Modele wielorównaniowe. Problem identyfikacji Ekonometria Szeregów Czasowych – SGH

Modele wielorównaniowe. Problem identyfikacji

Ekonometria Szeregów Czasowych – SGH

Andrzej Torój

Plan wykładu

1 Wprowadzenie

2 Trzy przykłady

3 Przykłady: interpretacja

4 Warunki identyfikowalności

5 Restrykcje na parametry stochastyczne

6 Zadania

Plan prezentacji

1 Wprowadzenie

2 Trzy przykłady

3 Przykłady: interpretacja

4 Warunki identyfikowalności

5 Restrykcje na parametry stochastyczne

6 Zadania

Prezentacja dostępna pod adresem

http://web.sgh.waw.pl/~atoroj/

Problem identyfikacji

Specyfikacja modelu

Estymacja Identyfikacja parametrów

postaci strukturalnej

y

_t

A + x

t

B = ε

t

y

_t

= x

t

(−1) BA

⁻¹

| {z }

Π

+ ε

t

A

⁻¹

| {z }

v_t

−BA

⁻¹

= Π

postać strukturalna

postać zredukowana postać

strukturalna

Elementy macierzy B i A nie zawsze można zidentyfikować na

podstawie macierzy Π. Z czego wynika ewentualny brak tej

możliwości i pod jakimi warunkami identyfikacja jest możliwa?

Plan prezentacji

1 Wprowadzenie

2 Trzy przykłady

3 Przykłady: interpretacja

4 Warunki identyfikowalności

5 Restrykcje na parametry stochastyczne

6 Zadania

Przykład 1

Rozważmy model konkurencyjnego rynku pozostającego w równowadze, składający się ze stochastycznych równań popytu i podaży oraz tożsamości będącej warunkiem równowagi:



 

 

d

t

= α

0

− α

1

p

t

+ ε

^dt

s

t

= β

0

+ β

1

p

t

+ ε

^s_t

d

t

= s

t

(≡ q

t

)

gdzie d - popyt, s - podaż, α

1

, β

1

> 0, α

0

> β

0

. Zmienne endogeniczne to q

t

i p

t

. Po uwzględnieniu tożsamości zapisujemy postać strukturalną:

( q

t

+ α

1

p

t

− α

0

= ε

^dt

q

t

− β

1

p

t

− β

0

= ε

^s_t

 q

t

p

t



 1 1

α

1

−β

1

 + [1] 

−α

0

−β

0

 =  ε

^d_t

ε

^st



Postać zredukowana:

 q

t

p

t

 = −

|{z}

[1] 

−α

₀

−β

₀



| {z }

1×2

 1 1

α

1

−β

1



−1

| {z }

2×2

| {z }

1×2

+

+ 

ε

^d_t

ε

^s_t



 1 1

α

1

−β

1



−1

=

= [1] 

π

1

π

2

 +  v

1

v

2



 π

1

π

2



= − 

−α

0

−β

0



 1 1

α

1

−β

1



−1

=

=

_α⁻¹

1+β1

 α

0

β

0



 −β

1

−1

−α

₁

1



=

= h

_α

0β₁+β₀α₁ α1+β1

α₀−β₀ α1+β1

i

Rozważmy







 α 0

β 0

α ₁ β 1









=







 4 2 1 1







 oraz







 α ⁰ ₀ β ⁰ ₀ α ⁰ ₁ β ⁰ ₁









=







 5 1 2 2









. Oba wektory

mogłyby wynikać z oszacowania wektora parametrów postaci zredukowanej

 π 1

π ₂



=

 3 1



. Żaden z parametrów postaci

strukturalnej nie jest identyfikowalny.

Przykład 2

Równanie popytu w tym samym modelu uzupełniamy o dochód rozporządzalny konsumentów y _t z parametrem α 2 .



 

 

d

t

= α

0

− α

1

p

t

+ α

2

y

t

+ ε

^dt

s

t

= β

0

+ β

1

p

t

+ ε

^st

d

t

= s

t

(≡ q

t

) Postać strukturalna:

( q

t

+ α

1

p

t

− α

0

− α

2

y

t

= ε

^dt

q

t

− β

1

p

t

− β

0

= ε

^st

 q

t

p

t



 1 1

α

1

−β

1

 + 

1 y

t



 −α

0

−β

0

−α

2

0



=  ε

^dt

ε

^st



Postać zredukowana:

 q

t

p

t

 = −

|{z}

 1 y

t



 −α

0

−β

0

−α

₂

0



| {z }

2×2

 1 1

α

1

−β

₁



−1

| {z }

2×2

| {z }

2×2

+

+ 

ε

^d_t

ε

^s_t



 1 1

α

1

−β

1



−1

=

= 

1 y

t



 π

11

π

12

π

21

π

22

 + 

v

1

v

2



 π

11

π

12

π

21

π

22



= −

 −α

0

−β

0

−α

2

0

  1 1 α

1

−β

1



−1

=

"

_{α0β1+β0α1}

α1+β1

α0−β₀ α1+β1 α2β1

α₁+β₁

α₂ α₁+β₁

#

Po rozszerzeniu specyfikacji parametry równania podaży stały się identyfikowalne:



 



 



β 1 = ^π _π

²¹

α 0 − β

22

₀

α 1 + β 1

| {z }

π

12

· (−β ₁ )

| {z }

−

^π21

π22

+ α 0 β 1 + β 0 α 1

α 1 + β 1

| {z }

π

11

= β 0

Niech β ₀ = 1 i β ₁ = 2:

 π ₁₁ π ₁₂ π 21 π 22



=

" _2α

0

+α

1

α

1

+2

α

0

−1 α

1

+2 2α

2

α

1

+2 α

2

α

1

+2

# .

Zarówno dla



 α 0

α 1

α ₂



 =



 3 2 2



, jak i dla



 α 0

α 1

α ₂



 =



 5 6 4



,

spełniona jest równość Π =

 2 ¹ ₂ 1 ¹ ₂



. Parametry równania popytu

wciąż są zatem nieidentyfikowalne.

Przykład 3

Równanie podaży z przykładu 2 uzupełniamy o zasób kapitału wśród producentów na rozważanym rynku:



 

 

d

t

= α

0

− α

1

p

t

+ α

2

y

t

+ ε

^d_t

s

t

= β

0

+ β

1

p

t

+ β

2

r

t

+ ε

^st

d

t

= s

t

(≡ q

t

) Postać strukturalna:

( q

t

+ α

1

p

t

− α

0

− α

2

y

t

= ε

^dt

q

t

− β

1

p

t

− β

0

− β

2

r

t

= ε

^st

 q

t

p

t



 1 1

α

1

−β

1

 + 

1 y

t

r

t







−α

0

−β

0

−α

2

0 0 −β

2



 = 

ε

^d_t

ε

^s_t



Postać zredukowana:

 q

t

p

t



= − 

1 y

t

r

t







−α

₀

−β

₀

−α

2

0 0 −β

2





| {z }

3×2

 1 1

α

1

−β

1



−1

| {z }

2×2

| {z }

3×2

+

+ 

ε

^d_t

ε

^s_t



 1 1

α

1

−β

1



−1

=

= 

1 y

t

r

t







π

11

π

12

π

21

π

22

π

31

π

32



 +

 v

1

v

2







π

11

π

12

π

21

π

22

π

31

π

32



 = −





−α

0

−β

0

−α

2

0 0 −β

2





 1 1

α

1

−β

1



−1

=







α0β1+β0α1 α1+β1

α0−β₀ α1+β1 α2β1

α1+β1

α2 α1+β1

−α1β2 α₁+β₁

β2 α₁+β₁







β

0

i β

1

ustalamy jak wcześniej.



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



α

1

= −

^π_π³¹

32

β

2

= β

2

α

1

+ β

1

| {z }

π₃₂

·









 α

1

|{z}

−^π31 π32

+ β

1

|{z}

π21 π22











α

2

= α

2

α

1

+ β

1

| {z }

π22

·









 α

1

|{z}

−^π31 π32

+ β

1

|{z}

π21 π22











α

0

= α

0

− β

0

α

0

+ α

1

| {z }

π12











α

0

+ α

1

|{z}

−^π31 π32









 + β

0

|{z}

f (Π)

⇒ α

₀

=

^π12_1−π^α1+β0

12

Po rozszerzeniu specyfikacji również parametry równania popytu stały się

identyfikowalne.

Plan prezentacji

1 Wprowadzenie

2 Trzy przykłady

3 Przykłady: interpretacja

4 Warunki identyfikowalności

5 Restrykcje na parametry stochastyczne

6 Zadania

Przykład 1: ilustracja graficzna

s(β

₀

,β

₁

) d(α

₀

,α

₁

)

d(α

₀

’,α

₁

’) s(β

₀

’,β

₁

’)

p q

s(β

₀

,β

₁

) d(α

₀

,α

₁

)

d(α

₀

’,α

₁

’) s(β

₀

’,β

₁

’)

p

q

Przykład 2: ilustracja graficzna

s(β

₀

,β

₁

) d(α

0

,α

1,

α

2

y

₁

) d(α

0

’,α

1

’,α

2

y

₁

)

p q

d(α

0

,α

1,

α

2

y

₂

) d(α

₀

’,α

₁

’,α

₂

y

₂

) s(β

₀

,β

₁

)

d(α

0

,α

1,

α

2

y

₁

) d(α

0

’,α

1

’,α

2

y

₁

)

p q

d(α

0

,α

1,

α

2

y

₂

)

d(α

₀

’,α

₁

’,α

₂

y

₂

)

Przykład 3: ilustracja graficzna

s(β

₀

,β

₁

,β

₂

r

₁

) d(α

₀

,α

_1,

α

₂

y

₁

)

p q

d(α

₀

,α

_1,

α

₂

y

₂

) s(β

₀

,β

₁

,β

₂

r

₂

)

s(β

₀

,β

₁

,β

₂

r

₁

) d(α

₀

,α

_1,

α

₂

y

₁

)

p q

d(α

₀

,α

_1,

α

₂

y

₂

)

s(β

₀

,β

₁

,β

₂

r

₂

)

Wnioski z przykładów

1

Brak identyfikowalności parametrów postaci strukturalnej wynika ze specyfikacji modelu.

2

Nie jest to w szczególności efekt zbyt krótkiej próby czy błędów w procesie estymacji.

3

Brak identyfikowalności parametrów postaci strukturalnej nie musi oznaczać, że model jest “zły”; oznacza jedynie, że na gruncie dostępnych danych nie jest możliwe ustalenie wartości poszczególnych jego parametrów.

Ewentualny brak identyfikowalności dotyczy wszystkich parametrów danego równania (por. przykłady 1, 2, 3). Stąd mówimy o

identyfikowalności równań, a gdy wszystkie równania są

identyfikowalne - o identyfikowalności modelu.

Plan prezentacji

1 Wprowadzenie

2 Trzy przykłady

3 Przykłady: interpretacja

4 Warunki identyfikowalności

5 Restrykcje na parametry stochastyczne

6 Zadania

Liczba identifykowanych parametrów

Liczba parametrów postaci strukturalnej Liczba parametrów postaci zredukowanej

A_M×M

z}|{

M

²

+

B_{K ×M}

z}|{

KM +

Σ_ε;M×M−symetryczna

z }| {

M (M + 1) · 1

2 ≥

Π_{K ×M}

z}|{

KM +

Σ_v;M×M−symetryczna

z }| {

M (M + 1) · 1 2 Różnica wynosi maksymalnie M

²

.

W przykładzie 3 osiągnięcie identyfikowalności wymagało przyjęcia M ² = 4 dodatkowych założeń:

1

o normalizacji ze względu na zmienną q _t w pierwszym i drugim równaniu, stąd A ₁₁ = 1 i A 12 = 1;

2

o wykluczeniu niektórych zmiennych z niektórych równań, stąd

B 22 = 0 i B 31 = 0.

Notacja

Postać strukturalna: y _t A + x _t B = ε _t , A _M×M , B _{K ×M} , M zmiennych endogenicznych (o wartościach dla t w poziomym wektorze y _t ), K zmiennych egzogenicznych (o wartościach dla t w poziomym wektorze x _t ).

j -te równanie postaci strukturalnej: y _t A _{[:,j ]} + x _t B _{[:,j ]} = ε _{j ,t} , gdzie

A _{[:,j ]} , B _{[:,j ]} to j-ta kolumna macierzy – odpowiednio – A i B. Ze

względu na normalizację w równaniu j oraz wykluczenie niektórych

zmiennych z tego równania klasyfikujemy jego zmienne i właściwe

im parametry:

Zmienne Ozn. Rodzaj Liczba Parametry y

_j

zmienna objaśniana w równaniu j ,

względem niej normalizacja

1 1

Endogeniczne bieżące

Y ˜

j

zmienne występujące w równaniu j jako zmienne objaśniające

M ˜

j

A ˜

_{[:,j ]}

˜ ˜

Y

j

zmienne nie występujące w równaniu j jako zmienne objaśniające

˜ ˜

M

j

A ˜ ˜

_{[:,j ]}

= 0

Z góry ustalone

X ˜

_j

zmienne występujące w równaniu j jako zmienne objaśniające

K ˜

j

B ˜

_{[:,j ]}

˜ ˜

X

j

zmienne nie występujące w równaniu j jako zmienne objaśniające

˜ ˜

K

j

B ˜ ˜

_{[:,j ]}

= 0

Model w postaci zredukowanej

 y_{j ,t} ˜y_{j ,t} ˜˜y_{j ,t} 

| {z }

yt

=

~x_{j ,t} ˜˜x_{j ,t} 

| {z }

xt









 1 z}|{

˜d_j Mj˜ z }| { D⁽¹⁾

˜˜ Mj z }| { D⁽²⁾} ˜K_j

˜˜

d_j D⁽³⁾ D⁽⁴⁾}K˜˜_j











| {z }

Π

+h

v_{j ,t} ˜v_{j ,t} ˜ ev_{j ,t} i

| {z }

vt

Ponieważ Π = −BA⁻¹czyli ΠA = −B, dla j-tej kolumny macierzy A i B możemy zapisać:

ΠA_{[:,j ]}= −B_{[:,j ]}

" d˜_j D⁽¹⁾ D⁽²⁾

˜˜

d_j D⁽³⁾ D⁽⁴⁾

#

 1 A˜_{[:,j ]}

0



 =

 − ˜B_{[:,j ]} 0



Stąd:

(˜ d

j

+ D

⁽¹⁾

A ˜

_{[:,j ]}

= − ˜ B

_{[:,j ]}

} ˜ K

j

rownan

˜ ˜

d

j

+ D

⁽³⁾

A ˜

_{[:,j ]}

= 0 } K ˜ ˜

j

rownan z ˜ M

_j

parametrami (

D

⁽³⁾

A ˜

[:,j ]

= − d ˜ ˜

j

} K ˜ ˜

_j

rownan z ˜ M

_j

niewiadomymi (∗) B ˜

_{[:,j ]}

= − ˜ d

j

− D

⁽¹⁾

A ˜

_{[:,j ]}

}wzor na pozostale ˜ K

j

parametrow Dla każdego równania (∀

j

) możliwe są następujące przypadki:

1

K ˜ ˜

j

< ˜ M

j

⇒ nieskończenie wiele rozwiązań, parametry postaci strukturalnej równania j nie są identyfikowalne;

2

K ˜ ˜

j

= ˜ M

j

⇒dokładnie jedno rozwiązanie, identyfikowalność jednoznaczna;

3

K ˜ ˜

_j

> ˜ M

_j

⇒identyfikowalność nadmierna, można testować czy

sprzeczności są istotne statystycznie.

Warunek konieczny identyfikowalności

Warunkiem koniecznym identyfikowalności równania j jest K ˜ ˜

j

≥ ˜ M

j

, tzn. by liczba zmiennych egzogenicznych nie występujących w tym równaniu byłą przynajmniej taka, jak liczba zmiennych endogenicznych występujących w tym równaniu jako zmienne objaśniające.

Przykłady (c.d.):

1

K ˜ ˜

1

= 0 < ˜ M

1

= 1 – brak identyfikowalności równania 1

˜ ˜

K

2

= 0 < ˜ M

2

= 1 – brak identyfikowalności równania 2

2

K ˜ ˜

1

= 0 < ˜ M

1

= 1 – brak identyfikowalności równania 1

˜ ˜

K

2

= 1 = ˜ M

2

= 1 – równanie 2 jest identyfikowalne

3

K ˜ ˜

1

= 1 = ˜ M

1

= 1 – równanie 1 jest identyfikowalne

˜ ˜

K

2

= 1 = ˜ M

2

= 1 – równanie 2 jest identyfikowalne

Fakt: Warunek konieczny identyfikowalności jest spełniony dla wszystkich

równań modelu, jeżeli w każdym z nich występuje “własna”, unikalna zmienna

egzogeniczna.

Warunek wystarczający identyfikowalności

Warunkiem wystarczającym istnienia jednoznacznego

rozwiązania układu równań (∗) jest nie tylko K ˜ ˜ _j = ˜ M _j , lecz również pełen rząd kolumnowy (liniowa niezależność wszystkich kolumn) macierzy D ⁽³⁾ :

r

 D ⁽³⁾ 

= ˜ M j

Wniosek: warunek wystarczający identyfikowalności j-tego

równania zawiera w sobie warunek konieczny, bowiem przy K ˜ ˜ j < ˜ M j

liczba wierszy macierzy D ⁽³⁾ jest niższa od liczby kolumn, a taka

macierz nie może mieć ˜ M _j kolumn liniowo niezależnych.

Metoda z tabelą

W praktyce spełnienie warunku koniecznego można również badać korzystając z następującej metody:

1

Zapisujemy parametry postaci strukturalnej (tzn. takiej, w której wszystkie zmienne z parametrami są po jednej stronie znaku równości) w tabeli, w której wiersze odpowiadają zmiennym endogenicznym

(równaniom), a kolumny - wszystkim zmiennym w modelu (parametry przyporządkowujemy tym zmiennym).

2

W celu sprawdzenia identyfikowalności parametrów j-tego równania wykreślamy z tabeli:

1

wiersz odpowiadający temu równaniu (j);

2

kolumny odpowiadające zmiennym, które są w tym równaniu (y

_{j ,t}

,

˜ y

j ,t

, ˜ x

j ,t

).

3

Sprawdzamy, czy macierz parametrów, która pozostała po wykreśleniach,

ma tyle liniowo niezależnych kolumn, ile wierszy.

Metoda z tabelą – przykłady 1, 2, 3

1



 

 

d

t

= α

0

− α

1

p

t

+ ε

^dt

s

t

= β

0

+ β

1

p

t

+ ε

^s_t

d

t

= s

t

1 d

t

s

t

p

t

α

0

-1 0 −α

1

β

0

0 -1 β

1

0 1 -1 0

dla równania 1:

 −1

−1



, dla równania 2:

 −1 1



2 wiersze > 1 wektor - brak

identyfikowalności obu równań

2



 

 

d

t

= α

0

− α

1

p

t

+ α

2

y

t

+ ε

^d_t

s

t

= β

0

+ β

1

p

t

+ ε

^s_t

d

t

= s

t

1 d

t

s

t

p

t

y

t

α

0

-1 0 −α

1

α

2

β

0

0 -1 β

1

0

0 1 -1 0 0

dla równania 1:

 −1

−1



2 wiersze > 1 wektor - brak identyfikowalności; dla

równania 2:

 −1 α

2

1 0



2 wektory liniowo niezależne - równanie

identyfikowalne

3



 

 

d

t

= α

0

− α

1

p

t

+ α

2

y

t

+ ε

^dt

s

t

= β

0

+ β

1

p

t

+ β

2

r

t

+ ε

^s_t

d

t

= s

t

1 d

t

s

t

p

t

y

t

r

t

α

0

-1 0 −α

1

α

2

0

β

0

0 -1 β

1

0 β

2

0 1 -1 0 0 0

dla równania 1:

 −1 β

2

−1 0



, dla równania 2:

 −1 α

2

1 0



, 2 wektory liniowo

niezależne - oba równania identyfikowalne

Plan prezentacji

1 Wprowadzenie

2 Trzy przykłady

3 Przykłady: interpretacja

4 Warunki identyfikowalności

5 Restrykcje na parametry stochastyczne

6 Zadania

Restrykcje nakładane na parametry stochastyczne

W ogólnym przypadku symetryczna macierz wariancji-kowariancji wektora składników losowych postaci strukturalnej

Cov (ε) = E ε

^T

ε
= Σ

ε

zawiera M (M + 1) ·

¹₂

różnych elementów, podobnie jak możliwa do oszacowania macierz wariancji-kowariancji wektora składników losowych postaci zredukowanej Cov (v ) = E v

^T

v
= E 

εA

⁻¹

^T

εA

⁻¹



= E 

A

⁻¹

T

ε

^T

εA

⁻¹



= A

⁻¹

T

Σ

ε

A

⁻¹

= Σ

_v

.

Założenie o wzajemnej niezależności składników losowych postaci strukturalnej pozwala umieścić zera na M (M + 1) ·

¹₂

− M niediagonalnych miejscach macierzy Σ

ε

, co może pozwolić wykorzystać równanie A

⁻¹

T

Σ

ε

A

⁻¹

= Σ

_v

w procesie identyfikacji

elementów macierzy A.

Przykład 1 (c.d.)

Załóżmy, że Σ _ε =

 σ ² _d 0 0 σ _s ²



. Wówczas

Σ v =

 σ ² _{v ,1,1} σ ² _{v ,1,2} . σ ² _{v ,2,2}



= A ⁻¹
T

Σ ε A ⁻¹ =

=

" _β

1

α

1

+β

1

α

1

α

1

+β

1

1 α

1

+β

1

−1 α

1

+β

1

# 

σ _d ² 0 0 σ ² _s

 " _β

1

α

1

+β

1

1 α

1

+β

1

α

1

α

1

+β

1

−1 α

1

+β

1

#

=

= 

1 α

1

+β

1

 2 

β ₁ ² σ _d ² + α ² ₁ σ _s ² β 1 σ _d ² − α ₁ σ _s ² . σ ² _d + σ _s ²



2 z 3 równości wykorzystujemy do ustalenia σ _d ² oraz σ ² _s , trzecia zaś

ustanawia zależność między α ₁ a β ₁ . Ta zależność oraz dwie

równości π ₁ = ... i π 2 = ... (por. wcześniej) to wciąż za mało, by

zidentyfikować 4 parametry postaci strukturalnej.

Przykład 2 (c.d.)

Wykorzystajmy założenie Σ

ε

=

 σ

_d²

0 0 σ

_s²



w drugim modelu. Po uwzględnieniu trzeciej zależności miedzy α

1

i β

1

możemy zidentyfikować 3 parametry równania popytu na podstawie 3 równań.

Załóżmy, że wyniki estymacji parametrów postaci zredukowanej modelu 2 uzupełnimy o wyniki estymacji wariancji-kowariancji wektora składników losowych postaci zredukowanej v

t

:

Σ

v

=

 σ

_{v ,1,1}²

σ

²_{v ,1,2}

. σ

²_{v ,2,2}



= 

1 α₁+β₁



2



β

²₁

σ

_d²

+ α

²₁

σ

_s²

β

1

σ

²_d

− α

₁

σ

_s²

. σ

_d²

+ σ

_s²



. Zgodnie z dotychczasowymi ustaleniami, β

0

= 1 i β

1

= 2. Możemy zatem zapisać 3 dodatkowe równania:

σ

²_{v ,1,1}

=



1 α₁+2



2

4σ

²_d

+ α

²₁

σ

_s²

σ

²_{v ,1,2}

=



1 α1+2



2

2σ

²_d

− α

1

σ

_s²

σ

²_{v ,2,2}

=



1 α1+2



2

σ

²_d

+ σ

²_s

Wyznaczamy z ostatniego równania σ _s ² i podstawiamy do pozostałych dwóch:

σ ² _{v ,1,1} =

 1 α

1

+2

 2 

4σ _d ² + α ² ₁



σ ² _{v ,2,2} (α 1 + 2) ² − σ _d ² 

=

 1 α

1

+2

 2

4 − α ² ₁
σ ² _d + α ² ₁ σ _{v ,2,2} ² = ^2−α _2+α

¹

1

σ _d ² + α ² ₁ σ _{v ,2,2} ² σ ² _{v ,1,2} =

 1 α

1

+2

 2 

2σ _d ² − α ₁ 

σ ² _{v ,2,2} (α 1 + 2) ² − σ _d ² 

=

 1 α

1

+2

 2

(2 + α 1 ) σ _d ² − α ₁ σ ² _{v ,2,2} = _2+α ¹

1

σ ² _d − α ₁ σ ² _{v ,2,2} Z układu można wyrugować σ _d ² :

σ ² _{v ,1,1} − α ² ₁ σ ² _{v ,2,2} = (2 − α 1 )



σ _{v ,1,2} ² + α 1 σ ² _{v ,2,2}



=

2σ _{v ,1,2} ² + 2α 1 σ ² _{v ,2,2} − α ₁ σ _{v ,1,2} ² − α ² ₁ σ _{v ,2,2} ²

Po redukcji powtarzających się składników i rozwiązaniu ze względu na α ₁ otrzymujemy:

α 1 = ^σ

2

v ,1,1

−2σ

²_{v ,1,2}

2σ

_{v ,2,2}²

−σ

²_{v ,1,2}

Niech (z wyników estymacji) Σ _v =

 3 ¹ ₂ . ³ ₄



. Wówczas α 1 = ^3−2·

1 2

2·

³₄

−

¹₂

= 2. Pozostałe dwie równości z przykładu 2 pozwalają zidentyfikować



 α 0

α 1

α ₂



 =



 3 2 2



.

Do identyfikowalności mogą też prowadzić inne, liniowe i nieliniowe

restrykcje nakładane na parametry stochastyczne i strukturalne.

Plan prezentacji

1 Wprowadzenie

2 Trzy przykłady

3 Przykłady: interpretacja

4 Warunki identyfikowalności

5 Restrykcje na parametry stochastyczne

6 Zadania

Zadanie 1

Dany jest następujący model ekonometryczny:

y

1,t

= 1 + 0, 5y

2,t

+ x

1,t

+ 0, 1x

2,t

+ ε

1,t

y

2,t

= 2 − 2y

1,t

+ 0, 5y

1,t−1

+ ε

2,t

1

Omów identyfikowalność poszczególnych równań modelu.

2

Przedstaw przykład takiej zmiany (takich zmian) specyfikacji, które doprowadziłyby do jednoznacznej identyfikowalności wszystkich równań.

3

Przedstaw przykład takiej zmiany (takich zmian) specyfikacji,

które doprowadziłyby do braku identyfikowalności przynajmniej

jednego z równań.

Zadanie 2

Zaproponowano następujący model wielorównaniowy:

y

1,t

= α

0

+ α

1

y

2,t

+ α

2

x

1,t

+ α

3

x

3,t

+ ε

1,t

y

2,t

= β

0

+ β

1

y

1,t

+ β

2

x

2,t

+ ε

2,t

1

Przeprowadź analizę identyfikowalności pierwszego równania.

2

Przeprowadź analizę identyfikowalności drugiego równania.

3

Czy do estymacji powyższego modelu można zastosować pośrednią MNK?

4

Zaproponuj taką zmianę specyfikacji, która sprawi, że oba

równania staną się jednoznacznie identyfikowalne.