ZESZYTY NAUKOWE P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J Seria: AUTOMATYKA z . 100
________ 1 9 9 0 Nr k o l .1082
Eugeniusz N o w i c k i P o lit e c h n ik a W r o c ł a w s k a
Instytut C y b e r n e t y k i T e c h n i c z n e j
ALGORYTMY A P R O K S Y M A C Y J N E D L A J E D N O M A S Z Y N O W E G O PR O B LE M U S Z E R E G O W A N IA ZE ZMIENNYMI C Z A S A M I W Y K O N Y W A N IA ZA DAŃ
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y r o z w a ż a s i o p r o b l e m s z e r e g o w a n i a z a d a ń w d y s k r e t n y m s y s t e m i e p r o d u k c y j n y m z J e d n y m g n i a z d e m k r y t y c z n y m . P r z y j m u j e s i o . Z e d l a k a ż d e g o z a d a n i a o k r e ś l o n y J e s t t e r m i n g o t o w o ś c i i t z w . k o ń c ó w k a z a d a n i a . P o n a d t o z a k ł a d a s i o . Z e c z a s w y k o n y w a n i a z a d a n i a m ożna z m i e n i a ć w s p o s ó b c i ą g ł y w p ew ny m zadartym p r z e d z i a l e . S t a w i a s i o p r o b l e m w y b o r u k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n i a z a d a ń o r a z i c h c z a s ó w , t a k b y m i n i m a l i z o w a ć g l o b a l n y k o s z t . W p r a c y b a d a si^o p r z y d a t n o ś ć p e w n e j k l a s y a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h d o r o z w i ą z a n i a t e g o p r o b l e m u . P r z e p r o w a d z a s i o d l a n i c h a n a l i z o n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u w o p a r c i u o z a p r o p o n o w a n e p o s t a c i e d o l n y c h o g r a n i c z e ń .
1. W s t ę p
N i n i e j s z a p r a c a J e s t k o n t y n u a c j a s z e r e g u p r a c p o ś w i e c o n y c h s z e r e g o w a n i u zadań na m a s z y n a c h [ 6 3 , [ 1 0 3 , [ 1 4 3 , C1 8 3 , C1 9 3 , k t ó r y c h w s p ó l n y m e l e m e n t e m J e s t P ^ y je c ie m o d e lu z a d a n i a t a k i e g o J a k w p r o b l e m a c h P E R T / k o s z t . W m o d e l u tym zakłada s i o , ż e c z a s w y k o n y w a n i a z a d a n i a C c z y n n o ś c i } m o ż n a z m i e n i a ć w s p o sób c i ą g ł y w p ew nym z g ó r y z a d a n y m p r z e d z i a l e . Z m i a n a c z a s u w y k o n y w a n i a z a dania p o w o d u j e r ó ż n y k o s z t w y k o n y w a n i a t e g o z a d a n i a - k o s z t r o ś n i e ; g d y c z a s
®aleje. W z r o s t k o s z t u p r z y z m n i e j s z o n y m c z a s i e w y k o n y w a n i a j e s t w y n i k i e m zaangażowania d o d a t k o w y c h z a s o b ó w . P e ł n a i n t e r p r e t a c j o t a k i e g o m o d e l u moż- f* zn aleźć n a p r z y k ł a d w [ 3 3 . K o n s e k w e n c j a p r z y j ę t e g o m o d e l u z a d a n i a J e s t pojawienie s i o , o p r ó c z t r a d y c y j n e g o w s k a ź n i k a j a k o ś c i u s z e r e g o w a n i a C n p . (’Bax’ Hnax* ^ m a x * ^ wi^*i * d o d a t k o w e g o w s k a ź n i k a b o d ą c e g o s u m a r y c z - nyw kosztem w y k o n y w a n i a z a d a ń . T e n o s t a t n i z a l e ż y t y l k o o d c z a s ó w w y k o n y w a nia p o s z c z e g ó l n y c h z a d a ń , w o d r ó ż n i e n i u o d p i e r w s z e g o , k t ó r y z a l e ż y t a k ż e
°d k o le jn o ś c i i c h w y k o n y w a n i a .
Dla k a ż d e g o k l a s y c z n e g o C u s t a l o n e c z a s y w y k o n y w a n i a z a d a ń ) z a g a d n i e n i a W r ę g o w a n ia z a d a ń , n o t o w a n e g o wg G r a h a m a z a p om ocą z e s t a w u a \ f 3 \ y , m ożna Uraz w y r ó ż n i ć t r z y n a s t ę p u j ą c e p r o b l e m y o p t y m a l i z a c y j n e . P i e r w s z y , P I , po-
na tym , ź e n a b a z i e d w ó c h w s k a ź n i k ó w C t r a d y c y j n e g o y i dodatko w ego !) konstruuje s i o k r y t e r i u m g l o b a l n e r ó w n e i c h k o m b i n a c j i l i n i o w e j i i n t e r p r e - vUJ® jako ł ą c z n y k o s z t u s z e r e g o w a n i a . W d r u g i m , P 2 , t y l k o j e d e n z e w s k a ź n i-
t r a k t u j e s i o j a k o k r y t e r i u m ^ p o z o s t a ł y J a k o d o d a t k o w e o g r a n i c z e n i e P*2ez u s t a l e n i e n i e p r z e k r a c z a l n e j j e g o w a r t o ś c i . Z k o l e i w t r z e c i m
2 0 0 E . Nowicki
p r o b l e m i e , P 3 , n a j b a r d z i e j o g ó l n y m , s z u k a s i e z b i o r u C l u b p e w n e j J e g o apro
k s y m a c j i ) w s z y s t k i c h p u n k t ó w P a r e t o - o p t y m a l n y c h z e w z g l ę d u n a o b y d w a wska
ź n i k i . B a d a n i a n a d tym p r o b l e m e m s ą J e d n a k e f e k t y w n e t y l k o w t y c h wypadkac^
g d y i s t n i e j ą a l g o r y t m y w i e l o m i a n o w e d l a p r o b l e m ó w P I , P 2 . P r z y k ł a d o w o , i s t o t n e r e z u l t a t y o t r z y m a n o d l a z a g a d n i e ń 1 I r , IC , 1 j |L o r a z 11 |T ;
J J 3 1 i m a x ' m a x max
k l u c z e m d o w y z n a c z e n i a c a ł e g o z b i o r u p u n k t ó w P a r e t o - o p t y m a l r .y c h był tutaj f a k t , ź e p e r m u t a c j a o p t y m a l n a n i e z a l e ż y o d c z a s ó w w y k o n y w a n i a z a d a ń . Ogói- n i e r z e c z b i o r ą c , w y n i k i d o t y c z ą c e z ł o ż o n o ś c i o b l i c z e n i o w e j d l a problemów P I , P 2 n i e s ą z a c h ę c a j ą c e , p o n i e w a ż z n a c z n i e o b n i ż a s i e C w p o r ó w n a n i u z za
g a d n i e n i a m i t r a d y c y j n y m i ) b a r i e r a^ p o w y ż e j k t ó r e j p o j a w i a j a s i e p r o b le m y NP- t r u d n e . I t a k , p r o b l e m y P I i P 2 d l a z a g a d n i e n i a F 2 1 lc Jnax N P - t r u d n e [14], C 113 n a w e t p r z y z a ł o ż e n i u , ź e z m i e n n e s a c z a s y w y k o n y w a n i a z a d a ń t y l k o na j e d n e j m a s z y n i e o r a z z a l e ż n o ś ć k o s z t - c z a s j e s t l i n i o w a i i d e n t y c z n a dla w s z y s t k i c h z a d a ń . P o d o b n i e p r o b l e m y P I , P 2 d l a z a g a d n i e n i a 1 w k t ó r y m z m i a n i e p o d l e g a j ą n i e c z a s y w y k o n y w a n i a a m o m e n t y 'g o t o w o ś c i , s a na
w e t s i l n i e N P - t r u d n e , [ 9 3 , [ 1 5 3 . N a p o d k r e ś l e n i e z a s ł u g u j e t u t a j f a k t , źe mimo i ż z N P - t r u d n o ś c i p r o b l e m u P I d l a z a g a d n i e n i a c n \ ( l \ y n i e w y n i k a bezpo
ś r e d n i o N P - t r u d n o ś ć p r o b l e m u P 2 d l a t e g o s a m e g o z a g a d n i e n i a , t o w o bu po
w y ż s z y c h w y p a d k a c h o d p o w i e d n i e t r a n s f o r m a c j e w i e l o m i a n o w e s a i d e n t y c z n e (z o c z y w i s t a r ó ż n i c a m i e d z y p a r a m e t r e m o k r e ś l a j ą c y m g ó r n a w a r t o ś ć łącznego
k o s z t u w d e c y z y j n e j w e r s j i P I a p a r a m e t r a m i o k r e ś l a j ą c y m i g ó r n e w a r to ś c i w s k a ź n i k a y ^ w s k a ź n i k a d o d a t k o w e g o w d e c y z y j n e j w e r s j i P 2 ) . Z powyższych r o z w a ż a ń w y n i k a , ź e b a d a n i a n a d p r o b le m a m i P I , P 2 d l a z a g a d n i e ń a \ f t \ y C n a w e t g d y d l a z a g a d n i e n i a a \ f t \ y i s t n i e j e a l g o r y t m w i e l o m i a n o w y ) n a i e ż y r a c z e j o g r a n i c z y ć d o p o s z u k i w a n i a d o b r y c h a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h . P r z e g l ą d o t r z y m a n y c h d o t ą d r e z u l t a t ó w i d o t y c z ą c y c h z ł o ż o n o ś c i o b l i c z e n i o w e j a l g o r y t m ó w w i e l o m i a n o w y c h i a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h m o żn a znaleźć w p r a c a c h [ 1 3 3 , C 1 5 3 .
P r z e d s t a w i a n a p r a c a d o t y c z y p r o b l e m u P I d l a z a g a d n i e n i a 1 J r ^ | C m a x * r o z s z e r z a w s t e p n e w y n i k i o t r z y m a n e w [ 1 2 3 , [ 1 5 3 . K o n s t r u u j e s i o t u t a j pewni k l a s ę a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h , k t ó r e j p a r a m e t r e m s a a l g o r y t m y aproksy
m a c y j n e d l a k l a s y c z n e g o z a g a d n i e n i a 1 | r ^ , |c m a x C a l . S c h r ä g e [ 1 7 3 , a i.
P o t t s a [ 1 6 3 o r a z a l . H a l l a i S h m o y s a [ 8 3 ) . N a s t ę p n i e p r z e p r o w a d z a s i e do t e j k l a s y a l g o r y t m ó w a n a l i z ę n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u w o p a r c i u o z n a n e i nova p o s t a c i e d o l n y c h o g r a n i c z e ń .
P r a c a b y ł a f i n a n s o w a n a p r z e z R P . I . 0 2 " T e o r i a s t e r o w a n i a i o p ty m alizac ji u k ł a d ó w d y n a m i c z n y c h i p r o c e s ó w d y s k r e t n y c h " .
2 . S f o r m u ł o w a n i e p r o b l e m u i d o l n e o g r a n i c z e n i a
D a n y j e s t z b i ó r n n i e z a l e ż n y c h z a d a ń p o n u m e r o w a n y c h k o l e j n o 1,2, . . . »ni k t ó r e n a l e ż y w y k o n a ć n a J e d n e j m a s z y n i e . Z a k ł a d a m y , ź e : C i ) m a s z y n a w każ
d e j c h w i l i c z a s o w e j m o że w y k o n y w a ć n i e w i e c e j n i ż j e d n o z a d a n i e o r a z zada
Algorytm y a p r o k s y m a c y j n e d l a 2 0 1
nia w y k o ny w an e s a b e z p r z e r w a ń , C i i } z a d a n i e j j e s t g o t o w e d o w y k o n y w a n i a w chwili r ^ > 0 , j = l , 2 , . . . , n , C i i i } c z a s w y k o n y w a n i a z a d a n i a j n a m a s z y n i e jest ró w n y p j -a^ -Xj , 0 < x ^ < U j , g d z i e x^ o k r e ś l a s k r ó c e n i e n o r m a l n e g o c z a s u wykonywania a^ , z a ś u^ C 0 < u ^ < a ^ } m a k s y m a l n e s k r ó c e n i e t e g o c z a s u , j =1 , . . .. , n , C i v } z a d a n i e j j e s t u w a ż a n e z a w y k o n a n e p o u p ł y w i e c z a s u od aomentu z a k o ń c z e n i a j e g o w y k o n y w a n i a n a m a s z y n i e , j = l , 2 , . . . , n .
Niech rr=CrcCl} , . . . , n C n } } o k r e ś l a p e r m u t a c j e e l e m e n t ó w z b i o r u < l , . . . , n > , II- zb ió r w s z y s t k i c h t a k i c h p e r m u t a c j i , a X =
<x=Cx^ x ^ } : 0 < X j < U j , j = l , . . . , n > - z b i ó r w s z y s t k i c h d o p u s z c z a l n y c h w e ktorów s k r ó c e ń c z a s ó w w y k o n y w a n i a z a d a ń n a m a s z y n i e . O z n a c z m y p r z e z C ^ C n . x } m i n i m a l n y c z a s z a k o ń c z e n i a w y k o n y w a n i a z a d a ń , p r z y s p e ł n i e n i u Cil-Civ}, d l a k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n i a z a d a ń o k r e ś l o n e j p r z e z n o r a z c z a s ó w wykonywania P j = a ^ - X j , J = 1 , . . . , n . Z a c h o d z i
i 2
= 1 S i “ ^ Crn C i 1 5 + Z i - i 1 C “ n C i 3 - icn C i 3 3 + ‘» n C ia 5 J - C1D
P r zy jm u je m y , ź e k o s z t s k r ó c e n i a c z a s u w y k o n y w a n i a z a d a n i a j n a m a s z y n i e o Xj J e d n o s t e k r"ówna s i o c j x j . g d z i e c j - 0 o z n a c z a j e d n o s t k o w y k o s z t s k r ó cenia. P r z y j m u j e m y d a l e j , ź e g l o b a l n y k o s z t K C n . x } , d l a u s t a l o n e j p e r m u t a cji neTl o r a z w e k t o r a s k r ó c e ń x e X } j e s t r ó w n y k o s z t o w i z w i ą z a n e m u z* d ł u g o ś c i ą uszeregowania C C ^ C n . x } } p l u s s u m a r y c z n y k o s z t w y k o n y w a n i a z a d a ń n a m aszy- nie. t zn . ma p o s t a ć :
KC 77, x } = w * C C n , x } + Z 1? c . x . , C 2 }
m a x j = l J j
gdzie w>0 - j e d n o s t k o w y k o s z t z w i ą z a n y z d ł u g o ś c i ą u s z e r e g o w a n i a , k t ó r y p o
°dpowiedniej z m i a n i e j e d n o s t e k b ę d z i e m y u w a ż a ć z a r ó w n y j e d n o ś c i . O s t a te c z n ie p r o b l e m f o r m u ł u j e m y n a s t ę p u j ą c o :
Znaleźć k o l e j n o ś ć w y k o n y w a n i a z a d a ń rr*en o r a z w e k t o r s k r ó c e ń x * e X speł ni aj ą c e
K C r r * ,x H} = m in < K C n , x } = C C rc.x} + Z 1? : neil, x e X > . C 3 }
m a x j —1 j J
Sform ułow any p o w y ż e j p r o b l e m j e s t s i l n i e N P - t r u d n y , W y n i k a t o z f a k t u , lź s z c z e g ó ln y j e g o p r z y p a d e k z u ^ = 0 , j =1 , . . , n j e s t r ó w n o w a ż n y s i l n i e
^-trudnemu z a g a d n i e n i u 1 | r j , q^. |c m a x * Z a u w a ż m y p o n a d t o , ż e p o d o b n i e j a k d l a innych p r o b le m ó w t y p u P I C p a t r z n p . C I O ) } , n i e z m i e j s z a j a c o g ó l n o ś c i r o zw a -
można p r z y j ą ć c\ < l , J ~ l , . . . , n . R z e c z y w i ś c i e , j e ż e l i d l a p e w n e g o j , .^° i s t n i e j e r o z w i ą z a n i e o p t y m a l n e C n * , x * } z x j =0- S t a d d l a t y c h j , których c ^ > l łm o żn a o k r e ś l i ć n o w a t r ó j k ę u^ , a^. , c ' t a k a » ź e a ^ = a ^ , Jj=0ja j a k o c ' p r z y j ą ć d o w o l n a l i c z b ę z £ 0 , 1 } .
Prze dstaw im y t e r a z r ó ż n e p o s t a c i e d o l n y c h o g r a n i c z e ń m i n i m a l n e j w a r t o ś c i
2 0 2 E . Nowicki
g l o b a l n e g o k o s z t u K * = K C n * , x * 3 . M o ż n a J e o t r z y m a ć p r z e z o d p o w i e d n i e relaksa
c j e w a r u n k ó w C i D - C i v J . Z a c h o d z i
C Crc,xl> > m ax< R, Q , Z 1? . a . - x . > , rreTI, x e X , C4)
m ax j = l j J
g d z i e
R = m ax r < , Q - m a x q Ą. C5)
S t a d
. » - » « a . .
l < j < n J l < j < n J
K * > m i n t m a x C R , Q. £ " = 1 a j - X j > + £j= 1 CjXj J . C6)
x e X I S A S i <n x e X
x e X
Z C l ) i z o c z y w i s t e j n i e r ó w n o ś ć ! "m i n m ax > m a x m in " dosta- x<=X
n i e m y k o l e j n a p o s t a ć d o l n e g o o g r a n i c z e n i a
K * i m in C _Cn, x ' } , C7)
g d z i e
n m ax tt eTl
X j = C l - C j D U j , J = 1 ...n . C8)
W y k o r z y s t u j ą c r e l a k s a c j a w a r t o ś c i l u b r ^ o t r z y m a m y
K * > m in K C n , x ) + m in q . C9)
n e n . x e X r l < j < n J
K * > m in K C n , x ) + m in r . . CIO)
( i d l .x c X q l < J < n J
W i e l k o ś ć K ^C n ,x 2 > , a e < r ,q > j e s t r ó w n a KCrr,xD o d p o w i e d n i o p r z y z a ł o ż e n i u , źe q j = 0 , j = l , . . . , n l u b r ^ = 0 , j = l n . D o r o z w i ą z a n i a z a d a n i a
m inn e n K ^ C n . x J , a e < r , q > w p r a c y [ 1 3 3 p o d a n o a l g o r y t m W i e l o m i a n o w y o 3
z ł o ż o n o ś c i O C n J . D l a a = r C a= q D p e r m u t a c j a b o d a c a j e g o .r o z w i ą z a n i e m Jest p e r m u t a c j ą wg n i e m a l e j a c y c h r ^ C wg n i e r o s n a c y c h q j j f a o p t y m a l n y wektor s k r ó c e ń w y l i c z a s i e wg p e w n e g o a l g o r y t m u z a c h ł a n n e g o . I d e a t e g o ostatniego p o l e g a n a t y m , ż e w ś r ó d w s z y s t k i c h z a d a ń j , k t ó r y c h s k r a c a n i e c z a s u wykony w a n i a z m n i e j s z a s k r a c a m y z a d a n i e J ' o n a j m n i e j s z e j w a r t o ś c i jednostko*
w e g o k o s z t u c j , . S k r a c a n i e c z a s u w y k o n y w a n i a z a d a n i a j ' p r o w a d z i m y tak dłu- gO| a ż z a j d z i e j e d n a , z d w ó c h s y t u a c j i : d a l s z e s k r a c a n i e n i e z m n i e j s z a l u b d a l s z e s k r a c a n i e n i e j e s t J u ż m o ż l i w e }t z n ‘. x ^ , = u ^ , . P r o c e s j e s t k o n ty n u o w a n y d o m o m en tu , w k t ó r y m n i e ma j u ż z a d a n i a , k t ó r e g o c z a s wykonywania m o żn a s k r ó c i ć i s k r ó c e n i e t p z m n i e j s z a Z p o w y ż s z e g o w y n i k a , ź e w p r z y p a d k a c h s z c z e g ó ł n y c h f g d y q j = c o n s t , j = l , . . . ,n l u b r ^ c o n s t , j =1 , p r o b l e m PI i P 2 d l a z a g a d n i e n i a l j r . , q JC ma z ł o ż o n o ś ć w ie l o m i a n o w a . po*
J J max
n a d t o , J a k j u ż w s p o m i n a l i ś m y w e W s t e p i e , a l g o r y t m w y z n a c z a j ą c y z b i ó r wszy
s t k i c h punktów- P a r e t o - o p t y m a l n y c h C-problem P3D ma t e ż z ł o ż o n o ś ć wielomia-
A lgorytm y a p r o k s y m a c y j n e d l a
203
nowa C z b i ó r t e n ma p o s t a ć w y p u k ł e j ł a m a n e j , a a l g o r y t m w y l i c z a w s z y stkie p u n k t y z a ł a m a ń ) .
Na k o n i e c z a u w a ż m y , Z e
C Crc.x2> > m ax <r . + q . + a , - x . > , nefl, x e X . m a x l < i < n 1 1 1 1
Stąd o tr z y m a m y k o l e j n ą p o s t a ć d o l n e g o o g r a n i c z e n i a
K * > m in C m ax < r . + q . + a -x. > + Z 1? „ c . x . 3. C l l J x e X l < i < n 1 1 1 ł J = 1 J J
3. A lg o r y tm y a p r o k s y m a c y j n e
Przed s f o r m u ł o w a n i e m p e w n e j k l a s y a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h d l a r o z w a żanego p r o b l e m u C3)> p r z e d s t a w i m y z n a n e z l i t e r a t u r y a l g o r y t m y a p r o k s y m a c y j
ne d la k l a s y c z n e g o z a g a d n i e n i a 1 Jr i , q^-|c m a x - P r z e z C C n ) o z n a c z a m y t e r rain w y k o n a n i a w s z y s t k i c h z a d a ń d l a p e r m u t a c j i n . A l g o r y t m y o m aw iam y w k o lejności m a l e j ą c y c h w s p ó ł c z y n n i k ó w n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u C 1 3 .
P i e r w s z y a l g o r y t m z a p r o p o n o w a n y p r z e z S c h r ä g e C 1 7 3 , d l a k t ó r e g o w s p ó ł czynnik n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u r ó w n a s i ę d w a , ma n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ć : Algorytm S c h r ä g e
Krok 1 . P o ł ó ż t : = m in r . ; U: =<J>: U ' : = < 1 ... n > . l < J < n J
Krok 2. W y z n a c z z a d a n i e J ' e U ' t a k i e , ż e q j , = m a x < q j : r ^ < t , j e U ' > .
Krok 3. P o ł ó ż U : = UlK J ' > ; U ' : = U ' ~ C J ' > ; S . , : = t ; t : = m a x < t + p , mi n r > . J e ż e l i
J J J e U ' J
U ' =(J>, t o s t o p ; w p r z e c i w n y m w y p a d k u i d ż d o K r o k u 2 .
W wyniku d z i a ł a n i a a l g o r y t m u o t r z y m u j e m y m o m en ty r o z p o c z ę c i a w y k o n y w a n ia zadań S , j = l , . . . , n o k r e ś l a j ą c e k o l e j n o ś ć w y k o n y w a n i a z a d a ń , k t ó r a b ę d z i e m y dalej o z n a c z a ć p r z e z n . A l g o r y t m ma z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a O C n l o g n D . Z b i o ry U, U' w k r o k u 2 o k r e ś l a j ą o d p o w i e d n i o z a d a n i a u s z e r e g o w a n e i w s z y s t k i e Pozostałe w b i e ż ą c e j c h w i l i t . W a r t o t u t a j z a u w a ż y ć , ż e d o d a t k o w e z a s t o s o - w*nie a l g o r y t m u S c h r ä g e d l a p r o b l e m u i n w e r s y j n e g o d o 1 | r ^ , q^ |Cm ax C j e s t t o problem, w k t ó r y m w i e l k o ś c i r ^ i q^ z o s t a ł y z a m i e n i o n e m ie js c a m i!) n i e zsmiejsza w s p ó ł c z y n n i k a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u . R z e c z y w i ś c i e , w y s t a r c z y r o z m y ć n a s t ę p u j ą c e z a g a d n i e n i e k o n k r e t n e : n = 3 , r ^ = q ^ = 0 , p ^ = P ; » C52 ==r5;
r3=P* P3= q2= l » g d z i e P > > 1 . A l g o r y t m S c h r ä g e d a j e n*^=C 1 , 2 , 3 D o r a z ) = Z k o l e i z a s t o s o w a n i e t e g o a l g o r y t m u d o p r o b l e m u i n w e r s y j n e g o d a j e n' =C 2 , 3 , i } o r a z C C r r '3 = 2 P + l . P e r m u t a c j a o p t y m a l n a r r * = C 2 , l , 3 } i C Crr*!>-
m a x _ ~ max
p+4. Stą d mi n< C Cn } , C Ctt' ) > / C Ctt ) = C 2 P + 1 5 / C P + 4 ) i d ą ż y d o d w a p r z y
m ax m a x max
p dążącym d o n i e s k o ń c z o n o ś c i .
k o le jn y a l g o r y t m ,z a p r o p o n o w a n y p r z e z P o t t s a . C l 6 3 , ma w s p ó ł c z y n n i k n a j- 9orszego p r z y p a d k u r ó w n y 1 . 5 i z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w ą O C n ^ l o g n ) . W c e l u jego z d e f i n i o w a n i a w p r o w a d z i m y p o j e c i e t z w . z a d a n i a " k o n f l i k t o w e g o " . N i e c h
2 0
h E. Nowicki
p k r a 'C i ^ . U g S ' d l a p e r m u l a c j i : n S p a ł n i a l i U j S U g i n o r a z C m axC ~ r n C u 5 + u
T p q ,, _ ; w p r z y p a d k u g d y j e s t w i e c e j p a r s p e ł n i a j ą c y c h p o w yższe j = u ^ n C j J rrCUgj
w a r u n k i , t o p r z e z p a r e C u ^ . u ^ J o z n a c z a m y t e » d l a k t ó r e j o b y d w a e l e m e n t y sa n a j m n i e j s z e . Z a d a n i e n C k } b e d z i e m y n a z y w a ć z a d a n i e m k o n f l i k t o w y m d l a per- m u t a c j i n . j e ż e l i ^ S k i U g . o r a * ’ h = k + i . . . . , u £ . M ożn a p o k a z a ć , ż e j e ż e l i n j e s t o t r z y m a n e z a p o m oc ą a l g o r y t m u S c h r ä g e i n i e i s t n i e j e d l a n i e j z a d a n i e k o n f l i k t o w e , t o n j e s t p e r m u t a c j a o p t y m a l n a .
A l g o r y t m P o t t s a
K ro k i . P o ł ó ż h: =1 ; C : =00.
m ax Ch5
k r o k 2 . W y l i c z n wg a l g o r y t m u S c h r ä g e , <-m ax<*n ->* (’ u i , u2'> o r a z z a d a n i e kon- f l i k t o w e n C k J . J e ż e l i C Ch:>CJ7j<C m ax m a x ,t o p o ł ó ż C m a x : = C Ch;>C n J .m ax
K ro k 3 . J e ż e l i h = n l u b n i e i s t n i e j e z a d a n i e k o n f l i k t o w e ; t o s t o p ; p e r m u t a c j f z w i a z a n a z a k t u a l n a w a r t o ś c i ą c m a x t r a k t u j e m y j a k o p e r m u t a c j e nP
p r o d u k o w a n a p r z e z a l g o r y t m . W p r z e c i w n y m w y p a d k u p o ł ó ż r n ęjc^ : = r „ ^ i i d ż d o k r o k u 2 .
u2
P r z y j ę c i e , w k r o k u 3 a l g o r y t m u n o w e j w a r t o ś c i m o m en tu g o t o w o ś c i d l a z a d a n i a rcCk!) p o w o d u j e , ż e we w s z y s t k i c h n a s t ę p n y c h p e r m u t a c j a c h g e n e r o w a n y c h w k r o k u 2 z a d a n i e t o w y s t ę p u j ę z a z a d a n i a m i n C k + l J , . . . , rcCu^j.
W p r a c y 1 7 3 z a p r o p o n o w a n o p e w n a - m o d y fik a c ją a l g o r y t m u P o t t s a . M o d y f i k a c j a p o l e g a n a t y m , ż e w p r z y p a d k u g d y m ax r . — m in r , < m a x q . - m in q . , t o
l < i < n l < i < n l < i < n l < i < n 1 s t o s u j e m y a l g o r y t m P o t t s a n i e d o z a g a d n i e n i a p o d s t a w o w e g o ^ a l e d o i n w e r s y j - n e g o . O d p o w i e d n i e b a d a n i a e k s p e r y m e n t a l n e p o t w i e r d z a ł y c e l o w o ś ć t a k i e g o po
s t ę p o w a n i a . K o n t y n u u j ą c t e d r o g ę r o z u m o w a n i a . H a l l s i S h m o y s £83 z a p r o p o n o w a l i a l g o r y t m , k t ó r e g o g ł ó w n a i d e a p o l e g a n a t y m , ż e w y z n a c z a j ą p e r m u t a c j ę n ' wg a l . P o t t s a d l a z a g a d n i e n i a p o d s t a w o w e g o , a n a s t ę p n i e p e r m u t a c j e n t$*
t e ż wg a l . P o t t s a , a l e d l a z a g a d n i e n i a i n w e r s y j n e g o . J a k o p e r m u t a c j e heure-
H S H S
ż y p r z y j m u j ą n e < n ' , n " > P a k ą , Ż e C C n J = m i n < C C f i ' j . C Współ-
m a x m a x m ax
c z y n n i k n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u d l a t e g o a l g o r y t m u j e s t r ó w n y 4 / 3 .
P r z y s t ą p i m y t e r a z d o s f o r m u ł o w a n i a , w s p o m n i a n e j j u ż w c z e ś n i e j , c a ł e j k l a s y a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h r o z w i ą z u j ą c y c h p r o b l e m C 3 J . P o s z c z e g ó l n e e 3 e m e n t y t e j k l a s y r ó ż n i ą s i e m i e d z y s o b a z a s t o s o w a n i e m r ó ż n y c h a lg o ry tm ó w a p r o k s y m a c y j n y c h d l a z a g a d n i e n i a 1 ^ S n a x ‘ E ie m e n t ' em w s p ó l n y m j e s t kon
s t r u k c j a p e r m u t a c j i w o p a r c i u o d o l n e o g r a n i c z e n i e p o s t a c i C 7 J . A l g o r y t m HCAJ
K ro k 1 . W y z n a c z n <eT1 m i n i m a l i z u j ą c e C ^ ^ C r r . x ' J , s t o s u j ą c p e w i e n algo ryt®
a p r o k s y m a c y j n y A r o z w i ą z u j ą c y z a g a d n i e n i e 1 I r . , q . 1C d l a c z a s ó w
a i max
w y k o n y w a n i a z a d a ń p .=a^,- Cl- c ^Du^, , j = l . , n .
K ro k 2 . W y z n a c z x H C A ^ € X m i n i m a l i z u j ą c e KC ^ , x J -C C ^ , x J - c . x .
m a x j =1 J j
p r z y o g r a n i c z e n i u x « X .
Z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a k r o k u 1 j e s t . r ó w n a „ z ł o ż o n o ś c i „ o b l i c z e n i o w e j ^ z a s t o s o "
Algorytmy a p r o k s y m a c y j n e d l a
205
wanego a l g o r y t m u A. O c z y w i ś c i e , m o ż l i w e j e s t t a k ż e o p t y m a l n e r o z w i ą z a n i e zadania w y s t ę p u j ą c e g o w t y m k r o k u . T r z e b a w t e d y z a s t o s o w a ć j e d e n z a l g o r y tmów Cni © w i e l o m i a n o w y c h } o p a r t y c h na metodzie p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń . [ 2 3 , [ 7 ) . Zadanie z k r o k u 2 j e s t z a d a n i e m p r o g r a m o w a n i a l i n i o w e g o i m o że b y ć r o z w i ą zane w y k o r z y s t u j ą c b a r d z o s k u t e c z n e a l g o r y t m y w y z n a c z a j ą c e t z w . k r z y w a k o sztu p r o j e k t u , w z a g a d n i e n i a c h P E R T / k o s z t , p o i c h d r o b n e j m o d y f i k a c j i .
4. O s z a c o w a n i e w s p ó ł c z y n n i k a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u
P r z e d s t a w i m y t e r a z o s z a c o w a n i e w s p ó ł c z y n n i k a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u d l a całej k l a s y a l g o r y t m ó w H C A 3 . W o s z a c o w a n i u t y m j a k o p a r a m e t r w y s t ą p i w s p ó ł - czynnik p A n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u z a s t o s o w a n e g o a l g o r y t m u A . P r z e d t e m j e d n a k
. . . ..H C A 3 H C A3 HC A3 .
przedstawimy p e w n e g ó r n e o s z a c o w a n i a w a r t o ś c i K ^ K C n , x 3 . Zachodzi
C C rj.x 3 < R + Q , a , - x , , tren, x e X .
m a x J =1 j J
Slid
KH C /0 = m in CC C n HCA:>,x3-*-Zn _ , c . x . 3 < R + Q + Z 1? , a . - C l - c . 3 u , . C 1 2 3
x e X J “ 1 J J J - 1 J j j
2 kolei
,.HC A3 . HC A3 , . _ n „ _ . . _ .
K < C C n , x ' 3 + Z . . c .C l —c .3 u . . C 1 3 3
m a x J = 1 J j J
Twierdzenie
K H C A 5 / K H < O . 2 5 C l + y 5 D p A + 1 . C 1 4 D
gdzie p A - w s p ó ł c z y n n i k n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u a l g o r y t m u A.
k?wód:
Przed d o w o d em w ł a s n o ś c i C l 4 3 p o k a ż e m y k i l k a w ł a s n o ś c i p o m o c n i c z y c h .
^iech a = 0 . 2 5 C i + V c b i r = 0 . 5 C 3 - V 3 3 . Z a c h o d z i 0< r< cx< I, l / C 4 c O = l - y o r a z
Y = 2 C l - c O . C 1 5 3
i u w z g l ę d n i a j ą c , ż e 0 < c <1 f o tr z y m a m y
C j C l - a c j 3 < 1 - y , j =1 ». . . , n . C 1 6 3
Korzystając z C l 5 3 j d o s t a n i e m y
C l —c O C R + 0 3 < 2 C 1 -cO max< R , Q> = y m a x < R .Q > . Cl 7 3
"dzie R , q z d e f i n i o w a n o w C 5 3 . Z d e f i n i c j i p A o r a z z C 73 w y n i k a . Z e
206
E . Now ickiO s t a t n i a w ł a s n o ś ć p o m o c n i c z a ma p o s t a ć
C l - c O C a j - u j D + C j U j C l - a C j } < m i n C C l - y D a ^ , C l - y DCaj “ u j ^ + c j u j> *
Z C 16D i z f a k t u , ż e a > y w y n i k a C l - a D C a ^ - u ^ D + c ^ u ^ C l - a c ^ D < C l- aDC a^- u^D + C l - j O U j < C l - f O C a ^ - u ^ D + Cl.—j O U j =■ C l - y D a ^ . P o d o b n i e , z n i e r ó w n o ś c i 1 -cxc^<l o t r z y m a m y C l -aDC a ^ - u^D+ c ^ u^C 1 -ctc^D < C l - y D C a ^ - u ^ D + c ^ u ^ C l - a c ^ D <
C l- y D C a ^ ~ Uj2>+CjUj , c o k o ń c z y d o w ó d n i e r ó w n o ś c i C 1 9 D .
P r z e j d z i e m y t e r a z d o z a s a d n i c z e j c z ę ś c i d o w o d u . Z C 12 D i C 1 3 D dostanieay
K KC" i a C CtiH C A :). x ' 3 + o z ” , c . C i - c . J u , + C 1 -cO C R + Q > + C 1 -oO z " , a . - C l - c , k
m a x J = 1 J J J j = l j j j
= a C C n HCA:>, x ' D + Cl-cOCR+C£> + Z 1? . t C l - oOCa . -u .3 + c , u ,C 1 -oc ,3 3 .
m ax J =1 J J j J j
S t a d i z C 1 7 D , C 19 D o t r z y m a m y
^HCAD ^ C n ^ ^ , x ł ) + y m a x < R ,Q > + Z 1? „ m in C C l -yDa , C l - y X a .-u .) + c .u.)
m a x J = 1 r j ^ J J J J
+ y m a x < R ,Q > + £*? 4 nv^ n C C l - ^ C a - x . ) + c . x . J
J 0 < x ^ < U j J J J J
+ m in Cyroax<R,Q> + C l - y i l ^ . C a - x . ) + Z I? _ 1 c . x . 3
x«=X J i J J J - 1 J J
< a C CrtH C A :). x ' i + m in C m a x < R , Q , z " , C a , - x , » + Z 1? , c , x , ) .
m * * x e X J = 1 J J J = 1 J J
Z p o w y ż s z e g o i z C 1 8 D , C6D o s t a t e c z n i e d o s t a n i e m y
„HC AD _ A * , r A .
K < a p K + K = C a p + 1 D K ,
c o k o ń c z y d o w ó d t w i e r d z e n i a . n
W T a b e l i 1 p r z e d s t a w i o n o , w y n i k a j ą c e z u d o w o d n i o n e g o t w i e r d z e n i a , górne o s z a c o w a n i e UBCAD w s p ó ł c z y n n i k a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u d l a a l g o r y t m u HCA).
A l g o r y t m A o p t y m a l n y H a l 1 i Shm o y s P o t t s S c h r a g e
PA 1 . 0 0 1 . 3 3 1 . 5 0 2 . 0 0
UBCAD 1 . 6 8 1 . 9 1 a . 02 2 . 3 7
- , HC AD
= o*C C n , x ' D
m ax
- , HC AD
= c»C C n , x #D
T a b 1 . G ó r n e o s z a c o w a n i e UBCAD w s p ó ł c z y n n i k a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u d la a l g o r y t m u H C A D ; o d p o w i e d n i e w i e l k o ś c i p o d a n o w p r z y b l i ż e n i u .
A lg o r y tm y a p r o k s y m a c y j n e d l a
207
A n a lizu ją c t e o s z a c o w a n i a , w a r t o z a u w a ż y ć , ż e a l g o r y t m C H ) , k t ó r y w k r o k u 1 wybiera p e r m u t a c j e a r b i t r a l n i e , a n a s t ę p n i e w y k o n u j e k r o k 2 b e z z m i a n , ma
H *
współczynnik n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u r ó w n y t r z y . P r z y k ł a d ( d l a k t ó r e g o K / K = 3 ; ma p o s t a ć : n = 3 , ^ = 1 , a 1 = u 1 = q 1 = 0 ; r ^ O , a 2 =l , u 2 = 0 , q 2 = 0 ; . r 3 = a 3 = u 3 = 0 , q 3 =l CponiewaZ u . = 0 , t o w i e l k o ś c i c . s ą n i e i s t o t n e ) . R z e c z y w i ś c i e , J e Z e l i p r z y j -
H H * *
mierny n = C 1 , 2 , 3 ) , t o K = 3 , z a ś n = C 3 , 2 , 1 ) i K = 1 . Z k o l e i a l g o r y t m , o p i s a n y w C1S3, k t ó r y w k r o k u 1 w y b i e r a p e r m u t a c j e wg n i e m a l e j a c y c h w a r t o ś c i r ^ , ma w s p ó ł c z y n n i k n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u r ó w n y d w a.
A k t u a l n i e p r o w a d z i s i e b a d a n i a e k s p e r y m e n t a l n e z a p r o p o n o w a n y c h a l g o r y t mów, a w s z c z e g ó l n o ś c i a l g o r y t m u H C H S ) o r a z a l g o r y t m u H C C ) , g d z i e C j e s t algorytmem C a r i e r a z n a j d u j ą c y m p e r m u t a c j e o p t y m a l n a w k r o k u 1 . W b a d a n i a c h tych w y k o r z y s t u j e s i e d o l n e o g r a n i c z e n i a K ' p o s t a c i C 6 ) , C 9 ) , C I O ) , C l i ) oraz i n n e b a z u j ą c e n a r e l a k s a c j i w a r u n k u o n i e p o d z i e l n o ś c i z a d a ń . W s t e p n e wyniki b a d a ń s a b a r d z o z a c h e c a j a c e . P r z y k ł a d o w o g ó r n e o s z a c o w a n i e b ł ę d u
HC H S ) x a
względnego C C K -K ) / K ) ^ 1 0 0 5 ^ J e s t n i e w i e k s z e n i Z O . 554, c o w p r a k t y c z nych s y t u a c j a c h , ’ p r z y n i e d o k ł a d n y c h d a n y c h w e j ś c i o w y c h , j e s t c a ł k o w i c i e d o przy ję c ia .
W y k o r z y s t u j ą c i d e e a l g o r y t m u H C A ) f m o żn a t e Z p o d a ć a l g o r y t m a p r o k s y m a c y j - ny dla p r o b l e m u P 2 . K o n k r e t y z u j ą c t e n p r o b l e m b ę d z i e m y z a k ł a d a ć . Z e m i n i malizujemy C m ax C n , x ) p r z y o g r a n i c z e n i a c h Z 1? - c . x . < R , g d z i e R J e s t n ie - J —1 J j przekraczał n a w a r t o ś c i ą s u m a r y c z n e g o k o s z t u w y k o n y w a n i a z a d a ń . P r o p o n u j e m y do je g o r o z w i ą z a n i a n a s t ę p u j ą c y a l g o r y t m G C A ) :
A l g o r y t m G C A )
Krok 1 . D l a k = 1 , 2 w y z n a c z n^ eTI m i n i m a l i z u j ą c e C ^ ^ C r r , x ^ ^ ^ ) , s t o s u j ą c p e w i e n a l g o r y t m a p r o k s y m a c y j n y A r o z w i ą z u j ą c y z a g a d n i e n i e
1 |r , q |C d l a c z a s ó w w y k o n y w a n i a z a d a ń p . = a . -x^ ^ , g d z i e x ^ ^ O ,
i i m a x J J J J
C 2 ) ł A
XJ = U j * * * ‘ ’ >n*
Krok 2 . W y z n a c z y ^ ^ e X m i n i m a l i z u j ą c e C C n ^ ^ . x ) p r z y o g r a n i c z e n i a c h x e X ,
z j=i c j x j~R ; k = 1 , 2 -
Krok 3, W y b i e r z p a r e , x G<' A 3 3 e < C n (" k ^ , y C k 3 i : k = l , 2> s p e ł n i a j ą c a G C A ) G CA ) , C k ) C k ) x , .
KC n , x ) = m i n < K C n , y ) : k = i , 2 > .
Algorytm G C A ) ma t a k a s a m a z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a j a k a l g o r y t m H C A ) . W s z e l kie a n a l i z y d o t y c z ą c e J a k o ś c i p r o d u k o w a n e g o p r z e z n i e g o r o z w i ą z a n i a s a a — ktualnie o t w a r t y m p r o b le m e m .
^t e r a t u r a
H i B ł a ż e w i c z J . : Z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a p r o b l e m ó w k o m b i n a t o r y c z n y c h , W N T, W a r s za w a 1Q8 8.
12J C a r l i e r J . : T h e o n e - m a c h i n e s e q u e n c i n g p r o b l e m , E u r o p e a n J . O p e r . R e s . , 1982, 4£-47.
E. Ńowicfci
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[ 1 5 3
[ 1 6 3
[ 1 7 3
[ 1 8 3
[ 1 9 3
E l m a g h r a b y S . E . : A c t i v i t y n e t w o r k s , J . W i l e y a n d S o n s } N e w Y o r k 1977.
G r a h a m R . L . e t a l . : O p t i m i z a t i o n a n d a p p r o x i m a t i o n i n d e t e r m i n i s t i c s e q u e n c i n g a n d s c h e d u l i n g : a s u r v e y , A n n . D i s c r e t e M a t h . 5 , 1 9 7 0 , 287- 3 2 6 .
L a w l e r E . L. , L e n s t r a J . K . , R i n n o o y K a n A . H. G. , S h m o y s D . B . : S e q u e n c i n g a n d s c h e d u l i n g : A l g o r i t h m s a n d c o m p l e x i t y . D e p a r t m e n t o f O p e r a t i o n R e s e a r c h , S t a t i s t i c s , a n d S y s t e m T h e o r y , R e p o r t B S - R 8 9 0 9 , 1989.
G r a b o w s k i J . » J a n i a k A. : J o b - s h o p s c h e d u l i n g w i t h r e s o u r c e - t i m e models o f o p e r a t i o n s , E u r o p e a n J . O p e r . R e s . 2 8 , 1 9 8 6 , 5 8 - 7 3 .
G r a b o w s k i J . , N o w i c k i E . , Z d r z a ł k a S . : A b l o c k a p p r o a c h f o r s i n g l e m a c h i n e s c h e d u l i n g w i t h r e l e a s e d a t e s a n d d u e d a t e s , E u r o p e a n J . O p e r . R e s . 2 6 , 1 9 8 6 , 2 7 8 - 2 8 5 .
H a l l L . A . , S h m o y s D. B . : J a c k s o n ’ s r u l e f o r s i n g l e - m a c h i n e s c h e d u l in g : m a k i n g a g o o d h e u r i s t i c b e t t e r , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s . M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , C a m b r i d g e , 1 9 8 S , p r a c a n ie p u b l ik o w a n a . N o w i c k i E . : M i n i m a l i z a c j a k o s z t u w j e d n o m a s z y n o w y m p r o b l e m i e s z e r e g o w a n i a z e z m i e n n y m i c z a s a m i g o t o w o ś c i z a d a ń , M a t e r i a ł y k o n f e r e n c j i
“ P r o b l e m a t y k a b u d o w y i e k s p l o a t a c j i m a s z y n i u r z ą d z e ń w u j ę c i u sy ste
mowym“ , N O T j K r a k ó w 1 9 8 6 , 7 6 - 8 2 .
N o w i c k i E . : A l g o r y t m y a p r o k s y m a c y j n e d l a d w u m a s z y n o w e g o p r o b l e m u prze
p ł y w o w e g o z w y p u k ł a f u n k c j a k o s z t u . A r c h i w u m A u t o m a t y k i i T e le m e c h a n i k i , V o l . 3 3 , z . 3 . 1 9 8 8 .
N o w i c k i E . : M i n i m a l i z a c j a k o s z t u w d w u m a s zy n o w y m p r o b l e m i e p r ze p ły w o wym z e z m i e n n y m i c z a s a m i w y k o n y w a n i a z a d a ń . Z e s z y t y N a u k o w e P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j , S e r i a : A u t o m a t y k a , N r . 8 4 , 1 0 8 6 , 1 5 3 - 1 6 2 .
N o w i c k i E . : A l g o r y t m y a p r o k s y m a c y j n e d l a p r o b l e m u 1 ł * ^ | z e z m i e n n y m i c z a s a m i w y k o n y w a n i a z a d a ń , I K r a j o w a K o n f e r e n c j a “ B a d a n ia o p e r a c y j n e i s y s t e m o w e ’, K s i a 2 1 9 8 8 .
N o w i c k i E . , Z d r z a ł k a S . : P r o b l e m y s z e r e g o w a n i a z e z m i e n n y m i czasam i w y k o n y w a n i a z a d a ń . Z e s z y t y N a u k o w e P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j S e r i a A u t o m a t y k a , Nr 8 4 , 1 9 8 6 , 1 6 3 - 1 7 6 .
N o w i c k i E . , Z d r z a ł k a S . : T w o - m a c h in e f l o w s h o p s c h e d u l i n g p r o b l e m with c o n t r o l l a b l e j o b p r o c e s s i n g t i m e s , E u r o p e a n J . O p e r . R e s . 3 4 , 1 9 8 8 , 2 0 8 - 2 2 0 .
N o w i c k i E. , Z d r z a ł k a S . : S e q u e n c i n g p r o b l e m s w i t h c o n t r o l l a b l e jo b p r o c e s s i n g t i m e s . A p p l i e d D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , Cw d r u k u D . P o t t s C. N. : A n a l y s i s o f a h e u r i s t i c f o r o n e m a c h i n e wi t h r e l e a s e d a t e s a n d d e l i v e r y t i m e s . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 2 8 , 1 9 8 0 , 1 4 3 6 - 1 4 4 1 . S c h r ä g e L . .- O b t a i n in g o p t i m a l s o l u t i o n s t o r e s o u r c e c o n s t r a i n e d network s c h e d u l i n g p r o b l e m s , 1 9 7 1 , p r a c a n i e p u b l i k o w a n a .
V i c k s o n R. G. : C h o o s i n g t h e j o b s e q u e n c e a n d p r o c e s s i n g t i m e s t o mini
m i z e t o t a l p r o c e s s i n g p l u s f l o w c o s t o n a s i n g l e m a c h i n e , O p e r . Res.
2 8 , 1 9 8 0 . 1 1 5 5 - 1 1 6 7 .
V a n W a s s e n h o v e L . N . , B a k e r K. R . : A b i c r i t e r i o n a p p r o a c h t o t im e /c o s t t r a d e - o f f s i n s e q u e n c i n g , E u r o p e a n J . O p e r . R e s . 1 1 , 1 9 8 2 , 4 8 - 5 4 .
R e c e n z e n t Doc. d r h .in ż . JJCał u s ki W p ł y n ę ł o do R edakcji do 1990-04-30.
llforvtrny aproksym acyjn e d la . 209
APPROXIMATION A L G O R IT H M S . F O R O N E - M A C H IN E S C H E D U L I N G P R O B L E M S HIH, VARIABLE. J O B P R O C E S S I N G T IM E
S u m m a r y
The p a p e r d e a l s w i t h " C h e d i s c r r t e p r o d u c t i o n S e q u e n c i n g p r o b l e m w i t h single b o t t l e - n e c k a n d v a r i a b l e j o b p r o c e s s i n g t i m e s . I t i s a s s u m e d t h a t the cost o f p e r f o r m i n g a j o b i s a l i n e a r f u n c t i o n o f i t s p r o c e s s i n g t i m e , and s c h e d u l e c o s t t o b e m i n i m i z e d i s t h e t o t a l p r o c e s s i n g c o s t p l u s Eaximum c o m p l e t i o n t i m e c o s t . F o r t h e p r o b l e m so m e a p p r o x i m a t i o n
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