Zestaw zada« z Geometrii z algebr¡ liniow¡
dla kierunku Informatyka, rok akadem. 2015/2016
9. Obraz, j¡dro i rz¡d macierzy
Zad. 1. Wyznaczy¢ rz¡d i bazy obrazu i j¡dra macierzy
A =
1 −1 3 1 2 −1 1 −2
−4 1 3 8
. Zad. 2. Okre±li¢ rz¡d i znale¹¢ bazy obrazu i j¡dra macierzy
A =
1 2 0 −3 1
−4 −2 −1 16 −5
4 −1 5 3 2
2 1 1 −5 2
.
Zad. 3. Dana jest macierz
A =
1 −2 0 0 1 1
−1 1 −1 2 −1 −1
2 −3 3 −1 0 5
0 −1 −5 −2 4 −5
2 −3 1 −6 2 4
.
Znale¹¢ baz¦ j¡dra macierzy A i okre±li¢ jej rz¡d.
Zad. 4. Dana jest macierz
A =
1 3 −1 0
−2 −7 −2 3
2 6 −1 −1
1 4 2 −2
.
Wyznaczy¢ bazy przestrzeni imA oraz kerA. Czy macierz A jest nieosobliwa?
Zad. 5. Wyznaczy¢ w zale»no±ci od a, b ∈ R rz¡d macierzy
b b b − a a − b −b a a + b b 0
∈ R3,3. Zad. 6. Wyznacz, w zale»no±ci od a ∈ R, rz¡d macierzy
1 a 0 0
a 0 a −1
−1 a 0 a 0 0 a −3
.
Zad. 7. Dane s¡ macierze
A =
1 3 1 −2
0 2 2 −5
4 4 1 2
−1 3 1 −5
4 −2 −1 9
, B =
1 2 1 1
−4 −2 0 −1
0 3 1 0
3 2 1 2
−4 −1 −1 −3
.
Znale¹¢ bazy podprzestrzeni imA + imB, imA ∩ imB ⊂ R5 oraz podprzestrzeni kerA + kerB, kerA ∩ kerB ⊂ R4.
Zad. 8. Zaªó»my, »e n ≥ 4 i wektory ~x, ~y ∈ Rn s¡ liniowo niezale»ne. Wyznacz baz¦ j¡dra macierzy
[~x, ~x + ~y, ~x − ~y, ~y] ∈ Rn,4.
Zad. 9. Wektory ~x, ~y, ~z ∈ R2015 s¡ liniowo niezale»ne. Wyznaczy¢ bazy obrazu i j¡dra ma- cierzy
A = [~x + ~y, ~x − ~y, ~x + ~z, ~x − ~z, ~x + ~y + ~z] ∈ R2015,5.
Zad. 10. W R5 dana jest podprzestrze« liniowa V wymiaru 3. W R6,5 rozwa»my podzbiór X = {A ∈ R6,5 : V ⊂ ker A}.
Pokaza¢, »e X jest podprzestrzeni¡ liniow¡ w R6,5 i znale¹¢ jej wymiar.
Zad. 11. W R5 dana jest podprzestrze« liniowa X wymiaru 3. W R5,4 rozwa»my podzbiór V = {A ∈ R5,4 :imA ⊂ X}.
Pokaza¢, »e V jest podprzestrzeni¡ liniow¡ w R5,4 i znale¹¢ jej wymiar.
Zad. 12. Dane s¡ macierze A, B ∈ Kn,n takie, »e AB = 0. Pokaza¢, »e rankA + rankB ≤ n.
Zad. 13. Niech A ∈ Kk,l, B ∈ Kl,m. Pokaza¢, »e
rank(AB) ≤ min (rankA, rankB) . Zad. 14. Dana jest macierz A ∈ C2015,2015 taka, »e
rankA < 1000.
Pokaza¢, »e
dim ker(A + AT) > 15.
Zad. 15. Niech A, B ∈ Km,n. Pokaza¢, »e
rank(A + B) ≤ rankA + rankB.
Zad. 16. Dana jest macierz A ∈ Rm,n. Pokaza¢, »e ker(ATA) oraz rankA = rank(ATA) =rank(AAT).
Zad. 17. Zaªó»my, »e A ∈ Km,n. Pokaza¢, »e (a) Kn = ker A ⊕imAH;
(b) Km = ker AH ⊕imA.
Zad. 18. Dana jest macierz B ∈ Kl,m i rankB = r. W przestrzeni Km,n rozwa»amy podzbiór X = {M ∈ Km,n : BM = 0}.
Pokaza¢, »e X jest podprzestrzeni¡ liniow¡ i okre±li¢ jej wymiar.
Zad. 19. Dana jest macierz nieosobliwa A ∈ Kn,n i macierze B, C ∈ Kn,n takie, »e A = BC.
Pokaza¢, »e macierze B i C te» s¡ nieosobliwe.
Zad. 20. Pokaza¢, »e rz¡d macierzy A ∈ Kn,n takiej, »e A + AT = 0, jest liczb¡ parzyst¡.
Zad. 21. Pokaza¢, »e
(a) operacje elementarne na wierszach nie zmieniaj¡ j¡dra macierzy;
(b) operacje elementarne na kolumnach nie zmieniaj¡ obrazu macierzy;
(c) operacje elementarne na wierszach i kolumnach nie zmieniaj¡ rz¦du macierzy.
Zad. 22. W przestrzeni Km dane s¡ podprzestrzenie
U = span(~a1, ..., ~ak), V =span(~b1, ...,~bl).
i M = [~a1, ..., ~ak,~b1, ...,~bl] ∈ Km,k+l.
(a) Pokaza¢, »e rankM = rankU + rankV . (b) Pokaza¢, »e dim(ker M) ≥ dim(U ∩ V ).
(c) Pokaza¢, »e [α1, ..., αk, β1, ..., βl]T ∈ ker M wtedy i tylko wtedy, gdy α1~a1+ · · · αk~ak= −
β1~b1+ · · · + βl~bl
∈ U ∩ V.
