Model matematyczny falownika prądowego zasilającego nagrzewnicę indukcyjną

(1)

A dam M A R E K T adeusz R O D A C K I

MODEL MATEMATYCZNY FALOWNIKA PRĄDOWEGO ZASILAJĄCEGO NAGRZEWNICĘ INDUKCYJNĄ

S tre sz c z e n ie . W artykule tym przeprow adzona została analiza m atem atyczna układu za

silającego układ grzejny w zbudnik - w sad - kondensator kom pensujący zgodnie z m etodą transform acji L ap lace’a, m e to d ą transform acji Fouriera, a także przedstaw iono schem at ide

ow y takiego zasilacza.

M A TH EM A TIC A L M O D EL OF THE C U R REN T IN V ER TER FEED IN G IN D U C TIO N H E A T E R

S u m m a ry . T he paper presents m athem atical analysis o f the feeder o f the heatin g inductor - charge - com pensate capacitor configuration based on L aplace and F o u rier transform ation m ethods. A schem atic diagram o f that kind o f a feeder is given in the papers as well.

U rządzenia do nagrzew ania indukcyjnego, których częstotliw ość ro bocza je s t w yższa od częstotliw ości sieciow ej, zasilane s ą najczęściej za p o m o c ą jed n eg o z dw óch zasilaczy: rów noległego falow nika prądow ego lub szeregow ego falow nika napięciow ego. Przedm iotem analizy s ą zasilacze średniej częstotliw ości, charakteryzujące się zakresem zm ian w prze

dziale od 1 kH z do kilkunastu kH z. W niniejszej pracy do analizy przyjęto rów noległy falow nik prądow y.

U proszczony schem at takiego zasilacza został przedstaw iony poniżej:

1. W S T Ę P

I

Rys. 1. S chem at rów noległego falow nika prądow ego Fig. 1. D iagram o f th e parallel current inverter

(2)

158 A. Marek. T. Rodacki

2. Z JA W ISK A FIZ Y C Z N E Z A C H O D Z Ą C E W E W N Ą T R Z W SA D U

Zadaniem układu grzejnego w zbudnik - w sad je st przekazyw anie strum ienia energii ze w zbudnika do w sadu za p o m o c ą pola elektrom agnetycznego, a następnie przetw orzenie energii p o la elektrom agnetycznego w energię cieplną. Pole elektrom agnetyczne w ytw orzone je s t przez w zbudnik w postaci uzw ojeń, przez które przepływ a prąd elektryczny. E nergia ta za przy czy n ą w ystępow ania zjaw iska indukcji elektrom agnetycznej oraz zjaw iska naskórkow o- ści zostaje przetw orzona na energię ciep ln ą w ydzielaną w e w sadzie (zachodzi to w przypad

ku, gdy w sad je s t m ateriałem przew odzącym prąd elektryczny). Z jaw isko indukcji elektrom a

gnetycznej pow oduje przepływ prądów w irow ych w e w sadzie, natom iast zjaw isko naskórko- w ości je s t przy czy n ą koncentracji w ydzielanej m ocy w w arstw ach pow ierzchniow ych wsadu.

W idać w ięc, że w e w sadzie ind u k u ją się prądy w irow e, które s ą odpow iedzialne za w ydziela

nie się ciepła. Jednak gęstość tych prądów je s t w iększa w w arstw ach pow ierzchniow ych wsadu.

Podstaw ow ym w spółczynnikiem określającym stan w ew nątrz w sadu (stan ten je s t w yni

kiem w spółdziałania opisanych wyżej zjaw isk zachodzących w ew nątrz w sadu) je s t głębokość w nikania pola elektrom agnetycznego 8. W spółczynnik ten je s t definiow any jak o odległość od pow ierzchni w sadu, w której następuje e-krotne zm niejszenie am plitudy natężenia pola m a

gnetycznego. W artość w spółczynnika 8 je s t definiow ana:

f - częstotliw ość w ytw arzanego we w sadzie pola m agnetycznego;

p - przenikalność m agnetyczna w sadu;

a - konduktyw ność w sadu.

W e w zorze tym uw idacznia się znaczący w pływ częstotliw ości przełączania falow nika za

silającego tego ty p u obciążenie. W zrost częstotliw ości pow oduje bow iem , że skutecznie na

g rzew ana je s t coraz to w ęższa w arstw a zew nętrzna wsadu. Znaczny w pływ n a głębokość w nikania pola elektrom agnetycznego 8 m ają czynniki zw iązane z rodzajem nagrzew anego m ateriału. S ą to: przenikalność m agnetyczna w sadu oraz konduktyw ność w sadu. N ależy rów nież zw rócić uw agę na to, że w artość obu tych param etrów zm ienia się w sposób znaczący w raz ze w zrostem tem peratury wsadu.

3. U K Ł A D Z A SIL A JĄ C Y U K Ł A D G R Z EJN Y W Z B U D N IK - W SA D : W IA D O M O ŚC I P O D ST A W O W E , P O D ST A W O W E Z A L E ŻN O ŚC I

3.1. W iadom ości podstaw ow e

N a rys. 2 przedstaw iono schem at ideow y przekształtnika średniej częstotliw ości z rów no

ległym obw odem rezonansow ym .

W układzie tym zam iast dotychczas pow szechnie stosow anego p rzekształtnika sterow ane

go od strony sieci, użyto przekształtnik diodow y o stałej w artości napięcia w yjściow ego.

R ozw iązanie to je s t korzystne, poniew aż oddziaływ anie takiego układu przekształtnikow ego na sieć zasilającą je s t znacznie m niejsze niż układu przekształtnika tyrystorow ego. Jednocze

śnie je s t m ożliw e zm niejszenie indukcyjności dław ika L0, którego cena stanow i istotną pozy

( 1)

gdzie:

(3)

cję w kosztach budow y przem iennika. Z m niejszenie w artości indukcyjności w y n ik a z tego, że w przypadku p rzek ształtn ik a sterow anego częstotliw ość przełączania zaw orów w ynosi 6f (300 H z w E uropie), zaś częstotliw ość pracy łącznika m oże w ynosić kilkanaście kH z. W tym przypadku zachodzi konieczność sterow ania prądu w obw odzie prądu stałego.

Rys. 2. S chem at ideow y przekształtnika Fig. 2. S chem atic diagram o f the converter

Zasada działania przedstaw ionego pow yżej układu po leg a na cyklicznym przełączaniu pa

ry tranzystorów Tj i T , lub pary tranzystorów T2 i T 3. W w yniku pow yższego działania od

biornik R, L, C zasilany je s t prądem o kształcie praktycznie prostokątnym , natom iast napięcie na tym odbiorniku, przy odpow iednim doborze pojem ności kondensatora kom pensującego C, częstotliw ości p rzełączan ia par tranzystorów oraz dla odpow iedniej dobroci Q obw odu drga

jąceg o (badany układ R, L, C), m a kształt praw ie sinusoidalny.

W w yniku zastąpienia źródła zasilania E, kondensatora zasobniczego C 0, tranzystora za

silającego TQ, diody zw rotnej DQ oraz dław ika LQ zastępczym źródłem prądow ym I, w yróż

niam y cztery podstaw ow e schem aty zastępcze dla jed n eg o cyklu pracy. S chem aty te s ą przed

staw ione na rysunku poniżej:

Rys. 3. Schem aty zastępcze dla poszczególnych etapów pracy Fig. 3. E quivalent diagram for the p articular stages o f w ork

K olejność o b ow iązyw ania schem atów je s t następująca: najpierw p o jaw ia się schem at A (p rzew o d zą tranzystory Tj i T4), później schem at B (kom utacja - p rzew o d zą w szystkie cztery tranzystory), następnie schem at C (p rzew o d zą tranzystory T2 i T ), po czym na koniec sche

m at D (zjaw isko kom utacji - p rzew o d zą ponow nie w szystkie cztery tranzystory).

(4)

Po zakończeniu obow iązyw ania schem atu D rozpoczyna ponow nie obow iązyw ać schem at A. W tym m om encie k ończy się cykl pojaw iających się kolejno po sobie stanów układu fa

lownika.

3.2. M odel falow n ik a - założenia upraszczające, zależności m atem atyczne

A naliza m atem atyczna układu falow nika w całej jeg o złożoności byłaby bardzo skom pli

kow ana, a rezultaty takiej analizy (jeśli byłaby on a w ogóle m ożliw a), m ogłyby być tylko nieznacznie dokładniejsze w porów naniu do analizy m atem atycznej dokonanej z w prow adze

niem poniższych założeń upraszczających:

a) rzeczyw iste struktury źródła prądu, tranzystorów , diod, rezystancji, indukcyjności i po

jem n o ści z o sta ją zastąpione strukturam i idealnym i,

b) pom ija się proces kom utacji tranzystorów , w zw iązku z czym m ożna pom inąć także dław iki kom utacyjne Lfe,

c) p om ija się obw ody zabezpieczeń falow nika,

d) pom ija się im pedancję połączeń przew odow ych pom iędzy poszczególnym i elem entam i falow nika,

e) p om ija się w pływ tem peratury na elem enty falow nika.

f) zakłada się, że tłum ienie rów noległego obw odu rezonansow ego je s t m niejsze od kry

tycznego.

Przyjęcie pow yższych uproszczeń um ożliw ia przyjęcie do dalszej analizy następującego schem atu elektrycznego falow nika:

Rys. 4. S chem at uproszczony falow nika Fig.4. Sim plified diagram o f the inverter

W w yniku przyjęcia założenia, że w układzie nie w ystępuje zjaw isko kom utacji, do dal

szej analizy b ę d ą brane tylko dw a schem aty zastępcze z rys. 3: A i C.

Z ależności m atem atyczne zo stan ą w yznaczone m eto d ą L ap lace’a w yk o rzy stan ą do roz

w iązyw ania obw odu elektrycznego. W tym celu w yznaczam y odpow iedniki poszczególnych elem entów elektrycznych (L, C, R, I) z rys. 4 w m etodzie L aplace’a.

3.3. O pis stanu falow nika w przypadku gdy przew odzą tranzystory Tj i T 4

Schem at zastępczy dla tego przypadku przedstaw iony je s t jak o schem at A n a rys. 3. R ów now ażny schem at elektryczny w ykorzystujący m etodę L ap lace’a m a postać ja k na rys. 5.

(5)

R ys.5. R ów now ażny schem at elektryczny, gdy przew odzą tranzystory Tj i T4

F ig.5. E quivalent diagram in the case w hen transistors Tj and T4 are in the active m ode

N a schem acie ty m przyjęto następujące w arunki brzegow e:

- ij (0) - je s t to w artość prądu przepływ ającego przez cew kę indu k cy jn ą w m om encie rozpo

częcia obow iązyw ania tego schem atu (przyjm ujem y, że odbyw a się to w chw ili t = 0), - U (0) - je s t to w artość napięcia panującego na kondensatorze w m om encie rozpoczęcia

obow iązyw ania tego schem atu (przyjm ujem y, że odbyw a się to w chw ili t = 0).

R ów nania opisujące stan m odelu falow nika w m om encie obow iązyw ania schem atu elek

trycznego przedstaw ionego na rys. 5 w y stęp u ją w postaci rów nań:

U (s) = R I,(s ) + s L I , ( s ) - L i1( 0 ) , (2)

ü ( i ) . a ^ , w

s sC

- = Ii(s ) + I2(s ), (4)

s

Przedstaw iony układ trzech rów nań sprow adzam y do jed n eg o rów nania opisującego prąd I (s). W ybrano ten prąd, poniew aż gdy w yznaczym y jeg o postać czasow ą, to będzie m ożna łatw o znaleźć pozostałe interesujące nas prądy i napięcia układu.

W celu uzyskania postaci czasow ej prądu i (t) m usim y najpierw w yznaczyć deltę rów na

nia charakterystycznego (zauw ażam y, że w naszym przypadku pożądany je s t stan, w którym prąd i (t) m iałby charakter oscylacyjny - tzn. A<0), później w yznaczyć jeg o pierw iastki, a następnie po dokonaniu odw rotnego przekształcenia L aplace'a, uzyskujem y ostatecznie po

stać czaso w ą prądu i ( (t) :

i

(t)

= I + 2U (0)

R(I

+ i ( 0 » e - sin(cM ) +

(i

(0) - I)e ““ ‘ cos(cost ) , (5)

2ta.L gdzie:

a = — - w spółczynnik tłum ienia drgań w łasnych układu,

cos = yjca20 - a 2 - pulsacja drgań w łasnych układu,

co° = ' pu lsacja drgania rezonansow ego bez tłumienia.

(6)

W artość napięcia na odbiorniku w ynosi:

dt Po przekształceniach otrzym ujem y ostatecznie:

u (t) = R i, (t) + L —!r - ^ , (6)

u (t) = RI + R (U (0 ) - R I) + I - i, (0)^

2co L cd,C e “ sin(cost) + (U (0) - R I)e cos(cost ) , (7) W artość p o czątk o w ą prądu i t(0) i napięcia U (0) w yznaczym y w iedząc, że w artość napię

cia na kondensatorze oraz prąd płynący przez dław ik na końcu obow iązyw ania rozpatryw ane

go schem atu w ynosi -U (0 ) oraz -ii(0 ) . N ależy jed n a k podkreślić, że stan taki w ystępuje dla przebiegów ustalonych. W obec tego ^ (0 ) oraz U (0) w yznaczym y z układu rów nań:

- U ( 0 ) = RI + R( U( 0) ~ RI ) , I - i , (0)1

2co,L co.C e s i n ( ^ ) + (U (0) - R I)e 2f c o s ( ^ - ) , (8)

- i , ( 0 ) = [ + 2U (0) R (I + l(0) ) e ^ s‘n (~~r) + ( i , ( 0 ) - I)e ”f c o s A ) , (9)

2cosL 21 21

A nalityczne w yznaczenie rozw iązań prądu i ((0) oraz napięcia U (0) z układu rów nań (8) i (9) je s t stosunkow o żm udne i złożone. R ozw iązanie układu rów nań m o żn a dokonać w ięc przy w ykorzystaniu jed n eg o z program ów m atem atycznych.

Z ależności rów nań (8) i (9) dla przypadku, gdy p rzew o d zą tranzystory T2 i T3 ró żn ią się jed y n ie znakam i prądu zasilania - tzn. zam iast I w ystępuje -I.

3.4. Z ależn o ści o p is u ją c e p ra c ę p rz e ry w a c z a p r ą d u stałego

A naliza pracy przeryw acza została przeprow adzona dla układu, którego schem at został przedstaw iony na rys. 2. N a podstaw ie drugiego praw a K irchhoffa otrzym ujem y rów nanie:

E - U di

- = — , (1 0)

L„ dt

A nalizę w pływ u param etrów łącznika na zm ianę prądu obw odu pośredniczącego m ożna przeprow adzić z w ykorzystaniem m etody superpozycji zakładając, że napięcie obw odu po

średniczącego zaw iera dw ie składow e: w artość śred n ią i składow ą przem ienną.

W pływ w artości średniej n a zm ienność prądu w ynika w prost z relacji przedstaw ionej po

wyżej d la przyrostów skończonych:

E - U

Al a ^ A t , (11)

Eo gdzie:

U ps- średnia w artość napięcia obw odu pośredniczącego.

W artość Al je s t zależna od:

a) częstotliw ości przełączania f,

b) param etrów rów noległego obw odu rezonansow ego R, L, C, c) prądu pośredniczącego i.

(7)

Składow a przem ienna w napięciu pośredniczącym charakteryzuje się tym , że jej często

tliw ości je s t dw a razy w iększa od częstotliw ości przełączania zaw orów : r ~ U D2m s i n2mt

i Z = J — ^ ---d t, (1 2)

gdzie:

UpZm - am plituda składow ej zm iennej napięcia obw odu pośredniczącego.

A m plituda składow ej zm iennej w ynosi:

< 1 3 >

A m plituda tej składow ej zależy od:

a) am plitudy składow ej zm iennej napięcia obw odu pośredniczącego, b) podw ójnej częstotliw ości przełączania zaw orów .

3.5. A naliza falow nika z w ykorzystaniem rozkładu prądu zasilania m etodą Fouriera Zakładając: stałość prądu zasilającego o kształcie prosto

kątnym , liniow ość idealnych elem entów układu m ożna sto

sow ać m etodę superpozycji prądów dla poszczególnych harm onicznych w ykorzystując m etodę rozkładu Fouriera prądu zasilającego rów noległy obw ód R , L, C. R ys. 6 przed

staw ia schem at zastępczy układu falow nika.

R ozkładając prąd o kształcie prostokątnym otrzym ujem y:

4 1 1

i p = — l p (sin cot + - sin 3(ot + - sm 5cot + ...), R ys.6. Schem at zastępczy

falow nika

F ig.6. E quivalent diagram o f the inverter

, --- - ...(14)

n 3 5

W artości skuteczne prądu Ip poszczególnych harm onicznych w ynoszą:

lp(n)

2V2

,

Tin (15)

Im pedancja zastępcza układu w ynosi:

(R + j X L(n)K - j x C(n))

(n) - „ . --- --— r » C16)

R + j ( x L(n) - X c(n)) ’ Prąd odbiornika d la poszczególnych harm onicznych w ynosi:

X C(n)

*00 = U I 2 / W Vł . (17)

Vr 2 + ( x l (, ) - x C(J C ałkow ita m oc w ydzielona w odbiorniku:

1<1)R (I) + 1(3)I V (3) T 1 (5)JV(5)

(8)

4. W N IO S K I K O Ń C O W E

W w yniku przeprow adzonych analiz i sym ulacji [4] stw ierdzono, że:

a) za p o m o cą analizy pracy falow nika m eto d ą transform acji L aplace'a uzyskuje się rów na

nia dla podstaw ow ych w ielkości, które są nieczytelne,

b) •wyniki analizy pracy falow nika m etodą F ouriera (rozkładu prądu na harm oniczne) są proste, jed n a k zakres je j stosow ania je s t praktycznie ograniczony dla tłum ień m niejszych od krytycznego (taki w arunek rów nież zastosow ano przy analizie m eto d ą transform acji Laplace'a),

c) praktycznie c a łą m oc w ydziela we w sadzie pierw sza harm oniczna prądu.

L IT E R A T U R A

1. B arlik R., N o w ak M .: T echnika tyrystorow a. W N T, W arszaw a 1985.

2. T unia H ., W iniarski B .: Podstaw y energoelektroniki. W NT, W arszaw a 1975.

3. T unia H ., Sm irnow A., N ow ak M ., B arlik R.: U kłady energoelektroniczne. W N T, W ar

szaw a 1982.

4. M arek A.: A naliza pracy i projekt falow nika prądow ego rów noległego do nagrzew ania indukcyjnego. Praca dyplom ow a. Pol. Śląska, G liw ice 1998.

Recenzent: Dr hab. inż. C zesław Sajdak, prof. Pol. Śl.

W płynęło do R edakcji 31 m aja 1999 r.

A b s tra c t

The paper presents m athem atical analysis o f the feeding inverter (Fig. 4) based on Laplace transform ation m ethod. D ependencies obtained that way are illegible due to their com plexity.

A nalysis o f the rectangular shaped current based on Fourier series expansion gave much better results. T he dependencies calculated that w ay are possible sim ple and m ake sim ple de

term ination o f som e interesting quantities for the heating process like current and pow er rele

ase in the charge. W ith respect to the design analysis o f the D C current breaker w as perfor

m ed as w ell (part o f Fig. 2).