Dwa modele kompozytowych prętów cienkościennych o profilu zamkniętym

Seria: B U D O W N IC T W O z. 93 Nr kol. 1514

Krzysztof G R Y G IER EK * Politechnika Śląska

DWA MODELE KOMPOZYTOWYCH PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH O PROFILU ZAMKNIĘTYM

Streszczenie. W artykule tym przedstaw iono opis statyki kom pozytow ych prętów cienkościennych. Z budo­

wano dwa m odele bazujące na teorii pow ło k Tim oshenki i K .irchhoffa-Love’a. S form ułow ano dw a rodzaje ele­

mentów skończonych. Popraw ność przedstaw ionych teorii spraw dzono na przykładzie.

TWO MODELS FOR COMPOSITE THIN WALLED BEAMS WITH CLOSED CROSS SECTION

Sum m ary. In this paper the static problem s description o f the thin-w alled com posite beam s w as presented.

Two models based on the T im o sh en k o ’s and K irchhoffa-L ove’s shell theory w ere built. T w o k inds o f beam finite elements w ere form ulated. T he correctness o f the theories w as checked on the exam ple.

1. Wstęp

Kom pozytowe pręty cien k ościen n e, ze w zględ u na sw e znakom ite w łasn ości w ytrzym ało­

ściowe i m ałą m asę, bardzo szybko zn alazły liczn e zastosow ania; w sz c zeg ó ln o ści w prze­

myśle lotniczym . Prace naukow e tyczące się opisu statyki rozpatryw anych ustrojów bazują na teorii pow łok cienkich, w arstw ow ych. M ożem y tutaj w yróżnić prace zw iązan e z teorią po­

włok: a) K irch h offa-L ove’a, por. np.: N . R. Bauld i L -S. T zen g [1] czy B . O m idw ar i A.

Ghorbanpoor [4] oraz b) T im oshenki np.: L. W . R ehfield, A . R. A tilgan, D . H. H od ges [7], W obu tych przypadkach u w zględ n ia się dodatkow o deplanację. C elem tej pracy je s t porów na­

nie rezultatów otrzym yw anych z w ykorzystaniem tych dw óch m od eli. D ążąc do teg o zbudo­

wano model k om p ozytow ego pręta cien k ościen n ego o profilu zam kniętym , bazując na teorii powłok T im oshenki. R ów nania rów now agi belki typu B ern ou lliego przedstaw iono jako szczególny przypadek teorii T im oshenki. R ozw iązania problem u uzyskano w ykorzystując

‘ Opiekun naukowy: Prof. dr hab. inż. Szczepan B orkow ski.

136 K. Grygierek

M E S, budując od d zieln e elem enty skończone dla każdego m odelu. R ezultaty otrzym yw ane w ten sp osób porów nano z w ynikam i programu A N S Y S 5.4, gd zie zastosow ano elem enty 3D.

2. Pole przemieszczeń i odkształceń

P rzem ieszczen ie d o w o ln eg o punktu M 0 pow ierzchni środkow ej pręta - pow łoki będziemy określać, por. rys. 1, w odniesieniu do dw óch prawoskrętnych układów współrzędnych, a m ian ow icie glob aln ego Oxyz i lokalnego M 0nsz ■

|z=const.|

Rys. 1. K onfiguracja pręta cienkościennego Rys. 2. Przem ieszczenia powłoki Fig. 1. T hin-w alled beam configuration Fig. 2. Shell displacem ent

N iech d ow oln y punkt O' płaszczyzn y sztyw n o zw iązanej z przekrojem pręta wykonuje ruch płaski, określony w spółrzędnym i translacyjnym i U x, U (układ O x y z ) oraz obrotem o kąt a . N iech dalej «„ i u s określają składow e p rzem ieszczenia d ow oln ego punktu M 0 linii środkow ej przekroju pręta (układ M un s z ) , które są norm alnym i i stycznym i do tej linii. Na podstaw ie rys. 1 ustalim y zależność m iędzy tym i współrzędnym i:

un( z , s ) = U x cos(p + U s i n ( p - d q , ux( z , s ) = - U x sin(p + U y c o s ( p + a p . (1) C elem zd efin iow an ia odkształceń w kom pozytow ym pręcie cienkościennym rozpatrywać b ęd ziem y p ow łok ę cienkościenną, w arstw ow ą i zam kniętą, por. rys. 2. W p ow łoce tej okre­

ślim y, za R. B. Rikardsem [6], składow e stanu odkształcenia w arstwy powierzchni środkowej w pow łokach typu T im oshenki, w dostosow anej do przyjętej tutaj notacji:

0 ó u u „ „ ów „ d w d u, „ 3 $ , „ 3 t l

e ° = ^ós + i ' = ( ) ’ p e ° = Tóz ’ ós óz ós < = ~ózT ’

ós p ó z óz ós p

(2)

W równaniach (2 ) przyjęto o zn a czen ia :e " , e ° , y " - składow e odkształcenia; K° , k"z , łc".- składowe zm iany krzyw izny I skręcenia pow ierzchni środkow ej; p vl, p sn - uśrednione od-

, i - • • o 1 ( d w dii \

kształcenia p op rzeczn ego ścinania; v n = — —---—ł- 2 y d s óz

- kąt obrotu.

Dokonując prostych przekształceń, otrzym am y za leżn o ść p om ięd zy zm ian ą skręcenia po­

wierzchni środkowej a odkształceniam i postaciow ym i:

K=7T-

( 3 )

Całkowite odkształcenia p ostaciow e y" m ożem y przedstaw ić jako sum ę odkształceń posta­

ciowych: y*t - zw iązan ych z e zginaniem i ścinaniem i y - w y w ołan ych skręcaniem .

y ° = y z + y s . (4)

zs zs zs

Zależność p om iędzy odkształceniam i postaciow ym i (zw iązan ym i z e zginaniem ) odpow iednio w układach w spółrzędnych Oxyz i M unsz po uw zględnieniu odpow iednich w zorów trans­

formacyjnych przyjm ie postać:

Y za = - Y ZIsin(p + y z), c o s ( p , (5)

gdzie przyjęto: y K, y 5, - odkształcenia p ostaciow e zw iązane z siłam i poprzecznym i w ukła­

dzie Oxyz ■

Przejdźmy dalej do w yzn aczen ia przem ieszczenia o sio w e g o w( z , s ). Z w iązek taki otrzy­

mamy z warunku określającego odkształcenia p ostaciow e (2 )3. W tym celu porównujem y stronami równania (2)3 i (4), a następnie podstawiam y do tak uzyskanej rów ności zależności (1)2 i całkujemy, a w ów cza s otrzym am y następującą funkcję:

w(z,s) = W - p yx + P xy + y/cc'\

w równaniu p o w y ższy m w prow adzono n ow e funkcje:

w = w ( Z), px = lyv - u ,)1 Py={ux- r J v = ) \ ^ ~

i s , (7)

gdzie: W - j e s t sk ład ow ą o s io w ą przem ieszczenia; P x = P x{ z ) , P y - P y ( z ) - są kątami obrotu płaszczyzny przekroju pręta w zg lęd em osi: O x i O y ; \fr(s,n) - je s t funkcją deplanacji.

Niezerowe sk ład ow e stanu odkształcenia (2), po uw zględnieniu (1), (3), (6), przyjm ą postać:

{ e H f i f c J , (8)

138 K. Grygierek

gdzie:

[Bb

{w

g ~ P y g + P ,

: Py OC

k

K K

1

0

y — X 0 W

0 -

sin ę COS(p

0 0 0

sinę -c o s ę 0

0

~

^sinę 2jcosip

(9a) (9b)

(9c)

W równaniu (8) w yrażono odkształcenia typu pow łokow ego -{e}> jak o funkcję odkształceń typu p rętow ego - -je }.

3. Związki konstytutywne w materiale wielowarstwowym

Pręty cien k ościen n e scharakteryzowane są m ałą grubością ścianki w stosunku do pozosta­

łych w ym iarów ; w zw iązku z czym m ożem y przyjąć założenie, ż e pracują one w płaskim sta­

nie naprężenia oraz każda z w arstw kom pozytu, z których pręt je s t zbudow any, b ędzie zbro­

jon a jednokierunkow o (ortotropowa). U w zględniając p ow yższe, por. np.: A . K elly [Ed] [3], n iezerow ym i składow ym i tensora naprężenia będą a s , o , , x a . D la przypadku prętów cienko­

ściennych przyjm ujem y dalsze założenie, iż naprężenia o b w od ow e a s są w przybliżeniu równe zeru (crv = 0 ) . Po uw zględnieniu tego założenia stw ierdzam y, że za leżn o ść określająca w ektor naprężenia pojedynczej, k-tej w arstw y pręta-powłoki w relacji naprężenie- o dkształcenie przyjm ie postać:

g

0-22

Q g g ±

O*¿22

n 823824 34 e22 Q 244 822

(10)

S iły w ew nętrzne typu p o w ło k o w eg o , dla naszego przypadku m ożem y zapisać następująco:

X

X M ,

IM..

L ------ 1 -

{<}*

i®

!*

L ³⁴

[Ki 1*34 Bu] K i

« 3 3 B u

L ‘ ¿ > 3 3 D u

* 3 4 ^{B u .} 1K .1 D u ^ 4 4 . K j

{ » h m , d i )

gdzie w prow adzono macierze:

[g] [*] . M = K

przez [a] [flj [/)] ozn aczon o, znane z teorii p ow łok cienkich, w arstw ow ych, m acierze sztyw ­ ności tarczowej, sprzężeń i zginania.

4. Równania równowagi i warunki brzegowe

Równania rów now agi oraz warunki b rzegow e otrzym am y z warunku m inim alizacji funk­

cjonału całkow itej energii potencjalnej.

Składnik funkcjonału L agrange’a określający energię w ew nętrzną s ił sprężystości w prę­

cie, po w ykorzystaniu równań (11), por [2 ], m ożem y przedstawić w postaci następującej:

W równaniu (1 3 ) w prow adzono obciążenia m asow e, które w ystęp u ją w konstrukcjach pręto­

wych cienkościennych; p o szczeg ó ln e składniki w ystępujące w w yrażeniu podcałkow ym określają:«, f x, f y - siły m asow e: o sio w a i poprzeczne; m x, m y , m ,- m om enty m asow e: z g i­

nające i skręcający; b - m asow y bim om ent.

A nalogicznie do sił m asow ych (1 3 ), w ystępujących w składow ej funkcjonału Lagrange’a, zapiszemy trzeci składnik tego funkcjonału, w którym w ystęp u ją obciążenia brzegow e:

Równania d efiniujące siły w ew nętrzne typu prętow ego w zależn ości od sił w ew nętrznych powłokowych przyjm ą postać:

y u u ~'/l U W

Energię potencjalną obciążeń zew nętrznych, m asow ych określim y jako:

(

)

J X ’u¡dV = j ( n W + m xß x + m y ß y + rnj a + b a + f xU x + f yU y )iz. (13)

v o

\ X ' u id f = ( nW + m xß x + m yß y + m za + b a + f xU x + f yU } ]|o . (14)

140 K. Grygierek

/ \

Qy - \ N „ c o s ( p + — M a cosę i s ,

ol “ 2 p ~

(15)

gd zie występują: siła o sio w a N, m om enty zginające: M x, M , m om ent sk r ę c a ją c y :^ , bi- mom ent: B , siły poprzeczne: Q x , Q y .

Lokalne rów nania rów now agi otrzym am y przyrównując do zera w ariację funkcjonału La­

grange’a, po uprzednim zastosow aniu tam tw ierdzenia Greena. U zyskane w ten sposób rów­

nania, w liczb ie sześciu , po w ykorzystaniu sił w ew nętrznych typu prętow ego (rów nania (15)), przyjm ą postać:

Warunki brzegow e, w liczb ie siedm iu na każdym brzegu, otrzym ane podobnie będą spełniały następujące zw iązki na brzegach z = 0 i z = L :

W równaniach (1 5 ) przedstaw iono siły w ew nętrzne typu prętow ego jako funkcje sił we­

w nętrznych p ow łok ow ych . W prowadzając tam siły typu p o w ło k o w eg o (1 1 ), a dalej odkształ­

cen ia pow ierzchni środkow ej pow łoki (8), otrzym amy w rezultacie siły typu prętow ego w funkcjach przem ieszczeń; na tej samej drodze m ożem y otrzym ać lokalne warunki równowagi w relacji przem ieszczen iow ej.

5. Belka Bernoulliego

M odel bazujący na hipotezie K irchhoffa-L ove’a, zakłada, iż odcinek m aterialny prostoli­

n iow y, prostopadły do nieodkształconej pow ierzchni środkowej pozostaje prostoliniow y i prostopadły do pow ierzchni odkształconej, a je g o długość się nie zm ienia. Z ałożenie to u w zględ n im y w p ow yższym op isie, przyjmując, iż uśrednione odkształcenia poprzecznego ścinania dla belki T im oshenki są rów ne zeru:

Stąd zależności p om ięd zy kątami obrotu i przem ieszczeniam i pręta opisane równaniami:

f i > / x = 0 ,

g

; + / , =

,

N ' + ń = 0 , M x ~ Q y + m x = 0 ,

M'y. + Q x + m y = 0 ,

- B + M s - b + i n z = 0 ,

(16)

P v , = P s n = 0 • (18)

(19)

Równości (1 9 ) opisują, znaną z w ytrzym ałości m ateriałów , hipotezę B ern ou lliego w ykorzy­

stywaną w teorii prętów o przekroju zwartym.

Zależności definiujące siły w ew nętrzne typu prętow ego s ą analogiczne do uzyskanych dla przypadku belki T im oshenki (1 5 ). W yjątek stan ow ią siły poprzeczne, które o b liczy m y w funkcji sił pow łok ow ych w g następujących zależności:

i i

Q x - ¡ [ n _ X + M , c o s ę ) d s , Q y = J(fV y + M z sin(p)ds. (19a)

o o

Porównując rów nania (1 9 ) z (1 5 )2.3 otrzym am y charakterystyczne za leżn o ści, w m odelu belki Bernoulliego, p om ięd zy siłam i poprzecznym i i m om entam i zginającym i:

Qx = - M ' y. Qy = M X. (20)

W analizie tego rodzaju belki w ystęp u ją cztery lokalne warunki rów now agi:

N + n = 0, M + r ń - / = 0,

, - . .. - (2 1 )

B - M s + b - m z = 0 , M x + m x + f y = 0.

Na tym zakończym y rozpatryw anie m odelu belki B ernoulliego. W szystk ie p ozostałe ob licze­

nia są analogiczne do m odelu T im oshenki (po przyjęciu tam zależn ości (1 8 ) i (19)).

6. Metoda elementów skończonych

Określmy zw ią zek opisujący w ariację energii w ewnętrznej sił sprężystości w pręcie. W tym celu rozpatrzym y rów nanie (12), do którego w prow adzim y zależności ( 11) i ( 8), skąd kolejno otrzymamy:

5W = ] d z \ M M e } * - j d z j { & „ } [bJ [s lfiK e ,, }ds = } { & „ } [ K % p ] d z . (22)

0 0 0 0 o

W równaniu tym w yodrębnim y m acierz charakterystyk geom etryczn o-w ytrzym ałościow ych , zdefiniowanąjako:

M = j [ B F [ s I f i ] * . (23)

0

Całkowitą wariację fiinkcjonału L agrange’a zapiszem y:

8 i L = ¡ K Y k k ? h - M { / } 0L • (24)

0 0

142 K. Grygierek

W równaniu (2 4 ) w prow adzono m acierze w ektory, kolejno wariacji przem ieszczeń, obciążeń m asow ych i brzegow ych:

M = { w U x U y p x p y a a ' } ,

{ / } = { « / , f y m x m y m, - b j , (25) { / } = { " h f y m x thy m z + b b j .

D o rozw iązania zadania b rzegow ego rozpatryw anego problemu w ykorzystam y M ES, w któ­

rym zastosujem y elem ent b elk ow y o dw óch w ęzłach. W ektor przem ieszczeń w ęzłow ych k-

teg o w ęzła w postaci wektora m ożem y zapisać:

{ d k} = t y U x U y p x p y a a \ , k = 1,2. (26)

Ze w zględ u na analogie w budow ie elem entu sk oń czon ego belek zwartych i cienkościen­

nych, ograniczym y się tutaj do podania przyjętych funkcji aproksym ujących:

a) belki T im oshenki (dla b elek zw artych, izotropow ych J. S. Przem ieniecki [5]):

W ( z ) = N

Wl + N iW2,

V x{ z ) = N > U xt- N l P y, + N ; U x

+ N l p y2,

Px(z)= N ; u yi

n ; p a - N j U y

n ; p x2, Py ( z ) = - N ] U xt + N ’ P , X + N ’ U a + N l P

b) belki B ern ou lliego

W ( z ) = N 2Wl + NxW2,

U x{z)= N WU X

PyX

N u U

+ N nP

U y( z ) = N i

U yl- N uPxX+N t

U y

- N u Px2, a ( z ) = N wa l + N uccx + N na

+ N Ba 2,

W zw iązkach (2 7 ) i (2 8 ) przez N'a (i = x , y ; a = 1 +■ 13) określono następujące funkcje kształtu:

N ] = - f - , N 2 = l - j - , N ' } = N [ { 3Nx- 2 N ? + \ 2 r li ^ , (i = *. y )

e e

N'ą = N 2{3N2 - 2 N 22 + I 2 n ^ it N- = L > , 2 - (l- 6 r j,. )/V,

N ‘t =L> 22 - (1- 67),. )N2 - 6r j > 2C„ N ‘ = j - N lN2ęi, (29) N 1 , =

, ^ =

))C/.

= 1

+

,

Ał., = L,(W, - 2A7,2 + 7/3) Nn = 3N? - 2N ? , N „ = Le{ - N,2 + W,3)

w których, przyjęto następujące oznaczenia:

1

C,=

n x =

. {‘ = x > y l

(1+127J,.)

* 4 4 * 5 5

--- T ’ 77 y = i"-

* rA f „ V k xK 21Lr

(30)

7. Analiza przykładu

Przeprowadzimy ob liczen ia rozpatrując trzy belki o profilu prostokątnym , por. rys 3.

Ścianki profilu składają się: w przypadku: A - z jednej w arstw y o grubości t = l c m , usta­

wionej pod kątem 25°; B - z trzech w arstw o grubości f, = 0 .3 3 cm i kodzie [2 5 ,0 ,2 5 ], W obu przypadkach m ateriałem je s t kom pozyt szk ło E/epoksyd o następujących charakterystykach materiałowych: £ , = 45 G P a , E 2 = 12 G P a , G = 5.5 G Pa , v12 = 0 .2 8 .

® F y = 1 0 [ k N ]

3 IA ^{ä 1.} M x = 1 0 [k N m ]

\ z

- Í [Ä ^

^1/ 2 0 0 [ c m ] ^ |/ 1/ 2 0 0 [ c m ] ^j/

[cm ]

I F y = 1 0 [ k N ]

y I ł\ 1 0 0 [ c m ] y 1 0 0 [ c m ] y

l

Rys. 3. Schem at zadania Fig. 3. Schematic o f th e problem

Wyniki otrzym ane autorskim program em , napisanym w M atlab-ie, zostały porów nane z rezultatami uzyskanym i za p om ocą pakietu A n sys 5.4. W programie tym rozw iązanie otrzy­

mano stosując w arstw ow e elem en ty sk oń czon e typu p o w ło k o w eg o (3D ). M aksym alne ugięcia i kąty obrotu zo sta ły zestaw ion e w tabeli.

T abela 1 M aksym alne ugięcia i kąty obrotu

1 II III

A B A B A B

Uy[mn] Uy[mm] Uy[mm] bx[rad] Uy[rrm] bx[rad] Uy[rrrrj Uy[rrm]

ANSYS 5.4 -33,09 -25,34 -24,6 2.47E-02 -18,6 1,91 E-02 -0,65 -0,54 Timoshenko -30,04 -24,86 -23,1 2.25E-02 -18,4 1.83E-02 -0,61 -0,53 błąd [■>/<* 9,22 1,89 6,10 8,91 1,08 4,19 6,15 1,85 Bemoulli -25,52 -25,8 -19,4 1.95E-02 -17,2 1.68E-02 -0,4 -0,37 22,88 -1,82 21,14 21,05 7,53 12,04 38,46 31,48

144 K. Grygierek

8. Wnioski

A nalizując otrzym ane w yniki stw ierdzam y, iż belka T im oshenki lepiej odzw ierciedla pracę kom p ozytow ych belek cienkościennych. W odróżnieniu od belki B ernoulliego, uwzględnia ona sprzężenie odkształceń poprzecznych z e zginającym i. Zaleta ta szczeg ó ln ie uw ypukla się dla przypadku b elek jednokierunkow o zbrojonych (przypadek A ), gd zie max. błąd w belce T im oshenki w y n o si 6 %, a B ernoulliego 38%. Dla belek w arstw ow ych (B ), ze w zględu na w ystęp u jącą kom pensatę sprzężeń, błędy w belce B ernoulliego są m niejsze.

L IT E R A T U R A

1. Bauld N .R ., T zeng Jr., T zeng L-S.: A V lasov theory for fibres-reinforced beam s with thin- w alled open cross section, Int. J. S olids Structures, V ol. 20, N o .3, 1984, 277-297.

2. G rygierek K.: O pis wariacyjny kom pozytow ych prętów cienkościennych o profilu za­

m kniętym , Z eszyty N auk. Pol. Śl., seria B udow nictw o nr 1440, G liw ice 1999, 69-79.

3. K elly A.: C om p osite M aterials, Pergam on, 1994.

4. O m idvar B.; Ghorbanpoor A.: N onlinear FE solution for thin-w alled open-section com­

p osite beam s, Journal o f Structural Engineering, V o l. 1 2 2 ,N o .l 1,1996, str. 1369-1378 5. P rzem ieniecki J. S.: Theory o f Matrix Structural A nalysis, M cG raw -H ill, N ew York, 1968 6 . Rikards R. B.: M etod koniecznych elem entów w teorii obołoczek i płastin, R iga „Zinatne”,

1988.

7. R ehfield L .W ., A tilgan A . R., H odges D . H.: N on classical behavior o f thin-w alled com­

p osite beam s with clo sed cross sections, Journal o f the A m erican H elicopter S ociety, Vol.

35, N o. 2, 1990, s. 42 -5 0 .

Recenzent: Dr hab. inż. Jerzy W yrwał, prof. PO A b str a c t

In this paper the static problem s description o f the thin-w alled com p osite beam s w as pre­

sented. The beam w as m odelled with the clo sed cylindrical m ultilayered shell. T w o models based on the T im osh en k o’s and K irchhoffa-L ove’s shell theory w ere built. T w o kinds of beam fin ite elem ents were form ulated. The correctness o f the theories w as checked on the exam ple. T im o sh en k o ’s and B ern ou lli’s solution w as com pared with the results obtained by the used A n sys 5.4 programm e in w hich the 3D -sh ell elem ent w as used.