Analiza autotransformatora o uzwojeniu cylindrycznym trójczęściowym

ZESZYTY N A U K O W E PO LITE C H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: E LE K TR Y K A z. 171

2000 N r kol. 1466

Władysław M IZIA

Katedra M aszyn i U rządzeń E lektrycznych Politechniki Śląskiej

ANALIZA A U T O T R A N SFO R M A T O R A O U Z W O JEN IU CYLINDRYCZNYM T R Ó JC Z ĘŚC IO W Y M

S tre sz c z e n ie . W pracy przedstaw iono analizę now ego typu autotransform atora o uzw ojeniu trój częściow ym . C zęści składow e są uzw ojeniam i cylindrycznym i rozm ieszczonym i w spólśrodkow o na kolum nie rdzenia m agnetycznego.

A utotransform ator m oże służyć do zasilania dw óch odbiorów o różnych napięciach znam ionow ych i zastępow ać transform ator trójuzw ojeniow y je ż e li nie zachodzi potrzeba elektrycznego rozdzielenia strony pierw otnej i stron w tórnych. O kreślono rezystancje oraz indukcyjności w łasne i w zajem ne części składow ych uzw ojenia, a następnie n a podstaw ie rów nań napięciow ych i prądow ych w prow adzono schem at zastępczy autotransform atora. Podano zależności określające param etry schem atu zastępczego i indukcyjności zw arcia przy określonych danych projektow ych dotyczących rd zen ia m agnetycznego i części składow ych uzw ojenia.

ANALYSIS OF AN A U T O T R A N SFO R M E R W IT H A C Y LIN D R IC A L TH REE-PART W IN D IN G

S u m m a ry . The paper presents analysis o f the new type o f an autotransform er w ith a cylindrical th ree-part w inding. The w inding com ponents are cylindrical w indings placed concentricly around the m agnetic core colum n. The autotransform er can supply tw o loads o f different rated voltages. It can also replace a three-w inding transform er if there is no need o f electric separation betw een the prim ary side and secondary ones. The resistances, self-inductances and m utual inductances o f the w inding com ponent parts have been determ ined N ext, basing on the voltage and current equations the autotransform er equivalent diagram has been introduced. The dependences determ ining the equivalent diagram param eters as w ell as the short-circuit inductances for the given desing data concerning the m agnetic core and w inding com ponent parts have been presented, too.

1. W ST ĘP

T ransform ator trójuzw ojeniow y o przekładniach zw ojow ych

(1)

96 W. Mizia

m oże zastąpić autotransform ator o uzw ojeniu trój częściow ym (rys. 1), jeże li nie zachodzi p otrzeba elektrycznego rozdzielenia strony pierw otnej i stron w tórnych.

Rys. 1. S chem at autotransform atora o uzw ojeniu trój częściow ym Fig. 1. D iagram o f a three-part w inding autotransform er

Przy zachow aniu przekładni zw ojow ych uzw ojenie autotransform atora składa się z części:

a (A -B ) o liczbie zw ojów N a = - N 2 ), (2)

b (B -C ) o liczbie zw ojów N b = ( n2 ~ ), (3)

c (C -X ) o liczbie zw ojów N c = N 2 . (4)

D la autotransform atora (rys. 1)

h = L + h > (5)

h = i c ~ i b ’ ( 6 )

a przy pom inięciu prądu jałow ego

ia N a - i b N b - i c N c = 0 . (7)

Z rów nań (1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7) w ynika, że prądy w częściach składowych uzw ojenia

i2{ \ - r2) + i3{ y - r 2 ), (8)

n = Z,r._{2 2} / 3 ( l - r 3 ) , (9)

ic = ‘2 r 2 + / 3r 3> ( I0 )

przy czym w spółczynniki redukcji

r2

n 2 «3

Przy określonych:

- napięciach U/, U2, V3, a w ięc i w spółczynnikach redukcji, - m ocach S2, S3 odbiorników ,

Analiza a u totransform atora o uzw ojeniu cylindrycznym trójczęściow ym 97

suma m ocy części składow ych uzw ojenia autotransform atora je s t m niejsza od sum y m ocy uzwojeń rów now ażnego transform atora trójuzw ojeniow ego [5]. O znacza to, że autotransform ator o uzw ojeniu trójczęściow ym pozw ala n a bardziej oszczędne transform ow anie n apięć w porów naniu z transform atorem trój uzw ój enio w y m. U zasadnione jest zatem określenie dodatkow ych w łaściw ości autotransform atora, np. schem atu zastępczego i je g o param etrów , pozw alających na pełniejsze je g o porów nanie z transform atorem trój uzw ojeni ow ym . A nalogicznie do transform atora trójuzw ojeniow ego w prow adzono p ojęcie stron górnego, średniego i dolnego napięcia.

2. P A R A M E T R Y E LE K TR O M A G N ET Y C Z N E C ZĘ ŚC I SK ŁA D O W Y C H U Z W O JE N IA A U T O T R A N SFO R M A T O R A

N a rys. 2 podano podstaw ow e w ym iary rdzenia m agnetycznego i części składow ych A-B, B -C , C -X uzw ojenia autotransform atora obniżającego napięcie. K ażda z części składowych je s t uzw ojeniem cylindrycznym . Części składow e uzw ojenia są rozm ieszczone w spółśrodkow o na kolum nie i m a ją je d n a k o w ą w ysokość zb liżo n ą do w ysokości kolum ny rdzenia m agnetycznego.

R ezystancja k-tej części uzw ojenia

R k = k k N _k ‘k (12)

Y S k

gdzie:

kk - w spółczynnik pow iększenia się rezystancji dla prądu przem iennego, Nk - liczb a zw ojów ,

l k - 7i { d k + a k ) ~ średnia długości zw oju, y - konduktyw ność,

S k - po w ierzchnia przekroju poprzecznego przew odu, d a, d b, dc, d, aa, a b, a c - podano na rys. 2.

98 W. Mizia

Rys. 2. P odstaw ow e w ym iary rdzenia m agnetycznego i części składow ych uzw ojenia autotransform atora

Fig. 2. B asic dim ension o f the m agnetic core and w inding com ponent parts o f an autotransform er

N a podstaw ie np. pracy [3]:

- indukcyjność w łasna k-tej części uzw ojenia Lk = LkFe + ku

przy czym : k = a , b , c

a k h

2

™ k

6 4

A Fe - perm eancja rdzenia m agnetycznego, indukcyjności w zajem ne części składow ych uzw ojenia

przy czym : M abFe = N a N bA Fe, M abu ~ ^ a ^ b ^ a b u ’

M acFe ~ N a N c A Fe, M a c u ~ ^ c ^ a c u ’

MbcFe ~ N bN c ^ p e ’ M bccr ■NbN c A bc(r,

aba b

a bl b ^k a,

- f k 2 - « 2)

(13)

(14) (15) (16)

ab ~ MabFe M abu ’ (17)

ac

=

acFe

bc ~ M hcFe

+

(

)

(21)

(

)

Analiza autotransform atora o uzw ojeniu cylindrycznym trój częściow ym 99

^ nrrr ^ b C G

Mo a cK n a ,

(23)

Z najom ość rezystancji, indukcyjności w łasnych i w zajem nych części składow ych uzw ojenia autotransform atora pozw ala na sform ułow anie rów nań ogólnych, w prow adzenie schem atu zastępczego i określenie jeg o param etrów .

3. R Ó W N A N IA O G Ó LN E I SC H E M A T ZA STĘPCZY

N apięcie zasilania autotransform atora m a zw ykle znam ionow ą częstotliw ość i je st zbliżone do napięcia znam ionow ego uzw ojenia pierw otnego. W tych w arunkach zasilania m ożna przyjąć, że rezystancje i indukcyjności części składow ych autotransform atora są stałe.

Indukcyjności w zajem ne części składow ych uzw ojenia spełniają zależności

M ab = M ba ■ M cc = M cc • M bc = M cb - (2 4 )

M c b c = M bcc> M c c c = M c c c > M b c c = M c b c > (2 5 ) a z w yrażeń (20, 21, 23) w ynika, że:

M a b F e = ^ acFe ~ ~ ’ ( 2 ( >)

N c

M a b F e = ^ b c F e T T * > ( 2 7 )

N c

M aeF e= M bcFe^ , (28)

M = m l — (29)

1V1 accr 1Ylb ca

Dla autotransform atora (rys. 1) obniżającego napięcie obow iązują zależności (5, 6), a ponadto:

- napięcie zasilania

+ (3 °)

a t

- napięcia stron w tórnych

u2 = ^ - R bib + u 3,

(31)

d t

d iFL

u , =- - R X . (32)

d t

Strum ień sprzężony z częścią a uzw ojenia

VP ;: = (L aFe "** ^ a a X j “ abFe ^ a b c )*& ~ acFe ^ c c c )*c

i po uw zględnieniu zależności ( 2 ,3 ,4 , 5 ,6 ,1 4 ,2 0 )

100 W. M izia

~ L t \ l a + L t 2 h ~ M a c h ( 3 3 )

przy czym : L a = N LaFe + L a(J + M ab(J + M aca. , (34)

Ll 2 = - ( M ab+ M ac). (35)

Strum ień sprzężony z częścią b uzw ojenia

^ b = f a a b F c + ^ a h a K _ ( ^ 7 > /e + ^ b a ) ‘ b ~ i ^ l i F e + ^ 2 3 c r ) 'c

i po uw zględnieniu zależności (2, 3, 4, 5, 6, 14, 20)

^ 6 = M abi2 ~ L rbib - M ic /3 , (36)

N

przy czym : L n = — 1 + L ba + M aba + M bca . (37)

Strum ień sprzężony z częścią c uzw ojenia

'Yc ={MacFe+\ iaccr X i (.M bcFe M be a )* 6 cFe M C(j ) h

i po uw zględnieniu zależności (2, 3, 4, 5, 6, 14, 20)

'¥c = M aci2 - L l2i2 - L Tcic (38)

przy czym : ¿ , 3 = - ( M ac + M bc) , (39)

h c = ~ L cFe + ¿ CCT + M aca + M bca . (40)

N a podstaw ie zależności (32, 38) otrzym uje się rów nanie

+ ^ i3 ~ d ł ~ £ l ~ ~ ^ Tc ~ d t ~ ~ ^ c ‘c ’ d i 2

przy czym : e² = M a c . (42)

d t Z w yrażeń (31, 32) w ynika, że:

d t

N a podstaw ie w yrażeń (36, 38) sum a strum ieni sprzężonych

T A + T c = { M ab + M ac )i2 - ( I (3 + M bc >3 - ¿ re/A - LTcic . (44) K orzystając z w yrażeń (39, 43, 44) otrzym uje się rów nanie

u 2 + L l2 —^ ~ e 3 - ~ L T b ~~r~ ~ R b ‘b ~ L Tc - ¿ - - R c ' c ’ (4 5 )

d t d t d t

d i2 t a

przy czym : e 3 = M a c . (46)

d t

A naliza autotransform atora o uzw ojeniu cylindrycznym trój częściow ym 101

N a podstaw ie w yrażeń (30, 33, 46) otrzym uje się rów nanie

u \ = R a la + L H ~ T ~ + L^{, 2} ~ 7 7 ~ e ) + U²- (47)

d t d t

R ów naniom (5, 6, 41, 45, 47) odpow iada schem at zastępczy (rys. 3) autotransform atora z uzw ojeniem cylindrycznym trój częściow ym .

b

Ul

X

Rys. 3. S chem at zastępczy autotransform atora o uzw ojeniu trój częściow ym Fig. 3. E quivalent diagram o f a three-part w inding autotransform er

P aram etry - rezystancje i indukcyjności - schem atu zastępczego o k reślają zależności (12, 34, 35, 37, 39, 40), a siły elektrom otoryczne zależności (42, 46). Indukcyjności La, Lu są ujemne. W prow adzony schem at zastępczy um ożliw ia analizę pracy autotransform atora przy sym etrycznym ustalonym i nieustalonym stanie pracy w ynikającym np. z procesów łączeniow ych. Ilościow e ujęcie analizow anych zagadnień w ym aga znajom ości param etrów schem atu zastępczego.

Podane w p. 2 i 3 zależności p o zw alają na obliczeniow e określenie param etrów schem atu zastępczego na podstaw ie danych projektow ych autotransform atora dotyczących rdzenia m agnetycznego i części składow ych uzw ojenia cylindrycznego.

W yznaczone w ten sposób param etry schem atu zastępczego są zw ykle m ało dokładne ze w zględu na przyjm ow ane założenia upraszczające przy określaniu:

- przestrzennych rozkładów indukcji m agnetycznej p o la m agnetycznego rozproszenia, - perm eancji rdzenia m agnetycznego.

Ra L„

- A T l

A 1 ,2

- Q — r n ^ .

U i

L n

Rb

L,3

— - A A / V Y h c

' ¡C W ¡3

1‘3

102 W. M izia

P aram etry schem atu zastępczego m ożna rów nież określić na podstaw ie wyników pom iarow ych w ybranych stanów pracy autotransform atora.

4. IN D U K C Y JN O SC I ZW A R C IA

Indukcyjności zw arcia decy d u ją o prądach zw arcia, a w ięc o silach elektrodynam icznych, których działanie m u sz ą w ytrzym yw ać uzw ojenia oraz o mocy w yłączalnej z w yłączników . Spełnienie określonych w ym agań w odniesieniu do indukcyjności zw arcia należy do podstaw ow ych zadań projektanta autotransform atora.

N ależy zatem określić zależności indukcyjności zw arcia od w ym iarów geom etrycznych rdzenia m agnetycznego oraz liczby zw ojów i w ym iarów części składow ych uzw ojenia autotransform atora. N a ogół z w ystarczającą dokładnością m ożna posługiw ać się zależnościam i przy pom inięciu rezystancji części składow ych uzw ojenia.

Przy pom inięciu rezystancji części składow ych uzw ojenia indukcyjności autotransform atora przy zasilanej stronie górnego napięcia oraz przy:

- zw artej stronie średniego i rozw artej stronie dolnego napięcia (rys. 3)

L2n = L n + L ' 2 ^ T b + L ^ , (48)

^<2 + L n + L Tc

- zw artej stronie dolnego i rozw artej stronie średniego napięcia (rys. 3)

L a + T c

Po uw zględnieniu:

zależności (2, 3, 4, 14, 18, 19, 20, 34, 35, 37, 39, 40), - nierów ności » L bcr + L ca + 2 M bca oraz pom inięciu odpow iednio składników

( M a b a + M a c a \ L b a + L c a + M a b a + M a c a + 2 M b c c )

lub

( M aca + M b c a \ L ca + M aca + M b ca)

jak o m ałych w porów naniu z pozostałym i otrzym uje się na ogół w ystarczająco dokładne zależności przybliżone:

¿ z i2 = L aa + 2 M a c a + 2 M b c a ) , (50)

ly o

Analiza autotransform atora o uzw ojeniu cylindrycznym trójczęściow ym 103

£ ,1 3 = K o + K o + 2A / a to - N 3( L c a + 2 M aca + 2 M b c a ) . (5 1)

^ 3

Przy pom inięciu rezystancji części składow ych uzw ojenia indukcyjności autotransform atora:

- przy zasilanej stronie średniego napięcia oraz zw artej stronie górnego i rozw artej stronie dolnego napięcia (rys. 3)

r — T K l ( L T b + L T c )

z21 - L l² + r , t t >

L t \ + L T b + L Tc

- przy zasilanej stronie dolnego napięcia oraz zw artej stronie górnego i rozw artej stronie średniego napięcia

L L h s i h l l h d , (53)

Ll l + L Tb+L Tc

Po uw zględnieniu:

- zależności (2, 3, 4, 14, 18, 19, 20, 34, 35, 37, 39, 40),

- nierów ności N ? A Fe » L aa + L ba + L ca + 2 ( M aba + M aca + M b c a) oraz pom inięciu odpow iednio składników :

i ^ a a ^ a b a ^ a c a L c « + M aba+ Ma c a +

2

lub

(L ca + M aca + M bca \ L aa + L ba + 2 M aha + M aca + M bca)

jako m ałych w poró w n an iu z pozostałym i otrzym uje się, na ogół w ystarczająco dokładne, zależności przybliżone:

K l1 = ^ K o + ( K o + K o + 2A/ Ac(7 ) (5 4)

¿ z 3 i = N ' ^ - — K o + Tt ( Ko + K o + 2 M a ba) (55)

(V, (V,

P rzy pom inięciu rezystancji części składow ych uzw ojenia indukcyjności autotransform atora przy zasilanej stronie:

- średniego napięcia oraz zw artej stronie dolnego i rozw artej stronie górnego n a p ię c ia , - dolnego n ap ięc ia oraz zw artej stronie średniego i rozw artej stronie górnego napięcia określa się na podstaw ie schem atów zastępczych przedstaw ionych na rys. 4, które w ynikają z rów nań podanych w p. 3 i schem atu podanego na rys. 3.

104 W. Mizia

b)

U2

Rys. 4. S chem aty zastępcze przy zasilaniu a) strony średniego napięcia i zwartej stronie dolnego napięcia, b) strony dolnego napięcia i zw artej stronie średniego napięcia Fig. 4. E quivalent diagram s w hen a) supplying the m edium -voltage side and short-circuiting

the low -voltage side, b) supplying the low -voltage side and short-circuiting the m edium -voltage side

W schem acie zastępczym (rys. 4a), po uw zględnieniu zależności (42) prąd W e ~ M ac

I , 3 + L T^c

a na podstaw ie zależności (46, 56) siła elektrom otoryczna e ^ M a d i j

di = M „ L Tc - _{ac ^ * 2}d l d t

(56)

(57)

-73 ^ ‘-Tc

K orzystając z w yrażeń (42, 57) i rozw iązując obw ód (rys. 4a) otrzym uje się w yrażenie na indukcyjność zw arcia

M ac f e W c ~ M a c

) + ^73

L z l i ~ L^{t 2} + W b + ‘

^73 +

W schem acie zastępczym (rys. 4b), po uw zględnieniu zależności (46) prąd

l 2 = h '

W c ~ M a L, 2 + L n + L Tc

a na podstaw ie zależności (42, 59) siła elektrom otoryczna e j = M a

d i \ d t

W c ~ M a dU

L , 2 + W b + W c d t

(58)

(59)

(60)

K orzystając z w yrażeń (46, 60) i rozw iązując obw ód (rys. 4b) otrzym uje się w yrażenie na indukcyjność zw arcia

M a c {2L r c - M ac) + L Tc{L l2 + L n ) d-i^{2 2} ~ ¿73 + -

L t 2 + Lrh + 7)

(61)

Tb -T c

Analiza a u totransform atora o uzw ojeniu cylindrycznym trójczęściow ym 105

Po uw zględnieniu:

- zależności (2, 3, 4, 14, 18, 19, 20, 34, 35, 37, 39, 40), - nierów ności ,'V, A Fe » L c a ,2

N l A he » L ba + L ca + 2 M bca oraz pom inięciu odpow iednio składników

LccjM ac(J ~ M bc(T (L co. + M bca ),

[L ca + M acv + M bca \ L ha - M aca + M bca)

jako m ałych w porów naniu z pozostałym i otrzym uje się, na ogół w ystarczająco dokładne, zależności przybliżone:

N , - 2 N ¹ + N , 2 { N² - N , )

L -rT\ - L hrr ^ TI ¿-ca M

N N ^{b c a ’}

(62)

N i

- ' b a

L a w N 3 ^ Í A W Ns '

- 2 — —_{L c a} + 2

c N 2 Si <N "N

l N ¡

M_{b c a •} (63)

Indukcyjności zw arcia autotransform atora o uzw ojeniu cylindrycznym trójczęściow ym określają zależności (50, 51, 54, 55, 62, 63) w yrażone przez liczby zw ojów N b N 2, N3 oraz indukcyjności w łasne L aa„ L ba, Lca i w zajem ne M aba M aca Mbca części składow ych uzw ojenia w ynikające z p o la m agnetycznego rozproszenia, które o k reślają w yrażenia (15, 16, 21, 22, 23). K orzystając z podanych zależności m ożna, przy projektow aniu autotransform atora, tak dobrać w ym iary rdzenia m agnetycznego i uzw ojeń, by indukcyjności zw arcia pozw alały na ograniczenie prądów zw arcia do w artości dopuszczalnych, np. ze w zględu na w ytrzym ałość m echaniczną uzw ojeń. O bliczeniow e określenie indukcyjności zw arcia w ym aga przyjęcia założeń upraszczających przy w yznaczaniu przestrzennych rozkładów indukcji m agnetycznej pól m agnetycznych rozproszenia. Z tego pow odu obliczeniow e określenie indukcyjności zw arcia pow inno być w eryfikow ane na podstaw ie w yników po m iaró w przeprow adzonych na zbudow anych autotransform atorach.

L IT E R A T U R A

1. Jabłoński M .: T ransform atory. W ydaw nictw o Politechniki Łódzkiej. Ł ódź 1994.

2. K tichler R.: D ie T ransform atoren. 2 A ufl. Springer V erlag, Berlin, H eidelberg, N ew York 1966.

3. M izia W.: T ransform atory. W ydaw nictw o Politechniki Śląskiej. G liw ice 1998.

4. M izia W.: T heoretical analysis o f pow er autotransform ers. International W orkshop on Electric M achines in Prague 1998.

106 W. Mizia

5. M izia W.: Podstaw ow e w łaściw ości autotransform atora o uzw ojeniu trój częściowym zastępującego transform ator trójuzw ojeniow y. Zeszyty N aukow e Pol. SI., ser. Elektryka, z. 168. G liw ice 1999.

6. Spath H.: Electrische M aschinen. Springer V erlag. Berlin, H eidenberg, N ew York 1973.

7. T urow ski J.: O bliczenia elektrom agnetyczne elem entów m aszyn i urządzeń elektrycznych. W N T, W arszaw a 1982.

R ecenzent: Prof, dr hab. inż. Piotr Wach

W płynęło do R edakcji dnia 3 kw ietnia 2000 r.

A b s tr a c t

T he p aper presents analysis o f an autotransform er w ith a threee-part w inding (Fig. 1).

The w inding com ponents are cylindrical w indings placed concentricly around the magnetic core colum n (Fig. 2). T he autotransform er can supply tw o loads o f different rated voltages. It can also replace a three-w inding transform er i f there is no need o f electric separation between the prim ary side and secondary ones. The resistances, self-inductances and mutual inductances o f the w inding com ponent parts have been determ ined. N ext, basing on the voltage and current equations the autotransform er equivalent diagram has been introduced (Fig. 3). T he dependences determ ining the equivalent diagram param eters as w ell as the short- circuit inductances for the given desing data concerning the m agnetic core and w inding com ponent parts have been presented, too. The equivalent diagram inductances depend on the m agnetic core perm eance w ith Lt2<0 and Lo<0. The electrom otive forces e2, e3 result from the m utual influence o f the secondary side loads.

It is possible to perform futher detailed analysis dealing w ith the autotransform er properties in steady and transient states basing on this paper.