O pewnej numerycznej metodzie generowania współczynników w odwzorowaniach konforemnych

(1)

O PEWNEJ NUMERYCZNEJ METODZIE

GENEROWANIA WSPÓ£CZYNNIKÓW

W ODWZOROWANIACH KONFOREMNYCH

THE NUMERICAL METHOD OF CALCULATING

COEFFICIENTS IN CONFORMAL PROJECTIONS

Pawe³ Pêdzich

Instytut Fotogrametrii i Kartografii, Politechnika Warszawska S³owa kluczowe: odwzorowania konforemne, równania Eulera-Urmajewa Keywords: conformal projections, Euler-Urmayev equations

Wstêp

Odwzorowania kartograficzne konforemne s¹ powszechnie stosowane w geodezji i kar-tografii do tworzenia map zasadniczych, ewidencyjnych, topograficznych i przegl¹dowo-topograficznych. Wykorzystywane s¹ m.in. odwzorowania Gaussa-Krügera, Roussilhe'a, sto¿kowe Lamberta. Do realizacji tych odwzorowañ stosuje siê wiele ró¿nych, czasem bar-dzo skomplikowanych wzorów. Dlatego te¿ ciekawe wydaje siê podjêcie próby stworzenia uniwersalnego algorytmu pozwalaj¹cego na tworzenie odwzorowañ w oparciu o zadane z góry w³asnoci dotycz¹ce rozk³adu zniekszta³ceñ, np. konformenoci, równopolowoci, czy te¿ sposobu odwzorowania okrelonych linii. Na przeciw temu wyzwaniu wychodz¹ równa-nia Eulera-Urmajewa, które stanowi¹ podstawê tzw. klasyfikacji genetycznej odwzorowañ kartograficznych. Rozwi¹zanie tych równañ pozwala na otrzymanie dowolnych odwzoro-wañ kartograficznych o z góry okrelonych w³asnociach.

W artykule przedstawiono metodê numeryczn¹ rozwi¹zania równañ ró¿niczkowych Eu-lera-Urmajewa w odniesieniu do odwzorowañ konforemnych. Opisany w artykule algorytm pozwala na aproksymacjê wybranych odwzorowañ kartograficznych w ograniczonym ob-szarze powierzchni elipsoidy. Przyk³ady tych odwzorowañ zostan¹ szczegó³owo przedsta-wione.

(2)

Równania ró¿niczkowe Eulera-Urmajewa

i ich zastosowanie do tworzenia odwzorowañ konforemnych

Odwzorowanie kartograficzne powierzchni elipsoidy obrotowej o równaniu

(1)

w p³aszczyznê, mo¿na zapisaæ w postaci funkcji wektorowej

(2) Pochodne cz¹stkowe funkcji (2) wzglêdem parametrów B i L przyjmuj¹ nastêpuj¹c¹ postaæ

(3) Wprowadzaj¹c oznaczenia

wektory pochodnych cz¹stkowych (3) mo¿na roz³o¿yæ na sk³adowe

(4)

(5) gdzie

K¹t zbie¿noci po³udników g liczony jest od osi x.

Uk³ad równañ (4), (5) jest ca³kowalny tylko wtedy, gdy spe³niony jest uk³ad warunków (6)

& &

U U % O

D

%

O

H

%

D

%

O

H

%

D

H

%

H

%

ª

¬

«

º

¼

»

FRV FRV

VLQ

FRV VLQ

VLQ

% O

% O %

§

O

O / / /

FRQVW

©¨

· ¹¸

®

¯

½

¾

¿

Z

S S

>

@

& &

W W

% O

[ [ % O \ \ % O

>

@

>

@

%

[ \

% % /

[ \

/ /

W

&

W

&

%

[

%

\

% /

[

/

\

/

P W

&

Q W

&

W

%

L

W

/

&

W

P

J

P

J

% % %

[

\

®

¯

½

¾

¿

FRV

VLQ

&

W

Q

J H

Q

J H

Q

J H

Q

J H

/ / R / R

[

\

®

°

¯°

½

¾

°

¿°

FRV

VLQ

FRV

P W

Q W

J

§

©

¨

· ¹

¸

&

% / % %

\

[

DUFWDQ

c

T

W W

& &

_%

_/

R

H H T

S

[

_{% /}

[

_{/ %}

\

_{% /}

\

_{/ %}

(3)

Sprawdzenie uwarunkowañ (6) wymaga obliczenia z (4) i (5) drugich pochodnych cz¹st-kowych

(7) (8) Z równañ (1.6) po uwzglêdnieniu (1.7), (1.8) wynika uk³ad równañ liniowych

W wyniku rozwi¹zania uk³adu równañ (9) ze wzglêdu na niewiadome g_B i g_L otrzymuje-my

(10) S¹ to tzw. równania Eulera-Urmajewa stanowi¹ce podstawê tzw. klasyfikacji genetycznej odwzorowañ kartograficznych (Balcerzak, Panasiuk, 2005).

W uk³adzie równañ (10) wystêpuj¹ cztery dowolne funkcje: m, n, g, e oraz ich pochodne cz¹stkowe. Klasyfikacja wynika z warunków nak³adanych na uk³ad funkcji (10).

Je¿eli odwzorowanie kartograficzne odniesione jest do siatki kartograficznej podwójnie ortogonalnej, to wówczas e = 0. W tym przypadku zwi¹zki (10) upraszczaj¹ siê do postaci (11) Je¿eli rozwa¿ane odwzorowanie jest konforemne

(12) gdzie

(13) jest szerokoci¹ izometryczn¹ na elipsoidzie oraz l=L-L₀, wówczas m = v i zwi¹zki (10) jeszcze bardziej upraszczaj¹ siê przyjmuj¹c formê

(14)

[

\

% / / / % / / /

P

J P J

J

P

J P J

J

FRV

VLQ

FRV

>

@

[

\

/ % % % % / % % % %

Q

J H

Q J

H

J H

Q

J H

Q J

H

J H

VLQ

FRV

VLQ

J Q

J H

J

P

J

P

J Q

J H

QH

J H

J Q

J H

J P

J

P

J Q

J H

QH

J H

% / / % % % / / % %

FRV

VLQ

FRV

VLQ

FRV

VLQ

FRV

VLQ

FRV

VLQ

J

PP

PQ

H PQH

H

PQ

H

P

Q

H

Q

H

% / % % % / %

VLQ

FRV

WDQ

J

QP

H QQ

PQ

H

P

H

Q

P

H

/ / % / %

VLQ

FRV

WDQ

FRV

J

P

Q

J

Q

P

%

/ /

% (9)

T

O

>

[

T

O

\

T

O

@

W

&

VLQ

WDQ

OQ

H

%

H

%

H

T

¸

¹

· ¨

©

§

¸

¹

· ¨

©

§

S

J

_T

P

_/

J

_/

OQ

P

_T

(4)

Z równañ ró¿niczkowych (14) wynika, ¿e k¹t zbie¿noci po³udników g w odwzorowaniu kartograficznym konformenym spe³nia równanie Laplace'a

(15) K¹t zbie¿noci po³udników g i lnm w odwzorowaniu kartograficznym konforemnym, wyra¿aj¹ siê przez funkcje harmoniczne zmiennych q i L.

Znalezienie funkcji odwzorowawczych x = x(q,l), y = y(q,l) wymaga rozwi¹zania jedne-go z uk³adów równañ ró¿niczkowych

(16)

Aproksymacja odwzorowañ konforemnych

za pomoc¹ wielomianów harmonicznych

Poszukiwanie odwzorowañ konforemnych (12) spe³niaj¹cych warunek izometrycznoci odwzorowania okrelonych linii, w pierwszym etapie sprowadza siê do wyznaczenia warto-ci lokalnej skali d³ugowarto-ci

(17) Poniewa¿ lnm jest funkcj¹ harmoniczn¹ zmiennych q i l, zatem mo¿emy poszukiwaæ tej funkcji w postaci szeregu

(18) Jest on sum¹ kombinacji liniowych wielomianów harmonicznych

(19)

k = 1, 2, 3, ...

wytworzonych z wielomianów harmonicznych zerowego rzêdu

. (20)

// TT

J

&

W

P

J

P

J

T T T

[

\

®

°

¯°

½

¾

°

¿°

FRV

VLQ

&

W

P

J

P

J

O O O

[

\

®

¯

½

¾

¿

VLQ

FRV

P

U

P

U

§

©¨

· ¹¸

P

_OQ

_P

_OQ

OQ

P

\

T

f f

¦

D

_N _N

E

_{N N} N N

<

N N N N N N

K

T

[

T

K

[

<

T

(5)

Dla ka¿dego i-tego punktu (g_i, l_i), i = 1,2,3,..., le¿¹cego na linii zerowych zniekszta³ceñ, uk³adamy równanie typu

(21)

i = 1, 2, 3, ...

wynikaj¹ce z (17) i (18). Liczba tych równañ bêdzie równa liczbie punktów le¿¹cych na danej linii.

Z rozwi¹zania uk³adu równañ postaci (21), znajdujemy wartoci liczbowe wspó³czynników,

, k = 1, 2, 3, ... . Mo¿emy wiêc w dowolnym punkcie (q,l) danego obszaru obliczyæ

lokaln¹ skalê d³ugoci wyra¿aj¹c¹ siê poprzez funkcjê wyk³adnicz¹ w postaci (26) Na podstawie (18) i (14) nietrudno pokazaæ, ¿e prawdziwe s¹ zale¿noci opisuj¹ce zbie¿-noci po³udników

(23)

Oznacza to, ¿e przy C₁ (L) = C₂ (q) = 0 zachodzi równoæ

(24) Zatem k¹t zbie¿noci po³udników g w odwzorowaniu konforemnym wyra¿a siê przez te same wspó³czynniki liczbowe które wystêpuj¹ w wyra¿eniu (18) okre-laj¹cym lnm.

Wspó³rzêdne x,y wektora równie¿ s¹ funkcjami harmonicznymi, a wiêc analitycznie daj¹cymi siê wyraziæ za pomoc¹ wielomianów harmonicznych postaci (19).

Je¿eli przyjmiemy zale¿noci opisuj¹ce wspó³rzêdne x,y w postaci

(25)

OQ

D

N N L

E

N N L

U

N N L

<

f f

¦

T

D E

_N _N

P

U

P

P ¦ \ ¦ T f f

H

OQ

H

N DN N N EN N

J

P

ª

T

¬

«

º

¼

»

f f

¦

³

OQ

_/

_N _{N T}

_N _{N T} N N

GT & /

D

E

GT & /

<

J

P

ª

T

¬

«

º

¼

»

³

OQ

_T

³

¦

f

_N _{N /}

¦

f

_N _{N /} N N

G/ & T

D

E

GO & T

<

¦

f

¦

f

<

Ö

N N N N N N

E

D T

J

Ö

E

N

D

_N _N

&

W

[

D

E

\

D

E

[

D

E

\

D

E

N N N N N N N N N N N N T N N T N N T N N T N N T N N T N N

ª

¬

«

º

¼

»

ª

¬

«

º

¼

»

f f f f f f f f

¦

<

T

(6)

i uwzglêdnimy w (25), ¿e

(26) to na podstawie równañ (16), które maj¹ postaæ

(27) po wprowadzeniu oznaczeñ

m cosg = T, m sing = P (28)

i uwzglêdnieniu (25), (26) ostatecznie mamy

(29)

Reasumuj¹c powy¿sze rozwa¿ania, dla ka¿dego punktu o wspó³rzêdnych (q,L), o zna-nych wartociach parametrów m i g, uk³adamy równanie liniowe typu (29), w których nie-wiadomymi s¹ poszukiwane wspó³czynniki a_k, b_k, k = 1, 2, 3, ... .

Dla w miarê równomiernie roz³o¿onej sieci punktów w danym obszarze rozwi¹zujemy odpowiadaj¹cy jej uk³ad równañ postaci (29) i znajdujemy wartoci liczbowe wspó³czynni-ków a_k, b_k wystêpuj¹cych w szeregu potêgowym (25) definiuj¹cym poszukiwane wspó³-rzêdne x,y w odwzorowaniu.

W przypadku wyznaczania odwzorowania symetrycznego wzglêdem po³udnika osiowe-go l = 0, równania (18), (24) i (25) ze wzglêdu na zerowanie siê wspó³czynników

przyjmuj¹ uproszczon¹ postaæ

(30) (31) (32)

<

_{N T}

T

_{N /}

N

<

N

T

N T

<

N /

N

T

N

[

T

P

FRV

J

\

T

P

VLQ

J

N D

N E

7 N D

N E

3

N N N N N N N N N N N N

<

f f f f

¦

T

OQ

P

\

f

¦

D

N N N

J

T

f

¦

D

N N N

[

D

_N _N

\

D

N N N N f f

¦

<

¦

T

(7)

Zastosowanie przedstawionej metody

do tworzenia wybranych odwzorowañ konforemnych

W oparciu o przedstawion¹ w artykule metodê wyznaczono wspó³czynniki wielomianów aproksymacyjnych dla trzech jednostrefowych odwzorowañ kartograficznych konforem-nych obszaru Polski. S¹ to odwzorowania Gaussa-Krûgera, sto¿kowe sieczne Lamberta i odwzorowanie Roulsillhe'a.

Odwzorowanie Gaussa-Krûgera

W przyk³adzie wyznaczono wspó³czynniki wielomianów w metodzie opisanej w niniej-szym artykule. Nastêpnie w oparciu o te wielomiany obliczono wspó³rzêdne prostok¹tne oraz skalê zniekszta³ceñ d³ugoci w odwzorowaniu Gaussa-Krûgera. Dla porównania wy-znaczono równie¿ wspó³rzêdne prostok¹tne i skalê zniekszta³ceñ d³ugoci za pomoc¹ nastê-puj¹cych wzorów (Balcerzak, Gdowski, Panasiuk 2000)

(33) (34) gdzie (35) (36) (37)

n trzecie sp³aszczenie elipsoidy obrotowej sp³¹szczonej.

Szeregi we wzorach (33) i (34) mo¿na ograniczyæ do czterech pierwszych wyrazów zachowuj¹c odpowiedni¹ dok³adnoæ obliczania wspó³rzêdnych w obszarze Polski. St¹d wystarczy wyznaczyæ cztery pierwsze wspó³czynniki i_2j dla j=1,2,3,4

(38)

FRVK

VLQ

¸¸

¹

· ¨¨©

§

¦

f M M

M

L

5 [

D

E

_¸¸¹

· ¨¨

©

§

¦

f

VLQK

FRV

M M

M

L

5 \

E

D

E

¸¸

¹

· ¨¨

©

§

O

FRV

VLQ

DUFWDQ

M

D

VLQ

FRV

VLQ

FRV

OQ

¸¸

¹

· ¨¨

©

§

O

M

E

VLQ

WDQ

DUFWDQ

S

M

¸¸

¸

¹

· ¨¨

¨

©

§

¸¸

¸

¹

· ¨¨

¨

©

§

¸

¹

· ¨

©

§

¸

¹

· ¨

©

§

¸

¹

· ¨

©

§

H

%

H

%

H

%

/

O

¸¸

¹

· ¨¨

©

§

_Q

Q

D

5 Q

Q

L

_Q

i

₄

=

_Q

i

₈

=

_Q

i

₆

=

(8)

Skalê zniekszta³ceñ d³ugoci wyra¿a wzór

(39) gdzie

(40)

Wyniki przedstawiono w tabeli 1. W kolumnach 1 i 2 znajduj¹ siê wspó³rzêdne geodezyj-ne B i L punktów wêz³owych siatki kartograficzgeodezyj-nej, w kolumnach 3, 4 i 5 wspó³rzêdgeodezyj-ne prostok¹tne X i Y oraz skala zniekszta³ceñ d³ugoci m w odwzorowaniu Gaussa-Krûgera obliczone wg wzorów (33)-(40). W kolumnach 6, 7 i 8 wspó³rzêdne prostok¹tne X' i Y' oraz skala zniekszta³ceñ d³ugoci m' w odwzorowaniu Gaussa-Krûgera obliczone wg metody przedstawionej w artykule. W kolumnach 9, 10 i 11 ró¿nice pomiêdzy obliczonymi warto-ciami wspó³rzêdnych prostok¹tnych i skali zniekszta³ceñ d³ugoci wg obu metod.

Uzyskane wyniki wiadcz¹ o wysokiej dok³adnoci obliczeñ uzyskanych za pomoc¹ przed-stawionej w artykule metody. Mo¿na j¹ z powodzeniem stosowaæ jako alternatywn¹ metodê tworzenia odwzorowania Gaussa-Krügera obszaru Polski w szerokiej strefie odwzorowaczej.

Odwzorowanie sto¿kowe Lamberta

W oparciu o przedstawion¹ w artykule metodê wyznaczono wspó³czynniki wielomianów aproksymuj¹cych odwzorowanie sto¿kowe Lamberta z dwoma równole¿nikami siecznoci o szerokociach B₁=51o_{oraz B}

2=53o. Nastêpnie za pomoc¹ wielomianów wyznaczono

wspó³-rzêdne prostok¹tne oraz skalê zniekszta³ceñ d³ugoci w tym odwzorowaniu. Dla porównania wyznaczono równie¿ wspó³rzêdne za pomoc¹ nastêpuj¹cych wzorów (Ró¿ycki, 1973)

(41) (42) (43) (44)

FRV

VLQ

*.

[

\

5

5 P

1 %

O

D D

M

§ ·

¨ ¸

© ¹

_M

FRV

FRVK

M

[

5 _ML

_M

5

_D

D

E

D

f

§ ·

w ¨ ¸

_{§ ·}

© ¹

_{¨ ¸}

w

© ¹

¦

M

VLQ

VLQK

M

\

5 _ML

_M

5

D

E

D

f

§ ·

w ¨ ¸

_{§ ·}

© ¹

_{¨ ¸}

w

© ¹

¦

F/

[

U

FRV

F/

\

U

VLQ

F U

8 U

U

¸

¹

· ¨

©

§

¸

¹

· ¨

©

§

WDQ

\

S

H

%

8

(9)

(45) (46) (47) (48) (49) oraz skalê zniekszta³ceñ d³ugoci z wzoru

(50) % / ; < P ;¶ <¶ P¶ ;;¶ <<¶ PP¶ >@ >@ >P@ >P@ >P@ >P@ >P@ >P@ Tabela 1

VLQ

\

H

VLQ

%

F

8 U

F U

U

ORJ

8

8 U

U

F

1 FRV %

U

1 FRV %

U

%

1 F

P

FRV

U

(10)

Wyniki przedstawiono w tabeli 2. W kolumnach 1 i 2 znajduj¹ siê wspó³rzêdne geodezyj-ne B i L punktów wêz³owych siatki kartograficzgeodezyj-nej, w kolumnach 3, 4 i 5 wspó³rzêdgeodezyj-ne prostok¹tne X i Y oraz skala zniekszta³ceñ d³ugoci m w odwzorowaniu Lamberta obliczone wg wzorów (41)-(50). W kolumnach 6, 7 i 8 wspó³rzêdne prostok¹tne X' i Y' oraz skala zniekszta³ceñ d³ugoci m' w odwzorowaniu Lamberta obliczone wg metody przedstawionej w artykule. W kolumnach 9, 10 i 11 ró¿nice pomiêdzy obliczonymi wartociami wspó³rzêd-nych prostok¹twspó³rzêd-nych i skali zniekszta³ceñ d³ugoci wg obu metod.

Równie¿ w przypadku tego odwzorowania uzyskane wyniki wiadcz¹ o wysokiej do-k³adnoci obliczeñ uzyskanych za pomoc¹ przedstawionej w artykule metody.

% / ; < P ;¶ <¶ P¶ ;;¶ <<¶ PP¶ >@ >@ >P@ >P@ >P@ >P@ >P@ >P@ Tabela 2.

(11)

Odwzorowanie Roussilhe'a

W oparciu o opisan¹ w artykule metodê wyznaczono wspó³czynniki wielomianów aprok-symuj¹cych odwzorowanie zachowuj¹ce sta³oæ skali na kole geodezyjnym. Do wyznacze-nia wspó³rzêdnych punktów le¿¹cych na kole geodezyjnym wykorzystano metody przeno-szenia wspó³rzêdnych na elipsoidzie. Uzyskano w ten sposób odwzorowanie o zbli¿onych w³asnociach do odwzorowania Roussilhe'a. Stosuj¹c wielomiany obliczono wspó³rzêdne prostok¹tne oraz skalê zniekszta³ceñ d³ugoci w punktach wêz³owych siatki kartograficznej za³o¿onej dla obszaru Polski. Jednoczenie dla porównania wyznaczono wspó³rzêdne w od-wzorowaniu Roussilhe'a za pomoc¹ ni¿ej przedstawionych wzorów (Balcerzak, 2000)

(51)

(52) oraz skalê zniekszta³ceñ d³ugoci

(53)

gdzie , x i y wspó³rzêdne prostok¹tne p³askie w odwzorowaniu Gaussa-Krügera. Wyniki przedstawiono w tabeli 3. W kolumnach 1 i 2 znajduj¹ siê wspó³rzêdne geodezyj-ne B i L punktów wêz³owych siatki kartograficzgeodezyj-nej, w kolumnach 3, 4 i 5 wspó³rzêdgeodezyj-ne prostok¹tne X i Y oraz skala zniekszta³ceñ d³ugoci m w odwzorowaniu Roussilhe'a obliczo-ne wg wzorów (51)-(53). W kolumnach 6, 7 i 8 wspó³rzêdobliczo-ne prostok¹tobliczo-ne X' i Y' oraz skala zniekszta³ceñ d³ugoci m' w odwzorowaniu Roussilhe'a obliczone wg metody przedstawio-nej w artykule. W kolumnach 9, 10 i 11 ró¿nice pomiêdzy obliczonymi wartociami wspó³-rzêdnych prostok¹tnych i skali zniekszta³ceñ d³ugoci wg obu metod.

Uzyskane wyniki pokazuj¹ pewne rozbie¿noci pomiêdzy obiema metodami. Ró¿nice pomiêdzy wspó³rzêdnymi uzyskanymi z obu metod siêgaj¹ kilkudziesiêciu centymetrów. Mog¹ one wynikaæ z faktu ró¿nie zdefiniowanej linii zerowych zniekszta³ceñ w obu metodach. W odwzorowaniu opisanym wzorami 5153 niekoniecznie musi to byæ ko³o geodezyjne. Uzy-skana dok³adnoæ jednak pozwala na stosowanie metody w opracowaniu map topograficz-nych.

5 \

5 [

[

5 [

[

5 [

5

FRVK

FRV

VLQ

5 \

5 [

[

5 \

5

FRVK

FRV

VLQK

FRV

VLQK

*. 5

P

[ [

\

5

5 §

· §

· ¨

¸

¨

¸

_©

_¹

©

¹

1

0

5

(12)

Podsumowanie

W artykule przedstawiono pewn¹ metodê generowanie wspó³czynników wielomianów aproksymacyjnych w odwzorowaniach konforemnych. Metoda mo¿e znaleæ zastosowanie do tworzenia odwzorowañ konforemnych ograniczonych obszarów powierzchni elipsoidy spe³niaj¹cych okrelone kryteria szczegó³owe okrelaj¹ce sposób odwzorowania wybranych linii. Opiera siê ona na numerycznym rozwi¹zaniu równañ ró¿niczkowych Eulera-Urmajewa. Zaprezentowano równie¿ przyk³ady zastosowania tej metody. Przedstawiono tak¿e wyni-ki obliczeñ wspó³rzêdnych, i lokalnej skali zniekszta³ceñ d³ugoci uzyskane dla wybranych odwzorowañ kartograficznych, za pomoc¹ opisanej metody oraz z zastosowaniem wzorów analitycznych powszechnie stosowanych w kartografii.

% / ; < P ;¶ <¶ P¶ ;;¶ <<¶ PP¶ >@ >@ >P@ >P@ >P@ >P@ >P@ >P@ Tabela 3

(13)

Literatura

Balcerzak J., Panasiuk J., 2005: Wprowadzenie do kartografii matematycznej, Oficyna Wydawnicza Poli-techniki Warszawskiej.

Ró¿ycki J., 1973: Kartografia matematyczna, Pañstwowe Wydawnictwa Naukowe.

Balcerzak J., 2000: Uogólnione odwzorowanie Roussilhe'a powierzchni elipsoidy, Prace Naukowe Geodezja, z. 37.

Balcerzak J., Gdowski B., Panasiuk J., 2000: Projection of the area of Poland in wide Gauss-Krüger zone,

Geodezja i Kartografia, t. XLIX, z.2, s. 55-71. Summary

In the paper, a method of computing polynomial coefficients approximating conformal map projections is presented. This method may be applied to creation of conformal projections of the ellipsoidal areas satisfying the criteria determining in detail the way of projection of selected parametric lines (meri-dians or parallels of latitude). The method is based on numerical solution of Euler-Urmayev differen-tial equations.

Some examples of this method are given. Also, the paper contains results of calculation of coordinates and local scales of linear distortions in selected projections with the use of the method described in the paper and of analytical formulas generally used in cartography.

dr in¿. Pawe³ Pêdzich p.pedzich@gik.pw.edu.pl tel (0-22) 660 55 90

O pewnej numerycznej metodzie generowania współczynników w odwzorowaniach konforemnych