O pewnej właności estymatorów klasycznej metody najmniejszych kwadratów warunkach heteroscedastyczności składnika losowego

Michał Jarmuł

O pewnej właności estymatorów

klasycznej metody najmniejszych

kwadratów warunkach

heteroscedastyczności składnika

losowego

Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 9, 123-130

U N I V E R S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K Ł O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A

VOL. IX, 9 SECTIO H 1975

In stytu t E konom ii P o lity czn ej i P lan ow an ia W ydział E konom iczny UMCS

M i c h a ł J A R M U Ł

O pew nej własności estym atorów klasycznej m etody najm niejszych kw adratów w w arun k ach heteroscedastyczności składnika losowego

О некотором свойстве оценок классического метода наименьших квадратов в условиях гетероскедастичности случайного компонента

Von einer Eigenschaft der Ästimatoren der klassischen Methode der kleinsten Quadrate bei der Heteroszedastizität dies Schicksalselem entes

W arty k u le ty m zajęto się stochastycznym i właściwościam i klasycz­ nych 1 estym atorów w arian cji składnika losowego oraz w arian cji oszaco­ w ań p aram etrów stru k tu ra ln y ch prostego m odelu ekonom etrycznego z jedną zm ienną objaśniającą — w w ypadku heteroscedastyczności skład­ nika losowego. W prow adzone zostanie pojęcie ąuasi-nieobciążoności esty­ m atorów , k tórej w aru n ki w ystępow ania poszukiw ane będą każdorazowo przy szczególnych założeniach dotyczących m odelu kształtow ania się w a r­ iancji składnika losowego.

Niech będzie dany prosty model:

(1) y t = a 0+ a 1x t-\-£t ( t = l ,2,...,n).

P rzy jm ijm y dla tego m odelu klasyczne założenia:

a) zm ienna x t jest nielosowa i nie skorelow ana ze składnikiem losowym, b) składnik losowy et ma w artość oczekiwaną, rów ną zeru oraz stałą w arian cje o 2 i w szystkie autokow ariancje rów ne 0, czyli zachodzi:

(2a) E ( e t ) = 0 ( t= l,2,...,n),

1 Za klasyczne estymatory uważane są tu estymatory w łaściw e klasycznej m e­ todzie najmniejszych kwadratów.

124 Michał Jarmuł

(o2 dla t = s

£t (O dla t^=s ( t , s = l , 2 , . . . , n ) .

P rz y jm ijm y n a stałe, że x t jest odchyleniem od średniej z próby. Stosując klasyczną m etodę najm niejszych kw ad artó w o trzy m u jem y estym atory param etró w stru k tu ra ln y c h m odelu (1):

(3) % y ‘ Ćl o Tl Z Xt y> (4) ---1 = ---1

P rzy spełnieniu założeń a) i b) esty m ato ry (3) i (4) są na m ocy tw ierdzenia G aussa-M arkow a n ajlepszym i nieobciążonym i estym ato ram i liniow ym i p aram etró w a 0 i

W ariancje oszacowań (3) i (4) są równe:

(5) D2(a0)= ^

-(6) D * ( « , ) = ^ —

t— 1

Nieobciążonym i esty m atoram i w arian cji składnika losowego oraz w a ria n ­ cji (5) i (6) są odpowiednio w yrażenia:

n

V 2

(7)

2 - k 6L

S n — 2

gdzie et są to tzw. reszty m odelu,

(8) S2a°= l T

(9) S*ai = ^ ~

Należy zwrócić uwagę, że założenie b) wym aga, aby w ariancja składnika losowego była stała, co znaczy, by zachodziło:

D 2(£i) = D 2(£2) = . . . = D 2(£n).

P rzyjm ijm y teraz dla m odelu (1) nieco odmiene założenia:

c) zm ienna x t jest nielosowa i nie skorelow ana ze składnikiem losowym, a) składnik £t m a w artość oczekiwaną rów ną 0, w ariancję o2t i w szystkie autokow ariancje rów ne 0, czyli zachodzi:

(lOa) E (et) = 0 ( t = l , 2 ,. .. ,n ) ,

( 0 dla t=f=s

(lOb) E (stes) = ^ ozt = 02 .kt dla t = s (t,s= 1,2,...,n),

n

gdzie k t> 0 i k t= n , co oznacza, że w spółczynnik o2 jest w ariancją

/ = i

średnią, poniew aż

E ° ? ° 2 t k >

— / = i

o 1—--- = ---= o .

n Tl

Aby założenie d) nie było tożsam e z założeniem b), m usi zachodzić k t^=l

dla dw u przy najm n iej różnych t. Przy tych założeniach esty m ato ry (3) i (4) otrzym ane za pomocą klasycznej m etody najm niejszych k w adratów są w dalszym ciągu nieobciążone, nie posiadają natom iast własności m inim al­ nej w ariancji. D odatkową kom plikacją spowodowaną przez heterosceda- styczność w ariancji założoną w d) jest obciążenie estym atorów (7), (8), (9).

W ariacje D 2(a0) i D 2( a r), gdzie a0 i a x nadal określone są przez (3) i (4), obecnie wynoszą: n i ) a2 nr r r n £ x*Da0>2) a2 £ X f k i (12) D 2(a i) = — — - = ——

---/

n

\2

/

n

\2

( S ' ! )

( f i - ’ )

natom iast ich oszacowania otrzym ane za pomocą estym atorów (8) i (9) są obciążone. Obciążenie to dla estym atora (9) jest rów ne ([1] str. 310)

126 Michał Jarmuł

o2(n —

1

—

_______ t=i _______

(» - 2) ( t *?)’

O bciążenie esty m ato ra (8) m ożna łatw o znaleźć korzystając z tego, że ([1] str. 309) V (1 — k t ) x * E(s2) = o*

1 + ^

2) V

;---'

O dpow iednie obciążenie rów na się zatem

^

f] (1

i ~ i _____________________

n ( n - 2 ) £

f = i 1

J e st oczywiste, że obciążenia będą rów ne 0 niezależnie od w artości przyjm ow anych przez zm ienną x t, w przyp ad ku gdyby k i = k 2= k 3= . . . =

= k n= l , czyli gdyby zachodziły założenia a) i b). M ożna jednak wykazać,

że przy założeniach c) i d) mogą w ystępow ać sytuacje, w któ ry ch w spom ­ niane obciążenia będą rów ne zeru. P rz y jm u ją c dodatkow o model, według którego k sz ta łtu je się w arian cja składnika losowego, a więc i w spółczyn­ niki k t, m ożna poszukiw ać takich układów w artości zm iennej objaśniającej

x t, dla któ ry ch zachodzić będzie

( l —k t) x t2= 0 . t— i

Te szczególne przyp ad ki zerow ego obciążenia estym atorów (7), (8), (9) m odelu (1) p rzy założeniach e) i d) oraz p rzy jęty m m odelu obiektyw nej heteroscedastyczności nazyw ać będziem y dalej quasi-nieobciążonością albo nieobciążonością p rzy pew nych u kładach w artości zm iennej objaśnia­ jącej. Z powyższych powodów niezbędne jest u stalenie dla dalszych roz­ ważań m odelu, w edług którego zm ienia się w arian cja składnika losowego.

Paw łow ski [2] w przypadku estym ow ania funkcji popytu na dobra trw ałego użytku przyjm uje, że w ariancja składnika losowego jest funkcją czasu. J a k w ykazują badania w ielu autorów ([3] str. 256), m ożna często przyjąć, że D 2(et) jest pew ną fu n kcją bądź w artości oczekiwanej zm iennej objaśnianej, bądź też w artości zm iennej objaśniającej. Jeżeli na przykład estym ujem y fun k cję reg resji w ydatków na żywność rodzin względem ich dochodów, to m ożna przyjąć proporcjonalność D 2 (et) do k w ad ratu do­ chodu. W tej spraw ie pew ne ogólniejsze podejście p rezen tu je E. P a rk [3]. Propo nu je on, aby nie zakładać apriorycznie dokładnego m odelu h etero- scedastyczności, lecz estym ow ać jego p aram etry , używ ając reszt otrzym a­ nych ze w stępnego przeliczenia klasyczną m etodą najm niejszych k w ad ra­ tów jako oszacowania w arian cji składnika losowego. Można w tedy na przykład estym ow ać p a ra m etry o2 i y m odelu

e t2 = v2x \ e 0

gdzie v jest składnikiem losowym. Podejście takie — jak widać — dość ostrożne, unika apriorycznych założeń. Podobne sugestie w ysuw a Z. P a ­ włowski [2].

W ydaje się też, że m ożliw ym do przyjęcia w pew nych sytuacjach założeniem jest uznanie w arian cji składnika losowego za schodkową fu n k ­ cję indeksu t. Wiązać się to może z niejednorodnością danych zebranych dla celów estym acji m odelu ekonom etrycznego. Oczywiście bierzem y tu pod uw agę przypadek, gdy ta niejednorodność generuje zm ienność p a ra ­ m etru stochastycznego, a nie param etró w stru k tu ra ln y ch estym ow anego modelu. N ależy się spodziewać, że różne m odele obiektyw nej heterosceda- styczności, które m ożna przyjąć dla m odelu (1), w zależności od jego m ery ­ torycznej treści, będą im plikow ały różne w arnuki, jakie m usi spełniać zm ienna objaśniająca, aby estym atory (7), (8), (9) m ożna było uznać za

quasi-nieobciążone.

Niech będzie dalej dany model (i) przy założeniach:

e) zm ienna x t jest nielosowa i nie skorelow ana ze składnikiem losowym, f) składnik losowy et m a w artość oczekiwaną rów ną 0, w ariancję o t2 i w szy­ stkie autokow ariancje rów ne 0, czyli:

E(ct) = 0 (t — 1 ,2 ,...,n),

( 0 dla t=f=s

1 \ o t2— o 2k t dla t = s (t,s= 1,2,.,.,n),

g) /c£= m * t+ b , gdzie 0 oraz m i b są takie, by

f i h = n

W prow adzenie dodatkow ego założenia g) oznacza ro zpatryw anie p rzy ­ padku, gdy w ariancja składnika losowego m odelu (1) jest liniow ą funkcją

128 Michał Jarmuł

czasu. K orzystając z tego, że

n X; k t = n t—i mamy: n n = m £ t + nb, i—i n — 1 — m t t o , gdzie t = ~

P ro sta z założenia g) przechodzi więc przez p u n k t o w spółrzędnych (t, 1), stąd jej rów nanie p rzedstaw ić m ożem y w postaci:

k t — l = m (t — t),

(14) k t— l + m (t— t).

E sy m ato ry (7), (8), (9) dla m odelu (1) przy założeniach: e), f), g) będą guasż-nieobciążone, jeżeli zajdzie

(15) f ] ( l - k t)zt2= 0 .

i—i W staw iając (14) do (15) otrzym ujem y

(16) m V x t2(t — t ) — 0.

Równość (16) zostanie spełniona, gdy w artości zm iennej objaśniającej będą tw orzyły szereg sym etryczny. W ówczas w yrażenie

V x t2( t - t ) t—i

gdzie x t jest odchyleniem od odpow iedniej, będzie rów ne zeru. Tak więc v/ m odelu (1) przy założeniach: e), f), g) w aru n k iem quasi-nieobciążoności estym atorów (7), (8), (9) jest sym etryczność szeregu w artości zm iennej objaśniającej.

Rozw ażm y teraz inny m odel heteroscedastyczności. Niech dla m odelu (1) będą praw dziw e założenia:

h) zm ienna x t jest nielosow a i nie skorelow ana ze składnikiem losowym, i) składnik losowy £t m a w artość oczekiwaną rów ną 0, w arian cję ot2 i w szystkie autoko w arian cje rów ne 0, czyli zachodzi:

E(et)— 0 —

E(£t£s) = I ° d l a t ^ s

K J ( ot2 = o 2k t dla t ^ s ( t , s = 1,2....n), ( fci dla 1 Z -tZ .—

i) k f= ' 2

\ k 2 d l a - ? - < t ^ n ( t = l , 2, . . . n); n jest liczbą parzystą,

n

oraz k 2X ) , k ^ k 2, i k 2 są takie aby k t= n . ł= i

P rzyjęcie założenia j) oznacza rozpatryw anie przypadku, w którym w ariancja składnika losowego modelu (1) jest różna dla dw u rów

nolicz-Tl

nych gru p danych. K orzystając z tego, że ^ T k t= n . mamy:

t= i n , n T fC-j “j— rC 2 — T l 2 2 (17) ki~\-k2—2.

E stym atory (7), (8), (9), dla m odelu (1) przy założeniach: h), i) j) będą qwasi-nieobciążone, jeżeli zajdzie:

(18) ( l - k t) x t2= 0 . i

K orzystając z (17) oraz założenia j) przekształcam y (18)

n nl 2 n nl 2 n n(2 n

V ( l — /cf)xt2= 2 ^ t2+ S ^ t2 —f c i j ^ t2“ ^2 £ a ;t2= ( l - J c i ) ( 2 tft2—£ * * )

/= 1 /—1 /= ?i/2+ l t—nl 2+1 ć— 1 <=71/2+1

O trzym ane w yrażenie będzie rów ne 0, jeżeli

7 l'2 ’ 71

V x t2=

<=1 <—71/2 + 1

co jest równoznaczne z równością w ariancji zm iennej objaśniającej dla obydw u rów nolicznych grup danych. Aby więc estym atory (7), (8), (9) m odelu (1) przy założeniach h), i), j) były quasi-nieobciążone, w ariancje zm iennej objaśniającej w obydw u grupach danych pow inny być sobie równe.

N akładając każdorazowo ostre założenia m odelu heteroscedastyczności, można w pew nych przypadkach sform ułow ać dość proste w aru n k i q u a s i-

-nieobciążoności klasycznych estym atorów w ariancji składnika losowego oraz w arian cji oszacowań p aram etrów stru k tu ra ln y ch m odelu (1). W aru n ­ ki te dotyczą kształtow ania się zm iennej objaśniającej i są różne dla róż­ nych typów heteroscedastyczności. W iąże się to z tym , że w prow adzone

130 Michał Jarmuł

w arty k u le pojęcie qwasż-nieobciążoności polega na otrzym yw aniu obciąże­ nia zerow ego przy pew nych układach w artości zm iennej objaśniającej. Jeśli ta jest zm ienną ekonomiczną, uk ład y te mogą być tru d n e do o trzy ­ m ania.

Należy zauważyć, że dla m odelu ten d en cji rozw ojow ej postaci

V t= o.Q + a it + e t ( t= 1,2,...,n)

i w p rzy p ad k u niejednorodności w arian cji ty p u g) lub j) klasyczna m etoda najm n iejszy ch k w adrató w daje zawsze quasi-nieobciążone estym atory w arian cji składnika losowego oraz oszacowań p aram etró w stru k tu ra ln y ch . Zm ienna czasowa spełnia bow iem obydw a znalezione przez nas w arunki ta k dla p rzy p adk u g) jak i dla j).

BIBLIOGRAFIA

[1] G o 1 d b e r g e r A.: Teoria ekonometrii PWE, Warszawa 1972.

[2] P a w ł o w s k i Z.: Modele ekonometryczne a regresja pierwszego i drugiego rodzaju, „Przegląd Statystyczny”, 1962, nr 2.

[3] M a l i n v a u d E.: Statistical Methods of Econometrics, North-Holland Publish­ ing Company, Amsterdam 1966.

[4] P a r k E.: Estimation w ith Heter osce dastic Error Terms, „Econometrica”, 34, 1966, nr 4. Р Е З Ю М Е Статья посвящена стохастическим последствиям неоднородности дисперсии случайного компонента с одной объясняющей величиной. Принятым методом оценки является классический метод наименьших квадратов. Для определения несмещенности оценок структуральных параметров при некоторых системах значения объясняющей переменной было введено понятие квазинесмещенности. Последняя часть работы посвящена установлению условий появления этого яв­ ления для определенных случаев гетероскедастичности. Z U S A M M E N F A S S U N G

Der A rtikel befasst sich mit den stochastischen Folgen der Varianzungleichartig­ keit des Schicksalselem ents des ökonometrischen Modells mit einer deutender Variabel. Die angenom m ene Methode der Ästimation ist die klassische Methode der kleinsten Quadrate. Im der Arbeit wurde der Begriff von quasi-U nbelastetheit der Ästimatoren der Strukturparam eter bei gewissen W ertverhältnissen von der deutender Variabel. Der letzte Teil befasst sich mit der Bestimm ung von Bestehensibedingungen dieser Erscheinung für die bestim m ten Fälle der Heteroszedastizität.