Marek K u ba le
P o l i t e c hn ik a G d a ń s k a
SZ ER EG O WA N IE T R A N S M I S J I P L I K Ó W W O K N A C H C Z A S O W Y C H
FILE T R A N S F E R S C H E D U L I N G W I T H I N T I M E W I N D O W S
H A R M O N O G R A M M B I L D U N G F Ü R D A T E I E N Ü B E R T R A G U N G IN Z E I T F E N S T E R N
S t r e s z c z e n i e : N i n i e j s z a p r a c a p o ś w i ę c o n a j e s t p r o b l e m o w i s t e r o w a n i a p r z e p ł y w e m p l i k ó w d a n y c h w s i e c i a c h k o m p u t e r o w y c h z p u n k t u w i d z e n i a sp ra w n o ś c i p r o c e s u t r a n s m i s j i . P o k a z a n o , że p r o b l e m s z e r e g o w a n i a p l i k ó w w o k n a c h c z a s o w y c h j e s t N P - t r u d n y n a w e t w ó w c z a s , g d y sieć m a s t r u k t u r ę gw ia źd z is t a. N a s t ę p n i e w p r o w a d z o n o d o l n e i g ó r n e o s z a c o w a n i e dł u g o ś c i o p t y m a l n e g o u s z e r e g o w a n i a w p r z y p a d k u o g ó l n y m . W o s t a t n i e j c z ęś ci p o d a n o w i e l o m i a n o w e a l g o r y t m y k o n s t r u o w a n i a o p t y m a l n e g o h a r m o n o g r a m u dla p r z y p a d k ó w s z c z e g ó l n y c h si eci p ę t l o w y c h i g w i a ź d z i s t y c h .
S u m m a r y : T h i s p a p e r is d e v o t e d to th e p r o b l e m of s c h e d u l i n g file t r an s f e r s in c o m p u t e r n e t w o r k s f r o m the c o m p l e x i t y p o i n t of view. It is sh own t h a t t he p r o b l e m of s c h e d u l i n g f i l e s w i t h i n ti me w i n d o w s is N P - h a r d e v e n if the n e t w o r k ha s a s t a r t o p o l o g y . Next, l o w e r an d u p p e r bou nd s on th e o p t i m a l m a k e s p a n ar e d e r i v e d . F i na l l y , p o l y n o m i a l - t i m e a l go r i t h m s f o r c o n s t r u c t i n g o p t i m a l s c h e d u l e s in s om e s pe c i a l c a s e s of star an d l o o p n e t w o r k s ar e given.
Z u s a m m e n f a s s u n g : Im v o r l i e g e n d e n B e i t r a g ist d i e L e i s t u n g v o n der F l u s s t e u e r u n g d e r D a t e i e n in R e c h n e r n e t z e n e r w o g e n . G e z e i g t ist, d a ß die H a rm on og rar amb ild ung fü r D a t e i e n ü b e r t r a g u n g in Z e i t f e n s t e r n , a u c h in Ne t z e n mi t S t e r n s t r u k t u r , N P - s c h w a c h ist. D a n a c h ist di e u n t e r e und ob er e B e w e r t u n g d e r L ä n g e d e s o p t i m a l e n H a r m o n o g r a m m s in a l l g e m e i n e n Fall a b g e l e i t e t . E i n i g e P o l y n o m i a l - A l g o r i t h r a e n , z u m B a u o p t i m a l e r H a r m o n o g r a m m e fü r b e s t i m m t e S c h l e i f e - u n d S t e r n n e t z e , si nd am Ende v o r g e s c h l a g e n .
1. Wstęp
Jednym z podstaw ow ych problemów w ystępujących w tra k c ie d ziałania sieci komputerowycn jest zagadnienie p rzesy łan ia dużych plików danych pomiędzy serw eram i i term inalam i.
Niniejsza p ra c a pośw ięcona je s t problemowi ste ro w an ia przepływem takich plików z punktu widzenia spraw ności procesu tra n sm is ji. Przyjmujem y tu ta j, że program wykonania w szystkich transm isji między w ęzłami sieci dany je s t z góry. Zakładamy rów nież, że p rzesłan ia mogą odbywać się jedynie w tak ich przedziałach czasu, w których oba komputery: nad ający i odbierający s ą wolne, tz n . nie s ą zaangażow ane w inne tra n sm isje bądź inne prace obliczeniowe. Celem naszym je s t znalezienie n ajkrótszego harm onogram u wykonania tran sm isji bez przerw ań.
Modelem m atem atycznym takiego szeregow ania zadań je s t g r a f obciążony G = (F,£) o zbiorze w ierzchołków V odpow iadających komputerom sieci i zbiorze kraw ędzi E oznaczających przewidywane tra n sm isje plikowe. Wagą kraw ędzi iu ,v ) je s t ro zm iar pliku, k tó ry ma być przesłany między węzłem u i v. Oczywiście ro zm iar pliku może być rów nież trak to w an y jako czas trw a n ia odpow iedniej tra n s m isji. Ponadto, z każdym wierzchołkiem v zw iązana je st
„kończona liczba (być może 0) przedziałów zajęto ści, czyli niedostępności odpowiedniego komputera do tra n sm isji.
W n in iejszej pracy pokażemy, ze problem szeregow ania tra n sm isji plików je s t N P-trudny nawet wówczas, gdy sieć ma s tru k tu rę gw iaździstą. Następnie w prowadzim y dolne i górne oszacowanie długości optymalnego uszeregow ania w przypadku ogólnym. W o s ta tn ie j części podamy wielomianowe algorytm y budowania optymalnego harm onogram u dla przypadków szczególnych sieci pętlow ych i gw iaździstych.
2. Dowód NP-zupełności
Aby przed staw ić b a rd z ie j form alnie cel naszych rozw ażań, w prowadzim y n astęp u jący model m atem atyczny. Niech będzie dany zbiór m plików P = ^PyP
2
P r r ^t ° r e m a ją być przesłane pomiędzy n maszynami M = ...nW . Każdy plik przesyłany j e s t pomiędzy dwiema maszynami m ^,m^ € M przez okres równy t.= i( p £) jednostek czasu. Z akładam y, że momenty rozpoczynania i kończenia w szystkich zadań w system ie są w ielokrotnościam i podstawowej jednostki czasu. Ponadto, z każdą m aszyną m£ zw iąza n a je s t skończona liczba przedziałów' z a ję to śc i, czyli niedostępności danego kom putera do tra n s m isji. O znacza to , iż każda m aszyna ma ty le samo lub o 1 w ięcej przedziałów , w których może przyjm ow ać lub wysyłać pliki. Tak więc z i - t ą m aszyną zw iązana je s t sekw encja momentów' czasu 0.= ( r^ .d ^ r^ .d ^ ,...), gdzie je s t początkiem , a końcem J - tego p rzed ziału dostępności do tra n sm isji. Sekwencję 0 £ nazyw ać będziemy oknem aw & ouuyn zw iązanym z m aszyną in£.Rozważany problem możemy p rzedstaw ić w postaci g ra fu nieskierow anego C = {V ,E) z obciążonymi w ierzchołkam i i kraw ędziam i. Zbiór wierzchołków' V odpowiada zbiorow i maszyn M, zaś zbiór kraw ędzi E odpowiada zbiorow i plików P. Każda kraw ędź e.= (v ,v } ma wagę
i j k
t r t{ p j). Ponadto, każdy w ierzchołek ma okno 0 . gotowości do tra n sm isji. Taki g r a f C nazywać będziemy cytatem oneneąousania.
Łatw o zauw ażyć, że rozw iązaniem naszego problemu szeregow ania tra n sm is ji plików w oknach czasowych je s t pokolorowanie przedziałow e kraw ędzi g ra f u szeregow ania w’ obecności kolorów zabronionych. Je st tak dlatego, iż każdy kolor przydzielony dow olnej krawędzi można po trak to w ać jako jednostkę czasu, w k tó re j wykonuje się odpowiednia tra n sm isja . Tak więc nasz problem szeregow ania uogólnia problem kolorow ania kraw ędzi, bowiem te n drugi sprow adza się pc p ro stu do znalezienia rozw iązan ia w przypadku, gdy w szystkie pliki m ają długość 1 i nie ma żadnych okien czasowych. 2 drugiej strony wiadomo, że problem kolorowania kraw ędzi należy do klasy problemów N P-trudnych. Ściślej, problem określenia indeksu chrom atycznego (a w ięc i klasy g ra fu prostego) je s t N P-zupełny (4). W praktyce oznacza to, że oba problemy nie mogą być rozw iązane w czasie wielomianowym.
Obecnie pokażemy, że problem szeregow ania tra n sm isji plikowych je s t N P -trudny naw et wówczas, gdy sieć kom puterowa ma s tru k tu rę gw iaździstą. W tym celu p rzez SZEREGOWANIE TRANSMISJI PLIKÓW w OKNACH CZASOWYCH (STPOC) oznaczymy w ersję d ecyzyjną rozw ażanego problemu.
T w ie rd z e n ie l. STPOC je s t NP-zupełny naw et wówczas, gdy g r a f szeregow ania je s t g w iazd ą i brak ograniczeń czasowych we w szystkich wierzchołkach z w yjątkiem centralnego.
Dowód. Przynależność STPOC do klasy NP je s t oczyw ista, dlatego skoncentrujem y się na redukcji. Jako znany problem NP-zupełny wybieramy PODZIAŁ zbioru, który zdefiniow any je s t następująco: "Dany Je st zb ió r liczb naturalnych A « ^a j ' a 2 ...a n * taJci’ i e E a i “ Zt)‘
gdzie l € <1 n) = 0- Czy istn ie je podzbiór P c Q, dla którego L i€ p a l s a ( “ ^ ?"
Fakt, że PODZIAŁ zbioru je s t problemem NP-zupełnym z o stał udowodniony w 15).
Rys. 1. G raf szeregow ania Kj ^ Fig. 1. Scheduling graph n
Mając dany z b ió r A budujemy g ra f Kj n i obciążam y jego kraw ędzie wagami
Następnie przyjm ujem y O ^ (0,®) dla każdego I = 1,2 n o ra z ^ n+j = (O,bpb+l,°o) dla wie,*zchołka cen traln eg o vn4. | • Przykład ta k ie j gwiazdy pokazany je s t na ry s. 1.
Łatwo zauw ażyć, że odpowiedni podzbiór P dla liczb A istn ie je w tedy i tylko wtedy, gdy istnieje uszeregow anie tra n sm isji plików o długości nie p rz e k ra c z a ją c e j 2b+l. Problem PODZlAŁ-u zbioru może być zatem rozw iązany dzięki ro zw iązan iu odpowiedniego przypadku problemu szeregow ania tra n sm isji plików w sieci g w iaźd zistej. Dlatego problem STPOC je s t NP-zupełny. □
3. Oszacowania długości uszerepow ań optymalnych
W poprzednim punkcie pokazaliśm y, że problem szeregow ania tra n sm isji plików je s t NP-trudny w przypadku ogólnym i wielu przypadkach szczególnych. W p rak ty ce oznacza to, że nie istn ie ją algorytm y budowania harm onogram ów optymalnych, k tó re d z ia ła ją w czasie wielomianowym. Jednakże, w czasie ograniczonym wielomianem można obliczyć dolne i górne oszacowanie długości odpowiednich harm onogram ów optymalnych.
Długość optym alnego uszeregow ania zw iązanego z grafe m G oznaczymy przez OPT(G).
Ponadto przez r (i) oznaczymy początek pierw szego przedziału wolnego do tra n sm isji pliku Pj. przez RU) z a ś oznaczymy początek o statniego przedziału dostępności. Niech E(v) będzie zbiorem w szystkich kraw ędzi incydentnych z v € V. Wówczas przez zto o ic ń uM /iony u%ien/ixJióUui v rozumieć będziemy;
(1)
gdzie tle ) je s t w agą odpowiedniej kraw ędzi. Następnie przez
£f(v) * D{v) min(r(e): ee£ (v )l
oznaczymy tzw . ucuipełnloruj &to p ie ń u w io n y usLenwzh&Lka v. N atom iast symbolem
5 ( 0 = max (D+(v): ve7ł 13)
oznaczymy wxxifxelniar\ą &Lapień u w io n y ę n a la G.
Obecnie możemy ju ż sform ułow ać
T w ie rd z e n ie 2. Dla każdego g ra fu szeregow ania G mamy:
5(C) * OPT(G). (4)
Dowód. W każdym pokolorowaniu chrom atycznym g ra fu G kraw ędzie incydentne z dowolnym wierzchołkiem v m uszą otrzym ać rozłączne przedziały kolorów, przy czym najn iższy kolor przydzielony kraw ędzi musi być większy od min(t(e)>, gdzie minimum je s t ro z c ią g n ię te na wszystkie kraw ędzie e € E(v). W ybierając "najcięższy" tak i stopień otrzym ujem y żądane oszacowanie dolne. O
Rzecz ja sn a , oszacow anie (4) może być bardzo nieprecyzyjne. W szczególności może zdarzyć się, że w g ra fie G istn ieje kraw ędź e = <u,v> ta k a , że tle b r le )
> max<D*(u),D*(v)ł a naw et, że i(e)+ r(e) » S(G). Prow adzi to nas do kolejnego dolnego oszacowania p o sta ci:
Oba oszacow ania (4) i (5) można otrzym ać w casie 0(m+n).
Obecnie, w celu wyprow adzenia efektywnego oszacow ania w arto ści OPT(G) z góry, zdefiniujem y pojęcie iiątUćdctiuia usaaarieąa foiawędaJ, e € E jak o ;
gdzie e = lu ,v). Zatem N ie) je s t waga w szystkich kraw ędzi są sia d u ją c y c h z e plus waga sam ej krawędzi e. P rz ez unu& clnione ¿ązledtUitM w a ó a n e k n a w ę d a i e rozumiemy w a rto ś ć :
max(i(e)+r(e): e€£> s OPTIG). (5)
N ie) = D(u)+D(v)-t(e), (6 )
N \ e ) = Nle)+Rle). 11)
Natom iast n astęp u jący niezmiennik g ra fu G;
<r(G) = maxlN*le): eeE) (8)
określimy jak o w iu p e ln ia n e aąaiedaUua utożo/te ą n a fu G.
T w ierd zen ie 3. Dla każdego g ra fu szeregow ania G m am y
OPT(G) s cr(C). (9)
Dowód. Niech UG) będzie grafem krawędziowym dla G. Na mocy tw ierd zen ia 2 w [61, OPTIL(G)) s o-(L(C)), czyli OPT(G) 3 tr(L(C)) = max(D(v)+R(v)), gdzie maksimum je s t ro z ciągnięte na w szystkie w ierzchołki v g ra fu UG). Zgodnie z d e fin ic ją g ra fu krawędziowego waga są sie d z tw a dowolnego w ierzchołka v w UG) je s t rów na w adze są sie d z tw a odpow iadającej mu kraw ędzi e = <u,v> w g ra fie G, czyli D(u)+D(v)-t(e). Zatem e (UG)) - max(D(u)+D(v)+R(e)-t(e): (u,vł=e), co dowodzi praw dziw ości oszacow ania (9). O
Zauważmy, że zachodzą t u t a j rów nież n astęp u jące nierówności: m | X (D(u)+D(v)+R(e)-t(e)ł
< max <D(uHD(vOł + m ax łR (e)ł 3 2D(G)+R(G), gdzie D(G) je s t "najcięższym " stopniem ważonym w G, z a ś fi(C) je s t najpóźniejszym momentem rozpoczynającym przed ział dostępności do tran sm isji (maksymalnym kolorem zabronionym g ra fu G). Zatem
Podobnie ja k (4) i (5) oszacow ania (8) i (9) można obliczyć w czasie O(m+n).
Na zakończenie tego punktu zauważmy, że oba oszacow ania (4) i (8) s ą dokładne w tym sensie, że is tn ie ją g ra fy szeregow ania, dla których S(G) = OPT(G) = cr(G). Przykładem takiego g ra fu je s t drzew o z ry s. 1, w którym jedyny przedział z a ję to śc i w w ierzchołku v sprowadzono do p o czątku skali czasu. Wówczas rle ) - R(e) - 1 dla w szystkich kraw ędzi e e E i i(C) = 2b+l o ra z cr(G) = 26+i. Odpowiednie uszeregow anie d la tego przypadku pokazane je s t na rys. 2.
OPT(C) < 2£>(C) + R(G). (10)
ł
e, e.
3m n+ 1
m .
i i
t
OFT (G) Rys. 2. Wykres G antta dla g ra fu gw iaździstego
Fig. 2. G ra n tt diagram f o r a s ta r graph
4. Przypadki rozw iązyw alne wielomianowo
W punkcie 2 pokazaliśmy, że problem szeregow ania tra n sm isji plików je s t N P-trudny nawet wówczas, gdy g r a f szeregow ania je s t gw iazdą. D latego je s t dosyć tru d n o podać nietryw ialne przypadki szczególne, k tó re mogą być rozw iązane z a pomocą algorytmu wielomianowego. Tym niem niej, w- d alszej części tego punktu opiszemy kilka tak ich sytuacji.
Będą one dotyczyły na ogół grafó w rzadkich, w których liczba kraw ędzi nie przew yższa liczby w ierzchołków. Ponadto ograniczymy się do przypadków, w których kraw ędzie mają jednakową wagę ró w n ą l jednostkom czasu.
T w ie rd z e n ie 4. Jeśli każda kraw ędź gwiazdy ^ ma wagę i i dokładnie jeden przedział dostępności do tra n sm isji, to uszeregow anie optymalne można otrzym ać w czsie 0(n*log n).
Dowód. N ajpierw obliczamy górne oszacowanie <r(G) długości uszeregow ania optym alnego. Jak wiadomo, m ożna to uczynić w czasie liniowym O(n). N astępnie sprow adzam y nasz problem do zagadnienia szeregow ania na jednej m aszynie n zadań jednostkow ych z ułamkowymi czasami przybycia i liniam i krytycznym i. Mianowicie, każdej kraw ędzi e € E g ra fu ^ odpowiada zadanie jednostkow e z € 2 z czasem przybycia r ^ r { e )/l i lin ią k ry ty czn ą d^= d (e )/l.
Obecnie stosujem y wobec zbioru zadań Z algorytm szeregow ania o p arty na m etodzie regionów zabronionych. Garey i inni Í3] pokazali, że algorytm ta k i może być wykonany w czasie O(n*log n). W o sta tn im etap ie otrzym ane uszeregow anie optym alne przekształcam y do postaci wyjściowej. Łatw o zauw ażyć, że każda fa z a algorytm u wymaga O(n) lub O(n*log n) operacji, co dowodzi te z y tw ierd zen ia. □
N astępne tw ierd zen ie je s t prostą konsekw encją poprzedniego.
T w ie rd z e n ie 5. Jeżeli G je s t g rafe m dwudzielnym, w którym w szystkie k raw ędzie z kolorami zabronionymi m a ją po jednym p rzedziale dopuszczalnym i s ą incydentne z tym samym w ierzchołkiem , m ającym maksymalny stopień w G, to uszeregow anie optym alne m ożna o trzym ać w czasie O(m*log n).
Dowód. Niech v będzie centrum gwiazdy S z kolorami zabronionym i d la j e j i tylko jej krawędzi. Przykład ta k ie j sy tu a cji przedstaw iony je s t na ry s. 3. Optymalne ro zw iązan ie dla G można uzyskać w dwóch etapach. W pierw szym szeregujem y k raw ędzie gw iazdy S w sposób opisany w dowodzie tw ierd zen ia 4. W drugim e tap ie optym alnie kolorujem y wszystkie kraw ędzie g ra fu G. Ponieważ v je s t w ierzchołkiem maksymalnego sto p n ia w G, w ięc każde skojarzenie tw o rz ą c e kolor w podziale chrom atycznym tego g ra fu ma dokładnie je d n ą krawędź pochodzącą z S. T a kraw ędź określa p rzed ział czasu dopuszczalny dla w szystkich krawędzi owego sko ja rzen ia. W analogiczny sposób otrzym ujem y uszeregow anie pozostałych krawędzi g rafu . Na mocy tw ierd zen ia 4 pierw szy etap algorytm u może być wykonany w czasie O(n*log n). W d ru g iej fa z ie możemy zastosow ać procedurę Colego i H o p cro fta [2] o złożoności Q(m*log n). 2Datem złożoność całego algorytm u j e s t zdominowana p rz e z złożoność drugiej jego fazy . □
Obecnie rozpatrzym y przypadki szczególne sieci pętlowych. Zakładam y t u ta j, że każdy węzeł najpierw- wykonuje powierzone mu obliczenia, a następ n ie z g łasza gotow ość do tran sm isji plików.
Rys. 3. Przykład g ra fu do dowodu tw ierd zen ia 5 Fig. 3. Example o f a g raph f o r th e proof of Theorem 5
Tw ierdzenie 6. Jeżeli C^ j e s t cyklem o p a rz y ste j liczbie w ierzchołków, z których każdy ma okno postaci 0^* (r^,®), to optym alne uszeregow anie plików można uzyskać w czasie 0(n).
Dowód. Oznaczmy, ja k poprzednio, R(G) * max<r^: 1*1,2,. L at w o zauw ażyć, że 5(G) * 22+R(G), czyli na mocy (4), OPT(G) ł 21+RÍG). Pokażemy, że w tym przypadku dolne oszacowanie w yznacza długość uszeregow ania optymalnego. Rzeczywiście, niech będzie dana ciągła n um eracja kraw ędzi g ra fu C . Wówczas e otrzym uje interw ał*
IR(G),R{GWJ gdy 1 je s t p a rz y ste lub (R(G)+l,R(g)-ł-2Zl gdy 1 je s t nieparzyste.
Poprawność ro z w ią z a n ia i liniow ość algorytm u s ą oczyw iste. □
Twierdzenie 7. Jeżeli C^ je s t cyklem m ającym jednakowe kraw ędzie wagi 1 i n iep arzy stą liczbę w ierzchołków , z których każdy ma okno postaci O * (r^,®), to optymalne uszeregowanie można otrzym ać w czasie 0{n*log 1).
Dowód. Zauw ażm y, że max{3i,2!+R(G)) * OPT(G) =s 3l+R(G). Optymalne uszeregow anie otrzymamy metodą p rzeszu k iw an ia połówkowego. Początkowo niech k * [5 Í/2 J +R(G). Metodą sekwencyjną sprawdzamy, czy is tn ie je Ac-pokolorowanie przedziałow e kraw ędzi cyklu. Jeśli tak , to zmniejszamy Ac odpowiednio, w przeciwnym przypadku zwiększamy w a rto ść k. E tap w eryfikacji rozw iązania po w tarzam y do momentu zaw ężenia przedziału poszukiwali do 1.
Popraw ność teg o podejścia wynika z zastosow ania przeszukiw ania w yczerpującego. Aby oszacować złożoność obliczeniow ą metody zauważmy, że pokolorowanie każdej kraw ędzi wymaga stałego czasu, czyli jeden e ta p w eryfikacji można wykonać kosztem 0(n) o p eracji. Ponieważ n tra k c ie d ziałan ia algorytm u wykonuje się najw yżej [jog2minU,R(G)>] * P ° 8 20 takich kroków dla różnych Ac, w ięc algorytm ten wymaga czasu 0(n*log I). Q
Na zakończenie t e j pracy odnotujmy dwie inne publikacje, ściśle w ią ż ą c e się z je j tematyką. P ie rw sz ą j e s t doskonały arty k u ł Coffmana I innych Ul 9 poświęcony szeregow aniu transm isji plików bez ograniczeń czasowych. Druga p ra c a 17] dotyczy przedziałow ego
kolorowania kraw ędzi g ra fu w obecności kolorów zabronionych, k tó re j e s t natu raln y m modelem matematycznym dla zagadnień rozw ażanych powyżej.
LITERATURA
[1] Coffman E.G., J r ., Garey M.R.. Johnson D.S., LaPaugh A.S.: Scheduling file tra n sfe rs, SIAM J . Com put. 14, 1985, 744-780.
[21 Cole R., H opcroft J.E .: On edge coloring b ip a rtite g raphs, SJAM J . Com put. 11, 1982, 540-546.
13) Garey M.R., Johnson D.S., Simons B.B., T a rja n R.E.: Scheduling u n it-tim e ta s k s with a r b itra ry re le a se tim es and deadlines, SJAM J . Comput. 10, 1981, 256-269.
[41 Holyer I.: The N P-com pleteness of edge coloring, SJAM J . Com put. 10, 1981, 718-720.
[51 K arp R.M.: Reducibility among com binatorial problem s, w: C o m p le x ity o f Computer C om p u ta tio n s (R.E. Miller, J.W. T h ath er, re d .). Plenum P re ss, New York, 1972, 85-103.
161 Kubale M.: Interval v ertex -c o lo rin g o f a graph w ith forbidden colors, D isc. M ath. 74, 1989, 125-136.
[71 Kubale M.: In terv al edge-coloring o f a graph w ith forbidden colors, D isc. M ath, (to appear).
R e c e n z e n t : P r o f . d r h.in ż. J a n W ę g l a r z W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i do 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r.
Abstract;
O n e of the b a s i c p r o b l e m s o c c u r r i n g in th e o p e r a t i o n o f c om p u t e r n e t w o r k s is t r a n s f e r r i n g l a r g e f i l e s b e t w e e n v a r i o u s t e r m i n a l s an d Bervers.
T h is p a p e r is d e v o t e d to the p r o b l e m of s c h e d u l i n g s u c h t r a n s f e r s f r o m the c o m p l e x i t y p o i n t of vi ew. We are i n t e r e s t e d in h o w c o l l e c t i o n s of s u c h file t r a n s f e r s c a n be s c h e d u l e d so as to m i n i m i z e t h e t o t a l t i m e fo r the ov erall t r a n s f e r p r o c e s s u n d e r t h e r e s t r i c t i o n t h a t c e r t a i n n o d e s c a n n o t t a k e part in it w i t h i n p r e s p e c i f i e d t i m e in t e r v a l s , i.e., w h e n e i t h e r of nodes:
s e n d i n g a n d r e c e i v i n g is e n g a g e d in o t h e r i m p o r t a n t c o m p u t a t i o n . In this p a p e r we s h o w t h a t t h e s c h e d u l i n g p r o b l e m is N P - h a r d e v e n if t h e ne t wo r k has a s t a r t op o l o g y . Next, p o l y n o m i a l l o w e r a n d u p p e r b o u n d s on the opt imal m a k e s p a n are de ri v ed . Fi na l l y , p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m s for c o s t r u c t i n g o p t i m a l s c h e d u l e s in s om e s p e c i a l c a s e s o f s t a r an d l o o p n e t w o r k s are given.
