S t a n i s ł a w Z d r z a ł k a P o l i t e c h n i k a W r o c ł a w s k a
A L G O R Y TM Y A P R O K S Y M A C Y J N E D L A J E D N O M A SZ Y N O W E G O Z A G A D N I E N I A S Z E R E G O W A N IA Z J E D N A K O W Y M I GRUPOWYM I C Z A SA M I P R Z E Z B R O J E Ń »O
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p r z e d s t a w i o n o w y n i k i a n a l i z y n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h d l a J e d n o m a s z y n o w e g o z a g a d n i e n i a s z e r e g o w a n i a z a d a ń z J e d n a k o w y m i , g ru p o w y m i c z a s a m i p r z e z b r o j e ń , w k t ó r y m k a ż d e z a d a n i e ma z a d a n y c z a s g o t o w o ś c i d o r e a l i z a c j i , c z a s w y k o n y w a n i a o r a z c z a s d o s t a r c z e n i a , a p r o b l e m p o l e g a n a z n a l e z i e n i u k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n i a m i n i m a l i z u j ą c e j c z a s , p o k t ó r y m w s z y s t k i e z a d a n i a s a d o s t a r c z o n e . P o d a n o r ó w n i e ż p r z e g l ą d a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h d l a w e r s j i z a g a d n i e n i a b e z p r z e z b r o j e ń .
1 . W s t ę p
D a n y J e s t z b i ó r z a d a ń , u t o ż s a m i a n y d a l e j z e z b i o r e m i n d e k s ó w
J = < 1 , . . . , n > , k t ó r e n a l e ż y w y k o n a ć n a p o j e d y n c z e j m a s z y n i e ; w d a n e j c h w i l i m a s z y n a m o ż e w y k o n y w a ć c o n a j w y ż e j J e d n o z a d a n i e . Z a d a n i e J J e s t g o t o w e d o r e a l i z a c j i w m o m e n c ie r ^ , p o t r z e b u j e p^ J e d n o s t e k c z a s u n a w y k o n a n i e , a c z a s p o t r z e b n y n a J e g o d o s t a r c z e n i e , l i c z o n y o d m o m en tu z a k o ń c z e n i a w y k o n y w a n i a p r z e z m a s z y n ę , w y n o s i ; r ^ , q j > 0 , P j > 0 . Z b i ó r z a d a ń J J e s t r o z b i t y n a B p o d z b i o r ó w C g r u p J 1 ^ , . . . , 1 ^ i k i e d y z a d a n i e g r u p y 1 ^ w y k o n y w a n e J e s t b e z p o ś r e d n i o p o z a d a n i u z g r u p y 1 ^ , w y m a g a n e J e s t p r z e r
^ b r o j e n i e m a s z y n y , k t ó r e z a j m u j e s ^ j e d n o s t e k c z a s u ; s a a =^ cl^ a k a ż d e g o a . R o z w a ż a m y p r z y p a d e k ^ k i e d y c z a s y p r z e z b r o j e ń s a J e d n a k o w e , p r z y j m u j ą c . b e z s t r a t y o g ó l n o ś c i r o z w a ż a ń , ż e s a ^ s=1 d l a a ^ b . N a l e ż y z n a l e ź ć u s z e r e g o w a n i e C k o l e j n o ś ć w y k o n y w a n i a z a d a ń D , d l a k t ó r e g o m aXj ^ j C C j + q ^ D , t o j e s t c z a s d o s t a r c z e n i a w s z y s t k i c h z a d a ń , p r z y j m u j e w a r t o ś ć m i n i m a l n a ; p r z e z C j o z n a c z a m y c z a s z a k o ń c z e n i a w y k o n y w a n i a z a d a n i a J p r z e z m a s z y n ę .
Z g o d n i e z n o t a c j a G r a h a m a e t a l . C A ] , k l a s y c z n y , b e z p r z e z b r o j e ń , o d p o w i e d n i k n a s z e g o p r o b l e m u o z n a c z a n y j e s t p r z e z 1 | r ^ , q ^ | c m a x - S f o r m u ł o w a n y p r o b l e m J e s t s i l n i e N P - t r u d n y , p o n i e w a ż J e g o s z c z e g ó l n y p r z y p a d e k , p r o b l e m
* lr i * l ^ m a x ’ n a l c * ° k l a s y p r o b l e m ó w s i l n i e N P - t r u d n y c h 171. D o k l a s y p r o b l e m ó w N P - t r u d n y c h n a l e ź a r ó w n i e ż p r z y p a d k i s z c z e g ó l n e , g d y w s z y s t k i e
a l b o w s z y s t k i e q^ s a J e d n a k o w e C 23 .
R o z p a t r y w a n y p r o b l e m z n a n y j e s t r ó w n i e ż p o d n a s t ę p u j a c a e k w i w a l e n t n a p o s t a c ią - N i e c h K b e d z i e s t a ł a s p e ł n i a j ą c a w a r u n e k K > m a X j e j q j i n i e c h d j= K - q j b e d z i e p o ż ą d a n y m t e r m i n e m z a k o ń c z e n i a w y k o n y w a n i a z a d a n i a j . Ł a t w o
•O P r a c a b y ł a f i n a n s o w a n a p r z e z R P . I . 0 2 " T e o r i a s t e r o w a n i a i o p t y m a l i z a c j i c i ą g ł y c h u k ł a d ó w d y n a m i c z n y c h i p r o c e s ó w d y s k r e t n y c h " .
z a u w a ż y ć , ź e m a x . TC C + q . } = m a x , - C C .- d .} + K , a z a t e m m i n i m a l i z a c j a c z a s u , w k t ó r y m w s z y s t k i e z a d a n i a s ą d o s t a r c z o n e fJ e s t r ó w n o w a ż n a m i n i m a l i z a c j i m a k s y m a l n e j n i e t e r m i n o w o ś c i . O b a w a r i a n t y p r o b l e m u n a l e ż ą d o p o d s t a w o w y c h mo
d e l i t e o r i i s z e r e g o w a n i a , o w i e l u p r a k t y c z n y c h i t e o r e t y c z n y c h z a s t o s o w a n i a c h ; w tym d r u g i m p r z y p a d k u s t o s o w a n e s ą d o k o n s t r u k c j i a l g o r y t m ó w d l a b a r d z i e j z ł o ż o n y c h z a g a d n i e ń s z e r e g o w a n i a .
Mimo t e g o , ż e d l a p r o b l e m u b e z p r z e z b r o j e ń i s t n i e j ą w y d a j n e a l g o r y t m y d o k ł a d n e o p a r t e n a m e t o d z i e p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń C p a t r z n p . C 3 3 . C 1 3 ] o r a z p r z e g l ą d l i t e r a t u r y w [ 3 ] } o r a z a l g o r y t m a p r o k s y m a c y j n y o o s z a c o w a n i u 4 / 3 , b a z u j ą c y n a k o n s t r u k t y w n y c h w ł a s n o ś c i a c h s a m e g o p r o b l e m u C p a t r z p r z e g l ą d a l g o r y t m ó w w d a l s z e j c z ę ś c i n i n i e j s z e j p r a c y } , t o J e d n a k b r a k J e s t J a k d o t ą d p r ó b p r z e n i e s i e n i a t y c h w y n i k ó w n a p r o b l e m z p r z e z b r o j e n i a m i . B a d a n a b y ł a m o ż l i w o ś ć k o n s t r u k c j i a l g o r y t m ó w d o k ł a d n y c h i a p r o k s y m a c y j n y c h d l a p r z y p a d k u s z c z e g ó l n e g o , k i e d y w s z y s t k i e c z a s y g o t o w o ś c i r j , a l b o w s z y s t k i e
s ą j e d n a k o w e . W [ 8 ] s f o r m u ł o w a n o a l g o r y t m p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o d l a t e g o p r z y p a d k u , o b e j m u j ą c y r ó w n i e ż s y t u a c j e o g ó l n a , k i e d y c z a s y p r z e - 2b r o j e ń z a l e ż ą o d g r u p . A l g o r y t m t e n J e s t w i e l o m i a n o w y z e w z g l ę d u n a l i c z b ę z a d a ń i w y k ł a d n i c z y z e w z g l ę d u n a i l o ś ć g r u p . J e d n a k ż e , p o z a p r z y p a d k a m i , w k t ó r y c h B j e s t b a r d z o m a ł e , p o s i a d a z n a c z e n i e w y ł ą c z n i e t e o r e t y c z n e . W C l i ] p o d a n o s z e r e g w ł a s n o ś c i u ł a t w i a j ą c y c h k o n s t r u k c j e a l g o r y t m ó w d l a t e g o s z c z e g ó l n e g o p r o b l e m u o r a z p r z e d s t a w i o n o s e r i e a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h o o s z a c o w a n i a c h b ł ę d u w z g l ę d n e g o m a x < l ,n - l > , 2 i 5 / 3 ; p o d e j ś c i e t am z a s t o s o w a n e n i e m o że b y ć J e d n a k r o z s z e r z o n e n a z a g a d n i e n i e z r ó ż nymi c z a s a m i g o t o w o ś c i i r ó ż n y m i c z a s a m i d o s t a r c z e n i a .
W p r a c y p r z e d s t a w i a m y p r ó b ę k o n s t r u k c j i a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h d l a z a g a d n i e n i a 1 |r^ , q^ |(^m a x z J e d n a k o w y m i g r u p o w y m i p r z e z b r o j e n i a m i w o p a r c i u o m e t o d e a n a l i z y n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u , p o d o b n a d o t e j , k t ó r a b y ł a ¡ t o s o w a n a w p r z y p a d k u a l g o r y t m ó w d l a z a g a d n i e n i a b e z p r z e z b r o j e ń [ 9 3 . P o d a j e m y o g ó l n y a l g o r y t m , b e d a c y w p ew n y m s e n s i e d a l s z y m r o z w i n i ę c i e m u o g ó l n i o n e j r e g u ł y J a c k s o n a C k t ó r a o k a z a ł a s i e b y ć n i e z w y k l e s i l n y m n a r z ę d z i e m d l a p r z y p a d k u b e z p r z e z b r o j e ń , p a t r z d a l s z a c z e ś ć p r a c y } , i n a s t ę p n i e b a d a m y d o k ł a d n o ś ć J e g o r ó ż n y c h w a r i a n t ó w i m o d y f i k a c j i . W r e z u l t a c i e p r z e s t a w i o n o • t r z y a l g o r y t m y o o s z a c o w a n i a c h b ł ę d u w z g l ę d n e g o , o d p o w i e d n i o , m a x < 2 ,n - l > , 3 i 8 / 3 , o r a z s f o r m u ł o w a n o p r o s t a m e t o d e o g ó l n a , p o d d a j ą c a s i e a n a l i z i e C n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u } i s u g e r u j ą c ą d a l s z e m o d y f i k a c j e m o gą c e p r z y n i e ś ć p o l e p s z e n i e d o k ł a d n o ś c i . W p r z y p a d k u g d y c z a s y g o t o w o ś c i r ^ s ą J e d n a k o w e , o s z a c o w a n i e 8 / 3 p r z e c h o d z i w 5 / 3 , a z a t e m o t r z y m a n y a l g o r y t m p o s i a d a t a s a m a d o k ł a d n o ś ć z p u n k t u w i d z e n i a a n a l i z y n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u , c o a l g o r y t m p o d a n y w C 1 2 3 ; J e s t j e d n a k o d n i e g o p r o s t s z y i p o s i a d a m n i e j s z a z ło ż o n o ś c i. o b l i c z e n i o w a .
2 . N o t a c j a
N i e c h rr, p e r mu t a c J a z b i o r u J , o k r e ś l a k o l e j n o ś ć w y k o n y w a n i a z a d a ń ; p r z e z
n C iD o z n a c z a m y num er z a d a n i a n a p o z y c j i i w p e r m u t a c j i n. D l a d o w o l n e g o rr o r a z i , 2 < i < n , n i e c h j J e ż e l i riCiD o r a z rzCi-lD n a l e ż ą d o t e j s a mej g r u p y , o r a z w p r z e c i w n y m p r z y p a d k u ; s ^ ^ —O.’
D l a d a n e j k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n i a z a d a ń rr. c z a s d o s t a r c z e n i a w s z y s t k i c h z a d a ń , o z n a c z a n y d a l e j p r z e z C ^ ^ C r O , w y n o s i
C C r O = m a x , C T - . . . + Z , . C p ^ . ^ + s ^ . ^ D + q ^ . ^ O . C l }
m a x l < i < J < n n C i 5 k = i 'rzC k } nC k } n C J }
R o z p a t r y w a n y t u p r o b l e m p o l e g a w i ę c n a z n a l e z i e n i u p e r m u t a c j i n , w z b i o r z e w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i z b i o r u J , d l a k t ó r e j f u n k c j a C p r z y j m u j e war-
H M
t o ś ć m i n i m a l n ą ; o z n a c z a m y C =<-m ax<*77 -*•
O z n a c z m y d a l e j p r z e z u^ i u ^ w a r t o ś c i , o d p o w i e d n i o i o r a z J , d l a k t ó r y c h o s i ą g a n e j e s t m ak sim um w w y r a ż e n i u C l } . C i ą g z a d a ń C r r C u ^ } , . . . , rrCu^}}
n a z y w a ć b ę d z i e m y blohiem\ p r z e z W o z n a c z a ć b e d z i e m y z b i ó r z a d a ń b l o k u , W =< n C u ^D , . . . , n C u ^ } } , n a t o m i a s t p r z e z k , l i c z b ę p r z e z b r o j e ń w b l o k u p e r m u t a c j i rr, z w y ł ą c z e n i e m p r z e z b r o j e ń w y s t ę p u j ą c y c h b e z p o ś r e d n i o p r z e d z a d a n i e m n C u ^ } i z a z a d a n i e m n C u ^ D .
D l a V c J . n i e c h z C V } b e d z i e l i c z b ą g r u p , k t ó r y c h z a d a n i a n a l e ż ą d o V.
D l a d a n e g o 'n . m a k s y m a l n y c i ą g k o l e j n y c h z a d a ń z t e j s a m e j g r u p y n a z y w a m y segmentem. C i ą g s e g m e n t ó w , . . . , L^. p e r m u t a c j i n , t a k i , ż e n = C L ^ , . . . , L ^ } Ctt J e s t p o ł ą c z e n i e m c i ą g ó w . , L ^ } n a z y w a m y segmentowa, reprezentacja, n ; v —1 J e s t l i c z b ą p r z e z b r o j e ń d l a k o l e j n o ś c i n . N a l e ż y z a u w a ż y ć , ż e d l a d o w o l n e g o n , v > B . P e r m u t a c j e , d l a k t ó r e j v = B , n a z y w a m y u s z e r e g o w a n i e m g r u p o wymi; w u s z e r e g o w a n i u t a k i m z a d a n i a k a ż d e j g r u p y w y k o n y w a n e s ą k o l e j n o p o s o b i e , a l i c z b a p r z e z b r o j e ń o s i ą g a s w o j ą m i n i m a l n ą w a r t o ś ć B - l . D l a V c J , o z n a c z a m y : PC V } = Z^ ^ p ^ , rC VO =mi j , qC V} =mi n^ e V q j •
Z g o d n i e z p o w y ż s z y m i o z n a c z e n i a m i ,
- „ . +PC W} + k + q . . C 2 }
n C u ^ } ^ n C U g }
W d a l s z y m c i ą g u , b ę d z i e m y c z ę s t o w y ko rzysty w ać n a s t ę p u j ą c e d o l n e o g r a - n i c z e n i e n a C . D l a d o w o l n e g o V c J ,
C > r C V } + P C V } + z C V } - l + q C V } . C 3 }
N i e r ó w n o ś ć t a w y n i k a b e z p o ś r e d n i o z C l } .
D o k ł a d n o ś ć a l g o r y t m u a p r o k s y m a c y j n e g o A d l a p e w n e g o u s t a l o n e g o p r o b l e - mu k o n k r e t n e g o o c e n i a ć b e d z i e m y za pomocą, i l o r a z u C A ^ C , g d z i e C A j e s t w a r t o ś c i ą f u n k c j i c e l u o t r z y m a n ą p r z e z a l g o r y t m A . D o k ł a d n o ś ć a l g o r y t m u A d l a d o w o l n e g o p r o b l e m u k o n k r e t n e g o o k r e ś l a p a r a m e t r p ,
P A = i n f < f > l : C A / C < f d l a k a ż d e g o p r o p l e m u k o n k r e t n e g o } .
T a k w i e c , d l a k a ż d e g o p r o b l e m u k o n k r e t n e g o , C A / C * < p A , i o g r a n i c z e n i e t o j e s t n a j l e p s z e z m o ż l i w y c h . W t l i , P A n a z y w a n e j e s t b e z w z g l ę d n y m o s z a c o w a n i e m C b ł e d u a l g o r y t m u } . W n i n i e j s z e j p r a c y , d l a o k r e ś l e n i a g ó r n e g o o g r a n i c z e n i a n a p A> u ż y w a m y n a z w y o s z a c o w a n i e b t ę d a względnego, n a t o m i a s t
sa m o p A n a z y w a n e j e s t parametrem, n a j g o r s z e g o przypadku.
3 . A l g o r y t m y a p r o k s y m a c y j n e d l a p r z y p a d k u B=1
P r z e d s t a w i m y n a j p i e r w p r z e g l ą d a l g o r y t m ó w a p r o k s y m a c y j n y c h d l a p r o b l e m u 1 |r i • ^ |(-m a x b ° 2 p r z e z b r o j e ń C B = 1 3 , w y n i k i a n a l i z y n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u z w i ą z a n e z tym p r o b l e m e m , i n a t y m t l e s f o r m u ł u j e m y w d a l s z y m c i ą g u p r a c y a l g o r y t m y a p r o k s y m a c y j n e d l a z a g a d n i e n i a z p r z e z b r o j e n i a m i C B > 1 D .
P i e r w s z y a l g o r y t m a p r o k s y m a c y j n y s f o r m u ł o w a n y z o s t a ł w C 1 0 3 ; n o s i o n c z ę s t o n a z w ę U o g ó l n i o n e j R e g u ł y J a c k s o n a C U R J J . Mówi o n a , ż e J e ż e l i w d a n e j c h w i l i m a s z y n a J e s t w o l n a , t o s p o ś r ó d z a d a ń d o s t ę p n y c h d o r e a l i z a c j i n a l e ż y w y b r a ć d o w y k o n y w a n i a t o , k t ó r e ma n a j d ł u ż s z y c z a s d o s t a r c z e n i a . B a r d z i e j s f o r m a l i z o w a n y o p i s t e g o a l g o r y t m u , p r z y s t o s o w a n y d o d a l s z e g o w y k o r z y s t a n i a w e w n ą t r z i n n y c h p r o c e d u r , ma p o s t a ć n a s t ę p u j ą c a :
p r o c e d u r ę U R J C S . t , cO
C D a n e w e j ś c i o w e : S - z b i ó r z a d a ń , k t ó r e n a l e ż y u s t a w i ć p o o s t a t n i m z a d a n i u c i ą g u p o c z ą t k o w e g o a , t - n a j w c z e ś n i e j s z y m o ż l i w y t e r m i n r o z p o c z ę c i a w y k o n y w a n i a z a d a ń z e z b i o r u S , a - p o c z ą t k o w y c i ą g z a d a ń C S n a = 0 } ;
D a n e w y j ś c i o w e : a - c i ą g z a d a ń b e d a c y p o ł ą c z e n i e m c i ą g u p o c z ą t k o w e g o i c i ą g u o t r z y m a n e g o p r z e z u p o r z ą d k o w a n i e S , t - c z a s z a k o ń c z e n i a w y k o n y w a n i a o s t a t n i e g o z a d a n i a w a>
b e g i n
w h i l e S?*0 d o b e g i n
Q:
R: = < j e Q :
j : = d o w o l n e z a d a n i e z e z b i o r u R ;
a : ” C a , J D ( d o ł ą c z e n i e J d o a n a o s t a t n i e j p o z y c j i > ; . S : = S v C j > ;
t : = m a x < t + p j , m i n ^ ^ r ^ > ; e n d
e n d
A n a l i z a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u a l g o r y t m u U R J o r a z k o n s t r u k c j a i a n a l i z a d a l s z y c h J e g o m o d y f i k a c j i o p i e r a j ą s i ę n a s t ę p u j ą c y c h s p o s t r z e ż e n i a c h . N i e c h CrcCu^D , . . . , n r C u ^ D b e d z i e b l o k i e m w p e r m u t a c j i n o t r z y m a n e j p r z e z U R J C d i a d a n y c h w e j ś c i o w y c h : J , m i n ^ ^ r
j
, 0J o n a j m n i e j s z y m m o ż l iw y m u^ . Ł a t w om o ż n a s p r a w d z i ć , ż e r < i ^ S i S U g . S t a d . d l a
u ^ < i < U g , t o TT J e s t u s z e r e g o w a n i e m o p t y m a l n y m , p o n i e w a ż C > r n C u +
^rcCu } =<“ m axi’ n ^* -Je:* e l i w a r u n e k t e n n i e J e s t s p e ł n i o n y . t o z n a c z y 2
i s t n i e j e z a d a n i e rrCcD, u < c < u ._, t a k i e ż e q - q „ v i q _ . >q „ _ d l a
1 2 ^ftCc} ^rzCu^} ^ n C i } ^ n C u ^ D
c + l < i < u 2 , t o . C 9 ] ,
= < j e S : r j < t > ;
C U RJ C ~ p n C c D ' C 43 Z a d a n i e n C c ) n a z y w a n e j e s t d a l e j kolizyjnym.
P a r a m e t r n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u d l a U R J w y n o s i 2 . C 9 3 . J a k w y n i k a z C42>, J e ż e l i P j < C l / 2 5 P C J D d l a k a ż d e g o J , t o C ^ j / C ^ < 3 / 2 . P o n i e w a ż i s t n i e j e c o n a j w y ż e j j e d n o z a d a n i e , k t ó r e t e j n i e r ó w n o ś c i n i e s p e ł n i a , w i d a ć w i e c , ż e w p ł y w a j ą c n a p o ł o ż e n i e t e g o z a d a n i a w u s z e r e g o w a n i u w t e n s p o s ó b , a b y n i e b y ł o o n o z a d a n i e n k o l i z y j n y m , m ożem y e w e n t u a l n i e o t r z y m a ć m o d y f i k a c j e URJ o o s z a c o w a n i u b ł ę d u w z g l ę d n e g o m n i e j s z y m riiż 2 . J e s t t o i d e a m o d y f i k a c j i z a p r o p o n o w a n e j p r z e z P o t t s * . 1 9 3 , n a z y w a n e j d a l e j a l g o r y t m e m M U R J , d l a
k L 6 r e J P M U R J = 3 / 2 - p r o c e d u r e MURJ b e g i n
r e p e a t n: =
0
;URJC J , mi n ^e j r j •
i f i s t n i e j e " z a d a n i e k o l i z y j n e nCcD , t h e n r r -r r . ;
u n C c J n C U g ) ’
u n t i l n i e i s t n i e j e z a d a n i e k o l i z y j n e l u b w y k o n a n o n i t e r a c j i ; w y b i e r z u s z e r e g o w a n i e o n a j m n i e j s z e j w a r t o ś c i f u n k c j i c e l u ; en d
A l g o r y t m y U R J i MURJ m o ż n a ł a t w o p r z y s t o s o w a ć d o r o z w i ą z y w a n i a z a g a d n i e n i a z o g r a n i c z e n i a m i k o l e j n o ś c i o w y m i . W tym c e l u w y s t a r c z y t a k m o d y f i k o wać w a r t o ś c i r ^ i ^ a ż e b y n i e " z n i e k s z t a ł c a j ą c " p r o b l e m u , w y m u s ić n a URJ
" a u t o m a t y c z n e " s p e ł n i a n i e o g r a n i c z e ń k o l e j n o ś c i o w y c h . W p r z y p a d k u URJ w a r u n e k t e n s p e ł n i a m o d y f i k a c j a : j e ż e l i z a d a n i e i p o p r z e d z a J , t o r . : = m a x< ri , T j > o r a z : =m a x< q i , q ^ > . A l g o r y t m z t e g o t y p u m o d y f i k a c j a o z n a c z a m y p r z e z U R J * . W p r z y p a d k u MURJ n a l e ż y z a s t o s o w a ć U R J " w m i e j s c e U R J o r a z r o z s z e r z y ć m o d y f i k o w a n i e c z a s ó w g o t o w o ś c i , w i n s t r u k c j i i f , n a t e w s z y s t k i e z a d a n i a , o b o k n C c J , k t ó r e m u s z a b y ć p o p r z e d z a n e p r z e z n C c J .
O s t a t n i o H a l l i S h m o y s C63 p r z e d s t a w i l i m o d y f i k a c j e a l g o r y t m u MURJ d l a r o z w i ą z y w a n i a 1 I r . , q . , p r e c | C , n a z y w a n a d a l e j H S , d l a k t ó r e j p „ = 4 / 3 .
* i i * m ax nw
P o l e g a o n a n a s t o s o w a n i u M U R J ł d o o r y g i n a l n e j i o d w r ó c o n e j w e r s j i p r o b l e mu, p r z y c z y m w p r z y p a d k a c h , g d y i s t n i e j ą d w a d ł u g i e z a d a n i a u i v t a k i e , że p u , p v > C 1 / 3 } P C J J , w m i e j s c e n n a l e ż y s t o s o w a ć 2 n - 3 i t e r a c j i p r o c e d u r y U R J * . P r z e z w e r s j e o d w r ó c o n a r o z u m i e m y p r o b l e m , w k t ó r y m r o l e r ^ i q^
s a z a m i e n i o n e ^ a o g r a n i c z e n i a k o l e j n o ś c i o w e o d w r ó c o n e , p r o c e d u r e H S
b e g i n b e g i n
i f n i e i s t n i e j ą z a d a n i a u i v t a k i e , ż e p ^ , p ^ > C 1 / 3 } P C J3> t h e n z a s t o s u j M URJ* d o o r y g i n a l n e j i o d w r ó c o n e j w e r s j i p r o b l e m u ; e l s e
i f i s t n i e j e r e l a c j a k o l e j n o ś c i o w a d l a u i v t h e n
z a s t o s u j M U R J * z 2 n - 3 i t e r a c j a m i d o o r y g i n a l n e j i o d w r ó c o n e j w e r s j i p r o b l e m u ;
e l s e d o d a j o g r a n i c z e n i e " u p o p r z e d z a v " i z a s t o s u j M URJ* z 2 n - 3 i t e r a c j a m i d o o r y g i n a l n e j i o d w r ó c o n e j w e r s j i p r o b l e m u ; d o d a j o g r a n i c z e n i e " v p o p r z e d z a u " i z a s t o s u j M URJ* z 2 n - 3 i t e r a c j a m i d o o r y g i n a l n e j i o d w r ó c o n e j w e r s j i p r o b l e m u ; e n d
w y b i e r z u s z e r e g o w a n i e o n a j m n i e j s z e j w a r t o ś c i f u n k c j i c e l u ; e n d
H a l l i S h m o y s C63 p o d a l i r ó w n i e ż d w a w i e l o m i a n o w e s c h e m a t y a p r o k s y m a c y j n e d l a * |r i ’ I(”'ma x * d o p r o w a d z a j ą c w t e n s p o s ó b d y s k u s j e n a d a l g o r y t mami a p r o k s y m a c y j n y m i d l a t e g o z a g a d n i e n i a n i e j a k o d o k o ń c a ; u z y s k a n i e w p e ł n i w i e l o m i a n o w e g o s c h e m a t u a p r o k s y m a c y j n e g o n i e J e s t m o ż l i w e C p r z y z a ł o ż e n i u P /N P D » p o n i e w a ż p r o b l e m 1 |r^ | J e s t s i l n i e N P - t r u d n y .
P o n i ż e j p r z e d s t a w i a m y z e s t a w i e n i e o m ó w io n y c h a l g o r y t m ó w .
A l g o r y t m A P A Z ł o ż o n o ś ć o b l i c z . U w ag i
U R J , U R J * 2 O C n l o g n } C 9 ]
M U R J , M U R J ' 3 / 2 2
O C n l o g n D 193
H S 4 / 3 2
O C n 1 o g n } C 63
W i e l o m . s c h . a p r o k s . C 1
.
, 3 + 4 / j c .O C 1 6 C n / ¿ O } C 6]
W i e l o m . s c h . a p r o k s . D 1 +£
2 rsr \ . r
a s -v 8 / C + 8 / ^ + 2 ^
O C n l o g n + n C 4 / / D } C63
4 . A l g o r y t m y a p r o k s y m a c y j n e d l a p r z y p a d k u B>1
Z a jm o w a ć s i e b ę d z i e m y w y ł ą c z n i e z a g a d n i e n i e m b e z o g r a n i c z e ń k o l e j n o ś - c i o w y c h . R o z p o c z n i e m y o d a l g o r y t m u , k t ó r y j e s t r o z s z e r z e n i e m U o g ó l n i o n e j R e g u ł y J a c k s o n a . N i e z w y k l e k o r z y s t n e w ł a s n o ś c i t e j r e g u ł y u s p r a w i e d l i w i a j ą p r ó b ę J e j w y k o r z y s t a n i a r ó w n i e ż w z a g a d n i e n i u z p r z e z b r b j e n i a m i .
W o m a w ia n y m a l g o r y t m i e z a k ł a d a s i e * ż e k a ż d a g r u p a 1 ^ r o z b i t a J e s t n a m p o d z b i o r ó w C p o d g r u p } I I . Z a d a n i a k a ż d e j z p o d g r u p u s t a w i a n e
a a i a , m
a
s ą k o l e j n o p o s o b i e w e d ł u g p r o c e d u r y U R J . Z k o l e i p o d g r u p y w y b i e r a n e s ą
w e d ł u g z a s a d y : j e ż e l i w d a n e j c h w i l i m a s z y n a j e s t w o l n a , t o w y b i e r z d o r e a l i z a c j i p o d g r u p ę * d o k t ó r e j n a l e ż y z a d a n i e o n a j d ł u ż s z y m c z a s i e d o s t a r c z e n i a s p o ś r ó d z a d a ń d o s t ę p n y c h d o w y k o n y w n i a . A l g o r y t m t e n z a p i s u j e m y w p o s t a c i n a s t ę p u j Ą c e j p r o c e d u r y ,
p r o c e d u r ę AC I , i =1 , . . . , m ^ , a = l , . . . , B , rO
C D a n e w e j ś c i o w e : p o d g r u p y 1 ^ * i =1 , . . . , m ^ , a = l , . . . , B ; D a n e w y j ś c i o w e : p e r m u t a c j a rr>
b e g i n
T : = J ; t : = j n in j€j T j ; t : “ T-l ; n: =0; b : = 0 ;
w h i l e T V O d o b e g i n
Q : = < J e T : r j<t> ; R : = < J e Q :
C a , l D : = i n d e k s y p o d g r u p y , d o k t ó r e j n a l e ż y z a d a n i e z e z b i o r u R ; i f a ^ b t h e n t := r a a x < T , t + l > ;
e l s e t : =t; U R J C I ^ . t . f O ; b : = a ;
T ==iXEa l ;
t:=max<t,minj€TTj>;
e n d e n d
W a l g o r y t m i e A , p o d z i a ł g r u p n a p o d g r u p y J e s t a r b i t r a l n y . R o z p a t r z m y d w i e s k r a j n e m o ż l i w o ś c i t a k i e g o p o d z i a ł u . P i e r w s z a , k i e d y k a ż d e z a d a n i e t w o r z y o d d z i e l n a p o d g r u p ę C a l g o r y t m A I D , i d r u g a , k i e d y g r u p y n i e s a r o z b i t e n a p o d g r u p y ; ma =l d l a a a l , . . . , B C a l g o r y t m A 2 D . A l g o r y t m A l z a c h o w u j e s i e t a k j a k U R J w o d n i e s i e n i u d o z a g a d n i e n i a b e z p r z e z b r o j e ń — w d o b o r z e z a d a ń i g n o r u j e p r z e z b r o j e n i a . D r u g i e p o d e j ś c i e , A 2 , J e s t _ J e g o p r z e c i w s t a w i e n i e m - z a k ł a d a m i n i m a l n a l i c z b ę p r z e z b r o j e ń , B - l .
T w i e r d z e n i e 1 . D l a a l g o r y t m ó w A l i A 2 z a c h o d z i : aD p . . = m a x < 2 ,n - l > ,
“ p t<z = 3 -
D o w 6 d . N i e c h n b i d z i e p e r m u t a c j a o t r z y m a n a p r z e z a l g o r y t m A ; d a l e j p r z y j mować b e d z l e m y . Z e p o z y c j a u^, p i e r w s z e g o z a d a n i a b l o k u w n J e s t n a j m n i e j s z a z m o ż l i w y c h . N a p o d s t a w i e C 3 3 mamy n i e r ó w n o ś ć
C * > r C V D + P C W D + z C W D - l + q C W 3 . COD
a J Z o p i s u A l w y n i k a , Z e irC u.^ J e s t a l b o p i e r w s z y m z a d a n i e m w n , a l b o b e z p o ś r e d n i o p r z e d rrCu^J m a s z y n a n i e w y k o n u j e Ż a d n e g o z a d a n i a a n i n i e J e s t p r z e z b r a j a n a . Z a t e m ^ = r C V D , i n a p o d s t a w i e C2D i C 6 J mamy,
C . , - C * < k - z C W J + i + q . _- q C V D . C 7 J
A l nC u _D
W W
J e Z e l i z C V D = l , t o k = 0 i w k o n s e k w e n c j i C < q nC(j ^ £ C .
Z a ł ó Z m y , Z e z C V D > 2 . O z n a c z a t o . Z e w s k ł a d b l o k u w c h o d z ą z a d a n i a p r z y n a j m n i e j d w ó c h s e g m e n t ó w . R o z w a ż m y d w a s e g m e n t y ; s e g m e n t z a w i e r a j ą c y -ada- n i e n C U g l i s e g m e n t b e z p o ś r e d n i o g o p o p r z e d z a j ą c y . J e Z e l i J e d e n z t y c h s e g m e n t ó w z a w i e r a z a d a n i e n C J J n a l e ż ą c e d o b l o k u i s p e ł n i a j ą c e
q - .^ < q , t o z a c h o d z i C AĄ / C < 2 . R z e c z y w i ś c i e , n i e c h ttCJD b e d z i e
tzC JD ^ n C u ^ D Al
p i e r w s z y m t a k i m z a d a n i e m i d ą c o d n C u ^D d o n C u ^ D , o r a z n i e c h r b e d z i e mo
m entem j e g o r o z p o c z ę c i a . Z g o d n i e z a l g o r y t m e m , w c h w i l i t z a d a n i e n i e b y ł o d o s t ę p n e , z a t e m r n(-u • N i e c h T = < n C J D , . . . .n C u ^ D D . Mamy w t e d y
CA1 5 T + P C T 3 + 1 + q nC u2 3 1 C* - T + q rtCUgD" S t * d CA 1 "C *‘ £ PC T>+1 5 C"
R o zw a ż m y t e r a z p r z y p a d e k , g d y ż a d e n z r o z w a ż a n y c h s e g m e n t ó w n i e z a w i e r a z a d a n i a rrCj}. W y n i k a s t a d » n a p o d s t a w i e C2!>, ż e z a c h o d z i C * > 1 + ą ^ ^ ^ .
U c z ą c t ę n i e r ó w n o ś ć z C T O , o r a z w y k o r z y s t u j ą c f a k t , ż e k ^ n - 1 , o t r z y m u j e m y C ^ / C < n - l , c o ł ą c z n i e z o g r a n i c z e n i a m i p o p r z e d n i o r o z w a ż a n y c h p r z y p a d k ó w K
d a j e / C * < m a x < 2 ,n - l > .
P o k a ż e m y t e r a z , ż e o g r a n i c z e n i e t o J e s t n a j l e p s z e z m o ż l i w y c h . N i e c h p i q b e d a , o d p o w i e d n i o , c z a s e m w y k o n y w a n i a i c z a s e m d o s t a r c z e n i a z a d a n i a j - t e g o w g r u p i e a . Z a k ł a d a m y , ż e : B = 2 , n = 2 M , o r a z ż e d l a j = l , . . . , n d a n e p o s z c z e g ó l n y c h z a d a ń s a j a k n a s t ę p u j ę :
a r • P i q ,
___________________________________ i j t j _________ ______________
1 0
Zc
C2 J -1 3 C2 0
Zc
C 2 j- 2 3 cg d z i e 0< 2M e < l. M olna ł a t w o s p r a w d z i ć . Z e a lg o r y t m Al g e n e r u j e p e r m u t a c je CCI ,M3 .C 2 .M 3 .C l . M-13 . C 2 , M - 13 Cl .1 3 . C 2 . 1 3 3 ,
g d z i e p a r a C a . j O o z n a c z a j - t e z a d a n i e g r u p y a , d l a k t ó r e j = n - l + 2 n c . U s z e r e g o w a n i e
C C 1 . M 3 . . . . C 1 . 1 3 . C 2 . M 3 ... C 2 .1 3 3
M M
d a j e w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u 1 + 2 n c > C . Z a t e m > Cn-1 + 2 n * 0 / C l + 2 n £ 0 , g d z i e p r a w a s t r o n a n i e r ó w n o ś c i m o że b y ć d o w o l n i e b l i s k a n-1 d l a £■+ o . b } Na p o d s t a w i e C 6 ^ , C73> o r a z f a k t u , ż e k = z C V O -1 mam y,
C A_-C** < r . A 2 n C u ^ } -rCW3+q ^ n C u ^ D ^
r
.-qCW3 < 2 C * .N a s t ę p u j ą c y p r z y k ł a d p o k a z u j e , ż e o g r a n i c z e n i e t o j e s t n a j l e p s z e z m o
ż l i w y c h . N i e c h b e d z i e B g r u p , a w k a ż d e j g r u p i e 3 z a d a n i a o n a s t ę p u ją c y c h d a n y c h , j e d n a k o w y c h d l a a = l . . . . , B .
J r aJ________________________________ ! ą j ________________________________ q a j
1 O 1 BA +B- 1
2 0 A 0
3 BA+B-1 1 0
A l g o r y t m A 2 d a j e u s z e r e g o w a n i e
CCI .1 3 .C l ,2 3 .C l . 3 3 ...CB . 13 . C B . 23 , C B . 333
z w a r t o ś c i a f u n k c j i c e l u C ^ 2 = 3 A B + 5 B - 2 A - 5 . N a t o m i a s t d l a p e r m u t a c j i CCI , 1 3 .C B , 13 .C l . 2 3 C B . 23 , Cl . 33 . . . . .C B .3 3 3
w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u w y n o s i A B + 5 B - 3 > C * . Z a t e m A 2
C 3 A B + 5 B - 2 A - 5 D /C A B + 5 B - 3 } , p r z y c z y m p r a w a s t r o n a t e j n i e r ó w n o ś c i d ą ż y d o 3
d l a A i B d ą ż ą c y c h d o n i e s k o ń c z o n o ś c i . o
R o z p a t r z y m y t e r a z m o d y f i k a c j e a l g o r y t m u A , w k t ó r e j p r o c e d u r a A p o w t a r z a n a j e s t w o d n i e s i e n i u d o z m i e n i a j ą c e g o s i e . z i t e r a c j i n a i t e r a c j e , r o z b i c i a * g r u p n a p o d g r u p y . Z a k ł a d a s i e p r z y t y m , ż e k a ż d a g r u p a 1 ^ s k ł a d a
s i e z c o n a j w y ż e j d w ó c h p o d g r u p I i I , p r z y czyra p o c z ą t k o w o I . : =1 i
aj. a c a l a
I ^ g : —0 . W k a ż d e j k o l e j n e j i t e r a c j i a l g o r y t m u A , z a d a n i e o n a j m n i e j s z y m w b l o k u , m n i e j s z y m o d rrCug } , p r z e n o s z o n e J e s t z o d p o w i a d a j ą c e j mu p o d g r u p y I d o 0 sam ym i n d e k s i e a .
P o n a d t o * p r z y j m u j e s i e w n i e j , ż e c z a s y g o t o w o ś c i z a d a ń s a z m o d y f i k o w a n e n a s t ę p u j ą c o : r : =r . j e J , g d z i e r = m a x . Tr .. P o n i e w a ż , d l a p o t r z e b
J m a x m a x jg j j
a l g o r y t m u , c z a s y g o t o w o ś c i s a j e d n a k o w e , p r o c e d u r a A u s t a w i a z a d a n i a w p o d g r u p a c h w e d ł u g n i e r o s n ą c y c h , z a ś p o d g r u p y w e d ł u g n i e r o s n a c y c h
m a x . _ q . . P r o c e d u r a k o ń c z y s i e . J e ż e l i b r a k j e s t t a k i e g o z a d a n i a l u b a i
b l o k w k o l e j n o u t w o r z o n e j p e r m u t a c j i z a w i e r a n i e p u s t a p o d g r u p ę p r o c e d u r e A 3
b e g i n
f o r a : =1 t o B d o I < : =1 ; I = 0 ;
a l a a 2
f o r j : =1 t o n d o r . : =r : j m a x ' r e p e a t
AC I < . 1 * , a = l B . r O ; a l a 2
J : = z a d a n i e z e z b i o r u W s p e ł n i a j ą c e q j = q C W D ; a : = g r u p a ; d o k t ó r e j n a l e ż y j ;
I . * ’
u n t i l q C V O > q _ - o r k > zC V D
w y b i e r z p e r m u t a c j e n o n a j m n i e j s z e j w a r t o ś c i f u n k c j i c e l u ; e n d
T w i e r d z e n i e 2 . D l a k a ż d e g o p r o b i ému k o n k r e t n e g o , 3 C A 3 < 5 C + 3 r m a x -
D o w ó d . N i e c h n b e d z i e p e r m u t a c j a , d l a k t ó r e j k > z C V D . P o n i e w a ż J e s ^ d l a u s t a l o n e g o n n i e m a l e j a c a f u n k c j a d o w o l n e g o z e s w o i c h p a r a m e t r ó w r j , p ^., q j , j e J , p r z y u s t a l o n y c h p o z o s t a ł y c h , s t a d
C’ < r + P C V O + k + q r . < r + P C JD +2B- 1 +q C8D
A 3 m a x rzC u ) m a x nC u j
g d z i e u e u^ ; z a u w a ż m y , ż e d l a j e d n a k o w y c h r ^ z a c h o d z i z a w s z e u ^ = 1 . D r u g a z p o w y ż s z y c h n i e r ó w n o ś c i j e s t k o n s e k w e n c j a f a k t u , ż e k < 2 zC W 3 - l o r a z z C V Q < B . 2 n i e r ó w n o ś c i k > zC V D w y n i k a , ż e i s t n i e j e p r z y n a j m n i e j j e d n a p o d g r u p a I a g , k t ó r e j z a d a n i a n a l e ż a d o b l o k u w n . N i e c h 1 b e d z i e z a d a n i e m p o d g r u p y I a 2 ’ n a l e ż a c y m d o b l o k u , i p o s i a d a j ą c y m n a j w i ę k s z e q . w t e j p o d g r u p i e . 2 o p i s u a l g o r y t m u w y n i k a , ż e
n > a C 9 }
q l ~ q rcCuV
O z n a c z m y d a l e j p r z e z rr' p e r m u t a c j e , o t r z y m a n a w i t e r a c j i , w k t ó r e j z a d a n i e 1 p r z e n i e s i o n e z o s t a ł o z 1 ^ d o w d a l s z y m c i ą g u , d l a n* u ż y w a ć b e d z i e m y t y c h s a m y c h o z n a c z e ń c o d l a n , z t y m ż e o p a t r z o n y c h s y m b o l e m
" * Z a u w a ż m y , ż e z g o d n i e z o p i s e m a l g o r y t m u , k * - z C W * D —1 , s t a d , w opar c i u o t e s a m e a r g u m e n t y , c o d l a n i e r ó w n o ś c i C 8 D , mamy
C AO < r +PC W * ) +zC W * ) —1 + q _ . . . C I O )
A 3 m a x ^ n ’ C u ' )
D o b i e r a j ą c o d p o w i e d n i o z b i ó r V w n i e r ó w n o ś c i « C 3 ) o r a z z a u w a ż a j a c ,
&
ż e q C W * ) = q ^ , o t r z y m a m y n a s t e p u j a c e d o l n e o g r a n i c z e n i a n a C .
C > PC J ) +B-1 , C l i )
C * 2 P C W 5 + z C W 3 - l + q , v C 1 3 3
C > * C * ' 3 - l ^ . C u . j ; C 1 3 3
w p r z y p a d k u o s t a t n i e j n i e r ó w n o ś c i , z b i ó r V s k ł a d a s i e z p i e r w s z y c h z a d a ń p o d g r u p w y s t ę p u j ą c y c h w b l o k u Crr’ C l ) rr’ C u ’ ) ) o r a z z z a d a n i a n ' C u ’ ) ; z g o d n i e z o p i s e m a l g o r y t m u z a d a n i e n ’ C u ' ) p o s i a d a n a j m n i e j s z e q^ w z b i o r z e V o r a z z C V ) = z C W ’ ) .
W y k o r z y s t u j ą c p a r y n i e r ó w n o ś c i #C C 9 ) * C l i ) ) , C C 1 0 ) , C 1 2 ) ) i C C 1 0 ) , C 1 3 ) ) , o t r z y m u j e m y
C A 3 " C,< - r m a x + B + q n C u V
C A 3 C ~ r m ax+ q u ’ C u ’ ) q l ’ C . _ - C * 5 r A 3 m ax+ P C W ’ 3 . S t a d , u w z g l ę d n i a j ą c C 9 ) , mamy
3 C . _ - 3 C * < 3 r A 3 m ax + P C V 3 + B - l + l + q ^ n ' C u ’ ) n n C u ) , . + q , -q, < 3 r U m ax+ 2 C * .
R o z w a ż m y t e r a z p r z y p a d e k ^ g d y A 3 z a t r z y m u j e s i e z p o w o d u z a j ś c i a w a r u n k ó w : q C W ) > q ^ u ^ i k = z C W ) ; p r z y p o m i n a m y , ż e u ^ ^ u . N i e c h rr b e d z i e perm u-
t a c j a » d l a k t ó r e j s a o n e s p e ł n i o n e . Mamy. w t e d y < r n^ ^ + P C W ) + z C W ) - l +
q „ r ..>. o r a z C*> PC W ) + z C W ) - l + q , i w k o n s e k w e n c j i C . _ - C * < r □
n C u ) Mn C u ) J A 3 m ax
D l a n a j b a r d z i e j n i e k o r z y s t n y c h w a r t o ś c i r o s z a c o w a n i e z T w i e r d z e n i a 2 p r z y j m u j e p o s t a ć C ^ / C < 8 / 3 . P o k a 2 e m y t e r a z . Z e i s t n i e j e c i ą g p r o b l e m ó w
A 3 '
k o n k r e t n y c h , d l a k t ó r e g o C ^ / C * J e s t z b i e ż n y d o l i c z b y n i e m n i e j s z e j n i ż 5 / 2 .
R o z w a ż m y p r o b l e m , w k t ó r y m B = M + 2 , M > 1 , k a ż d a g r u p a 1 ^ p o s i a d a d w a z a d a n i a C a , l ) i C a , 2 ) , a p o z o s t a ł e d a n e s a J a k n i ż e j . Z a k ł a d a s i e . ¿ e 0 < « < 1 .
a 1 2 M M+l M + 2
r a l 0 0 O 0 0
p a l c c c e ' e
q a l M+Mc H+Hc M+Mc 2M + 2 Mc 2 M + 2 M c + c
r a 2 0 0 0 0 2 M
p a 2 c e e H - l+ C M - 1 3c £
q a 2 0 0 O c O
A l g o r y t m A 3 g e n e r u j e p e r m u t a c j e
C C M + 2 , 1 5 , C M + 2 ,2 D , C M+l , 15 , C M+l , 2 5 , C1 , 1 5 , C 2 , 1 5 , . . . C M , 1 5 , C M , 2 D , C M-l , 25 . . . , C l , 2 5 5 ,
d l a k t ó r e j C ^ = 5 M + 3 M / : + £ . N a t o m i a s t p e r m u t a c j a
C C M + 25 , 1 5 , C M+l , 1 5 , C l , 1 5 , C l , 25 , C 2 , 1 5 . C 2 , 2 5 , . . . , C M , 1 5 , CM , 2 5 , CM+1 . 2 5 , C M + 2 , 25 5 d a j e w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u C* = 2 M + 2 + 3 M z:+ 2 £ . Mamy w i e c
C AO/ C * > C AO/ C * = C 5M + 3Kte+i:5/C 2M +2+3N te+2i:5 .A 3 A 3
g d z i e p r a w a s t r o n a m o że b y ć d o w o l n i e b l i s k o 5 / 2 d l a M-*oo i ¿:-*0.
5 . U w a g i k o ń c o w e
P r z e d s t a w i o n y a l g o r y t m a p r o k s y m a c y j n y A 3 d l a p r o b l e m u 1 | r ^ , 1 ^ ^ ^ z J e d n a k o w y m i , g r u p o w y m i p r z e z b r o j e n i a m i n a l e ż y t r a k t o w a ć J a k o p i e r w s z e p o d e j ś c i e d o k o n s t r u k c j i d o b r e g o a l g o r y t m u . P o d s t a w o w y m c e l e m t e j p r a c y b y ł o o t r z y m a n i e p r o c e d u r y , k t ó r a ł a t w o p o d d a j e s i e a n a l i z i e i r ó w n o c z e ś n i e p o s i a d a o s z a c o w a n i e b ł ę d u w z g l ę d n e g o m n i e j s z e o d 3 ; p r o c e d u r a t a k a m oże w s k a z a ć e w e n t u a l n y k i e r u n e k d a l s z y c h p o s z u k i w a ń . C h o c i a ż w i e l e w ł a s n o ś c i U o g ó l n i o n e j R e g u ł y J a c k s o n a , k t ó r a o k a z a ł a s i e b y ć t a k o w o c n a d l a z a g a d n ienia b e z p r z e z b r o j e ń , m o żn a b y ł o p r z e n i e ś ć n a o g ó l n y a l g o r y t m A C m a t e r i a ł
d o t y c z ą c y t e g o n i e J e s t z a w a r t y w tym o p r a c o w a n i u 5 , t o J e d n a k n i e o k a z a ł y s i e o n e t a k e f e k t y w n e . J a k w tam tym p r z y p a d k u . P r o c e d u r a t y p u A 3 , u w z g l ę d n i a j ą c a o r y g i n a l n e C r ó ż n e D c z a s y g o t o w o ś c i , p o s i a d a o s z a c o w a n i e n i e m n ie p
s z e n i ż 5 / 2 ; a ż e b y t o z o b a c z y ć , w y s t a r c z y z a s t o s o w a ć A 3 , b e z m o d y f i k a c j i r j , d o p r z e d s t a w i o n e g o w y ż e j p r o b l e m u k o n k r e t n e g o . P r z y k ł a d a l g o r y t m u A 3 w s k a z u j e n a t o , ż e k l u c z e m d o k o n s t r u k c j i d o b r e g o a l g o r y t m u b e d z i e r a c z e j r o z b i c i e g r u p n a o d p o w i e d n i e p o d g r u p y , n i ż j a k o ś ć u s z e r e g o w a n i a z a d a ń w g r u p a c h c z y J a k o ś ć u s z e r e g o w a n i a p o d g r u p .
O t r z y m a n y a l g o r y t m d a j e d o b r e r e z u l t a t y d l a z a g a d n i e ń z m ałym i c z a s a m i g o t o w o ś c i . W p r z y p a d k u z a g a d n i e n i a 1 | q ^ | c m a x » p o s i a d a o s z a c o w a n i e 5 / 3 , t o s a m o c o a l g o r y t m z a p r o p o n o w a n y w L1 2 3 s p e c j a l n i e d l a t e g o p r z y p a d k u ; J e s t j e d n a k o d n i e g o p r o s t s z y i z n a c z n i e ł a t w i e j a n a l i z o w a l n y .
L I T E R A T U R A
C13 B ł a ż e w i c z J . : Z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a p r o b l e m ó w k o m b i n a t o r y c z n y c h . W N T, W a r s z a w a 1 9 8 8 .
C23 W u n o J . , D o w n e y P . : C o m p l e x i t y o f T a s k S e q u e n c i n g w i t h D e a d l i n e s , S e t - U p T i m e s a n d C h a n g e o v e r C o s t s , Ś I A M J . C o m p u t . 7 C 1 9 7 8 5 , 3 9 3 - 4 0 4 .
£33 G r a b o w s k i J . , N o w i c k i E . , Z d r z a ł k a S . : A b l o c k a p p r o a c h f o r s i n g l e - - raachine s c h e d u l i n g w i t h r e l e a s e d a t e s a n d d u e d a t e s , E u r o p e a n J . O p e r . R e s . 2 0 C 1 9 8 6 5 , 2 7 8 - 2 8 5 .
[4 3 G r a h a m R . L . e l a l . : O p t i m i z a t i o n a n d a p p r o x i m a t i o n i n d e t e r m i n i s t i c s e q u e n c i n g a n d s c h e d u l i n g : A S u r v e y , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s 5 C 1 0 7 9 !) , 2 8 7 - 3 2 6 .
[5 3 G u p t a J . N. D . , D a r r o w W. P . : T h e t w o - m a c h in e s e q u e n c e d e p e n d e n t f l o w s h o p s c h e d u l i n g p r o b l e m , E u r o p e a n J . O p e r . R e s . 2 4 C 1 9 8 6 D , 4 3 9 —4 4 6 .
C 63 H a l l L . A . , Sh m o y s D . B. : J a c k s o n ’ s R u l e f o r S i n g l e - M a c h i n e S c h e d u l i n g : M a k i n g a G o o d H e u r i s t i c B e t t e r , R a p o r t , T h e M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , D e c e m b e r 1 9 8 9 .
[ 7 3 L e n s t r a J . K . , R i n n o o y K a n , A . H. G . , B r u c k e r P . : C o m p l e x i t y o f m a c h i n e s c h e d u l i n g p r o b l e m s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s 1C 19772) , 3 4 3 —3 6 2 . [ 8 3 Monma C . L . , P o t t s C . N. : O n t h e c o m p l e x i t y o f s c h e d u l i n g w i t h b a t c h
s e t - u p t i m e s , R e s e a r c h R e p o r t , U n i v e r s i t y o f S o u t h a m p t o n , 1 9 8 7 .
[ 9 3 P o t t s C . N . : A n a l y s i s o f a h e u r i s t i c f o r o n e m a c h i n e w i t h r e l e a s e d a t e s a n d d e l i v e r y t i m e s , O p e r . R e s . 2 8 C 1 9 8 0 J , 1 4 3 6 —1 4 4 1 .
[ 1 0 3 S c h r ä g e L . : O b t a i n i n g o p t i m a l s o l u t i o n s t o r e s o u r c e c o n s t r a i n e d n e t w o rk s c h e d u l i n g p r o b l e m s . R a p o r t , 1 9 7 1 .
[ 1 1 3 Z d r z a ł k a S . : P r o b l e m y s z e r e g o w a n i a z a d a ń z p r z e z b r o j e n i am i maszyn, Z e s z y t y N a u k o w e P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j 9 7 0 C 1 9 8 8 D , A u t o m a t y k a z . 9 4 , 3 7 3 - 3 9 1 .
[ 1 2 3 Z d r z a ł k a S . : A p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r s i n g l e m a c h i n e s e q u e n c i n g w i t h d e l i v e r y t i m e s a n d u n i t b a t c h s e t - u p t i m e s . I n s t y t u t C y b e r n e t y k i T e c h n i c z n e j , P o l i t e c h n i k a W r o c ł a w s k a . R a p o r t Nr 8 6 / 8 8 , 1 9 8 8 . C p r a c a
p r z y j ę t a d o d r u k u w E u r o p e a n J . O p e r . R e s . , 1 9 8 9 D .
[ 1 3 J Z d r z a ł k a S . , G r a b o w s k i J . : A n a l g o r i t h m f o r s i n g l e m a c h i n e s e q u e n c i n g w i t h r e l e a s e d a t e s t o m i n i m i z e m axim um c o s t . D i s c r e t e A p p l . M a t h . 2 3 C l 9 8 9 } , 7 3 - 8 9 .
R e c e n z e n t : D o c . d r h .i n ż .J .ł C a ł u s k i W p ł y n ę ł o d o R e d a k c j i d o 1 9 9 0 - 0 4 - 3 0 .
A P P R O X I M A T I O N A L G O R I T H M S F O R S I N G L E - M A C H I N E S E O U E N C I N G P R O B L E M W I T H U N I F I E D B A T C H S E T - U P T I M E S
S u m m a r y
T h e p a p e r p r e s e n t s r e s u l t s o f t h e w o r s t - c a s e a n a l y s i s o f a p p r o x i m a t i o n a lg o r i t - h m s f o r s i n g l e m a c h i n e s e q u e n c i n g p r o b l e m w i t h b a t c h s e t - u p t i m e s , i n w h i c h e a c h j o b h a s a r e l e a s e d a t a ., a p r o c e s s i n g t i m e a n d a d e l i v e r y t i m e ; t h e p r o b l e m i s t o f i n d a s e q u e n c e o f j o b s m i n i m i z i n g t h e d e l i v e r y t i m e o f all t h e j o b s . A r e v i e w o f t h e a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r t h e p r o b l e m w i t h o u t s e t - u p s i s a l s o g i v e n .
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Ka ^ n a n s a g a n a HMeeT o n pefleaeH H oe BpeMH roTOBHocTH k p e aiiB 3 am iB ,
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