Algorytm zachłanny dla pewnego problemu szeregowania zadań czasowo-zależnych

(1)

ZESZYTY N A UK O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOM ATYKA z. 134

2002 N r kol. 1554

Stanisław GAW IEJNOW ICZ, W iesław KURC, Lidia PANKOWSKA*

Uniwersytet im. A dam a M ickiewicza, Poznań

ALGORYTM ZACHŁANNY DLA PEWNEGO PROBLEMU SZEREGOWANIA ZADAŃ CZASOWO-ZALEŻNYCH

Streszczenie. W pracy je s t rozważany jednom aszynow y problem szeregow ania zadań czasowo-zależnych. C zas wykonywania pj zadania j je st funkcją czasu t rozpoczęcia tego zadania, pj(t) - 1 + Ojt, gdzie aj > 0 dla j = 0, 1, ... ,n. Zadania s ą niepodzielne, niezależne, nie m a czasów gotowości ani linii krytycznych, a kryterium optymalności uszeregowania je st łączny czas zakończenia wykonywania zadań.

Dla danego ciągu w spółczynników a j, j = 0, 1, ... ,n definiow ana je st sygnatura, której w łasności stanow ią podstaw ę do skonstruowania algorytmu zachłannego.

A GREEDY ALGORITHM FOR A TIME-DEPENDENT SCHEDULING PROBLEM

S um m ary. A single machine tim e-dependent scheduling problem is considered. The processing tim e pj o f jo b j is a function o f the starting tim e t o f the job, pj(t) = 1 + ajt, where aj > 0 for j = 0, 1, ... ,n. Jobs are non-preem ptable and independent, there are neither ready tim es nor deadlines, and the criterion o f optim ality is the total completion time.

On the ground o f properties o f a signature for a given sequence o f coefficients aj, j = 0 ,1 ,... ,n a greedy algorithm for the problem is constructed.

1. Wprowadzenie

Klasyczna teoria szeregow ania zadań opiera się na następujących założeniach [2],[5]:

(Zl) w danej chwili czasu każde zadanie m oże być wykonywane przez co najwyżej jeden procesor i każdy procesor wykonuje co najwyżej jedno zadanie,

(Z2) prędkość procesora w trakcie wykonywania zadania je st niezm ienna, (Z3) czasy wykonania zadań są wielkościam i stałymi.

(2)

140 S. Gawiejnowicz, W. K urc, L. Pankowska

W e współczesnej (nieklasycznej) teorii szeregow ania bada się m odele, w których jedno lub więcej z pow yższych założeń nie je st spełnionych. O drzucając założenie (Z3) m ów im y o zadaniach ze zm iennym i czasami wykonania, w tym w szczególności o zadaniach czasowo-zależnych.

W pracy rozw ażany je st problem szeregow ania zadań na jednej maszynie, przy założeniu że czas wykonania pj zadania j je s t niem alejącą funkcją liniow ą czasu rozpoczęcia zadania t, a przyjętym kryterium optym alizacji je s t SCj, czyli sum a czasów zakończenia w ykonania zadań. Stosując notację w prow adzoną przez G raham a i in. [9], tak opisany problem dalej oznaczy się symbolem:

1 1 Pj(t) = 1 + ctjt | ECj (1)

Problem ten m oże być m odelem dla w ielu zagadnień praktycznych, w których upływ czasu zm ienia warunki w ykonania zadania. Do zadań tego typu należą m iędzy innymi:

zabezpieczanie techniczne i m edyczne klęsk żywiołowych i katastrof, m odelow anie procesów uczenia, m odelow anie operacji finansowych np. związanych ze spłatą w ielu kredytów oraz w iele podobnych.

Problem szeregow ania zadań czasowo-zależnych m a ju ż b ogatą literaturę [1],[5], W iększość znanych w yników dotyczy przypadku jednego procesora oraz dwóch podstaw owych kryteriów jakości uszeregow ania, a mianowicie długości uszeregowania Cm i łącznego czasu zakończenia ZCj. D la kryterium Cmax w przypadku jednego procesora i czasów w ykonania postaci pj(t) = pj + otjt problem je st rozw iązywalny w czasie 0 (n log n), a optym alne uszeregow anie wyznaczone je s t przez nierosnący porządek ułamków ct/P j [3],[8]. W przypadku w ielu procesorów zarówno problem P2 | pj(t) = ctjt | C max, ja k i problem P2 | pj(t) = Pj + ctjt | Cmax s ą N P-trudne [12]. D la kryterium ECj rozw iązanie wielomianowe znane je s t tylko dla przypadku jednego procesora oraz czasów wykonania zadania postaci Pj(t) = ctjt [15], natom iast przypadek w ieloprocesorow y je s t ju ż N P-trudny [4],[12]. Problem m inim alizacji IC j dla przypadku jednego procesora z czasam i wykonania py(t) = Pj + ctjt jest otwarty, naw et jeśli pj = 1 [6], [7], [14], Znane s ą dla tego problem u jedynie pew ne warunki, które musi spełniać uszeregow anie optymalne (V-kształtność, w łasność symetrii, wybór pierw szego elem entu), co pozw ala obniżyć złożoność z 0 ( n n) do 0 ( 2 " ) .

O tw artość problem u 1 | pj(t) = 1 + ctjt | SCj była pow odem podjęcia w niniejszej pracy dalszych badań, których w ynikiem je s t algorytm zachłanny o złożoności wielomianowej

(3)

Algorytm zachłanny dla pew nego problemu.. 141

oparty na badaniu sygnatur dla ciągu a = ( a ,, a 2, ..., a n), gdzie tfj = 1 + a j dla j = 1, 2, ... ,n, z (to = 1+ao ustalonym.

2. Sygnatury

Rozważany w pracy problem szeregow ania zadań m a następującą charakterystykę.

Zadania wykonywane są na jednej maszynie, czasy w ykonania zadania opisane są niemalejącą funkcją liniow ą pj(t) = 1 + Ojt, gdzie <Xj > 0 dla j = 0, 1, ... ,n, a t je st czasem rozpoczęcia zadania. Szukam y takiego uszeregow ania zadań, aby zm inim alizow ać sumę

n

czasów zakończenia C j , gdzie o

Co = 1, Cj = Cj., + Pj(Cj.i) = 1 + (1 + aj)Cj.,, j = 1, 2 , . . . , n. (2) Wzór (2) m ożna zapisać jako złożenie funkcji fj(t) = t + pj(t) = 1 + Ojt, gdzie Oj= 1 + aj a t = 0. M am y w ówczas d la j = 0 , 1 , . . . ,n

Cj = fj(fj-i(... (fo (t))...)) (3)

Zadania są w pełni scharakteryzowane przez ciąg współczynników ó = ( O o ,a ,,..., a^), a problem optym alności uszeregow ania je s t równow ażny znalezieniu takiej perm utacji ciągu a, aby ECj była m inim alna. Z e w zoru (3) wynika, że jeżeli rozpoczynam y w czasie t = 0, to

wartość współczynnika pierw szego zadania w rozw ażanym uporządkowaniu, Oj oj, nie ma wpływu na wartości współrzędnych w ektora C = [Co, C ,, ... ,C„]. Zatem dla dow olnego ciągu a= (a<>, a j poszukiw ana optym alna perm utacja musi spełniać warunek O(o]= max {oą} [14]. N iech a = ( a ,, . . . , a j je st podciągiem ciągu a = (agą, fl,, ... , CLn) z

0(0] maksymalnym, a a = (cą,, On-i, ... , ci\) oznacza odw rotnąperm utację ciągu a. Stosując wzór (3) przy t = 0 otrzym ujem y następujące wzory na składowe w ektora C (a) = [Co, C ,, ...

.CJ:

C o = l , Ci = a,C o + l , . . . , C n = a nCn-i + l,

przy czym oznaczenie C (a ) podkreśla zależność w artości składowych w ektora C od porządku elementów ciągu a. Powyższy w zór rekurencyjny m ożna zapisać w postaci m acierzowej

(4)

, i = 1 ,2 ,

M acierz odw rotna L ( 1 (a) różni się od m acierzy L ,(a) tylko znakiem elem entów leżących pod głów ną przekątną w i-tej kolumnie. Zatem [11]

'1 0 0 .. 0 0'

«i 1 0 .. 0 0

A ' \ a ) = L[' (a)L]‘ (a)...L~' (a) = a ,a 2 «2 1 .. 0 0

a,n2...a„ a 2...a„ ^{a }...an} •• 1

W spółrzędne w ektora C (a) = A ''( a ) d ( l ) i w ektora C(a) = A ‘*(a)d(l), dla a = (o*, fli) w yrażają się odpow iednio wzorami:

Qi(^t)= 1 "*• ^ a , a , ^ x...a j , C j(a )—1 + ^ a n - j + i a n - j * 2 —a n j —0, l,...,n . (5)

i - l / - B - j +1

Bezpośrednio z definicji || • |ji [10],[11] i w zoru (5) wynika następujący wniosek.

W n io se k 1. K ryterium optymalności uszeregow ania ZCj je st równow ażne kryterium ||C(a)[|i.

Ponadto, poniew aż A 'l(a)d((3) = A '‘(a ) d (l)p , gdzie d(P) = [P, p, ..., P]Te 5Rn+l oraz

||pC (a)||i = p ||C (a)||i, m ożna sform ułow ać wniosek:

(5)

Algorytm zachłanny dla pewnego problemu.., 143

Wniosek 2. Problem y 1 | pj(t) = 1 + ajt | ECj i 1 | pj(t) = p + ctjt | ECj, gd zie P > 0, są równoważne.

Dwie now e miary, F (a ) = ||C (a)||i - (n+1) i M (a) = ||C (a)||m, dla w ektora C (a ) zdefiniowano na podstaw ie norm lp H oldera w przestrzeni 9?n+l [10]. Poniew aż

II

|!C(a)||, = T C, , a ||C (a)||M = m ax {C;} s C mM, zatem m iary te w yrażają się wzoram i:

J -0 o s J s "

F ( « ) - Ź Z a > - a j i M ( a ) = l + Z a , - « . (6)

7 - i r - i i- i

Niech n n oznacza zbiór perm utacji ciągu ( 1 ,2 ... n). Jeżeli 7 t e n n je st p e w n ą ustaloną permutacją, w ówczas przez a* oznaczam y odpow iednią perm utację ciągu a = (ai, fl2. •••> a n)- F (a)-problem em będziem y nazywać problem m inim alizacji funkcjonału F(a) po wszystkich perm utacjach n e II „• N iech a = a ^ . = ( a j, a^) będzie optym alnym rozwiązaniem F(a)-problem u, w ów czas a = (a„, On-i, a i ) je st rów nież rozw iązaniem optymalnym (własność symetrii) oraz a . je s t V -ciągiem [14], tzn. je st on nierosnący dla i= 1,..., m oraz niem alejący dla i = m ,..., n, gdzie 1 < m < n.

Dla danego ciągu a = ( a i , a i , ..., a n) zdefiniuj emy dwie sygnatury.

S”(a ) = M (a) - M (a ) i S+(a ) = M(<5) + M (a) (7) Dany je s t ciąg a = ( a i , a i , ..., On) oraz dw ie wielkości a , p. N iech a L = (a|a ]P ) i aR = (P|a]a) oznaczają konkatenację ciągu a z elem entam i a , p w e w skazanym porządku.

Lemat 1. Dla danego ciągu a oraz elem entów a i p, niech a L = ( a |a |P ) oraz a R = (P |a]a).

Wówczas praw dziwe s ą równości:

F ( a L) = F (a |a |P ) = F ( a ) + a M (a ) + p M (a ) + a -a -p , F ( a R) = F (P |a |a ) = F (a ) + pM (a) + a M (a ) + a -a -p , ll

gdzie a - a -p = a - ( f | a , )-p.

i-1

Dowód. Pełny dow ód m ożna znaleźć w pracy [6].

Jako w niosek z lem atu 1 oraz zgodnie z definicjam i sygnatur S"(a) i S+( a ) m ożna otrzymać wzory na sum ę i różnicę wartości funkcjonału F(-) na ciągach a L i a R.

Lemat 2. Zgodnie z n otacją z lem atu 1, praw dziw e s ą następujące tożsam ości:

F ( a |a |P ) - F ( P |a ) a ) = ( a - p ) S - ( a ) ,

(6)

i ( F (a |a |P ) + F (P |fl|a)) = F (a ) + i ( a + p)S+( a ) + a - a ■ p.

N a podstaw ie powyższego lem atu m ożna określić strategię dołączania nowych elem entów a , P do danego ciągu a, tak aby wartość funkcjonału F(-) m alała. Następujące tw ierdzenie je s t głównym wynikiem w tym rozdziale.

T w ie rd z e n ie 1. N iech a > 1 i p > 1 będ ą danymi wielkościam i oraz niech a będzie danym ciągiem F(a)-problem u. W ów czas rów now ażne s ą następujące pary nierówności:

(a) F ( a |a |p ) ź F (p |o |a ) i ( a - P ) S " ( a ) < 0, (b) F(cc|ajp) > F (p |o |a ) i ( a - P ) S " ( a ) 2 : 0.

Z lem atu 2 i tw ierdzenia 1 wynika, że zachowanie sygnatury S~(-) m oże być podstawą strategii zachłannej rozw iązania F (a)-problem u.

T w ie rd z e n ie 2. N iech a = { a \ , a 2, ..., tą,) będzie uporządkowanym niem alejąco ciągiem dla F (a)-problem u, u = {a \, a 2, ..., d k.i), a = a k, p = a k+1, gdzie 1 < k < n oraz a < p. Wówczas:

(a) S '(u) Ł 0 => F (a |a |P ) < F (P |a]a), (b) S'(u) < 0 => F(aj«JP) > F (P |a |a ).

Dowód. Im plikacja w ynika z tw ierdzenia 1 oraz z faktu, że a - p < 0.

3. Algorytm zachłanny

N iech a = ( a t, a 2, ..., a^) będzie uporządkowanym niem alejąco ciągiem dla F(fl)- problem u, a u oznacza V -ciąg złożony z pierw szych k > 1 elem entów ciągu c l, dla którego aktualna w artość funkcjonału F(-) wynosi F(u). N iech a = a^+i i P = a.k+2, a < p, będą dwoma kolejnym i elem entam i ciągu c l Przyjm ując uL = (a|u|P ) i u R = (p |u |a) otrzymujemy dwie m ożliw ości rozszerzenia jednocześnie prawej i lewej gałęzi V -ciągu. Proponow ana strategia zachłanna polega na takim wyborze rozszerzenia, aby w artość funkcjonału F(-) była najm niejsza. N iech ponadto 0(01 = max {cl}.

0 i I ś n

A lg o ry tm za ch łan n y dla p ro b le m u 1 1 pj(t) = 1 + ctjt | ECj Wejście: ciąg a. = (eto, CL\ , . . . , a„), gdzie flj = 1+ aj dlaj = 0 , 1 , . . . , n

Wyjście: suboptymalny V-ciąg u = (do), Ui, U2, ..., u„) otrzymany z ciągu a

K ro k 1: {przygotowawczy} sortowanie ciągu a w porządku niemalejącym, C^\\ < ...< ś 0\u\,

(7)

Algorytm zachłanny dla pewnego problem u.. 145

Krok 2: {p ę tla g łó w n a }

If n n ie p a r z y s te then begin u — (a,,,);

for i := 2 to n-1 step 2 do

if S'(u) 2 0 then u := (zł|i+I]|u| 0(1]) else u := (o ^ u l 0(i+i]);

e n d

else {n parzyste}

begin u := (O^,, 0(2]);

for i := 3 to n-1 step 2 do

if S'(u) s O then u := ( O ^ M 0(¡,) else u := (0(1,101 % ,,,);

end

K rok 3: { k o ń c o w y } u : = ( O (0]|u).

Przykład 1. N iech o = (2, 3, 4, 6, 8, 1 6 ,2 1 ). O ptymalny V-ciąg m a postać o* = (2 1 ,8 , 6, 3, 2,

4, 16) z w artością kryterium £ C j(o * ) = 2 3 2 2 6 (F (a* ) = 2 3219). Proponowany w pracy algorytm generuje ciąg u = (21, 8, 6, 2, 3, 4 , 16), dla którego ZCj(u) = 23240. Inne znane heurystyki np. H I, H 2 z pracy [14] d ają odpowiednio V-ciągi: Ohi = (21, 8, 4, 2, 3, 6, 16) i Oh2 = (21, 6, 3, 2, 4, 8, 16) z wartościam i kryterium uporządkowania odpowiednio ICj(OHi) = 23418 i ECjCflfu) = 24890.

Przykład pokazuje, że chociaż w ogólnym przypadku algorytm nie daje rozw iązania optymalnego, to często zachow uje się lepiej niż inne znane heurystyki. M ożna ponadto przypuszczać, co potw ierdzają eksperymenty, że w przypadku ciągów arytm etycznych algorytm generuje rozw iązanie optymalne.

Przykład 2. N iech a = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ). Algorytm generuje optymalny V-ciąg a* = (8, 6, 5,

2, 3, 4, 7) z m inim alną w artością kryterium E C j(a*) = 27494. Rozw iązania otrzym ane za pomocąheurystyk H I, H2 [14] m a ją p o sta ć Ohi = (8, 6, 4, 2, 3, 5, 7) i Om = (8, 5, 4, 2, 3, 6, 7) z wartościam i kryterium uszeregow ania odpowiednio; ZCj(OHi) = 27519 i

£Cj(aH2) = 28131.

(8)

4. Przypadek współczynników naturalnych

Zaproponow any algorytm zachłanny znacznie się upraszcza, gdy elementy ciągu a są kolejnym i liczbam i naturalnymi. W ynika to z faktu, źe w pętli głównej algorytmu nie trzeba obliczać w artości sygnatury S~(u), ponieważ jej znak zm ienia się cyklicznie. K oszt algorytmu w ynosi zatem 0 ( n log n).

Sygnaturę S~(a) = S~ dla n elem entowego ciągu a zapiszem y teraz w postaci:

m m - m n - ni n

S ; - £ a ' - a ‘ ~ E a”- i * i - a » + E a i ••■«« + / " E “ r A - l ^ m i n (8)

; . i < - 1 / - 1 ; - 1

Z pow yższego w zoru w yprowadzim y reprezentację sygnatury, oddzielnie dla parzystej i nieparzystej liczby elem entów ciągu a.

L e m a t 3. N iech a = ( « i , ..., a n). Jeżeli n = 2m , to

S i. =

E

ł7i0”)(ai - a» - / ł i - a», + / - a2»,)»

/ - I

gdzie rit(m ) = 1, T|i(m) = 1 + a m_ i + 2 ... a m +

i-i

dla

i

= 2 , 3 , . . . , m.

Jeśli n = 2 m - 1, to

«1 - I S i . . , = E / - 1

gdzie C0i(m )= 1 + a m_i + i ... a m + i - i dla i = 1 , 2 , . . . . m - 1.

Dowód. Pełny dow ód m ożna znaleźć w pracy [6].

N iech a= (1, 2, ..., n). Eksperym ent obliczeniow y przeprow adzony dla n = 2, 3, ...,17 generuje optym alne rozw iązanie F(a)-problem u, odpowiednio dla n = 2m i n = 2 m -l postaci:

m = 1 1 2 3 1 2

m = 2 4 1 2 3 4 3 1 2 5

m = 3 5 4 1 2 3 6 7 4 3 1 2 5 6

Takie samo rozw iązanie otrzym amy stosując algorytm zachłanny. Pokażemy, że nie w ym aga to obliczania sygnatur, ponieważ ich znaki zm ieniają się cyklicznie.

N iech ciąg a d la F (a)-problem u m a odpow iednio postać:

dla n = 2m , a = ( r m + ( - l) m, ..., r2+ 1 ,r i - 1, n , r2, ..., rm),

d la n = 2 m -l, a = ( sm.i + 2 , . . . , s2+ 2 , Si + 2 , sj, s2, ..., sm ), (9)

(9)

gdzie

rt = 2 k - j ( ( - l ) k + 3) + 1, k = 1 ,2 ...m d l a n = 2m, Sk = 2k - j ( ( - l ) k + 3), k = 1 , 2 , m d la n = 2 m -l.

Stosując lem at 3 dla ciągu a danego w zoram i (9) otrzymujemy:

Lemat 4. N iech n = 2m (przypadek parzysty). W ów czas dla m = 1, 2 , . . . Ili

SI», = £ T l < ( m ) [ ( r , + ( - l ) ' ) - ( ^ , + ( - ! ) " ’) - r , . . x a ) ,

i - 1

gdzie r|i(m) = 1, r ^ m ) = 1 + (ri ... n-OtOn - 1 ) ... (rM + (-1)1'1)] dla i = 2 , . . . , m.

Stosując reprezentację sygnatury podaną w lemacie 4 sform ułujem y główne twierdzenie tej części pracy.

Twierdzenie 3. N iech n = 2m i niech a będzie ciągiem danym w zoram i (9). W ówczas dla kolejnych sygnatur parzystych S ~2m + 2 > S j* prawdziwy je st następujący związek:

IM -f i

SL. + 2 = + (“ I)”' + ' Z TK(rn)(r, + (-1 )').„(r„ + (-1)"'), i - 1

gdzie sygnatura S i w spółczynniki rjj są zdefiniowane ja k w lem acie 4. Ponadto praw dziwa jest następująca tożsam ość:

tli

+ 1

^ 2w + 2 = Rm[("l) + ©m], gdzie 0 m = -¡ę- (rm+i + (-1) ) i R m= £ i - 1 Analogiczne związki m ożna sform ułować dla przypadku nieparzystego.

Lemat 5. N iech n = 2m - 1 (przypadek nieparzysty). W ów czas dla m = 1 , 2 , . . .

m - 1

s 2», - 1 = £ ( » ! ) [ ( • * ( + 2 ) . . . ( s „ . i + 2 ) - + i M

1

gdzie (Oi(m)= 1 + ( s i ... Sj)[(si + 2 ) . . . (sm + 2 )] dla i = 1 , 2 , . . . , m - 1.

Twierdzenie 4. N iech n = 2m + 1 i niech a będzie ciągiem danym w zoram i (9). W ówczas dla kolejnych sygnatur nieparzystych Sj,,, + , i S ~2„, _ , praw dziwy je st następujący związek:

Ul

s ; . . , = (sm + 2 )s;m_u + (-i)-♦■£ »,(

1

» )^ ,,..^ ),

/ - l

gdzie sygnatura S 2„, _ i i w spółczynniki co, są zdefiniow ane ja k w lem acie 5. Ponadto prawdziwa je st następująca tożsam ość:

(10)

148 S. G awiejnowicz, W. Kurc, L. Pankowska

m

s2,„ + , = Qm[(-l)m+1 + r m], gdzie Tm = (sm + 2) i Qm = £

a

, (m )s, + , . / - 1

Zgodnie z twierdzeniem 2, w strategii zachłannej interesuje nas jedynie znak sygnatury. Przeprow adzony eksperym ent obliczeniowy pokazał, że składnik 0 m z tw ierdzenia 3 spełnia nierów ność |0 m| < 0.8 dla m = 1, 2 , 1 0 0 0 . Podobnie dla składnika Fm z tw ierdzenia

4

otrzym ano oszacowanie

|rm|

< 0.73 dla m =

1,

2 , . . . , 1000.

H ip o teza 1. Znaki sygnatur S i S ~lm _, zm ieniają się zgodnie ze w zorem

s i g n ( S j J - s i g n ( S _ , ) = ( - l f , m 2:1.

H ip o te za 2. Proponow any algorytm zachłanny generuje w przypadku ciągu aj = j , j = 1 ,..., n rozw iązanie optym alne problem u 1 1 pj(t) = 1 + cyt | E C j.

5. Podsumowanie

Znalezienie takiego rozw iązania układu A (a )C (a ) = d (l), aby ||C (a)||i była minimalna po w szystkich perm utacjach ciągu a =

(a\, aa,

..., On), je st równow ażne rozwiązaniu problem u 1 | pj(t) = 1 + otjt | ECj. N a podstaw ie norm lp H oldera zdefiniow ano pojęcie sygnatury S"(a). W łasności sygnatury odgryw ają kluczow ą rolę w zachłannej strategii

budow y ciągu suboptym alnego. Przeprow adzone eksperymenty obliczeniow e skłaniają do sform ułow ania hipotezy, że w przypadku ciągu a = (fl), aa, ..., On), gdzie a\ = i + 1 dla i =1, 2, ...n , lub ogólniej ciągu arytmetycznego, algorytm generuje rozw iązanie optymalne w czasie 0 ( n logn).

* A dres do korespondencji: W ydział M atem atyki i Informatyki, U niw ersytet im. A dam a Mickiewicza, ul. U m ultow sk a 87 , 6 1 -6 1 4 Poznań, e-m ail: lpan kow @ am u.edu.pl.

Praca zo sta ła c zę ścio w o sfinan sow ana z grantu G N -0 5 /2 0 0 2 W ydziału M atem atyki i Informatyki U niw ersytetu im. A dam a M ick iew icza w Poznaniu.

LITERATU RA

1. A lidaee B.,W om er N .K.: Scheduling w ith tim e dependent processing tim es: Review and extensions. Journal o f the Operational Research Society, 50,1999, p p .7 1 1-720.

(11)

2. Błażewicz J., Ecker K.H., Pesch E., Schmidt G., W ęglarz J.: Scheduling Com puter and Manufacturing Processes, Springer, Berlin 2001.

3. Browne S., Yechiali U.: Scheduling deteriorating jo b s on a single processor. Operations Research, 38, 1990, pp.495-498.

4. Chen Z-L.: Parallel m achine scheduling w ith tim e dependent processing tim es. Discrete Applied M athem atics, 70, 1996, pp. 81-93.(Erratum Discr. Appl. M ath., 75, 1997, p. 103) 5. Gawiejnowicz S.: Szeregowanie zadań o zm iennych czasach wykonywania. Pro Dialog

13, Wydawnictwo N akom , 2001, pp.75-90.

6. Gawiejnowicz S., Kurc W., Pankow ska L.: A greedy approach for a tim e-dependent scheduling problem . R eport 110/2001, Faculty o f M athem atics and Com puter Science, Adam M ickiew icz University, 2001.

7. Gawiejnowicz S., Kurc W., Pankow ska L.: A greedy approach for a tim e-depended scheduling problem . Lecture N otes in Com puter Science, accepted.

8. Gawiejnowicz S., Pankow ska L.: Scheduling jo b s w ith varying processing tim es.

Information Processing Letters, 54, 1995, pp.175-178.

9. Graham R.L., Law ler E.L., Lenstra J.K., Rinnooy K an A.H.G.: O ptim isation and approximation in determ inistic sequencing and scheduling theory. A survey, Annals o f Discrete M athem atics 5, 1979, pp.287-326.

10. Hirsch F., Lacom be G.: Elem ents o f Functional Analysis. Springer, Berlin 1999.

11.Dryja M., Jankow scy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych, WNT, Warszawa 1982.

12. Kononov A.: Scheduling problem s w ith linear increasing processing tim es. In:

Zimmermann U. et al. (eds), Operations Research 1996. Selected Papers o f the Symposium on O peration Research. Springer, Berlin, 1997, pp.208-212.

13. Kononov A ., G aw iejnow icz S.: N P-hard cases in scheduling deteriorating jo b s on dedicated machines. Journal o f the Operational Research Society, 52, pp.708-717.

14. Mosheiov G.: V -shaped policies for scheduling deteriorating jobs. O perations Research, 39,1991, pp.979-991.

15. Mosheiov G.: Scheduling jo b s under sim ple linear deterioration. Com puters and Operations Research, 21, pp.653-659.

16. Varga R.S.: M atrix iterative analysis. Springer, Berlin 2000.

Recenzent: D r hab. inż. C zeslaw Sm utnicki

Abstract

In this paper w e consider a single machine scheduling problem w ith tim e-dependent processing tim es o f jo b s and the total com pletion tim e criterion. The processing tim es are in the form o f pj(t) = 1 + a jt w here otj > 0, j = 0, 1, ..., n, and t is the starting tim e o f a job. Jobs

(12)

150 S. Ciawiejnowicz, W. Kurc, L. Pankowska

are non-preem ptable and independent, there are neither ready tim es nor deadlines. W e wish to II

m inim ize the total com pletion tim e C , , w here Co = 1, Cj = Cj-i + pj(Cj-i) = l+(l+ccj)Cj.|

J - 0

f o rj = 1 , 2 , . . . ,n.

W e w ill apply two lp-norm related m easures [9] to the vector C (a ) = [Co, Ci,...,C„]T,

n a m e l y F ( a ) = ^ ^ a ^.M j = ||C (a)||i - (n + 1 )an d M (a ) = 1 + ^ a r ..a„ = ||C(a)||m.

J m i i. | / - 1

W e w ill refer to m inim izing o f F (a ) as to F (a)-problem . According to [14], if a = a is the optim al solution o f the F (a)-problem , then a = (a^, a^.[, ... , a{) is also optimal solution o f the F (a)-problem . M oreover, such optim al sequence a _ . m ust have a V-shape [14]. (This m eans that the sequence is non-increasing f o r j = 1, ...,m , and is non-decreasing f o rj = m , .. ,,n, w here 1 < m < n. W e w ill call such sequences V-sequences).

For a given sequence a = ( a 1 ;..., a^), define two signatures o f a:

S“( a ) = M ( a ) - M ( a ) i S+( a ) = M (a) + M (a)

W e construct an algorithm for F (a)-problem using notion o f signatures and the following lemma:

L em m a. F or a given sequence a and two num bers a , p, let a L = ( a |a |p ) oraz a R = (P|fl|a).

Then there hold the equalities:

F(a|aJP) - F(P)a)a) = (a - p)S~(a),

i ( F(aMp) + F(pMa)) = F(a) + j (a + P)S+(

a)

+

a-a

p.

Though the proposed algorithm is not optim al in general, we suppose that it is optimal for arithm etic sequences. O n the ground o f obtained results we proposed a number of form ulae describing signatures for the case o f the sequences w hen q = j + 1, j = 1, 2, ...,n.

These form ulae, together w ith conducted com putational experim ents, lead to another conjecture: in the case o f arithm etic sequences one can construct an optim al schedule for the problem w ithout calculating signatures S“(u).