Nowe ujęcie przepustowości drogi z porównaniem modeli

(1)

Z E S Z Y T Y N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄ SK IEJ 2003

Seria: T R A N SPO R T z. 47 N r kol. 1586

Janusz W O CH

NOWE UJĘCIE PRZEPUSTOWOŚCI DROGI Z PORÓWNANIEM MODELI

Streszczenie. W artykule przedstaw iono p o ls k ą w ersję artykułu W ocha (2003) z T ransportation R esearch przedstaw iającego dw a m odele p otoku ruchu, bazujące n a now ym n arzędziu m atem atycznym - zlepionych procesach kolejek, które p o zw alają zakładać w m odelu kolejkow ym przesunięty rozkład w ykładniczy odstępu potoku ruchu, w yrażające najbardziej typow y rozkład praw dopodobieństw a odstępu w ystępujący w p łynnych potokach ruchu. P ozw ala to n a opracow anie now ego narzędzia oceny przepustow ości dróg.

A NEW METHOD OF ROAD CAPACITY ESTIMATION WITH MODELS COMPARISON

Sum m ary. The article is polish version o f W och’s (2003) article in Transportation R esearch dem onstrating tw o m odels for traffic flow , w hich based on the n ew m athem atic tool the com pressed queueing processes, w hich m ay assum e in the queueing m odel the shifted exponential distribution o f the headw ay, expressing the m ost typical probability distribution in the free flows. This give us on build the new m ethod o f road capacity estim ation.

1. D W A M O D E L E PO TO K U R U C H U - TEO R IO K O LE JK O W E (W G W O C H A , 2003)

Istnieje w iele prac z lat pow ojennych, w których w y stęp u ją próby m odelow ania kolejek ruchow ych z a p o m o c ą narzędzi teorii kolejek. Jednak przełom ow e znaczenie m iała tu książka H aighta (1963), n a której oparto podstaw ow ą notację. N o tacja ta ew oluow ała aż do term inologii artykułu H eidem anna (1996), stanow iącego głów ny p u n k t odniesienia proponow anego przez autora kolejkow ego m odelu potoku ruchu. O statni artykuł H eidem anna i W egm anna (1997) stosuje p o p raw io n ą w ersję notacji teoriokolejkow ej w teorii potoków ruchu. W niniejszym artykule w prow adzono odpow iednie zm iany na w zór artykułu H eid em an n a i W egm anna (1997).

H aight (1963) zakłada, że rozpatryw ane pojazdy potoku ruchu d z ie lą się na dw ie grupy: pojazdy typu A i pojazdy typu B. Jeżeli w zględna liczba pojazdów typu A w ynosi p , a odpow iednia w zględna liczba pojazdów typu B w ynosi q = \ - p , to cały odstęp ma geom etryczny rozkład praw dopodobieństw a kolejki składającej się z n pojazdów :

(1 - p ) p " ~ ' n = 1 ,2 ,.... (1) O ile w przypadku niezależnych odstępów m iędzy kolejnym i pojazdam i rozkład długości kolejki okazuje się geom etrycznym , to dla dow olnego innego rozkładu odstępów ,

(2)

jeże li nie je s t rozkładem geom etrycznym , to oznacza, że odstępy m iędzy kolejnym i pojazdam i nie s ą w zajem nie niezależne.

M odel kolejkow y dla potoku w yjściow ego H aight p roponuje zbudow ać p o przez ujęcie w y jścia w yobrażonej kolejki ja k o ruchom ego pasa. W takim przypadku najrozsądniej je st w ybrać m odel w yobrażonej kolejki ty p u M /D /l z param etram i X i A . D ługość kolejki będzie m iała rozkład B orela. „C hociaż w yobrażony m odel kolejkow y daje w ygodny sposób opisu rozkładu p ojazdów , to n ie m ożna go przyjąć do opisu p rzem ieszczania ru c h u ” - stw ierdza kategorycznie H aight.

D rew (1968) w definicji ruchom ej kolejki rów nież zakłada niezależność odstępów w kolejce i dochodzi rów nież do rozkładu geom etrycznego długości kolejki. Z m atem atycznego p unktu w idzenia ujęcie D rew je s t podobne do ujęcia H aighta.

H eidem ann (1996) w ystąpił z dyskusyjnym u jęciem m odelu podstaw ow ego za p o m o c ą narzędzi teorii kolejek. H eidem ann rozw aża drogę z nieprzerw anym i jed n o k ieru n k o w y m potokiem ruchu. N a drodze nie m a skrzyżow ań lub urządzeń przeszkadzających, ta k że problem y m o g ą być tylko pow odow ane sam ym potokiem . Z akłada się, że utrzym ane s ą w arunki stacjonarności, a w ięc że p o to k je s t w stochastycznej rów now adze. B ędzie się używ ać następujących oznaczeń:

- k - gęstość (zw ykle m ierzona w poj/km ),

- v - prędkość indyw idualna lub oczekiw ana prędkość (zw ykle m ierzona w km /h), - k Jam - ko rk o w a lub m aksym alna gęstość (tj. najm niejsza gęstość, d la której p o to k się

zatrzym uje), - v f - p rędkość sw obodna,

- ą - natężenie (zw ykle m ierzone w poj/h).

To co dotychczas H eidem ann (1996) opisał, je s t m odelem kolejkow ym M t G / l z d y sc y p lin ą w ed łu g kolejności zgłoszeń FIFO , gdzie:

- p = X / /u = k l k jam - intensyw ność ruchu,

- a = odchylenie standardow e czasu obsługi, który je s t czasem przejazdu dystansu 1/ k Jam przez indyw idualnych kierow ców z zam ierzonym i prędkościam i.

Ł ącząc w zó r L ittle’a ze w zorem P ollaczka-C hinczyna oraz podstaw iając X = k v , i // = k jomvf H eidem ann (1996) otrzym uje w końcu

je s t w skaźnikiem zm ienności czasu obsługi, będącego czasem podró ży odległości 1f k Jaw z p rę d k o śc ią sw obodną.

N ajw ażniejszym aspektem je s t zdaniem H eidem anna fakt, że w zó r (2) m oże być traktow any ja k o rzeczyw ista oczekiw ana prędkość dla gęstości k, p oniew aż fikcyjny m odel z v = v f dla każdej gęstości k okazuje się nierealistyczny. Z uw agi n a to, że prędkość v f nie m oże być utrzym ana, tak w ięc m usi być zredukow ana do prędkości v ze w zoru (2).

H eidem ann rozw aża dw a specjalne przypadki:

- d l a ß = 0 m odel kolejkow y M I G I 1 redukuje się do m odelu M / D / l , gdzie czas obsługi, a stąd p otoku płynnego, oraz prędkość s ą stałe dla w szystkich pojazdów ,

(2)

gdzie

ß = Wf kjam ^{(3 )}

(3)

N ow e ujęcie przepustow ości drogi z porów naniem m odeli 45

gęstość upraszcza się do zależności liniow ej: v = v f (1 - - — - ) .

- dla nierealistycznego m odelu M l M l 1, który uzyskuje się dla ß = 1, zależność prędkość - k_

k Ja,..

U jęcie H eidem anna m a te sam e w ady co m odel M I D I 1, zdyskw alifikow any przez H aighta, jed n ak m a pew ien w alor poznaw czy, poniew aż zostało zw eryfikow ane przez obserw acje rzeczyw istego ruchu na drogach niem ieckich. M ożna m iędzy innym i dow iedzieć się, że w skaźnik zm ienności ß zdefiniow any w m odelu H eidem anna, gdzie w artość ß = 0 odpow iada ruchow i o rów nych odstępach, natom iast ß = 1 - w ykładniczem u rozkładow i praw dopodobieństw a odstępu m iędzy pojazdam i, przyjm uje bardzo m ałe w artości. N a drogach niem ieckich w skaźnik ten kształtuje się n a poziom ie ß = 0.2 , co jeszcze raz dow odzi znanej w łasności potoków ruchu: małej w ariancji odstępu m iędzy pojazdam i. N ie m ożna zatem przyjm ow ać m odelu M l G / l jak o m odelu pojedynczego potoku ruchu. N atom iast m niejsze zastrzeżenia m ożna m ieć tu do m odelow ania w ielopasm ow ej drogi z a p o m o cą M I G I 1. Z drugiej strony jed n ak w ydaje się, że m inim alny dystans nie m oże być d efiniow any arbitralnie. K ażda prędkość sw obodna v/ ustalonego poziom u nasycenia drogi daje jak iś oczekiw any m inim alny dystans. D opiero granica tych oczekiw anych m inim alnych dystansów , przy w zrastającym nasyceniu, daje dystans m inim alny. W ten sposób m ożna tu uciec od arbitralnego rozstrzygnięcia, tak ja k proponuje się w rozdziale

14

-

A rtykuł H eidem anna (1996) stanow ił głów ny punkt odniesienia w dalszych rozw ażaniach, a w ięc będzie dalej w ielokrotnie cytow any, w m iejscach gdzie porów nuje się p roponow any m odel z m odelem H eidem anna (1996).

Przybycia pojedynczego strum ienia m o g ą być opisane (patrz, n a przykład, H eidem ann i W egm ann, 1997):

1) przez proces P oissona z param etrem / / (patrz, n a przykład, D aganzo, 1 9 7 6 ;P ö sch l, 1983;

H eidem ann, 1991); lub ogólniej

2) przez sekw encję G ,, G2 ,... niezależnych odstępów o tym sam ym rozkładzie G(x) (patrz, n a przykład, Siegloch, 1973; Plank i C atchpole, 1984, 1986a); lub ogólniej

3) przez sekw encję niezależnych losow ych par ( G , , 5 , ) , ( G 2 , 5 2) ,... odstępów i bloków o tym sam ym łącznym rozkładzie ( G ,ß ) ( x ,y ) (patrz, n a przykład, T anner 1962; Y eo i W eesakul, 1964; H aw kes, 1968; C ow an, 1987; W egm ann, 1992).

W literaturze najczęściej stosow ane sąn astęp u ją ce rozkłady odstępu:

1. R ozkład w ykładniczy

P { G > x) = e ~m , x > 0 ,

któ ra dobrze opisuje rzeczyw istość tylko dla m ałego natężenia ruchu.

2. Przesunięty rozkład w ykładniczy

, ie -"0r- 4) d l a x > A P { G > x ) = \

[\ dla x < A

który gw arantuje odstęp o długości co najm niej A . 3. P akietow y rozkład w ykładniczy

(4)

4. Inne rozkłady, takie ja k E rlanga i hiper-E rlanga rozkłady lub rozkłady log norm alne.

R ozkłady te nie s ą stosow ane w m odelach kolejkow ych, lecz tylko do m odeli sym ulacyjnych (patrz, n a przykład, G rossm ann, 1991).

H eidem ann i W egm ann (1997) p o d a ją klasyfikację coraz to bardziej złożonych m odeli pojedynczego strum ienia:

m odel A 1 j est procesem Poissona,

m odel A2 je s t procesem odnow y z przesuniętym (losow o) rozkładem w ykładniczym odstępu,

m odel A3 je s t procesem odnow y z pakietow ym rozkładem w ykładniczym ,

m odel A 4 je s t procesem przybyć T annera, gdzie blo k B je s t okresem zajętości kolejki M I G I 1 (patrz G ross i H arris, 1974, s. 249).

W dalszym ciągu m odel strum ienia jest rów now ażny m odelow i A 2 z pow yższej listy, a natężenie oznacza się q (poj/s).

D obrym m odelem opóźnienia je s t ruchom y b u for fi., znajdujący się przed każdym pojazdem i, zależny od je g o prędkości v . . Jeżeli b u for ten je s t w iększy od dystansu do w iodącego pojazdu fi. - co je s t rów now ażne w iększej prędkości vM od prędkości w iodącego p ojazdu v,., je s t to sytuacja konfliktow a następnego p o jazd u i+ 1: f i >s , i vi+ l> v f.

O późnienie n a dystansie fi rów ne je s t różnicy czasu czekania / f i f i / y i czasu przejazdu płynnego p 0b , / v M :

... P<A P ab,

0 < / > „ < ! , i = 1,2,... (4) gdzie k o lizy jn a część b u fo ra p 0bl = x 2 - x i je s t ró w n a części p 0 bufo ra od m om entu dopędzenia fi w m iejscu x, do m om entu fi w m iejscu x 2 rozw iązania sytuacji kolizyjnej, ja k n a rys. 1 w dw óch ujęciach: w ruchom ym buforze fi oraz stałym odcinku X , - x 4 - x 3, rów nym tem u buforow i: X j = fi. . L iczba stałych odcinków rów na je s t oczekiw anej gęstości m aksym alnej p łynnego p otoku k f : 1 < j < k f .

Rys. 1. K olizyjna część bufora p 0b w ruchom ym buforze b, oraz w równym, stałym odcinku Xj z identycznym opóźnieniem w,

Fig. 1. The conflict p a rt o f the bufferp0bi in m oving buffer b, a n d the fix e d section X j with the sam e delay w,■

(5)

W długim okresie, kiedy / -> co , w którym ruch osiąga rów now agę stochastyczną i prędkość potoku płynnego vi+l zm ierza do (oczekiw anej) prędkości sw obodnej v f : vi+1 - > V f , prędkość m ożliw a v(. zm ierza do oczekiw anej prędkości v: v(. —> v , natom iast dystans kolizyjny p 0b, zm ierza do resztow ego bufora p b f \ p 0bj —> p b t , gdzie b f = \ / k f je s t oczekiw anym buforem m aksym alnym płynnego potoku. O czekiw ane opóźnienie na dystansie b f - - je s t ró żn icą oczekiw anego czasu czekania p b f / v i oczekiw anego czasu przejazdu płynnego p b f l v f :

/ \ p b f p b ,

E r < = _V _{¥ /} _V~ _{V ,}> (5) 0 < ^ ] ■ ( «

gdzie p = p ( p ) je s t praw dopodobieństw em opóźnienia zależnym od intensyw ności ruchu p , ja k funkcja rosnąca i w ypukła. Stałe odcinki X l s ą sobie rów ne: X , = X dla w szystkich k f odcinków . Pow yższe ujęcie (5) upodabnia zjaw isko opóźnienia do opóźnienia w m odelach teoriokolejkow ych dla ruchu w rów now adze. Podobnie m odelow ane s ą opóźnienia przez H eidem anna (1996), gdzie podzielono drogę na stałe dystanse. D la w arunków płynnego potoku opóźnienia s ą m ałe i m o g ą być m odelow ane ja k w jednokanałow ym m odelu teoriokolejkow ym .

D la drogi jednorodnej łączne opóźnienie je s t sum ą opóźnień proporcjonalnych do odległości bf lub X. O czekiw ane opóźnienie e(w^ zw iększa czas przejazdu drogi. T ak więc ruchom y bufor je s t jednocześnie ruchom ym urządzeniem obsługi oraz p o czek aln ią p o ch łan iającą opóźnienie. W ydaje się, że je s t to idea podobna do ruchom ego pasa H aighta (1963).

Z am iast m odelow ania ruchom ego oczekiw anego bufora m aksym alnego bf m ożna podzielić drogę na k f stałych odcinków o rów nej długości X oraz rów nych oczekiw anych opóźnieniach, takich ja k oczekiw ane opóźnienie w bf . D ługość tych odcinków rów na się długości oczekiw anego bufora m aksym alnego bf , co zapew nia w długim okresie rów ne oczekiw ane opóźnienia (rys. 1):

X = b , = \ / k f . (7)

Poniew aż opóźnienia w ydłużają początkow e odstępy m iędzy pojazdam i h, o czas w, m ożna na tej podstaw ie stw ierdzić, że rzeczyw isty odstęp m iędzy pojazdam i h. je st zw iększony o opóźnienie w i określone przez (4), a więc:

h, = hi + w

i .

⁽8)

Pow yższy w zór w yjaśnia rów nież, dlaczego w m iarę w zrastania opóźnień m ch u kolejne odstępy m iędzy pojazdam i p rzestają być niezależne, gdy w ydłużane s ą o opóźnienia zależne od poprzedniego odstępu.

D la dużych gęstości, poniew aż m inim alne odstępy d ążą do now ych stałych:

m in(ń( ) —> D, a czasy czekania d ą ż ą do now ych rozkładów w ykładniczych w, —> M , rozkład now ego odstępu h', dąży do now ego przesuniętego rozkładu w ykładniczego:

ń;' -> D + M . (9)

W takich idealnych przypadkach pojaw ia się n ow a niezależność odstępów potoku ruchu.

N ajnow szym potw ierdzeniem małej w ariancji odstępów potoku m ch u je st artykuł H eidem anna (1996), w którym przedstaw iono w yniki badań potoków m c h u na drogach niem ieckich, z których otrzym ano tzw . w skaźnik zm ienności / ? = 0 .2 . O brazow o ujm ując,

(6)

je s t to rów now ażne sytuacji odstępu, w której m inim alna w artość stanow i 0.8 w artości oczekiw anej. Jest to najnow sze potw ierdzenie statystyczne m ałej w ariancji odstępów potoków ruchu.

C zas obsługi przez ruchom y b u for b , lub stały odcinek X je s t czasem przejazdu przez bu for bf (lub X). O czekiw any czas czekania Z + e[w^ je s t rów ny czasow i płynnego przejazdu p ojazdu Z (będącego oczekiw anym czasem obsługi) pow iększonem u o oczekiw ane opóźnienie E [ w q j . Czas obsługi m a podobny rozkład ja k odstępy (9). D la nie zagęszczonych po to k ó w m o żn a w ięc założyć, że rozkład czasu obsługi je s t p rzesuniętym rozkładem w ykładniczym , podobnym do rozkładu odstępu. O czekiw any czas obsługi Z:

Z = - X

(

10

) je s t czasem przejazdu m aksym alnego bufora bf lub stałego odcinka X z oczek iw an ą p ręd k o śc ią sw o b o d n ą v , .

Proces przybyć do ruchom ego b u fo ra je s t procesem w yjściow ym z poprzedniego k an ału obsługi o oczekiw anym dystansie l / k , a w ięc natężenie przybyć do ruchom ego kanału obsługi X = k v j . N atężenie przybyć do ruchom ego kanału obsługi X je s t ograniczone n ajkrótszym czasem przejazdu poprzedniego odcinka l / k , a w ięc przejazdu z p ręd k o ścią sw o b o d n ą vf . T ak w ięc, proces przybyć do bufora l / k f je s t procesem obsługi poprzedniego kanału z tandem u kanałów obsługi ( l / k , l / k f ) , ja k na rys. 2.

fikcyjna linia stopu oraz linia przybyć bu fo ra l / k X = kv_f

następny p ojazd

H >

oczekiw any odstęp 1/X = l / k v f

pojazd w k o le jc i; lub obsłudze

i-

zacienione: droga

[X>

l / k

■ kv oczekiw any czas

czekania

[X >

l / k f

p = k f v

Rys. 2. Schem at jednokanałow ego modelu kolejkowego ruchom ego bufora l / k f ze strum ieniem przyb yć rów now ażnym obsłudze p rzez ruchom y tandem kanałów obsługi: ( l / k, l / k f j Fig. 2. The schem e o f a single channel queueing m odel fo r the buffer l /k f with an arrival stream

equivalent to service by the tandem service channels: [\/ k , l / k j )

N atężenie obsługi p przez ruchom y b u for w y n ik a z najkrótszego czasu przejazdu o d cin k a l / k f z p ręd k o śc ią sw o b o d n ą vf , a w ięc p = k f v f . S chem at m odelu kolejkow ego ruchom ego b u fo ra przed staw ia rys. 2.

(7)

Jeżeli spełniony je s t w arunek płynnego potoku, to zam iast m odelu ruchom ego bufora m ożna podzielić drogę na k f odcinków o długości X, które m o g ą być traktow ane jak o sekw encje kanałów obsługi o param etrach m odeli jednokanałow ych m odeli kolejkow ych o param etrach ruchom ego bufora z rys. 2. W edług pow yższych rozw ażań w obydw óch ujęciach b ędzie identyczne sum aryczne opóźnienie, a w ięc s ą to rów now ażne ujęcia m odelow e.

O późnienia, które p o w stają w potoku ruchu, s ą bardzo małe, co ilustruje idea zlepionych kolejek przedstaw iona przez W ocha (1983) i w popraw ionej w ersji przedstaw iona w tym artykule.

2. Z L E P IO N E PR O C E SY K O LEJEK

K ażdy pojazd potoku ruchu je s t obsługiw any przez ruchom y fragm ent drogi nazyw any dystansem buforow ym . C zas przejazdu dystansu buforow ego z płynnego potoku je s t czasem obsługi pojazdu przez drogę. R uchom y bufor je s t w ięc system em kolejkow ym , to znaczy m oże by ć traktow any ja k dynam iczny system kolejkow y, poprzedzający każdy pojazd. W rozdziale 14 zostanie przedstaw iony dokładnie taki model. Tak w ięc, każdy pojazd m a swój w łasny jedn o k an ało w y system kolejkow y. W dalszym ciągu rozw aża się system kolejkow y G I / D / \ - p. np. G ross i H arris (1974). O przybyciach do system u zakłada się, że je s t to strum ień odnow y, to znaczy że odstępy m iędzy przybyciam i s ą niezależne i m a ją ten sam przesunięty rozkład dow olny z przesunięciem A , natom iast czas obsługi (dla chw ilow ego uproszczenia) je s t stały i w ynosi Z. Przybycia do system u w yraża natężenie przybyć 1 :

Z — ~ — , (11)

— + A 1 + AA

X

gdzie: — + A - oczekiw any odstęp, X

A - odstęp m inim alny,

-~7 - w artość oczekiw ana części losowej odstępu.

X

R elacje m iędzy tym i charakterystykam i m ożna w yrazić następująco:

0 < A < Z < — . (12)

A,

D la takiego system u kolejkow ego m ożna określić proces kolejek ( g , ) ja k o liczbę pojazdów w system ie w chw ili t, to znaczy pojazdów znajdujących się w obsłudze lub w kolejce do obsługi. System i proces przybyć nazyw a się oryginalnym i w celu ich odróżnienia od innego system u i zw iązanych z nim procesów opisanych dalej.

R ozw ażm y system kolejkow y rów nież o strukturze G I I D l 1, jed n a k o trochę innych założeniach. Przybycia do obsługi w tym system ie s ą procesem odnow y o rozkładzie odstępu identycznym z rozkładem części losowej odstępu opisanej poprzednio, to znaczy - oryginalnego system u. O czasie obsługi w tym system ie zakłada się, że je s t stały i w ynosi Z = Z - A . Jeżeli część losow a odstępu m iędzy przybyciam i w oryginalnym procesie przybyć m a rozkład w ykładniczy, to m am y do czynienia z system em M l D l 1. Ten system w ogólnym przypadku nazyw ać się będzie system em zlepionym , a proces przybyć, proces

(8)

kolejek i w szystkie ich charakterystyki określać się będzie ja k o zlepione. P rzez t , , t , oznacza się m om enty i-tego p rzybycia w procesie oryginalnym i zlepionym , a r (. , r) - odpow iednie m om enty zakończenia obsługi. Rys. 3 pokazuje p rzy k ład o w ą realizację procesu oryginalnego

<2, i o d p o w ied n ią realizację procesu zlepionego Q r .

Q, 5- 4- 3- 2^-

1- -

0

O ryginalny proces kolejkow y

Q, 5- 4- 3-

2^- 1-J

Z lepiony proces kolejkow y

t 0 r, r 2 r 3 r 4 r 5

Rys. 3. P rzykładow e realizacje procesów oryginalnego Q( i zlepionego Q r

Fig. 3. E xem plary realizations o f queueing processes: original Q t a n d com pressed Q :

W e w szystkich rozw ażaniach zakłada się, że system oryginalny znajduje się w ró w n o w adze stochastycznej, to znaczy intensyw ność ruchu:

p = A Z < \ . (13)

System oryginalny znajduje się w rów now adze stochastycznej w tedy i tylko w tedy, gdy system zlepiony znajduje się w rów now adze stochastycznej. W ykorzystując w w arunku (13) zależność (12), dochodzi się do następującej nierów ności, rów now ażnej (13):

Z (Z - A) < 1 (14)

L ew a strona (13) i (14) je s t in ten sy w n o ścią ruchu p = Ai B system u zlepionego.

N iech u n u2,... o zn aczają odstępy w przybyciach do uogólnionego system u oryginalnego typu G I/G /1, z ,,z 2 ,... odpow iednie w artości czasu obsługi (dla system u G I / D l 1 - z, = Z ) , a w ,,w 2>... czasy czekania dla kolejnych jed n o stek . O późnienie pojazdu i + 1 je s t określone n astęp u jącą zale żn o ścią rekurencyjną, p raw d ziw ą d la dow olnych system ów G I I G / 1 - G ross i H arris (1974):

(9)

N ow e ujęcie przepustow ości drogi z porów naniem modeli 51

w,+l = m ax(0, w, + z , - uM ) . (15)

N ależy zauw ażyć, że operacja zlepiania nie zm ienia łańcucha opóźnień, bow iem gdy określić now y system o odstępach u, = m, - A , czasach obsługi z, = z, - A oraz opóźnieniach w :, to na podstaw ie (15) m ożna napisać:

w, = w , . (16)

O zn acza to, że łańcuchy opóźnień w obu system ach s ą identyczne.

Z k a ż d ą w arto ścią 0 w łańcuchu opóźnień je s t zw iązany czas bezczynności system u.

W procesie oryginalnym [Ql ) przedziały czasu, w których Q, = 0 , w y stęp u ją w ów czas, gdy

um Z w , + z , . (17)

W takich przypadkach czas bezczynności system u w ynosi

“ ,+i - w, ~ 2, ■ (18)

P odobnie ja k d la łańcuchów opóźnień i tutaj na podstaw ie (18) m ożna stw ierdzić, że łańcuchy czasu bezczynności system ów oryginalnego i zlepionego s ą identyczne.

Z praktycznego punktu w idzenia interesujące s ą zależności m iędzy granicznym i charakterystykam i procesów ( 0 , ) (iO i (i? r) 1>0> takim i ja k stacjonarne praw dopodobieństw a stanu i procesów : />, ,/>,, albo oczekiw ane opóźnienie.

P oniew aż łańcuchy opóźnień w procesie oryginalnym i zlepionym s ą identyczne, to znaczy że stacjonarne praw dopodobieństw o system u pustego w ynosi

1

.

J p o k

Po = —y - = y i> o = ( l - A A ) / ? 0 = 1 - A Z . (19) I

Ł ańcuchy opóźnień procesów oryginalnego i zlepionego s ą identyczne, ja k rów nież identyczne s ą łańcuchy czasów bezczynności, dlatego oczekiw ane opóźnienie w system ie oryginalnym E{Wq) je s t rów ne oczekiw anem u opóźnieniu w system ie zlepionym Wq J :

E{Wq) = E ( w q ) . (20)

G dy system zlepiony je s t M l D l 1, to oczekiw ane opóźnienie w ynosi:

(10)

D la odpow iedniego system u oryginalnego otrzym uje się:

A [ Z - A )2( l - / / A )

* K ) = -

2(1 - AZ) (

22

)

Pow yższe rozw ażania m ożna uogólnić n a inne system y jed n o k an ało w e, w których w ystępuje m ożliw ość zlepiania. D la oznaczenia system u kolejkow ego, którego proces kolejek m oże być zlepiony, zm odyfikujm y sym bolikę K endalla poprzez dodanie do ozn aczen ia typu ro zk ład ó w p raw dopodobieństw a dolnego w skaźnika + A . Pow yższy system oryginalny w rozszerzonej sym bolice je s t ty p u / D +i / 1, natom iast M +A / A/+a / I będzie interpreto

w ane ja k o system oryginalny, który po zlepieniu procesu kolejek o A daje system zlepiony ty p u M l M l 1.

G dy system zlepiony je s t M l M l 1, to oczekiw ane opóźnienie w ynosi:

(23)

a odpow iedni w zór d la system u oryginalnego M +A / M t& /1 je s t następujący:

a[z - a ) 2(i - /i a )

* ( » ; ) = ■

1 - A Z (24)

Pow yższe w zory zostały zm ienione w stosunku do odpow iednich w zo ró w n a oczekiw ane opóźnienie zam ieszczonych w pierw otnej w ersji - W och (1983). W liczniku doszedł czynnik

( l - M ) .

Rys. 4. Zależność oczekiw anego opóźnienia E \W q j o d intensyw ności ruchu p dla różnych p oziom ów wariancji odstępu p otoku ruchu według m odeli zlepionych kolejek

Fig. 4. The m ean delay E{jVq ) as fu n ctio n o f the traffic intensity p, f o r different values o f headw ay variances

(11)

N a podstaw ie m odeli zlepionych kolejek m ożna w yjaśnić, dlaczego opóźnienia są na ogół m ałe. M ała w ariancja odstępów potoków ruchu w ynika z dużego udziału m inim alnego odstępu w oczekiw anym odstępie. Z ależność oczekiw anego opóźnienia od natężenia ruchu oraz dla różnych w ielkości w ariancji odstępów p otoku ruchu ilustruje rys. 4.

3. M O D EL R U C H O M E G O B U FO R A T Y PU / M +4 /1 (W G W O C H A , 2003)

R ozw ażm y drogę jed n o ro d n ą z jednokierunkow ym potokiem ruchu. N atężenie q je st rów ne iloczynow i gęstości k oraz przestrzennej oczekiw anej prędkości v. K ażdy pojazd porusza się z p ręd k o ścią sw obodną v/ w sytuacjach bez czasów czekania. Podobnie oznacza się oczek iw an ą prędkość płynnego potoku. W w arunkach ustabilizow anych pojazd porusza się z p ręd k o ścią v, która rów nież interpretow ana je s t ja k o oczekiw ana prędkość. Z am iast gęstości korkow ej lub m aksym alnej definiujem y m aksym alną gęstość płynnego p otoku k f , to znaczy ta k ą najw ięk szą gęstość, dla której pojazdy p o ru szają się z p ręd k o ścią sw o b o d n ą vf , bez czasów czekania.

W potoku ruchu m ożna m odelow ać opóźnienie za p o m o c ą jednokanałow ych m odeli kolejkow ych, jak o m odeli ruchom ego bufora, p od w arunkiem że m odelow ane opóźnienia b ę d ą m niejsze niż m ożliw ości pochłaniania przez drogę w dystansie poprzedzającym ruchom y „kanał obsługi” , a w ięc w ruchom ej „poczekalni” . O znacza to, że oczekiw ana długość kolejki E [Q \ ^w m odelow anym system ie kolejkow ym je s t nie w iększa niż 1:

w m inim alnym dystansie \ / k f . R uch spełniający pow yższy w arunek nazyw a się ruchem płynnym lub potokiem ustabilizow anym . W arunek (25) je s t w istocie rzeczy w arunkiem rów now agi stochastycznej m odelow anego ruchu, nazyw anym rów nież w arunkiem płynnego potoku. N atom iast gdy nie je s t spełniony w arunek (25), to nie m ożna m odelow ać czasów czekania z a p o m o cąjed n o k an ało w y ch m odeli kolejkow ych. T aka sytuacja je s t o z n a k ą potoku nieustabilizow anego, który rów nież nazyw a się ruchem przeciążonym .

W m odelach kolejkow ych zw ykłe ograniczenie intensyw ności ruchu je s t

gdzie A je s t natężeniem przybyć do ruchom ego bufora, p je s t natężeniem obsługi ruchom ego bufora i je s t określone jak o odw rotność czasu przejazdu dystansu m inim alnego b u fo ra o długości ]jkf z p ręd k o ścią sw o b o d n ą vf . O graniczenie (26), jeżeli rozum ieć je w sposób klasyczny ja k w m odelu H eidem anna (1996), je s t z pozoru słabsze, niż w arunek płynnego potoku (25), co w ykaże się w dalszej treści. R ozw ijając schem at W ebstera (1958), którym rów nież posłużył się H eidem ann, m ożna zaproponow ać następujący schem at m odelu kolejkow ego ruchom ego bufora - rys. 2.

M odel kolejkow y ruchom ego bufora je s t podobny do m odelu H eidem anna podziału na stałe fragm enty drogi. W arunkiem zapew niającym płynny potok je s t w m odelu H eidem anna ograniczenie gęstości ruchu do gęstości optym alnej k , , dla której w klasyczny sposób otrzym ujem y przepustow ość q mm. M im o że w arunek płynnego potoku (25) w ygląda na m ocniejszy niż w m odelu klasycznym , to znaczy że jeżeli przez k . oznaczym y gran iczn ą gęstość ruchu, której odpow iada w arunek płynnego potoku (25), to łatw o w ykazać że:

(25)

(26)

(12)

(27) Spróbujm y zatem porów nać te w ielkości.

W arunek płynnego potoku (25) n a podstaw ie tw ierdzenia L ittle ’a (p. np. G ross i H arris, 1974) m o żn a przekształcić w następujący:

system ie kolejkow ym . T ak w ięc g raniczna gęstość k , spełniająca w arunek płynnego potoku (28) je s t to tak a gęstość, d la której w (28) nierów ność zastąpi się rów nością. P rzyjm ując dla celów porów nania, m odel kolejkow y H eid em an n a M I G I 1, otrzym ujem y następujące rów nanie:

gdzie k jam w m o d elu H eidem anna definiow ane je s t inaczej niż k f , którego rozw iązaniem je s t

gdzie [i = v f k jam a , a a 1 je s t w arian cją odstępu potoku ruchu.

O trzym ujem y w ynik identyczny z o p ty m aln ą g ę sto śc ią k op, w m odelu H eidem anna, p o tw ierdzający rów now ażność (27). W ykazaliśm y, że w arunek płynnego potoku (25) w tym konkretnym p rzy p ad k u je s t rów now ażny klasycznem u p ojęciu gęstości optym alnej. Jak się w ykaże w dalszej treści, w ynik ten m a znaczenie ogólne, to znaczy że pojęcie optym alnej gęstości k opr w ujęciu klasycznym je s t rów now ażne granicznej gęstości k , zapew niającej p ły n n y potok w edług w arunku (25), a w ięc w dalszym ciągu u tożsam ia się te pojęcia, to znaczy:

N astępnym w arunkiem , ja k i pow inien być spełniony podczas m odelow ania ruchom ego b u fo ra za p o m o c ą jedno k an ało w y ch m odeli kolejkow ych, je s t m ała w ariancja odstępów m odelow anego ruchu sp ra w ia ją c ą że m odelow ane opóźnienia ru ch u s ą takie ja k w zlepionych m odelach kolejkow ych, a w ięc s ą w bardzo specyficzny sposób zależne od intensyw ności ruchu.

Jeżeli przestrzega się w arunku płynnego p o toku (25) oraz pow yższego, to m ożna sform ułow ać podobne założenia o m odelu kolejkow ym potoku ruchu, ja k to zrobił H eidem ann (1996). Jednak je s t to całkow icie odm ienne ujęcie, z pozoru tylko podobne.

Z asad n ic za różnica dotyczy w arunku rów now agi stochastycznej (25) oraz innej interpretacji fizycznej m odelow anych opóźnień ruchu - w ujęciu dynam icznym . O dm ienny rów nież je s t sam m odel kolejkow y, który pozw ala spełnić w szystkie postulaty, ja k ie staw ia się m odelom jedn o k an ało w y m , w ykorzystyw anym do m odelow ania opóźnień. C hodzi przede w szystkim o n iedopuszczalne zdaniem autora założenie o całkow itej losow ości strum ienia przybyw ających p o jazd ó w w ujęciu H eidem anna, co było uzasadnione w rozdziale 13. Z asadnicza różnica je d n a k p o le g a n a w ielokrotnie w iększym dystansie elem entarnym drogi 1j k f .

(29)

f l - l

(30)

k . = k ,' npl • (31)

(13)

W teorii potoków ruchu zakłada się - H aight (1963), D rew (1968) - że istnieje rów now aga stochastyczna potoku ruchu, to znaczy istnieją: oczekiw ana prędkość potoku v, oczekiw ana gęstość k oraz oczekiw ane natężenie q , które sp ełn iają zw iązek:

q = k v , (32)

a prędkość spełnia rów nanie rów now agi: v = Ve (q ) , gdzie Ve je s t zw iązkiem rów now agi dla nienasyconego potoku ruchu. Jeżeli m odelem opóźnień ruchu będzie system kolejkow y typu 4 / +A/ M +A/ l , to z tw ierdzenia L ittle’a (p. np. G ross i H arris, 1974 i H eidem ann i W egm ann, 1997) otrzym ujem y zw iązek m iędzy oczekiw anym czasem czekania w odstępie

E( Wq ), składającym się z oczekiw anego czasu przejazdu Z = — pow iększonego o oczekiw ane opóźnienie E \w ^j, a oczekiw aną d łu g o ścią kolejki w dystansie 1j k f - Z ( 0 ) :

E {q) = A E (wq ) , (33)

gdzie A je s t natężeniem przybyć, a p natężeniem obsługi rozum ianej jak o czas przejazdu dystansu 1j k f z p ręd k o ścią płynnego potoku vf , spełniające następujące w arunki:

— = - r + A , Z = —- = —7 + A , j i = k f V f , Z > A > 0 . (34)

A A p p

Z akłada się, że m inim alny odstęp A je s t jednocześnie m inim alnym czasem przejazdu, a odstępy oraz czasy przejazdu m a ją przesunięte rozkłady w ykładnicze z pow yższym i param etram i. D ystans \ / k f , nazyw any w dalszym ciągu ruchom ym buforem lub buforem , w yraża najm niejszy dystans m iędzy dw om a pojazdam i poruszającym i się z p ręd k o ścią sw o b o d n ą vf , a w ięc bez opóźnień.

W konsekw encji uzyskuje się:

X -Ę (Q ) Vkf (35)

1

/ k , s Ę i r )

Ei e) ) \ / k

d la bufora 1j k f .W dalszym ciągu należy identyfikow ać A z ą , — z k oraz 1 / ■, z v.

y k f E \Wq j W rezultacie otrzym uje się oczekiw ane opóźnienie bez czasu obsługi dla m odelu kolejkow ego typu / M +&/ 1:

— ( Z - A ) 2( l - u A)

Z l - ± . k f J /i k

gdzie p = — = — je s t intensyw nością ruchu. N atom iast oczekiw any czas czekania e{wq \ fi k f_xf

w ynosi

k

, t ( z - a ) 2( i - m )

eK {p) ) = - + p { K Z + - L — --- ---- --- = E [w Q(k)). (37) Z

O czyw iście A zależy od v.

1 - A . k f )

(14)

O dpow iednia oczekiw ana prędkość w ynosi:

—

— Z

k , k {

l - ± . k f J

k , + (z - a)2(i- m ) - ^ k f

(38)

D la w yznaczenia optym alnej gęstości ruchu przyrów najm y p o c h o d n ą funkcji q ( k ) = kv do zera, a w ięc rozw iążm y rów nanie: q = v + k v = 0. O trzym ujem y o p ty m aln ą gęstość ru ch u

k ,

k . = f- r . (39)

1 + (l - /¿A)2

Podstaw iając (38) do w zo ru (39) otrzym ujem y w zó r n a o p ty m aln ą prędkość p o to k u ruchu:

_

M 1 v/

k f 1 + (l - //A)2 1 + (l - //A)2

Podstaw iając do podstaw ow ego w zoru: q , = k , v, otrzym ujem y przepustow ość:

(40)

U k , v f

7 7 7 = 7 --- TTT- (4 1 )

1 + (l - //A)2 1 + (l - /2A)2

Jak w idać, obliczanie optym alnej gęstości p o przez przyrów nanie pochodnej funkcji q ' ( k ) = 0 m oże być czasem kłopotliw e. Jest to jed n a k tylko sposób n a ocenę przepustow ości, który m oże być zastąpiony innym i sposobam i, ja k p rzedstaw ia się dalej.

Z w iązek rów now agi v = V e ( q) w y n ik a ze spełnienia następujących w arunków p łynnego potoku. A by ru ch odbyw ał się płynnie, to oczekiw ana liczba pojazdów w dystansie

1/ k f po w in n a być nie w iększa od 1, to znaczy:

£ ( e ) s 1, (42)

co z uw agi n a zw iązek L ittle ’a je s t rów now ażne w arunkow i:

E { W \ < - - - . (43)

q u

O statni w arunek oznacza natom iast, że oczekiw ane opóźnienie w dystansie pow inno być nie w iększe od różnicy m iędzy odstępam i m iędzy pojazdam i i czasem p rzejazdu bez czasów czekania. Z drugiej strony, z uw agi n a efektyw ność ruchu pow inien być spełniony w arunek p łynnego potoku:

¿ 5 — , k . = — = q .: q . =m ax(<?), (44)

s , s .

gdzie s , o zn acza dystans optym alny, to znaczy taki, który m aksym alizuje natężenie ruchu q , a k . ozn acza o p ty m aln ą gęstość o dpow iadającą przepustow ości q . . Jeżeli dopuści się w ię k sz ą o czek iw an ą liczbę pojazdów niż 1, to z uw agi n a zw iązek L ittle’a je s t to rów now ażne oczekiw anem u opóźnieniu w iększem u niż różnica m iędzy odstępem a czasem przejazdu bez opóźnień, co je s t niem ożliw e z uw agi n a brak przestrzeni opóźnień dla pojazdów następnych w kolejce i konieczność zm niejszenia oczekiw anej prędkości. T ak w ięc w arunki (42) lub (43) s ą m ocniejsze od zw iązku rów now agi v = V e( q) . N iespełnienie w arunków (42) i (43)

(15)

od p o w iad a zm niejszeniu natężenia, bow iem pew na część przepustow ości pochłaniana je s t przez opóźnienie. Jest to w niosek o fundam entalnym znaczeniu dla w yjaśnienia pojęcia

uogólniony w arunek (44), co dow odzi rów now ażności w szystkich pow yższych w arunków płynnego potoku. T ak w ięc, optym alna gęstość w ynikająca z w arunków płynnego potoku (42) i (43) w ynosi, tak ja k w (45):

gdzie / . je s t optym alnym praw dopodobieństw em płynnego potoku w ynikającym z w arunków płynnego potoku (44), (45), to znaczy rozw iązania rów nań, ja k ie otrzym a się po zastąpieniu w w arunkach (44) i (45) znaków nierów ności znakam i rów nania.

O ptym alne praw dopodobieństw o płynnego potoku pozw ala rów nież określić o p ty m aln ą prędkość, ja k w idać w m odelu podstaw ow ym , a w ięc w e w zorze (32):

o d p o w iad ają cą optym alnej gęstości.

Z drugiej strony optym alny dystans j. z w arunku (44) odpow iada m aksym alnem u natężeniu ruchu ą . , d la którego w w arunkach (42) i (43) zachodzi rów ność. Innym i słow y, q.

je s t p rzep u sto w o ścią drogi, w y p ro w ad zo n ąz m odelu podstaw ow ego (41):

gdzie //A je s t w spółczynnikiem zm ienności czasu przejazdu dystansu 1j k f z pręd k o ścią sw o b o d n ą vf . Jeżeli /./ A = 1, odpow iada to potokow i o rów nych odstępach. Poniew aż

a w ięc w y raża stosunek m inim alnego odstępu do oczekiw anego, to je s t dobry w skaźnik zm ienności czasu obsługi. Jeżeli / M = 0 , odpow iada to potokow i całkow icie losow em u, to znaczy o w ykładniczych odstępach. T en ostatni przypadek nie je s t realistyczny. Jak w y k azu ją badania statystyczne H eidem anna, n a drogach niem ieckich w spółczynnik zm ienności m odelu H eidem anna (1996) w ynosi /? = 0 .2 , co, z grubsza rzecz biorąc, odpow iada w artości w spółczynnika /r A = 0.8, a w ięc bardzo małej w artości w ariancji odstępu potoku ruchu.

A by w yznaczyć k, (45) z w arunku płynnego potoku, należy obustronnie pom nożyć (43) przez q , aby otrzym ać podstaw ow y w arunek płynnego p otoku ograniczający o czek iw an ą liczbę pojazdów w kolejce / przez praw dopodobieństw o niew ykorzystania drogi

1 - p :

Jeżeli potok ruchu spełnia w arunek płynnego potoku (42), to z uw agi na efekt małej w ariancji odstępu potoku, ilustrow any id e ą zlepionych kolejek, w sytuacji dużych w artości w spółczynnika zm ienności, praw dopodobieństw a stacjonarne kolejek trzy- i w ięcej-

k . = f . k , = (45)

ł + (l - n\)~2

v . = f . v f = (46)

1 + (l — /Z A) 2

(47)

(48)

(16)

p o jazdow ych s ą rów ne zeru, a w ięc opóźnienie w ystępuje tylko w kolejkach dw upojazdow ych. O znacza to, że p raw dopodobieństw a stacjonarne stanów , że w dystansie

1j k f je s tO , 1 i 2 pojazdy, rów ne odpow iednio p 0, p ^ \ p 2, sp ełn iają w arunek:

P ow yższy w arunek pow inien być traktow any ja k o pew ne u proszczenie d la celów dem onstracyjnych; je s t on spełniony d la dużego zakresu zm ienności intensyw ności ru ch u p , kiedy w ariancja odstępów je s t m ała, n a przykład p A = 0 .8 . W tedy w aru n ek (42), który gw arantuje płynny potok, odpow iada następującem u ograniczeniu p raw dopodobieństw a opóźnienia p 2 , praw dopodobieństw em pustego dystansu p 0 :

gdzie f ( k ) je s t praw dopodobieństw em płynnego potoku, w obec tego 1 - f ( k ) je s t dokładnym i n a ogół nieznanym , praw dopodobieństw em op ó źn ien ia w m odelow anym dystansie. P ow yższy w arunek, po pom nożeniu przez -1 i dodaniu 1, je s t rów now ażny o graniczeniu praw dopodobieństw a płynnego potoku p 0 + p t przez praw dopodobieństw o w y k o rzy stan ia dystansu 1 - p 0 :

U kład pow yższych rów now ażnych w arunków płynnego p otoku p o zw ala n a stw ierdzenie, że dla ustalonego m odelu opóźnień ruchu spełniającego w arunki płynnego p otoku m inim alizacja o późnień je s t rów now ażna m aksym alizacji płynnego potoku, bow iem prow adzi do tej samej o ceny optym alnej gęstości ruchu k ,. M o żn a w ięc stw ierdzić, że p odstaw ow y m odel ruchu nie je s t je d y n y m m ożliw ym ujęciem zagadnienia optym alnej gęstości ruchu. C zasem zam iast m aksym alizacji płynności ruchu m ożna m inim alizow ać opóźnienia, przy ograniczonym stopniu p ochłaniania opóźnień lub m aksym alizow ać p ły n n y potok, przy ograniczonym poziom ie efektyw ności w ykorzystania drogi. R ys. 5 p rzed staw ia w ykresy p raw dopodobieństw z w arunków płynnego p otoku (50) i (51) ilustrujące pow yższe ro zw ażania, przy następujących interpretacjach oznaczeń: gęstość k, praw dopodobieństw o pustego dystansu p 0 , praw dopodobieństw o opóźnienia p 2 , praw dopodobieństw o w y k o rzy stan ia dystansu buforow ego 1 - p 0 , praw dopodobieństw o płynności p 0 + p , , gęstość m ak sy m aln a k f , ocena optym alnej gęstości ruchu k ,. P oniew aż oczek iw an a kolejka E { Q ) = h p l + 2 • p 2 , kiedy spełniony je s t (49), oraz n a podstaw ie tw ierd zen ia L ittle’a (patrz G ross i H arris, 1974) E ( q ) = A ■ E ( w e ) m am y praw dopodobieństw o opóźnienia

Po + P\ + Pi = 1 • (49)

P o ^ P i (50)

f ( k ) = p 0 + p , > 1 - p 0 . (5 1 )

p 2 = A- E \ W I = --- — = --- --- i praw dopodobieństw o płynności

X~ P i _ A

Po + P\ = 1 —

/?2

oraz praw dopodobieństw o pustego dystansu p 0 = 1 - p = 1 --- . k f

(17)

M inim alizacja opóźnień M aksym alizacja płynności

Rys. 5. Dualność zagadnień minimalizacji opóźnień oraz maksymalizacji płynności ( juA = 0 .8 ) Fig. 5. Duality ofproblems: minimization o f delays and maximization offree-flow (/¿A = 0,8)

4. M A K SY M A L N A PŁY N N O ŚĆ PO TO K U R U C H U (W G W O C H A , 2003)

R ozw ażm y drogę z g ęsto ścią k, k tó rą m ożna podzielić n a k f fragm entów o długości 1J k f , m odelow anych ja k o jednokanałow e system y kolejkow e, o takim sam ym natężeniu obsługi p . P rzez obsługę rozum ie się przejazd dystansu 1j k f z oczekiw aną pręd k o ścią sw o b o d n ąv / , a w ięc bez opóźnień, to znaczy p = k f ■ v/ . L iczba k f je s t określona inaczej niż w podobnym m odelu H eidem anna (1996) liczba k Jam, m ianow icie je s t to m aksym alna liczba pojazdów na drodze poruszających się z pręd k o ścią sw o b o d n ą vf , bez opóźnień.

N atom iast natężenie A = kvf je s t natężeniem przybyć do j-teg o odcinka drogi: 1 < j < k f . P o d ział drogi n a odcinki ilustruje rys. 1

l / k f \ / k f y k f i / k f

Rys. 6. Podział na odcinki Fig. 6. Dividing into sections

W pow yższych określeniach p o jaw ia się zasadnicza różnica w stosunku do opisu m odelu ruchom ego bufora z [W och (2003)], bow iem tutaj dzieli się drogę na stałe fragm enty.

W ym aga to szerszego uzasadnienia. W opisie m odelu ruchom ego bufora założono, że czasy czekania lokalizow ane s ą rów nom iernie na drodze, co w ydaje się słuszne w idealnym przypadku drogi jednorodnej. Jak w ykazano w [W och (2003)], jeże li podzielim y drogę na stałe kaw ałki, ja k w m odelu H eidem anna (1996) oraz w yżej, to jeżeli spełnione s ą w arunki płynnego potoku podane w m odelu ruchom ego bufora z [W och (2003)], to odpow iada to

(18)

w arunkom rów now agi stochastycznej rozum ianej teoriokolejkow o, ja k rów nież odpow iada to w arunkom ustabilizow anego potoku, rozum ianym w sposób klasyczny. W takich w arunkach rów now agi stochastycznej potoku, poniew aż, ja k w ykazano w [W och (2003)], każdy elem entarny fragm ent drogi o długości 1J k f zaw iera w ystarczające rezerw y przepustow ości n a pochłanianie „sw oich” opóźnień, m ożna w yobrazić sobie drogę d ziałającą w sekw encji stałych fragm entów , tak ja k w yżej, ja k rów nież - rów now ażne inne p odziały pow stające po p rzez przesuw anie m iejsca początku fragm entów elem entarnych. D aje to podstaw ę do różnych rów now ażnych sposobów m odelow ania opóźnień, je ż e li spełnione s ą w arunki płynnego potoku. T ak w ięc, w tym m odelu m echanizm utrzym yw ania b ezpiecznego odstępu jest taki sam ja k w m odelu ruchom ego bufora, jed n a k w inny sposób rejestruje się zakłócenia płynności ruchu.

D la takiej sekw encji odcinków drogi m o żn a określić o czek iw an ą płynność potoku ja k o o c zek iw an ą liczbę p ojazdów poruszających się płynnie:

F ( k ) = k - l k f , 0 < F ( k ) < k < k f , (52)

gdzie ¿ j e s t o czek iw an ą lic z b ą pojazd ó w na całej drodze, a / je s t o c zek iw an ą lic z b ą pojazdów opóźnionych w e fragm encie drogi 1/ ¿ / , a w ięc / • k f je s t o czek iw an ą lic z b ą pojazdów o późnionych n a całej drodze. O czekiw ana liczba pojazdów opóźnionych n a odcinku drogi

\ / k f na podstaw ie tw ierdzenia L ittle’a (p. np. G ross i H arris, 1974) je s t rów na

l = X E { W q) , (53)

po n iew aż oczekiw ana kolejka e(q) = = A E (w q) + X — ró w n a je s t oczekiw anej liczbie opóźnionych pojazdów Ae(w^ pow iększonej o o czek iw an ą liczbę obsługiw anych pojazdów A — , gdzie A = kvf je s t natężeniem przybyć do pojedynczego fragm entu drogi, ograniczonym czasem p rzejazdu poprzedniego odcinka \ f k z p rę d k o śc ią sw o b o d n ą vf , a £'(łT j odpow iednim oczekiw anym opóźnieniem . Jeżeli intensyw ność ruchu

/l k

P = — T f < x ' (54)

to oczekiw ana liczba pojazdów poruszających się płynnie (1) je s t ró w n a

F { k ) = k ( \ - u E [ W q)). (55)

D la określen ia optym alnej gęstości, d la której n ajw iększa je s t m aksym alna płynność potoku, przyrów najm y p o c h o d n ą do zera F ( k ) = 0 , co prow adzi do rów nania:

l - / j E ( w q ) - k ^ E ' ( w q ) = 0 , (56) gdzie E ( wq j je s t p o c h o d n ą oczekiw anego opóźnienia. D zieląc obustronnie przez /u oraz podstaw iając Z = — oczekiw any czas przejazdu dystansu 1l k f , otrzym ujem y in n ą form ę

H

rów nania, p o d o b n ą do poprzednich rozw ażań:

(19)

Z - E [ w q) - k - E \ w q) =0

.

⁽⁵⁷⁾

M ożna zauw ażyć, że gdy w podobny sposób w podstaw ow ym m odelu przyrów nam y p o ch o d n ą natężenia do zera, to prow adzi to do innego rów nania:

R óżne rów nania m o g ą daw ać identyczne rozw iązania. Spraw dzenie takiego przypuszczenia dla m odelu M +A / M +A /1 nie je s t trudne, bow iem oczekiw ane opóźnienie je s t w edług rozw ażań z [W och (2003)], rów ne

i po przekształceniu (61) okazuje się m niejsze od optym alnej gęstości w yprow adzonej z m odelu podstaw ow ego przez [W ocha (2003)], k tó r a je s t rozw iązaniem rów nania (58):

M ożna sądzić, że pojęcie optym alnej gęstości m aksym alizującej płynność potoku je s t dolnym ograniczeniem optym alnej gęstości w m odelu podstaw ow ym .

Rys. 7 przedstaw ia w ykres oczekiw anej płynności potoku

O ptym alna gęstość pod w zględem płynności potoku je s t rozszerzeniem pojęcia optym alnego natężenia, które pow stało jak o kryterium efektyw ności w ykorzystania złożonych w ęzłów torow ych i jak o takie funkcjonuje do dzisiaj w P olskich K olejach Państw ow ych. Z łożoność m odeli w ęzłów transportow ych spraw ia, że do oceny opóźnień stosuje się m etody M onte Carlo. B adanie przepustow ości złożonych w ęzłów transportow ych za p o m o cą optym alnego natężenia ukazuje dopiero zalety tego podejścia.

(58)

^ - ( Z -A )2( l - / r - A )

Nr______________

₍₅₉₎

n atom iast pochodna tej funkcji je s t rów na

— ( Z - A ) 2( l - / r A )

______________

₍₆₀₎

R ozw iązanie (57) je s t następujące:

/ \

(61)

k, = 3 •

2

(62)

(20)

Rys. 7. Wykres oczekiwanej płynności potoku F ( k ). Gęstość k, położenie optymalnej gęstości k 0 względem maksymalnej gęstości k f

Fig. 7. Graph o f the mean flow freedom F ( k )

P roblem em teoretycznym pow yższego u jęcia płynności p o to k u je s t relacja optym alnej gęstości k 0 i optym alnej gęstości k. zdefiniow anej w m odelu ruchom ego b u fo ra W ocha (2003). A by porów nać te w ielkości, należy przekształcić ró w n an ia (57) i (58) przenosząc w yrażenia —k ■ E [ Wq j na praw e strony, aby otrzym ać rozw iązania jak o przecięcia krzyw ych odpow iadających lew ym i praw ym stronom tych rów nań. M am y w ięc rów nanie „rów now agi”

odpow iadające (57):

Z - E [ w q) = k - E \ w q) (63)

oraz rów nanie „rów now agi” odpow iadające (58):

E {w Q) = Z + E ( w q ) = k - E \ w q) . (64)

Po praw ej stronie obu rów nań w ystępuje w yrażenie, które należy interpretow ać jak o o czekiw any p rzy ro st funkcji opóźnień, a w ięc w skaźnik przyrostu k o sztu opóźnień.

N ato m iast lew a stro n a (63) je s t ró ż n ic ą oczekiw anego czasu p rzejazdu bez opóźnień odcinka drogi 1J k f i opóźnienia. Jest to w ięc w skaźnik dopuszczalności opóźnień ze w zględu na

„rezerw y przep u sto w o ści” . T ak w ięc rów nanie (63) je s t sw oistym kryterium efektyw ności w ykorzystania drogi.

Po lewej stronie (64) je s t oczekiw any czas czekania e(Wq} , który je s t w ażnym w skaźnikiem strat jak o ści ruchu, poniew aż w yraża podstaw ow y w skaźnik jak o ści ruchu:

o czekiw any czas podróży k f E ( w Q j , rów ny iloczynow i liczby elem entarnych odcinków drogi

(21)

k f i oczekiw anego czasu czekania w elem entarnym odcinku drogi E\ t ¥ g j • A w ięc rów nanie (13) m ożna interpretow ać rów nież jak o kryterium efektyw ności w ykorzystania drogi.

O czekiw any czas czekania E^Wgj (64) dla zm niejszającej się gęstości k zm ierza do m inim alnego czasu obsługi, który rów ny je s t oczekiw anem u czasow i przejazdu odcinka \ / k f bez opóźnień, a w ięc rów ny je s t oczekiw anem u czasow i obsługi Z w elem entarnym m odelu kolejkow ym , ja k na rys. 8.

O czekiw ana rezerw a czasu przejazdu Z - E ( w q j (63) m a w ykres, który je st

„odbiciem ” w ykresu oczekiw anego czasu czekania w prostej k = Z , tak ja k n a rys. 8.

N atom iast niezbyt oczyw isty je s t przebieg w ykresu oczekiw anego przyrostu opóźnienia k ■ E ( wq). D la m odelu kolejkow ego M +A / M ł4 / 1 , który je s t naszym m odelem podstaw ow ym , m ożna na podstaw ie (8) i (9), dojść do następującej tożsam ości:

k - E \ w q) = E ( w q\ — T > E ( w q) , (65)

1 k f poniew aż 0 < —— < 1.k

k /

P ozw ala to stw ierdzić, że oczekiw any przyrost opóźnienia k ■ E (wq) je s t fu n k cją w y p u k łą o w ykresie podobnym do w ykresu oczekiw anego opóźnienia E [w q j , ja k n a rys. 8.

Rys. 8. Wzajemny układ wykresów oczekiwanego przyrostu opóźnienia k ■ E y ^ qJ i oczekiwanego opóźnienia E(W q

j

Fig. 8. Disposition o f graphs o f the mean increment o f delay k ■ E (Wq ) and the mean delay, fo r E{Wq)

N a tej podstaw ie m ożna narysow ać w szystkie krzyw e efektyw ności w ykorzystania drogi, tak ja k n a rys. 9.

(22)

Rys. 9. Rozmieszczenie punktów przecięcia krzywych efektywności wykorzystania drogi ilustrujące stalą relację między optymalną gęstością maksymalizującą płynność - k 0 a optymalną gęstością z modelu podstawowego - k.

Fig. 9. Disposition o f the road effectiveness graphs crossing points showing a fix e d relation between the optimum density o f the flow freedom - k 0, and the optimum density o f the moving buffer model - k ,

G dy sporządzi się rysunek obrazujący (63) i (64), taki ja k rys. 9, to w idać, że p oniew aż funkcja k - E [wq ) je s t zaw sze rosnąca i w ypukła, to przecięcie (63) na w ykresie je s t zaw sze „w cześniej” niż (64), a w ięc optym alna gęstość k 0 z (63) je s t zaw sze m niejsza n iż o ptym alna gęstość k . z (64):

k 0 < k . . (66)

Innym i słow y, m o żn a stw ierdzić, że kryterium m aksym alnej płynności p otoku je s t zaw sze ostrzejsze n iż kryterium przepustow ości w m odelu podstaw ow ym .

A by ocenić charakterystyki przepustow ości w m odelu m aksym alnej płynności potoku, w yznaczm y o czek iw an ą prędkość

1 ¹

v = ■

1- -

v k / /

¡ W

1

^{- -}

(67) + (z- a) 2(

Kf

G dy podstaw im y o p ty m aln ą gęstość k 0 z (61), to otrzym am y o p ty m aln ą prędkość w m odelu m aksym alnej płynności potoku

1 + (l - p \ ) 3 +

(68)

(23)

N ow e ujęcie przepustow ości drogi z porów naniem modeli 65

O ptym alne natężenie w m odelu m aksym alnej płynności je s t rów ne

= 7---TI--- / V6 7 ....V ■ (6 9 )

1 + (l — //A) + 2 ^ ( l - / / A ) + ( l - / / A ) P ojaw ia się naturalne pytanie o różnicę m iędzy p rzepustow ością

? * = 7 ^ 7 7 7 (70)

l + ( l - / / A ) 2

z m odelu ruchom ego bufora z [W och (2003)] a optym alnym natężeniem (18).

Przepustow ość (70) daje się przedstaw ić za p o m o c ą w zoru

A (71)

l + ( l - / / A ) 3 + 2 - ^ ( l - / r A ) 3

co daje podstaw ę do stw ierdzenia, że

? o < 9 > - (72)

W idać rów nież, że różnica m iędzy optym alnym natężeniem q 0 a przep u sto w o ścią q, je st bardzo m ała, zw ażyw szy że w yrażenie (l - fua ) m a m ałe w artości dla typow ych w artości /¿A = 0.8 - w skaźników w ariancji czasów przejazdu po odcinku \/ k f , co w ykazane zostało p rzez W ocha (1998) i H eidem anna (1996).

Pojęcie optym alnego natężenia pod w zględem płynności, jak ie stosow ane je s t do analiz efektyw ności w ykorzystania w ęzłów torow ych sieci PK P, je s t prak ty czn ą eg zem p lifik acją m odelu m aksym alnej płynności, przedstaw ionego w yżej. N a ogół oczyw iste było, że pojęcie optym alnego natężenia p od w zględem płynności je s t dolnym ograniczeniem przepustow ości. N atom iast brakow ało w yjaśnienia, dlaczego różnica m iędzy p rzepustow ością a optym alnym natężeniem je s t mała. Tym w yjaśnieniem je s t m odel m aksym alnego płynnego potoku przedstaw iony w yżej. Tak w ięc, pow yższy m odel ilustruje rów nież, że różnica optym alnych natężenia (72) je st też m ała, co w ynika z w łasności funkcji oczekiw anych opóźnień E ( jV ^ przedstaw ionych na rys. 8 i 9.

G dy w yobrazim y sobie skrajny przypadek drogi z jed n y m odcinkiem elem entarnym , to znaczy k f = 1, to pojęcie optym alnej natężenia płynnego potoku redukuje się do pojęcia optym alnej natężenia stosow anego do dzisiaj w PK P w analizach efektyw ności w ykorzystania w ęzłów torow ych (patrz na przykład W och, 1983). Poniew aż różnice m iędzy optym alnym i natężeniam i a przepustow ościam i s ą m ałe, ja k to do dzisiaj intuicyjnie oczekiw ano, w praktyce optym alne n atężenia s ą traktow ane jak o dobre charakterystyki przepustow ości.

(24)

5. P O R Ó W N A N IE N U M E R Y C Z N Y C H W Y N IK Ó W M O D E L U H EID E M A N N A I R U C H O M E G O B U FO R A O RA Z M A K S Y M A L N E J P Ł Y N N O ŚC I PO TO K U

O bliczenia z a p o m o c ą m odelu H eidem anna (1996) przeprow adzono dla spraw dzenia typow ych charakterystyk niem ieckich dróg, a w ięc średniej prędkości sw obodnej

v f = \ 3 0 k m / h , w spółczynnika zm ienności czasu obsługi /? = 0.2 oraz stałej długości fragm entu drogi uw ażanego za urządzenie obsługi - m inim alny dystans 1/ k lam = 10 m . Przy takich w artościach param etrów m odelu H eidem anna w zór n a o p ty m aln ą gęstość przekształca się n a następujący:

k oP, = °-5 8 \ k Jm = 5 8.1 p o j / k m . (73)

O ptym alna gęstość je s t oczyw iście środkiem do celu, jak im je s t określenie przepustow ości

? m„ = ( 0 . 5 8 l ) 2^ mv/ = 0 .3 3 7 /r . (74)

Tak w ięc natężenie obsługi na podstaw ie pow yższego w zoru obliczam y m nożąc k jaw = 1 0 0 p o j / km przez śred n ią prędkość sw obodną:

p = 100-130 = 13000 p o j / h . (75)

P odstaw iając do w zoru (74) otrzym ujem y:

? m»x = 0.337 • 13 000 = 4381 p o j / h . (76) M o żn a zw rócić uw agę w m odelu H eidem anna n a bardzo d u ż ą w artość n atężenia obsługi p (75). Jest to nierealna w artość natężenia obsługi i dlatego k o n sek w en cją tej sytuacji je s t bardzo d uża w artość „straconej” przepustow ości drogi p d , w ynosząca praw ie

2 /3 w artości m aksym alnej:

p d = 0.663 p , (77)

k tó r ą uzyskano p o przez a rb itra ln ą n ierealisty czn ą i za m a łą w artość fragm entu drogi uw ażanego z a urządzenie obsługi - m inim alnego dystansu y k jam rów nego 10 m. M ożna przypuszczać, że je s t to sytuacja przym usow a, w ynikająca z zastosow ania nieodpow iedniego m odelu kolejkow ego, a w ięc przyjęcia niew łaściw ego założenia o rozkładu odstępu potoku ruchu, to znaczy przyjęcia założenia o w ykładniczym rozkładzie odstępu.

O bliczenia w edług m odelu ruchom ego bu fo ra przeprow adzono przyjm ując założenia podobnie ja k w m odelu H eidem anna (1996). Przyjęto, że średnia p rędkość sw obodna vf = \ 30 k m ! h oraz że w spółczynnik zm ienności czasu obsługi w ynosi p A - 0.8, co w przybliżony sposób odpow iada w artości w spółczynnika H eidem anna /? = 0 .2. W artość ß = 1 w m odelu H eidem anna odpow iada założeniu w ykładniczego rozkładu p raw dopodobieństw a czasu przejazdu po fragm encie drogi 1\/kjam. N ato m iast w artość / ? = 0 odpow iada stałym czasom przejazdu. O dw rotne znaczenie m a ją odpow iednie w artości w spółczynnika zm ienności p A . D latego, z grubsza rzecz biorąc, m ożna w celach porów naw czych stosow ać n a stę p u ją c ą form ułę w zajem nej odpow iedniości:

(25)

/ / A » 1 - /? , p < 1. (78)

W iadom o, że w spółczynnik zm ienności //A w yraża proporcje stałej części czasu podróży A do oczekiw anego czasu podróży 1/ p , co pozw ala n a łatw e w yrażanie zm ienności czasu podróży dystansu 1j k f . D ystans \ / k f definiow any je s t całkow icie odm iennie w m odelu ruchom ego bufora, jak o najm niejsza odległość m iędzy dw om a pojazdam i poruszającym i się z p rę d k o śc ią płynnego potoku vf , to znaczy bez czasów czekania. Jako taka zależy zaw sze od przyjętej prędkości płynnego potoku i w tym przypadku, po uw zględnieniu odległości b ezpiecznej, m ożna przyjąć, że m inim alny (średni) dystans potoku płynnego \ / k f = 9 0 m je st rów ny połow ie drogi ham ow ania, która dla prędkości sw obodnej v f = \3 0 km /h w ynosi 180 m (patrz na przykład: D atka, Suchorzew ski, Tracz, 1997, rys. 3.4, p.68). W ten sposób założono, że w m odelu ruchom ego bufora praw dopodobieństw o dopędzenia p = 0.5.

O ptym alna gęstość przy pow yższych założeniach je s t określona w zorem uzyskanym w m odelu ruchom ego bufora:

k ,

k , = j- = 0 .9 1 8 ^ = 10.2p o j / k m . (79)

Przepustow ość w m odelu ruchom ego bufora przy pow yższych założeniach je s t określona przekształconym w zorem :

q , = — — y = 0.842 p = 0.842 k f vf . (80)

(l + O-M)1]

T ak w ięc natężenie obsługi p obliczam y m nożąc m aksym alną gęstość p o toku płynnego k f =11.1 p o j / k m , o dpow iadającą przyjęciu m inim alnego dystansu \ / k f = 9 0 m , przez śre d n ią prędkość sw o b o d n ą to znaczy:

p = k f -Vf = 11.1-130 = 1443p o j l h . (81) Z godnie ze w zorem otrzym ujem y przepustow ość

q . = 0 .8 4 2 -1443 = 1215 p o j l h . (82) Z godnie ze w zorem m odelu podstaw ow ego otrzym ujem y o p ty m aln ą prędkość

v. = q . / k . = 12 1 5 /1 0 .2 = \ \ 9 k m / h . (83) Rys. 10 obrazuje oczekiw any kształt krzyw ej dla pow yższych rezultatów :

(26)

POTOK

Rys. 10. Krzywa potok-gęstość dla modelu ruchomego bufora Fig. 10. Flow-Density Curve fo r the proposed model

P orów nanie rezultatów d la proponow anego m odelu z rezultatam i dla podobnych m odeli przedstaw ionych przez H alla (1995) pozw ala n a konkluzję, że proponow any m odel daje poszerzenie obrazu m odelu przepustow ości danego przez H alla (1995) n a rys. 2.3. N a p o d staw ie charakterystyk strum ieni ruchu z rys. 11 m o żn a zauw ażyć, że pro p o n o w an y m odel daje dobre oceny przepustow ości (patrz tabl. 1).

PR ĘD K O ŚĆ 14 0 Średnia prędkość w idealnym strum ieniu jq (km /h) o

12 0

130 km/h Prędkość swobodna

potoku 1215 pcphl

1300 pcphl 105 km/h

.27 km/h

1450 pcphl J 9 km/h

1600 pcphl -175Q, pcphl

1215

= 119 k m / h 97 k m / h 90 k m / h 85 k m / h 81 k m / h

2200

1200 2400

Idealne natężenie dla 15-m in okresów (pcphl) PO T O K

Rys. 11. Krzywe prędkość-potok w H C M 1994 a krzywaprędkość-potok dla modelu ruchomego bufora Fig. 11. Speed-Flow Curves Accepted fo r 1994 H CM and Speed-Flow Curve fo r the moving buffer

model