__________________________________________
* Politechnika Śląska.
Janusz WALCZAK*
Seweryn MAZURKIEWICZ*
MODELE LOSOWE REZYSTANCJI I INDUKCYJNOŚCI
W artykule wyprowadzono równania momentów pierwszego i drugiego rzędu losowych modeli rezystancji i indukcyjności. Analizę przeprowadzono dla dwóch przypadków.
Pierwszy z nich dotyczył sytuacji, gdy wymuszenie w postaci stochastycznego sygnału prądowego było niezależne względem losowych parametrów elementów. W drugim przypadku uwzględniono zależność procesu prądowego oraz losowych parametrów R, L.
Uzyskane wyniki zilustrowano przykładami.
1. WPROWADZENIE
Analiza zjawisk losowych w układach elektrycznych i elektronicznych poświęcono wiele prac, w tym monografie [7]. Prace te często dotyczą wyznaczania różnych charakterystyk probabilistycznych procesów stochastycznych występujących w układach. Jednym z możliwych sposobów klasyfikacji prac poświęconych analizie układów stochastycznych jest ich podział na dwie grupy tematyczne. Pierwsza z nich obejmuje prace dotyczące układów deterministycznych w których występują źródła sygnałów stochastycznych [3].
Analizę takich układów przeprowadza się najczęściej z wykorzystaniem stochastycznych równań różniczkowych lub całkowych [3], [4]. Druga, dotyczy układów których źródła i elementy podstawowe (R, L, M, C) wymagają opisu losowego [5], [6]. Dla tej grupy prac istotna jest umiejętność konstrukcji losowych modeli elementów skupionych R, L, M, C [1], [5], [6]. Modele takie można tworzyć miedzy innymi z wykorzystaniem momentów procesów [8].
Artykuł dotyczy wyznaczania momentów pierwszego i drugiego rzędu prądowych i napięciowych procesów stochastycznych występujących w losowych elementach R, L. Stanowi on kontynuację prac [2], [11] z których pierwsza poświęcona była wyznaczaniu momentów procesów w deterministycznych elementach R, C przy stochastycznym wymuszeniu prądowym. Druga z cytowanych prac dotyczyła wyznaczania momentów procesów w nieliniowych bezinercyjnych układach, opisywanych wielomianami losowymi.
2. MODELLOSOWYREZYSTORA
Zależność pomiędzy procesami stochastycznymi napięcia i prądu rezystora, będącego zmienną losową, określa wzór:
) t ( RI ) t (
U (1)
gdzie: R – zmienna losowa o znanym rozkładzie, U(t) – proces stochastyczny napięcia na rezystorze, I(t) – proces stochastyczny prądu płynącego przez rezystor.
Zakładając, że znany jest prąd płynący przez rezystor oraz stosując operator wartości oczekiwanej [10] do równania (1) można rozpatrzyć dwa przypadki:
prąd jest niezależny od zmiennej losowej R,
prąd jest zależny od zmiennej losowej R.
W pierwszym przypadku można uzyskać jawne wzory na momenty do drugiego rzędu napięcia na rezystorze:
) t ( m m )]
t ( I [ E ] R [ E )]
t ( U [ E ) t (
mU R I (2)
2 2
2 2
2
2(t) E[U (t)] (E[U(t)]) E[R ]E[I (t)] (mU(t))
U
(3)
) t , t ( R ] R [ E ))]
t ( U ) t ( U [ E ) t , t (
RU 1 2 1 2 2 I 1 2 (4)
gdzie: mU
(t)
– wartość oczekiwana procesu U(t), σ2U(t)
– wariancja procesu U(t), RU(t
1,t2)
– funkcja autokorelacji procesu U(t), RI(t
1,t2)
– funkcja autokorelacji procesu I(t),E[R
2]
– moment średniokwadratowy zmiennej losowej R.Z wzorów (2), (3), (4) wynika, że do opisu rezystora, w przypadku gdy wymuszenie jest niezależne z zmienną losową R, wystarcza znajomość dwóch pierwszych momentów zmiennej losowej R oraz dwóch pierwszych momentów wymuszenia.
W drugim rozważanym przypadku równość (2) nie jest spełniona i można tylko napisać:
)]
t ( RI [ E )]
t ( U [ E ) t (
mU (5)
Istnieje kilka metod rozwikłania zależności typu (5) [9]. Najprostsza metoda polega na wykorzystaniu definicji operatora wartości oczekiwanej:
dxdy ) t , t , y , x ( f ) y , x ( g ))]
t ( Y ), t ( X ( g [
E 1 2
XY 1 2
(6)
gdzie: fXY
(x,y,t
1,t2)
– łączna funkcja gęstości rozkładu procesów X(t1) i X(t2). g(x,y)
– funkcja deterministyczna dwóch zmiennych.Stosując wzór (6) do opisu momentów rezystora w przypadku skorelowania zmiennej losowej R i wymuszenia otrzymuje się równania momentów odpowiedzi:
drdi ) t , i , r ( rif )
t (
mU
RI
(7)
2 2
2
2(t) r i fRI(r,i,t)drdi (mU(t))
U
(8)
2 1 2 1 2 1 2
1 2 2
1,t ) r i r f (r,i ,i ,t ,t )drdi di t
(
RU
RI
(9)
gdzie: fRI
(r,i,t)
– łączna funkcja gęstości rozkładu procesu stochastycznego I(t) i zmiennej losowej R.Należy zauważyć, że w tym przypadku do opisu momentów odpowiedzi nie wystarcza już znajomość momentów wymuszenia i zmiennej losowej. Należy znać wielowymiarowe łączne funkcje gęstości rozkładu.
Przykład 1
Dany jest obwód pokazany na poniższym rysunku:
Rys. 1. Przykładowy obwód rezystancyjny
przy czym: U1(t) = exp(-t) – napięcie zasilania (funkcja deterministyczna), R1 = 1 – liczba rzeczywista, U(t) – napięcie na rezystorze (proces stochastyczny), I(t) – prąd obwodu (proces stochastyczny), R – zmienna losowa o rozkładzie równomiernym (a = 0.5, b = 1.0).
Prąd obwodu określa zależność:
R R
) t ) exp(
t (
I
1
(10) Z wzoru (10) wynika, że prąd jest zależny od zmiennej losowej R.
Podstawiając wzór (10) oraz wzór na funkcję gęstości rozkładu równomiernego do wzoru (7), (8) i (9) otrzymuje się:
) t exp(
) ln ln ( r dr R
) t rexp(
a ) b t ( m
b
a
U
1
1 2 3 4 21
(11)
) t exp(
) ) (ln ln
ln )
(ln (
)) t ( m ( dr r ) R
) t (exp(
a r ) b t
( U
b
a U
2 2
48 2 3 48 3
12 3 1 1 1
2 2
2 2
1 2 2
(12)
) t t exp(
) ln ln (
dr ) r R (
) t t r exp(
a ) b t , t ( R
b
a U
2 1 1 2
2 2 2 1
2 1
2 6 3 3 3 1 1 1
(13)
3. MODELLOSOWYCEWKIINDUKCYJNEJ
Zależność pomiędzy napięciem i prądem induktora o indukcyjności L będącej zmienną losową określa wzór:
dt ) t ( LdI ) t (
U (14)
gdzie: L – zmienna losowa o znanym rozkładzie, U(t) – proces stochastyczny napięcia na induktorze, I(t) – proces stochastyczny prądu płynącego przez induktor.
Zakładając, że znany jest prąd płynący przez induktor oraz wykorzystując operator wartości oczekiwanej [10] do równania (14) można rozpatrzyć dwa przypadki:
prąd jest niezależny od zmiennej losowej L,
prąd jest zależny od zmiennej losowej L.
W pierwszym przypadku można uzyskać jawne wzory na momenty do drugiego rzędu napięcia na induktorze:
) t ( dt m
) t ( m dm dt
)]
t ( I [ ]dE L [ E )]
t ( U [ E ) t (
mU L I I (15)
2 2
2 2 2
2 2
2 (m (t))
dt )]
t ( I [ E ] d L [ E )]) t ( U [ E ( )]
t ( U [ E ) t
( U
U
(16)
2 1
2 1 2 2
1 2
1 t t
) t , t ( ] R L [ E )]
t ( U ) t ( U [ E ) t , t (
RU I
(17)
Z wzorów (15), (16), (17) wynika, że do opisu odpowiedzi drugiego rzędu induktora, w przypadku nieskorelowania wymuszenia z zmienną losową L, wystarcza znajomość dwóch pierwszych momentów zmiennej losowej L oraz dwóch pierwszych momentów wymuszenia.
W przypadku skorelowania prądu induktora z zmienną losową L należy postąpić podobnie jak w poprzednim rozdziale. Stosując wzór (6) do opisu momentów induktora w przypadku skorelowania zmiennej losowej L i wymuszenia otrzymuje się równania momentów odpowiedzi:
dldi ) t , i , l ( dt f ldi )
t (
mU
LI
(18)
2 2
2
2 ) f (l,i,t)dldi (m (t)) dt
(di l )
t
( LI U
U
(19)
2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 f (l,i ,i ,t ,t )dldi di dt
di dt l di )
t , t (
RU
LI
(20)
gdzie: fLI
(l,i,t)
– łączna funkcja gęstości rozkładu procesu stochastycznego I(t) i zmiennej losowej L.Należy zauważyć, że w tym przypadku do opisu momentów odpowiedzi nie wystarcza już znajomość momentów wymuszenia i zmiennej losowej. Należy znać wielowymiarowe łączne funkcje gęstości rozkładu.
Przykład 2
Dany jest obwód pokazany na poniższym rysunku:
Rys. 4. Przykładowy obwód z losową indukcyjnością
przy czym: I(t) = Xexp(-t) – prąd obwodu (proces stochastyczny), U(t) – napięcie na induktorze (proces stochastyczny), L = X – indukcyjność cewki (zmienna losowa), X – zmienna losowa o rozkładzie równomiernym (a = 0.5, b = 1.0).
Z wzoru na prąd obwodu i indukcyjność cewki wynika, że prąd jest zależny od zmiennej losowej L. Podstawiając wzór (10) oraz wzór na funkcję gęstości rozkładu równomiernego do wzoru (18), (19) i (20) otrzymuje się:
) t exp(
dx ) t exp(
a x ) b
t ( m
b
a
U
1
2 127 (21)) t exp(
)) t ( m adx )b t exp(
x ) t
( U
b
a
U 2
360 17
2 1 2
4
2
(22)
) t t exp(
dx ) t t exp(
a x ) b t , t ( R
b
a
U 4 1 2 1 2
2
1 80
31
1
(23)1 2 3 4 5
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1
Rys. 5. Wartość oczekiwana i wariancja procesu U(t)
4. PODSUMOWANIE
W artykule opisano metodę wyznaczania wartości oczekiwanych, wariancji oraz funkcji korelacji procesów w elementach losowych R, L. W pierwszym z rozważanych przypadków, gdy zmienna losowa będąca parametrem równania jest nieskorelowana z procesem wymuszenia, momenty odpowiedzi można wyznaczyć znając jedynie momenty wymuszenia oraz momenty parametru. W przypadku, gdy zmienna losowa będąca parametrem równania jest skorelowana z wymuszeniem do wyznaczenia momentów odpowiedzi potrzebna jest znajomość wielowymiarowych funkcji gęstości rozkładu.
LITERATURA
[1] Banchuin R., Chaisricharoen: Stochastic Inductance Model of On Chip Active Inductor, 2nd Int. Conf. on Education Technology and Computer, June 2010, Vol. 5, pp. V5-1 – V5-5.
[2] Grabowski D.: Moments of Stochastic Power Processes for Basic Linear Elements, Int. Conf. of Fundamentals of Electrotechnics and Circuit Theory, IC-SPETO 2009, pp. 83-84.
Wariancja
Wartość oczekiwana
[3] Kadlecova E., Kubasek R., Kolarova E.: RL Circuits Modeling with Noisy Parameters, Conf. on Applied Electronics, Pilsen 6-7 Sept. 2006, pp. 217-220.
[4] Kolarova E.: An Application of Stochastic Integral Equations to Electrical Networks, Acta Electrotechnica et Informatica, Vol. 8, No. 3, 2008, pp. 14–17.
[5] Kolarova E.: Modeling RL Electrical Circuits by Stochastic Differential Equations, Int. Conf. EUROCON, November 22–24, Belgrade, Serbia 2005, pp. 1236–1238.
[6] Kolarova E.: Statistical Estimates of Stochastic Solutions of RL Electrical Circuit, IEEE Int. Conf. of Industrial Technology, ICIT 2006, pp. 2546–2550.
[7] Skowronek K.: Obwody elektryczne w ujęciu stochastycznym, Monografia. Wyd.
Pol. Pozn., Poznań 2011.
[8] Socha L.: Równania momentów w stochastycznych układach dynamicznych, PWN, Warszawa 1993.
[9] Soong T. T.: Random Differential Equations in Science and Engineering, Math. in Science and Eng., Vol. 103, Academic Press, New York 1973.
[10] Swiesznikow A. A.: Podstawowe metody funkcji losowych, WNT, Warszawa 1965.
[11] Walczak J., Mazurkiewicz S.: Transformacje momentów sygnałów stochastycznych w losowych układach nieliniowych, Kwartalnik Elektryka Pol. Śl., nr. 3, 2011.
RANDOM MODELS OF RESISTANCE AND INDUCTANCE
In this article the first and the second order moments for random models of resistance and inductance were determined. The analysis was performed for two cases. In the first case the stochastic current input signal was assumed to be uncorrelated with random parameters of the elements. In the second case correlation between the current process and the parameters R and L was taken into account. The results have been illustrated by examples.
