =p3²+ (−4)²=√

25 = 5, z = 3 + 4i.¯ e. z = (^√³⁻ⁱ)(⁻¹⁺ⁱ^√³)

(1+i)² =⁻

√3+3i+i+√ 3

1+2i−1 = ⁴ⁱ_2i = 2, Re z = 2, Im z = 0, |z| = 2, z = 2¯ f. z = ⁽¹⁺ⁱ⁾_(1−i)²2⁺ⁱ−i = ^1+2i−1+i_{1−2i−1−i} =_−3i³ⁱ = −1,

Re z = −1, Im z = 0, |z| = 1, z = −1¯

g. z = (2 + i)³= 2³+ 3 · 2²i + 3 · 2i²+ i³= 8 + 12i − 6 − i = 2 + 11i, Re z = 2, Im z = 11, |z| =√

4 + 121 =√

125 = 5√

5, z = 2 − 11i¯ h. Wiemy, że√

i = a + bi, dla pewnych a, b ∈ R. Zatem:

a + bi =√

i (podnieśmy obustronnie do kwadratu) a²+ 2abi − b²= i.

Stąd:

a²− b² = 0 2ab = 1

Zauważmy, że pierwsze równanie tego układu możemy zapisać następująco:

a²− b²= 0 ⇔ (a − b)(a + b) = 0.

Zatem mamy dwie możliwości: albo a − b = 0 albo a + b = 0. Rozwiązując układ w pierwszym przypadku otrzymamy rozwiązania: z₁=

√2 2 +

√2

2 i, z₂= −

√2 2 −

√2

2 i. Natomiast rozwiązując układ równań w drugim przypadku otrzymamy a²= −¹₂ — sprzeczność, bo a ∈ R.

Re z₁=

√2

2 , Im z₁=

√2

2 , |z₁| = 1, z¯₁=

√2 2 −

√2 2 i, Re z2= −

√ 2

2 , Im z2= −

√ 2

2 , |z2| = 1, z¯₂= −

√ 2 2 +

√ 2 2 i i. Wiemy, że √

8 − 6i = a + bi, dla pewnych a, b ∈ R. Zatem:

a + bi =√

8 − 6i (podnieśmy obustronnie do kwadratu) a²+ 2abi − b²= 8 − 6i.

(6)

Stąd:

a²− b² = 8 2ab = −6

Gdyby a = 0, to otrzymalibyśmy np. w drugim równaniu 0 = −6 — sprzeczność, zatem a 6= 0, więc możemy dzielić przez a. Wyznaczmy więc z drugiego równania b: b = −³_a i podstawmy do pierwszego równania:

a²− 9

a² − 8 = 0 / · a²

a⁴− 8a²− 9 = 0 podstawmy za a² zmienną t > 0, t ∈ R t²− 8t − 9 = 0

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe (np. za pomocą ∆-y) i otrzymujemy: t = 9 lub t = −1 < 0.

Zatem drugie rozwiązanie odrzucamy. Mamy więc a² = 9 =⇒ a = ±3. Otrzymujemy więc rozwiązania:

z₁= 3 − i, z₂= −3 + i.

Re z1= 3, Im z1= −1, |z1| =√

10, z¯1= 3 + i, Re z2= −3, Im z2= 1, |z2| =√

10, z¯2= −3 − i

Zadanie 1.2.

Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory punktów, które spełniają poniższe warunki:

a. A = {z ∈ C : |z| = 1}

b. B = {z ∈ C : 1 < |z| ≤ 5}

c. C = {z ∈ C : |z − 3 + 2i| = 2}

d. D =n

z ∈ C : |^z−3z−1| = 1o

e. E =n

z ∈ C : |⁴ⁱ⁻³3i−z| > 5o

f. F =z ∈ C : Arg z =^π₄, Im z < 3 g. G = {z ∈ C : z ¯z ≤ 9, Re z > 2}

Rozwiązanie zadania 1.2. Przypomnijmy, że okrąg w układzie współrzędnych kartezjańskich jest opisany wzorem:

(x − x0)²+ (y − y0)²= r², gdzie: r > 0 — promień okręgu, (x₀, y₀) — współrzędne środka okręgu.

a.

−2.0 −1.0 1.0 2.0

Re

−2.0

−1.0 1.0 2.0 Im

0

b.

−7.0−6.0−5.0−4.0−3.0−2.0−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Re

−7.0

−6.0

−5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Im

0

(7)

c.

−2.0 2.0 4.0 6.0

Re

−6.0

−4.0

−2.0 2.0

Im

0

(3, −2)

d.

−2.0 2.0 4.0

Re

−4.0

−2.0 2.0

Im

0

e.

−2.0−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Re

−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Im

0 (0, 3)

f.

−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Re

−2.0

−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Im

0

(3, 3)

π 4

g.

Zadanie 1.3.

Przedstawić w postaci trygonometrycznej:

a. 1 b. i c. −1

d. −i

e. ¹₂− i

√3 2

f.

√3 2 +¹₂i g. −1 + i√

3 h. −1 − i

i.

√2 2 −

√2 2 i

Rozwiązanie zadania 1.3. Przed przystąpieniem do rozwiązywania podamy najpierw potrzebne nam wartości funkcji trygonometrycznych i wzory redukcyjne.

(8)

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych:

α sin α cos α

0 0 1

π 6

1 2

√ 3 2 π

4

√2 2

√2 2 π

3

√3 2

1 2 π

2 1 0

Wzory redukcyjne:

ϕ sin ϕ cos ϕ

π − α sin α − cos α π + α − sin α − cos α 2π − α − sin α cos α 2π + α sin α cos α

a. 1 = cos 0 + i sin 0, b. i = cos^π₂ + i sin^π₂,

c. −1 = cos π + i sin π, d. −i = cos³₂π + i sin³₂π, e. ¹₂− i

√3

2 = cos⁵₃π + i sin⁵₃π,

f.

√ 3

2 +¹₂i = cos^π₆+ i sin^π₆, g. −1 + i√

3 = 2 cos²₃π + i sin²₃π, h. −1 − i =√

2 cos⁵₄π + i sin⁵₄π, i.

√2 2 −

√2

2 i = cos⁷₄π + i sin⁷₄π.

Zadanie 1.4.

Wyznaczyć moduł i argument liczby zespolonej:

z = 1 − i 1 + i oraz obliczyć:

z²³.

Zadanie 1.5.

Obliczyć:

a. −1 + i√ 3²⁰¹⁴

: (1 − i)⁴⁰²⁴ b.

1 2− i

√3 2

50

·

−

√3

2 +₂ⁱ136

c. (2 − 2i)¹³²⁰

z = ¹⁻ⁱ_1+i =¹⁻²ⁱ⁻¹₂ = −i.

|z| = 1, Arg z =³₂π.

z²³= 1²³·

cos 3 · 23 2 π

+ i sin 3 · 23 2 π

= cosπ

2 + i sinπ 2 = i.

a.

(−1 + i√ 3)²⁰¹⁴

(1 − i)⁴⁰²⁴ = 2²⁰¹⁴· cos^2·2014₃ π + i sin^2·2014₃ π (√

2)⁴⁰²⁴· cos^7·4024₄ π + i sin^7·4024₄ π =

= 2²·

cos 2

3π − 0

+ sin 2 3π − 0

= −2 + 2√ 3i

b.

1 2− i

√3 2

⁵⁰

·

−

√3 2 + i

2

¹³⁶

= 1⁵⁰⁺¹³⁶·

cos 5 · 50

3 π +5 · 136 6 π

+ i sin 5 · 50

3 π +5 · 136 6 π

=

= cos 5 · 118 3 π

+ i sin 5 · 118 3 π

= cos2

3π + i sin2 3π =

= −1 2+

√3 2 i

(9)

c.

(2 − 2i)¹³²⁰= 2³²¹³²⁰

·

√ 2 2 −

√2 2 i

¹³²⁰

= 2¹⁹⁸⁰·

cos 7 · 1320

4 π

+ i sin 7 · 1320

4 π

=

= 2¹⁹⁸⁰· [cos (7 · 330π) + i sin (7 · 330π)] = 2¹⁹⁸⁰· (cos 0 + i sin 0) =

= 2¹⁹⁸⁰

Zadanie 1.6.

Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone stopnia 4 i 6 z 1.

Rozwiązanie zadania 1.6. Przypomnijmy wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej z = |z| · (cos φ + i sin φ):

ωk= p|z|ⁿ

cosφ + 2kπ

n + i sinφ + 2kπ n

, gdzie k = 0, 1, . . . n − 1.

W naszym przypadku z = 1, |z| = 1, φ = 0.

• Pierwiastki stopnia 4 z 1:

ω₀⁽⁴⁾= cos 0 + i sin 0 = 1, ω₁⁽⁴⁾= cos2

4π + i sin2 4π = i, ω₂⁽⁴⁾= cos4

4π + i sin4

4π = −1, ω₃⁽⁴⁾= cos6

4π + i sin6

4π = −i.

• Pierwiastki stopnia 6 z 1:

ω₀⁽⁶⁾= cos 0 + i sin 0 = 1, ω₁⁽⁶⁾= cos2

6π + i sin2 6π = 1

2 +

√3 2 i, ω₂⁽⁶⁾= cos4

6π + i sin4

6π = −1 2+

√ 3 2 i, ω₃⁽⁶⁾= cos6

6π + i sin6

6π = −1, ω₄⁽⁶⁾= cos8

6π + i sin8

6π = −1 2−

√3 2 i, ω₅⁽⁶⁾= cos10

6 π + i sin10 6 π = 1

2 −

√3 2 i.

Zadanie 1.7.

Rozwiąż niżej podane równania w ciele liczb zespolonych:

a. _2+3i^{Re z} +_3−2i^{Im z} = 1 b. z²+ z + 1 = 0

c. 3z+(1 − i) ¯z = 2+3i d. (i−2) Im z+2^{Re z+iz} = i

e. z³− 3iz²+ 4z = 0 f. z⁴− 1 = 0

g. z²+ 5¯z = 0

Rozwiązanie zadania 1.7. W tym zadaniu tam, gdzie wygodnie będziemy używać zapisu:

z = x + yi, gdzie x, y ∈ R.

(10)

a.

x

2 + 3i+ y 3 − 2i = 1 x(2 − 3i) + y(3 + 2i)

13 = 1

2x + 3y − 13 + (2y − 3x)i = 0 Stąd:

2x + 3y = 13 / · 3

−3x + 2y = 0 / · 2

6x + 9y = 39

−6x + 4y = 0

⇒ 13y = 39 ⇒ y = 3 ⇒ 2x + 9 = 13 ⇒ x = 2. Zatem z = 2 + 3i.

b. z²+ z + 1 = 0

∆ = −3 ⇒ √

∆ = i√

3 ⇒ z₁=−1 − i√ 3

2 , z₂= −1 + i√ 3

2 .

c.

3(x + yi) + (1 − i)(x − yi) = 2 + 3i 4x − y − 2 + (−x + 2y − 3)i = 0 Stąd:

4x − y = 2 / · 2

−x + 2y = 3

8x − 2y = 4

−x + 2y = 3

⇒ 7x = 7 ⇒ x = 1 ⇒ 4 − y = 2 ⇒ y = 2. Zatem z = 1 + 2i.

d.

x + i(x + yi) (i − 2)y + 2 = i

x − y + xi = i(yi − 2y + 2) x + (x + 2y − 2)i = 0

Stąd:

x = 0

x + 2y − 2 = 0

⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1. Zatem z = i.

e. z³− 3iz²+ 4z = 0 ⇔ (z²− 3iz + 4)z = 0.

∆ = −25 ⇒ √

∆ = 5i ⇒ z1= −i, z2= 4i, z3= 0.

f. z⁴− 1 = 0 ⇔ (z²− 1)(z²− (−1)) = 0 ⇔ (z − 1)(z + 1)(z − i)(z + i) = 0. Stąd:

z1= 1, z2= −1, z3= i, z4= −i.

g.

(x + yi)²+ 5(x − yi) = 0 x²+ 5x − y²+ (2xy − 5y)i = 0 Stąd:

x²+ 5x − y² = 0

2y(x −⁵₂) = 0 ⇒ y = 0 lub x =⁵₂

(11)

I. y = 0 ⇒ x²+ 5x = 0 ⇒ x = 0 lub x = −5 II. x = ⁵₂ ⇒ ²⁵₄ +⁵⁰₄ = y² ⇒ y = ⁵

√3

2 lub y = −⁵

√3 2 . Zatem:

z1= 0, z2= −5, z3= 5 2+5√

3

2 i, z4=5 2 −5√

3 2 i.

* Zadanie 1.8.

Wyprowadzić wzory:

a. sin (2α) — wskazówka: wzór Moivre’a b. cos (2α) — wskazówka: wzór Moivre’a

c. sin (α + β) d. cos (α + β)

a.,b. Niech z = cos α + i sin α. Wówczas ze wzoru Moivre’a mamy:

z²= cos 2α + i sin 2α. (1.3)

Podnosząc z do kwadratu otrzymamy:

z²= cos²α + 2i cos α sin α − sin²α. (1.4) Z równań: (1.3), (1.4) otrzymamy:

cos 2α = cos²α − sin²α sin 2α = 2 cos α sin α.

c.,d. Niech z1= cos α + i sin α, z2= cos β + i sin β. Mnożąc z1razy z2 otrzymamy:

z₁z₂= cos α cos β − sin α sin β + (sin α cos β + sin β cos α)i, (1.5) a ze wzoru (1.1)

z1z2= cos(α + β) + i sin(α + β). (1.6) Z (1.5), (1.6) otrzymujemy:

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

(12)

2 Podstawowe struktury algebraiczne

2.1 Wprowadzenie teoretyczne

Definicja 2.1. Działaniem wewnętrznym (w skrócie będziemy mówić działaniem) w zbiorze X nazywać będziemy każdą funkcję X × X → X.

Definicja 2.2. Niech F i A będą niepustymi zbiorami. Dowolne odwzorowanie ◦ : F × A → A nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze A ze zbiorem operatorów F.

Definicja 2.3. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem · : G × G → G, dla którego spełnione są następujące warunki:

G1. Dla dowolnych a, b, c ∈ G : (a · b) · c = a · (b · c). (łączność)

G2. Istnieje element e ∈ G (nazywany elementem neutralnym grupy) taki, że:

dla każdego a ∈ G : e · a = a · e = a.

G3. Dla każdego a ∈ G istnieje element b ∈ G (nazywany elementem odwrotnym do a) taki, że:

a · b = b · a = e.

Definicja 2.4. Grupą przemienną (lub abelową) nazywamy zbiór G z działaniem · : G × G → G, spełnia- jącym warunki G1.—G3. z powyższej definicji oraz warunek:

G4. dla dowolnych a, b ∈ G : a · b = b · a.

Fakt 2.1. Niech G będzie grupą.

1. Element neutralny grupy G jest tylko jeden.

2. Dla każdego elementu a ∈ G element odwrotny b do elementu a jest jednoznacznie określony, oznaczamy go symbolem a⁻¹.

3. Dla każdego a ∈ G mamy:

a⁻¹−1

= a.

4. Dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość:

(ab)⁻¹= b⁻¹a⁻¹.

Często dla uproszczenia zapisu element neutralny dla mnożenia (·) będziemy oznaczać poprzez 1, natomiast dla dodawania (+) poprzez 0.

Definicja 2.5. Pierścieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: z dodawaniem + : R × R → R i z mnożeniem · : R × R → R, dla których są spełnione następujące warunki:

P1. (R, +) jest grupą abelową.

P2. Dla dowolnych a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c) (łączność mnożenia).

P3. Dla dowolnych a, b, c ∈ R :

a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c (rozdzielność mnożenia względem dodawania).

(13)

Jeśli ponadto R 6= {0} oraz istnieje element neutralny mnożenia e ∈ R taki, że:

dla każdego a ∈ R : a · e = e · a = a, to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką.

Jeśli mnożenie w pierścieniu R jest przemienne, tzn.:

dla każdego a, b ∈ R : a · b = b · a, to mówimy, że R jest pierścieniem przemiennym.

Definicja 2.6. Ciałem nazywamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami + : K × K → K oraz · : K × K → K takimi, że:

C1. (K, +, ·) jest pierścieniem przemiennym z jedynką.

C2. Zbiór K^×= K \ {0} z mnożeniem jest grupą.

Definicja 2.7. Niech (A, +_A) oraz (B, +_B) będą grupami. Mówimy, że odwzorowanie f : A → B jest homomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b ∈ A:

f (a +Ab) = f (a) +Bf (b) .

Niech teraz (A, +_A, ·_A) oraz (B, +_B, ·_B) będą pierścieniami. Mówimy, że odwzorowanie f : A → B jest homomorfizmem pierścieni, gdy dla każdego a, b ∈ A:

f (a +Ab) = f (a) +Bf (b) f (a ·Ab) = f (a) ·Bf (b) Warto zauważyć, że w przypadku, gdy:

1. (A, +A) oraz (B, +B) są grupami i f : A → B jest homomorfizmem grup, to:

f (0A) = 0B.

2. (A, +_A, ·_A) oraz (B, +_B, ·_B) są dowolnymi pierścieniami i f : A → B jest homomorfizmem pierścieni, to:

f (0A) = 0B.

3. (A, +A, ·A) oraz (B, +B, ·B) są dowolnymi pierścieniami z jedynką i f : A → B jest homomorfizmem tych pierścieni, to:

f (0A) = 0B, f (1_A) = 1_B

Jądrem homomorfizmu f : A → B, jest zbiór:

Ker f = {a ∈ A : f (a) = 0B} . Obrazem homomorfizmu f : A → B jest zbiór:

Im f = {b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b} .

(14)

2.2 Zadania

Zadanie 2.9.

Ile różnych działań można określić na zbiorze:

a. 2-elementowym?

b. 3-elementowym?

c. n–elementowym?

a. 16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2²² b. 3⁹= 3³²

c. nⁿ²

Zadanie 2.10.

Czy:

a. dodawanie liczb, b. mnożenie liczb

jest działaniem wewnętrznym w zbiorze {0, 1, 2}, {−1, 0, 1}?

dodawanie mnożenie

A = {0, 1, 2} np. 1 + 2 = 3 /∈ A ⇒ NIE np. 2 · 2 = 4 /∈ A ⇒ NIE

B = {−1, 0, 1} np. 1 + 1 = 2 /∈ B ⇒ NIE ±1 · 0 = 0 · (±1) = 0 · 0 = 0 ∈ B, ±1 · (±1) = 1 ∈ B,

±1 · ∓1 = −1 ∈ B ⇒ TAK

Zadanie 2.11.

W którym zbiorze: N, {−1, 0, 1}, {0, 1}, {0} wzór:

a. a ? b = a²+ b² b. a ? b = a − b

określa działanie (wewnętrzne)?

a.: a ? b = a²+ b² b.: a ? b = a − b

N ∀a, b ∈ N : a²+ b²∈ N ⇒ TAK np. 1 − 2 = −1 /∈ N ⇒ NIE A = {−1, 0, 1} np. 1²+ 1²= 2 /∈ A ⇒ NIE np. 1 − (−1) = 2 /∈ A ⇒ NIE

B = {0, 1} np. 1²+ 1²= 2 /∈ B ⇒ NIE np. 0 − 1 = −1 /∈ B ⇒ NIE

C = {0} 0²+ 0²= 0 ∈ C ⇒ TAK 0 − 0 = 0 ∈ C ⇒ TAK

Zadanie 2.12.

Określ czy zbiór (A, ?) jest grupą, grupą abelową:

a. a ? b = a²+ b − 1, a, b ∈ A, gdzie A = Z.

b. a ? b = ^a+b₂ , a, b ∈ A, gdzie A = Q.

c. a ? b = a + b + ab, a, b ∈ A, gdzie A = (−1, ∞).

d. a ? b = a + b + ab, a, b ∈ A, gdzie A = [−1, ∞).

e. a ? b = a + b − 5, a, b ∈ A, gdzie A = Z.

f. a ? b = 5^log⁵^a+log⁵^b, a, b ∈ A, gdzie A = R⁺.

g. a ? b = 3^log³^{a log}³^b, a, b ∈ A, gdzie A = R⁺.

h. (a₁, a₂) ? (b₁, b₂) = (a₁b₁, a₁b₂+ a₂b₁),

(a1, a2) , (b1, b2) ∈ A, gdzie A = (R \ {0}) × R.

(15)

a. a ? b = a²+ b − 1, a, b ∈ A, gdzie A = Z

• Sprawdzamy, czy działanie ? jest łączne, tzn. czy dla każdego a, b, c ∈ A zachodzi:

(a ? b) ? c

| {z }

L

= a ? (b ? c)

| {z }

P

.

Niech a, b, c ∈ A.

L = (a ? b) ? c = (a²+ b − 1) ? c = (a²+ b − 1)²+ c − 1 = a⁴+ b²+ 2a²b − 2a²− 2b + c P = a ? (b ? c) = a ? (b²+ c − 1) = a²+ b²+ c − 2.

Zatem:

L 6= P.

Czyli działanie ? nie jest łączne, więc (A, ?) nie jest grupą.

b. a ? b = ^a+b₂ , a, b ∈ A, gdzie A = Q.

(a ? b) ? c

| {z }

L

= a ? (b ? c)

| {z }

P

.

L = (a ? b) ? c = a + b 2 ? c =

a+b 2 + c

2 = a + b + 2c 4 P = a ? (b ? c) = a ?b + c

2 = a +^b+c₂

2 = 2a + b + c

4 .

Zatem:

L 6= P.

Czyli działanie ? nie jest łączne, więc (A, ?) nie jest grupą.

c. a ? b = a + b + ab, a, b ∈ A, gdzie A = (−1, ∞).

(a ? b) ? c

| {z }

L

= a ? (b ? c)

| {z }

P

.

L = (a ? b) ? c = (a + b + ab) ? c = a + b + ab + c + ac + bc + abc P = a ? (b ? c) = a ? (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc.

Zatem:

L = P.

Czyli działanie ? jest łączne.

• Sprawdzamy, czy działanie ? jest przemienne, tzn. czy dla każdego a, b ∈ A zachodzi:

a ? b = b ? a.

Niech a, b ∈ A.

a ? b = a + b + ab = b + a + ba = b ? a.

Czyli działanie ? jest przemienne.

(16)

• Sprawdzamy, czy istnieje element neutralny, tzn. czy istnieje e ∈ A taki, że dla każdego a ∈ A zachodzi:

a ? e = a = e ? a.

Jednak powyżej już pokazaliśmy, że działanie ? jest przemienne, zatem wystarczy sprawdzić tylko jeden z warunków. Niech a ∈ A.

a ? e = a a + e + ae = a

e(a + 1) = 0 ⇒ e = 0 lub a = −1 /∈ A.

Stąd otrzymaliśmy e = 0. Czyli działanie ? posiada element neutralny.

• Sprawdzamy, czy dla każdego elementu a ∈ A istnieje element odwrotny a⁻¹∈ A taki, że:

a ? a⁻¹= 0

|{z}=e

= a⁻¹? a.

Jednak tak jak powyżej, wystarczy sprawdzić tylko jeden z warunków. Niech a ∈ A a ? a⁻¹= 0

a + a⁻¹+ aa⁻¹= 0

a⁻¹(a + 1) = −a, a + 1 6= 0, bo − 1 /∈ A a⁻¹= − a

a + 1. Czyli każdy element zbioru A posiada element odwrotny.

Zatem (A, ?) jest grupą abelową.

d. a ? b = a + b + ab, a, b ∈ A, gdzie A = [−1, ∞).

(a ? b) ? c

| {z }

L

= a ? (b ? c)

| {z }

P

.

L = (a ? b) ? c = (a + b + ab) ? c = a + b + ab + c + ac + bc + abc P = a ? (b ? c) = a ? (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc.

Zatem:

L = P.

a ? b = b ? a.

Niech a, b ∈ A.

a ? b = a + b + ab = b + a + ba = b ? a.

a ? e = a = e ? a.

(17)

a ? e = a a + e + ae = a

e(a + 1) = 0 ⇒ e = 0 lub a = −1.

a ? a⁻¹= 0

|{z}=e

= a⁻¹? a.

Jednak tak jak powyżej, wystarczy sprawdzić tylko jeden z warunków. Niech a ∈ A a ? a⁻¹ = 0

a + a⁻¹+ aa⁻¹ = 0

a⁻¹(a + 1) = −a, dla a = −1, otrzymujemy 0 = 1 — sprzeczność.

Czyli nie każdy element zbioru A posiada element odwrotny.

Zatem (A, ?) nie jest grupą.

e. a ? b = a + b − 5, a, b ∈ A, gdzie A = Z.

(a ? b) ? c

| {z }

L

= a ? (b ? c)

| {z }

P

.

L = (a ? b) ? c = (a + b − 5) ? c = a + b − 5 + c − 5 = a + b + c − 10 P = a ? (b ? c) = a ? (b + c − 5) = a + b + c − 5 − 5 = a + b + c − 10.

Zatem:

L = P.

a ? b = b ? a.

Niech a, b ∈ A.

a ? b = a + b − 5 = b + a − 5 = b ? a.

a ? e = a = e ? a.

a ? e = a a + e − 5 = a e = 5.

(18)

a ? a⁻¹= 5

|{z}=e

= a⁻¹? a.

a + a⁻¹− 5 = 5 a⁻¹= −a + 10.

Czyli każdy element zbioru A posiada element odwrotny.

f. a ? b = 5^log⁵^a+log⁵^b, a, b ∈ A, gdzie A = R⁺.

Zauważmy, że a ? b = 5^log⁵^a+log⁵^b = 5^log⁵^a· 5^log⁵^b= a · b.

(a ? b) ? c

| {z }

L

= a ? (b ? c)

| {z }

P

.

L = (a ? b) ? c = ab ? c = abc P = a ? (b ? c) = a ? bc = abc.

Zatem:

L = P.

a ? b = b ? a.

Niech a, b ∈ A.

a ? b = ab = ba = b ? a.

a ? e = a = e ? a.

a ? e = a ae = a

a(e − 1) = 0 ⇒ e = 1 lub a = 0 /∈ A.

a ? a⁻¹= 1

|{z}=e

= a⁻¹? a.

(19)

aa⁻¹= 1 a 6= 0, bo 0 /∈ A a⁻¹= 1

a.

g. a ? b = 3^log³^{a log}³^b, a, b ∈ A, gdzie A = R⁺.

(a ? b) ? c

| {z }

L

= a ? (b ? c)

| {z }

P

.

L = (a ? b) ? c = 3^log³^{a log}³^b? c = 3^log³³log3 a log3 blog₃c= 3^log³^{a log}³^{b log}³^c P = a ? (b ? c) = a ? 3^log³^{b log}³^c= 3^log³^{a log}³³log3 b log3 c

= 3^log³^{a log}³^{b log}³^c. Zatem:

L = P.

a ? b = b ? a.

Niech a, b ∈ A.

a ? b = 3^log³^{a log}³^b= 3^log³^{b log}³^a= b ? a.

a ? e = a = e ? a.

a ? e = a 3^log³^{a log}³^e= a log₃a log₃e = log₃a

log₃a(log₃e − 1) = 0 ⇒ log₃a = 0 lub log₃e = 1 ⇒ a = 1 lub e = 3.

a ? a⁻¹= 3

|{z}=e

= a⁻¹? a.

3^log³^{a log}³^a⁻¹ = 3

log₃a log₃a⁻¹= 1, dla a = 1, mamy log₃a = 0 i otrzymujemy 0 = 1 — sprzeczność.

Czyli nie każdy element zbioru A posiada element odwrotny.

(20)

Zatem (A, ?) nie jest grupą.

h. (a1, a₂) ? (b1, b₂) = (a1b₁, a₁b₂+ a2b₁), (x1, x₂) ∈ A, dla x = a, b, gdzie A = (R \ {0}) × R.

• Sprawdzamy, czy działanie ? jest łączne, tzn. czy dla każdego (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2) ∈ A zachodzi:

((a1, a2) ? (b1, b2)) ? (c1, c2)

| {z }

L

= (a1, a2) ? ((b1, b2) ? (c1, c2))

| {z }

P

.

Niech (a₁, a₂), (b₁, b₂), (c₁, c₂) ∈ A.

L = ((a1, a2) ? (b1, b2)) ? (c1, c2) = (a1b1, a1b2+ a2b1) ? (c1, c2) = (a1b1c1, a1b1c2+ c1a1b2+ c1a2b1) P = (a1, a2) ? ((b1, b2) ? (c1, c2)) = (a1, a2) ? (b1c1, b1c2+ b2c1) = (a1b1c1, a1b1c2+ a1b2c1+ a2b1c1).

Zatem:

L = P.

• Sprawdzamy, czy działanie ? jest przemienne, tzn. czy dla każdego (a1, a2), (b1, b2) ∈ A zachodzi:

(a1, a2) ? (b1, b2) = (b1, b2) ? (a1, a2).

Niech (a₁, a₂), (b₁, b₂) ∈ A.

(a₁, a₂) ? (b₁, b₂) = (a₁b₁, a₁b₂+ a₂b₁) = (b₁a₁, b₁a₂+ b₂a₁) = (b₁, b₂) ? (a₁, a₂).

• Sprawdzamy, czy istnieje element neutralny, tzn. czy istnieje (e1, e2) ∈ A taki, że dla każdego (a₁, a₂) ∈ A zachodzi:

(a₁, a₂) ? (e₁, e₂) = (a₁, a₂) = (e₁, e₂) ? (a₁, a₂).

Jednak powyżej już pokazaliśmy, że działanie ? jest przemienne, zatem wystarczy sprawdzić tylko jeden z warunków. Niech (a1, a2) ∈ A.

(a1, a2) ? (e1, e2) = (a1, a2) (a₁e₁, a₁e₂+ a₂e₁) = (a₁, a₂).

Stąd otrzymujemy układ równań:

a1e1 = a1 ⇒ a1(e1− 1) = 0 ⇒ a1= 0 /∈ R \ {0} lub e1= 1 a1e2+ a2e1 = a2 ⇒ a1e2= 0 ⇒ a1= 0 /∈ R \ {0} lub e1= 0 Stąd otrzymaliśmy (e1, e2) = (1, 0). Czyli działanie ? posiada element neutralny.

• Sprawdzamy, czy dla każdego elementu (a1, a2) ∈ A istnieje element odwrotny (a⁻¹₁ , a⁻¹₂ ) ∈ A taki, że:

(a1, a₂) ? (a⁻¹₁ , a⁻¹₂ ) = (1, 0)

| {z }

=(e₁,e₂)

= (a⁻¹₁ , a⁻¹₂ ) ? (a1, a₂).

Jednak tak jak powyżej, wystarczy sprawdzić tylko jeden z warunków. Niech (a1, a2) ∈ A (a₁, a₂) ? (a⁻¹₁ , a⁻¹₂ ) = (1, 0)

(a₁a⁻¹₁ , a₁a⁻¹₂ + a₂a⁻¹₁ ) = (1, 0) Stąd otrzymujemy układ równań:

( a₁a⁻¹₁ = 1, ponieważ a16= 0, więc a⁻¹₁ = ¹_a a₁a⁻¹₂ + a₂a⁻¹₁ = 0 ⇒ a₁a⁻¹₂ +^a_a²

1 = 0 ⇒ a⁻¹₂ = −^a_a²2 1

(21)

Zadanie 2.13.

Które z następujących zbiorów są ciałami ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb: N, Z, {−1, 0, 1}, Q, R, [ 0, ∞)?

N NIE jest ciałem Z NIE jest ciałem {−1, 0, 1} NIE jest ciałem

Q TAK — jest ciałem R TAK — jest ciałem [0, ∞) NIE jest ciałem

Zadanie 2.14.

Stwórz tabelkę działania w Zⁿdla działań ·n, +ndla n = 2, 3, 4, 5. Określ jakie to struktury algebraiczne.

• Z²

+₂ 0 1

0 0 1

1 1 0

·₂ 0 1

0 0 0

1 0 1

• Z3

+3 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

·3 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

• Z⁴

+₄ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

·₄ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

• Z⁵

+₅ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

·₅ 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Zadanie 2.15.

Wykonaj następujące działania:

a. −¹₄+ 2 w ciele Z5, b. 1 +¹₂+¹₃+¹₅ w ciele Z⁷,

c. −2 · (1 + ²₃) +³₂ w ciele Z5, d. −¹₂+ 1 w ciele Z³,

e. 2 · 5⁻¹− 2 · 4 w pierśc. Z6, f. ¹₆− 3 · ¹₄+¹₂ w ciele Z¹¹.

a. −¹₄+ 2 = −4 + 2 = 1 + 2 = 3 b. 1 +¹₂+¹₃+¹₅= 1 + 4 + 5 + 3 = 6

c. −2 · (1 +²₃) +³₂ = 3 · (1 + 2 · 2) + 3 · 3 = 3 · 0 + 4 = 4

d. −¹₂+ 1 = −2 + 1 = 1 + 1 = 2

e. 2 · 5⁻¹− 2 · 4 = 2 · (5 + 4) = 2 · 3 = 0

f. ¹₆−3· ¹₄+¹₂ = 2+8(3+6) = 2+8·9 = 2+6 = 8

(22)

3 Podstawowe struktury algebraiczne cz. 2. Grupy permutacji

3.1 Wprowadzenie teoretyczne

Definicja 3.1.

1. Niech f : X → Y

(a) Mówimy, że f jest suriekcją (odwzorowaniem na zbiór Y ), gdy dla każdego y ∈ Y , istnieje x ∈ X taki, że:

y = f (x) .

(b) Mówimy, że f jest iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym), gdy dla dowolnych x1, x2∈ X zachodzi następująca implikacja:

x₁6= x2⇒ f (x1) 6= f (x2) lub równoważna implikacja:

f (x1) = f (x2) ⇒ x1= x2. (c) Mówimy, że f jest bijekcją, gdy jest zarówno iniekcją jak i suriekcją.

2. Niech:

f : X → Y g : Y → Z.

Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h := g ◦ f : X → Z określoną następująco:

dla każdego x ∈ X : h (x) := (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) . Czyli mamy następującą sytuację:

X Y Z

g◦f

f g

Zauważmy, że w ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest przemienne. Niech np. f, g : R → R, dla dowolnego x ∈ R dane wzorami:

f (x) = 2x g (x) = x². Wówczas dla dowolnego x ∈ R mamy:

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f x² = 2x² (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (2x) = 4x²

Definicja 3.2. Niepusty podzbiór H grupy (G, ?) nazywamy podgrupą grupy G, gdy (H, ?) jest grupą.

Twierdzenie 3.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem, a Bij (X) niech będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru X (tzn. Bij (X) = {f : X → X; f jest bijekcją}).

Zbiór Bij (X) wraz ze składaniem funkcji ◦ tworzy grupę.

Nas interesować będą zbiory, które mają skończoną liczbę elementów.

Definicja 3.3. Niech X będzie dowolnym zbiorem n-elementowym. Grupę bijekcji takiego zbioru oznaczamy Sn i nazywamy grupą permutacji zbioru n-elementowego. Elementy grupy Sn nazywamy permutacjami.