Harmonogramowanie zadań, grupowanie i porcjowanie z przezbrojeniami maszyn

Seria: AUTOM ATYKA z . 1 0 9 N r k o l . 1 1 7 5 Stanisław Zdrzałka

Politechnika W rocławska

HARMONOGRAMOWAN1E ZADAŃ, GRUPOWANIE I PORCJOWANIE Z PRZEZBROJENIAMI M ASZYN

SCHEDULING JOBS, BATCHING AND LOT-SIZING WITH SETUPS

FlPOBJlEMb! PACflHCAHHfl 3AHA4, TPynnHPOBAHHH H nOPllMOHHOrO PACHHCAHMB C nEPEHAJIAUKAMK

Streszczenie: W pracy przedstawiono klasyfikację problemów oraz przegląd wyników w dziedzinie harmonogramowania, grupowania i porcjowania zadań z uwzględnieniem prze - zbrojeń.

Summary: In the paper, we present a classification of problems and a review of results in th e area o f scheduling, batching and lotsizing with setups.

Peoiowe: B pa6o re npHBonnrcfl Knaccaę><aua/3 u o6oop peaynbTaTOB b HJiacce npoGnew p a c - nHcamm oanan, r-pynnapoBaHaa m nopuaoHHoro pacnacaHaa c nepeHananKaHa.

W stęp

W dalszym ciągu przez harmonogramowanie zadań, grupowanie i porcjow anie rozumiemy następujące szczegółow e zagadnienia decyzyjne zw iązane z realizacją procesów produkcji - rozwiązywane na poziomie sterowania operacyjnego.

H armonogramowanie zadań polega na przydzieleniu każdemu zadaniu jednego lub więcej odcinków czasu na jednej lub w ięcej maszynach (procesorach, jednostkach wytwórczych, itp.) w ten sposób( aby żadne dwa odcinki czasu na te j sam ej m aszynie nie pokrywały się (maszyna może w danej chwili wykonyw ać co najw yżej jedno zadanie) i żeby żadne dwa od­

cinki przydzielone temu samemu zadaniu nie pokryw ały się (każde zadanie może być w danej chwili w ykonywane na co najw yżej jednej maszynie). Poradto uwzględnia ono specyficzne wymagania związane ze strukturą system u wytwarzania i bierze pod uwagę różnorodne charakterystyki zadań. Zagadnienie harmonogramowania polega na znalezieniu harmonogramu wykonywania skończonego zbioru zadań na pewnym skończonym zbiorze maszyn, spełniającego zadane wymagania (tzn. dopuszczalnego) i minimalizującego przyjętą funkcję celu. Często jest to problem znalezienia tylko harmonogramu dopuszczalnego. Jeśli harmonogram jest jednoznacznie określony przez podanie kolejności wykonywania zadań, mówimy wtedy o crobiem ie szeregowania zadań lub o problem ie kolejncć c i o wym. Pierwsze łączn e ujęcia modeli, problemów i m etod harmonogramowania i szeregowania przedstawione zo sta ły w klasycznych już dziś książkach 110), 13). Praca 129), dalsze rozwinięcie |20|, jest lajnow szym obszernym przeglądem z te j dziedziny. Harmonogramowanie zadań (operacji) sta ­ nowi jedną z najlepiej rozw iniętych dziedzin harmonogramowania produkcji.

Łączenie zadań podobnych w grupy w celu zm niejszenia czasu lub kosztów przezbrojeń maszyn nazywane jest grupowaniem (ang. batching). Jest to zagadnienie decyzyjne, które wiaze się z koncepcjami technologii grupowej 117), 171, 135), (54). Podstawowym próbie - cni te j technologii jest to, jak wykorzystać podobieństwa pomiędzy zadaniami (częściami, produktami) dla obniżenia kosztów' przezbrojeń i transportu. W yznaczyła ona sobie jako głów ne cele: (1) standaryzację, oraz (2) uzyskiw anie oszczędności w produkcji poprzez grupowanie produktów technologicznie podobnych. W ysiłek związany ze standaryzacją sku­

3 W Stanisław Zdrzałka

piony został na procesie projektowania. Cel drugi realizowany jest poprzez definiowanie rodzin produktów - w oparciu o podobieństwa w procesie wytwarzania, np. podobne lub ta ­ kie same uzbrojenie maszyn, podobne marszruty technologiczne - i następnie całościow e lub grupowe przetwarzanie produktów poszczególnych rodzin w jednym gnieździe produkcyj­

nym, np. 113). Ponieważ w gnieździe produkcyjnym m ożna w ykonyw ać w iele rodzin produktów o podobnych wymaganiach, a przy przejściu z produktu jednej do produktu innej rodziny wymagane je st przezbrojenie (brak je st przezbrojenia pomiędzy produktami tej sam ej ro­

dziny), w yłania się problem: czy wykonywać produkty każdej rodziny razem, minimalizując liczbę przezbrojeń, czy też grupami, godząc się na w iększą ilość przezbrojeń i minimali­

zując równocześnie inny, w ażniejszy wskaźnik jakości.

Przez porcjow anie (ang. lo t-sizin g ) rozumiemy zagadnienie podziału zadań składających się z wielu id en tyczn ych elem en tów , zw anych dalej częściam i, na p o rcje (podzbiory). Ce­

lem porcjowania są harmonogramy produkcji spełniające zadane wymagania zasobow e i ekono­

miczne; nazyw ane je st ono również harmonogramowaniem p r z e z porcjow an ie 154). W literatu­

rze można znaleźć w iele różnorodnych wersji i podejść do problemu porcjowania. Jest ono przedmiotem nieustannych badań już od 1958 roku, kiedy to Mannę [32] zaproponował metodę harmonogramów dominujących, znanych później jako harmonogramy W agnera-W hitina 157); w pracy [CMW] można znaleźć najśw ieższe rezultaty dotyczącego tego podejścia. Podejście oparte na harmonogramach cyklicznych podsumowane zo sta ło w pracy 116), n ajśw ieższe w yni­

ki w te j dziedzinie przynosi praca [1). Jeszcze inne rezultaty dotyczące harmonogramowa - nia przez porcjowanie zawarte są w pracach )34], [66), [54).

Zagadnienia harmonogramowania i szeregowania zadań (HS) oraz zagadnienia grupowania i porcjowania (GP) rozpatrywane są na ogół oddzielnie. W rozważanych dotąd modelach HS za ­ kłada się, że zadania są zdefiniow ane przez uprzednio przeprowadzone grupowanie lub por­

cjowanie, a głów ny w y siłek skoncentrow any je st na aspektach kolejnościow ych problemów optym alizacyjnych. Z kolei w modelach GP akcent je s t położon y na ograniczenia typu zaso­

bowego i ekonom icznego, przy równoczesnym pominięciu kw estii kolejnościow ych. W modelach HS, w odróżnieniu do GP, pomija się zjawiska zw iązane z przezbrojeniami maszyn. Różne są także metody rozwiązywania problemów optym alizacyjnych z tych dwóch klas. Jeżeli chodzi o HS, to dominują podejścia w ykorzystujące strukturalne w łasn ości poszczególnych modeli, np. zasada zamiany zadań przyległych (reguły Smitha, Johnsona, Jacksona, Monmy), zasada ścieżki krytycznej (m etody blokowe eliminacji rozwiązań zdom inowanych) itp. W przypadku GP dominującą rolę odgrywają modele szczegółow e, uwzględniające w iele uwarunkowań i o - graniczeń, o bardzo zło żo n ej strukturze, zawierające w iele zm iennych dyskretnych i ciągłych, i prowadzące do skomplikowanych problemów optym alizacji dyskretnej. Dla efek ­ tyw nego rozwiązywania tych problemów stosuje się różnorodne strukturalne m etody optym a­

lizacji, prowadzące na o g ó ł do algorytmów heurystycznych.

W nin iejszej pracy przedstawiamy modele i zagadnienia harmonogramowania zadań rozsze­

rzone o elem en ty pozwalające ująć łączn ie aspek ty koiejnościow e z aspektam i grupowania i porcjowania. Podejście takie pozwala wykorzystać prostotę modeli i zgromadzone do tej pory 'wyniki na polu tradycyjnego harmonogramowania zadań do całościow ego rozwiązywania tych trzech zagadnień. Potrzeba takiego podejścia wynika z wielu zastosow ań. Na przykład, w komputerowo zintegrowanych system ach wytw arzania decyzje zw iązane z grupowa­

niem lub porcjowaniem zadań są w ew nętrznie skorelowane z decyzjam i dotyczącym i harmono­

gramów wykonywania zadań. Klamrą spinającą pow yższe zagadnienia je st w przedstawianym opracowaniu zjawisko przezbrojeń maszyn, które było dotąd pow szechnie pomijane w mode­

lach harmonogramowania zadań. Przedstawiam y klasyfikację problemów, przegląd wyników do­

tyczących złożoności obliczeniowej, informacje o algorytmach aproksymacyjnych i dokładnych. Praca rozszerza modele i uaktualnia wyniki przedstawione w pracach przeglądowych (61) i |41|.

2. Klasyfikacja problemów

Omawiane dalej modele są uogólnieniami klasycznych sform ułowań harmonogramowania za­

dań. i dlatego w ykorzystyw ać będziemy dalej terminologię i notację pow szechnie stosowaną w tej dziedzinie 120!, 129].

Dany je st zbiór zadań J=fJj Jn >, które mają być wykonyw ane na maszynach ze zbioru M=(M j Mm l. W danej chwili każde zadanie m oże być w ykonywane przez co najw yżej jedną m aszynę i każda maszyna może w ykonyw ać co najw yżej jedno zadanie.

2.1. C h a ra k terystyk i zadań i stru k tu ry m aszyn

W problemach jed n o m a szyn o w ych i problemach z rów n oległym i id en tyczn ym i m aszynam i każde zadanie Jj składa się z pojedynczej operacji o czasie wykonywania Pj. W problemach p rz ep ły w o w yc h (ang. flow shop) i o tw a rtych (ang. open shop) każde zadanie składa się z m operacji Oj ^ O ^ j, gdzie O - je st wykonywana na fvf przez p^ jednostek czasu. W problemie przepływowym operacje w ykonyw ane są w porządku wyznaczonym przez rosnące inde­

ksy maszyn, natom iast w problemie otwartym porządek wykonywania operacji je st dowolny.

Inne struktury maszyn, jak jednorodne i różne m aszyny rów noległe oraz problem gniazdowy (ang. job shop) nie będą w tym opracowaniu omawiane.

Innymi typow ym i charakterystykam i zadania Jj są: t- - czas gotowości (do realizacji), dj - pożądany termin wykonania, 3 j - linia krytyczna, - czas dostarczenia, Wj - waga (wartość), Cj - czas zakończenia wykonywania. Ograniczenia kolejnościowe zadane są za pomocą skierowanego, acyklicznego grafu G=(J,E) ze zbiorem w ierzchołków J i zbiorem łuk ów E; jeżeli w G istn ieje ścieżka z Jj do Jj, to zadanie Jj może być rozpoczęte po zakończeniu wykonywania zadania Jj: w przyjętej dalej sym bolicznej notacji zapisujemy j e , używając symbolu "prec".

2.2. P rzezbrojer.ia m aszyn

Przezbrojenia maszyn uwzględniane są w modelu w następujący sposób.

- Czas przezbrojen ia: 2 każdym przezbrojeniem zw iązany je s t czas, w którym na maszynie nie może być wykonyw ane żadne zadanie. W harmonogramie dopuszczalnym wygodnie jest in­

terpretować przezbrojenie jako fikcyjne zadanie o długości równej czasowi przezbrojenia.

- K o s z t przezbrojen ia: Z każdym przezbrojeniem związany jest k oszt uwzględniany w w funkcji kryterialnej zagadnienia.

- P orcjow an ie zadania: Dwa kolejne przezbrojenia wyznaczają początek i koniec w ykonywa­

nia porcji zadania na maszynie; w szczególności przezbrojenia te określają czasy rozpo­

częcia i zakończenia wykonywania każdej części wchodzącej w skład porcji. Zgodnie z tą interpretacją czasy i k oszty przezbrojeń mogą być zerowe, same zaś przezbrojenia są zdarzeniami w yznaczającym i przedział czasu, w którym części danej porcji okupują maszynę.

356

Wyróżniamy trzy następujące typy zagadnień harmonogramowa nia zadań z przezbrojeniami maszyn.

2.2.1. Przezbrojenia p o m ięd zy zadaniam i

Dla każdej pary zadań (J^Jj) określony je st czas przezbrojenia s ; ¿ 0 (koszt prze - zbrojenia c ^ O ), potrzebny przy przejściu od w ykonywania zadania X do wykonywania Jj.

C zasy przezbrojeń są n iezależn e od k o lejn o ści (w ykon yw an ia zadań), jeżeli s-j=sj dla każdego i oraz j, to znaczy czasy te zależą tylko od zadań w ykonyw anych po przezbrojeniu maszyny; w przeciwnym przypadku mówimy o czasach przezbrojeń za leżn ych o d kolejności. W wielu modelach przymuje się założen ie, źe czasy przezbrojeń spełniają nierow ncść trójką­

ta, to znaczy, że SjjSs^+s^j dla każdego i.k oraz j. Jest ono naturalnie spełnione wszędzie tam, gdzie przezbrojenia odbywają się w m ożliwie najkrótszym czasie i możliwie najmniejszym kosztem.

Pow yższe pojęcia definiuje się dla kosztów przezbrojeń w analogiczny sposób.

Początkowe i końcow e przezbrojenia m aszyny można traktować tak sam o jak pozostałe, jeżeli założy się, że przed i po zakończeniu wykonywania zadań m aszyna jest uzbrojona do wykonywania fikcyjnego zadania. Dla w ieiom aszynow ych problemów może okazać się konieczne wprowadzenie dodatkowych indeksów dla rozróżnienia przezbrojeń na poszczególnych m aszy­

nach.

2.2.2. Grupowanie

W zagadnieniach grupowania zbiór zadań rozbity jest na B rozłącznych podzbiorów zwanych rodzinam i i dla każdej pary rodzin fla-IbJ określony je st czas (koszt) przezbrojenia (cafc|*0), s t,b=cbb“ ^ dla każdego b; jeżeli maszyna wykonuje zadanie z rodziny I, bezpośrednio po zadaniu z r o d z i n y I to po wykonaniu tego o sta t-

D 3

niego musi ulec przezbrojeniu, którego czas (koszt) wynosi s ab (cab>.

Niech n będzie ciągiem zadań w ykonyw anych na maszynie; przez n(i) oznaczm y i- t e zada­

nie w n. Każdy maksymalny podciąg zadań w ir należących do tej samej rodziny nazywam y da­

lej grupą. Ciąg grup I_v taki. że n= (L j Ly ) , je st grupowa, reprezentacja, ciągu a; przezbrojenie m aszyny w ystępuje tylko przy przejściu od w ykonywania ostatn iego zada­

nia w L; do pierwszego w Lj+1. l s i s v - l . Grupowanie m ożem y interpretować jako zagadnienie zarówno łączen ia zadań w grupy, jak i rozbicia rodzin na grupy.

Harmonogramy, w których każda rodzina tworzy jedną grupę,nazywamy grupowym i. Stanowią one oddzielną klasę harmonogramów rozpatrywanych w technologii grupowej. Jeżeli B=n. to otrzymujemy model rozpatrywany poprzednio, z przezbrojeniami pomiędzy zadaniami.

Do modelu grupowania można wprowadzić dalszą kom plikację w postaci podziału zbioru rodzin na A podzbiorów T . J ^ T ^ zwany dalej typ a m i rodzin. Oprócz czasów (kosztów ) przezbrojeń s ab (cab) w ystępujących pomiędzy grupami będącymi podzbiorami rodzin tego samego typu, występują jeszcze dodatkowe czasy (koszty) przezbrojeń śj.g ( 5 ^ ) . które na­

leży uwzględnić przy przechodzeniu pomiędzy grupami należącymi do różnych typów rodzin.

Te pierwsze nazywane są m ałym i, natom iast drugie, z uwagi na znaczne w iększe rozmiary, d u żym i (głó w n ym i) czasam i (kosztam i) przezbrojeń.

2.2.3. Porcjow anie

Obok podziału zbioru zadań J na B rodzin I j J - . —J g - w zagadnieniach porcjowania przyjmuje się. że każde zadanie Jj sk ła d a c z Q : jednakow ych części, posiadających takie

same czasy wykonywania Pj/Qj ■ takie same pozostałe charakterystyki. Każdy maksymalny ciąg części tego samego zadania w ykonywanych kolejno na m aszynie nazywamy porcja,; istota zagadnienia polega na podziale zadań na porcje. W problemach porcjowania wyróżniamy mo­

dele dyskretne, w których czasy wykonywania porcji są wielokrotnościami elementarnych kw antów czasu pj/Q j, oraz modele ciągłe, gdzie dowolny podział czasu wykonywania zadania wyznacza czasy wykonywania porcji - i tym samym również same porcje. W tym drugim przy­

padku, jeżeli p jest czasem wykonywania porcji, to jako liczbę części wchodzących w skład porcji przyjmujemy Qjp/Pj, bez względu na to, czy jest to liczba całkow ita, czy też nie. Ciągłe modele stanowią dobrą aproksymację dyskretnych dla wystarczajco dużych Qj, są znacznie łatw iejsze do analizy niż dyskretne, i co je st ważne, pozwalają stosow ać niektóre podejścia w ykorzystyw ane w tradycyjnych zagadnieniach harmonogramowania zadań.

Przy przejściu od wykonywania porcji zadania Jj do porcji zadania Jj wymagane jest (m ałe) przezbrojenie, z czasem s-j lub kosztem c —, jeżeli zadania należą do tej samej rodziny. Jeżeli Jj£ Ia. Jje Ib oraz a*b, to (oprócz m ałego przezbrojenia) wymagane jest duże (głów ne) przezbrojenie z czasem s afa lub kosztem c afa. W problemach porcjowania przyj­

muje się na ogół, że czasy i k oszty przezbrojeń są niezależne od kolejności.

W zagadnieniach porcjowania rolę elem entarnej jednostki pracy przyjmuje część. 1 tak, w m iejsce czasu zakończenia wykonywania zadania rozpatruje się czas zakończenia w ykony­

wania części, przy czym istotnym elem entem jest tu wybór sposobu, w jaki jest on wyzna­

czany. Jeżeli część może być dostarczona natychm iast po jej wykonaniu, po wykonaniu por­

cji lub zadania, to cza s zakoń czen ia w ykonyw ania części definiowany jest jako, odpowied­

nio, j e j r z e c z y w is ty c za s wykonania, c za s wykonania o s ta tn ie j c zę śc i w p o rcji lub o s ta t­

n ie j c zę śc i w zadaniu. Zauważmy, że w pierwszym przypadku otrzymujemy model zagadnienia grupowania, w którym w szystkie zadania rodziny są identyczne.

W w ielom aszynowych zagadnieniach porcjowania podstawowe w klasycznych modelach założen ie, że żadne zadanie nie m oże być w ykonywane w tym samym czasie na w ięcej niż je ­ dnej maszynie, przestaje obowiązywać. Przyjm uje się natom iast, że żadna porcja nie może być równocześnie wykonywana na dwóch lub w ięcej m aszynach. Dopuszcza się różne rozmiary porcji tego samego zadania na różnych maszynach, jednakże w problemie przepływowym w y­

konywanie porcji na danej m aszynie nie może być rozpoczęte, jeżeli w szystkie jej części - a więc również porcje zawierające te części - nie przeszły operacji na maszynie po­

przedzającej.

2.3. F u n kcje celu

Rozważane są dwa ogólne typ y funkcji celu. Typ pierwszy zawiera sianoaruowe lunac-jc kryrerialne zagadnień harmonogramowania, których argumentami są czasy wykonania zadań Cj, w przypadku zadań porcjowania, czasy wykonania części. Przyjmują o n e postać f [nax lub

gdzie:

- czas wykonania w szystkich zadań, - maksymalna nieterminowość,

3 5 3 Stanisław Zdrzałka

E (w j)C j=£jgj(w j)C j - łączny (w ażony) czas wykonania zadań.

E(w .)T j* ijg j(W j)T j, gdzie Tj=max{0,Cj-dj}) - łączn e (w ażone) opóźnienie,

E(w.)U,=E. ,(w .)U ., gdzie U .=1, jeżeli C->d., U-=0, w przeciwnym przypadku - suma

J J J J J J J J

(ważona) zadań opóźnionych.

Typ drugi zawiera jedną funkcję, którą jest całk ow ity koszt przezbrojeń.

2.4. N otacja sym boliczna problem ów

Stosować będziemy trójpolowy zapis problemów a |0 l r , wprowadzony przez Grahama i in­

nych [201, patrz również [29], dla konw encjonalych problemów harmonogramowania zadań, uzupełniony o informacje dotyczące czasów i kosztów przezbrojeń. Przez » oznaczam y sym ­ bol pusty.

Pierwsze pole opisuje strukturę m aszynow ą i ma postać a ^ c o , , gdzie « jep .P .F .O ) (• = pojedyncza maszyna, P - rów noległe identyczn e m aszyny, F = problem przepływ ow y, O = pro­

blem otwarty) oraz a^eK m } (» = dowolna liczba maszyn, m = liczba maszyn je s t ustalona i wynosi m).

Pole drugie 0 opisuje charakterystyki zadań. Obok tradycyjnej zawartości tego pola, patrz np. (20), [291, wprowadzamy do niego opis przezbrojeń

* ,€ ( .. Sj. Sjj, s b. sab. s bi f , sjS- f),

gdzie * = zerowe czasy przezbrojeń, Sj Cs—) = przezbrojenia pomiędzy zadaniami (również zagadnienie porcjowania) z niezerowymi czasami, niezależnymi (zależnym i) od ko­

lejności, s b (sab) = zagadnienie grupowania z czasami przezbrojeń niezależnym i (zależnymi) od kolejności, s b5j. (s^Sj.) = zagadnienia grupowania (porcjowania) z m ałym i i dużymi czasami przezbrojeń, niezależnymi od kolejności;

discr. cont),

gdzie • = zagadnienie inne niż porcjowanie, discr (cont)= zagadnienie porcjowania z dy­

skretnymi (ciągłym i) porcjami.

Trzecie pole yr, opisujące fun kcję celu, przyjmuje postać r = r ,(ó iTl'2+ ł3' Sdzie o - znacza funkcję celu pierwszego typu, w której definicja czasów wykonania części, w przy­

padku zadania porcjowania, określona jest przez i , a i y , są łącznym i kosztam i, odpo­

wiednio. m ałych i dużych przezbrojeń.

?,€{», C , L , EC., Ew C .. ET . Ew.T.. EU., Ew .U.).

'1 max' max j’ j j' j' j f f j j 1'

przy czym y, =« oznacza brak sk ład ow ej pierwszego typ" w funkcji celu, óe(*. item, sublot. loti.

gdzie • = zagadnienie inne niż porcjowanie (w tym przypadku pomijany jest naw ias przy 7j). item (sublot, lot) = czas wykonania części zdefiniow any jest jako rzeczyw isty ter­

min jej wykonania (jako czas iwykonama o statn iej części w porcji, jako czas wykonania o - statn iej części w zadaniu). Dwa ostatn ie składniki mają postać

T2€{», Tej. Ec.j, Ecb. Ecab). 73e(«. E5r Ecfg ).

gdzie - • brak sk ład ow ej dane typu, Ex0 = suma kosztów w szystk ich przezbrojeń typu x &.

Na przykład, 1 11 Ec^j oznacza problem minimalizacji łącznego kosztu przezbrojeń w jed -

nom aszynowym zagadnieniu harmonogramowania z przezbrojeniami pomiędzy zadaniami, w którym koszty przezbrojeń zależą od kolejności, a czasy są zerowe. W szystkie zadania są niepodzielne i gotow e do realizacji w chwili zerowej.

l | r ;, s . | L je st problemem minimalizacji maksymalnej nieterminowości w jednom aszyno- j d m a x

wym zagadnieniu grupowania, w którym czasy przezbrojeń nie są zależne od kolejności, a zadania mają określone czasy gotowości do realizacji n .

P U jśp C on t I Ew jCjCsublotJ+Ecj+Ecj. je st problemem porcjowania zadań na równoległych, identycznych maszynach, w którym występują m ałe i duże przezbrojenia niezależne od kolej­

ności, z niezerowymi czasami. Zadania są dzielone na porcje w sposób ciągły i gotowe do realizacji w chwili zerowej. Czas wykonania części wyznaczony jest przez czas wykonania o statn iej części w porcji (częśó może być dostarczona po wykonaniu c a łej porcji). Celem je st minimalizacja kosztu przebywania części w system ie wytwarzania plus kosztu w szy st­

kich m ałych i dużych przezbrojeń.

3. Z łożon ość obliczeniowa, algorytmy dokładne i heurystyczne

Bieżący stan badań w dziedzinie harmonogramowania, grupowania i porcjowania zadań z uwzględnieniem przezbrojeń przedstawiony z o sta ł w skondensowanej formie w Tabelach 1 i 2. Zawierają one informacje o złożoności obliczeniowej poszczególnych problemów oraz o algorytmach dokładnych i heurystycznych. W tym ostatnim przypadku informacje ogranicza­

ją się do podania złożoności obliczeniowej algorytmu i wskazania literatury; w przypadku algorytmów heurystycznych złożoność obliczeniowa jest pomijana - należy przyjąć, że jest on» z reguły wielomianowa. Zgodnie z zasadą przyjętą w tej pracy, uwzględnione zo - s ta ły tylko problemy (odnosi się to szczególnie do zagadnień porcjowania), które mieszczą się w ramach wyznaczonych przez ogólny model zagadnień harmonogramowania zadań - n ajw ażniejsze jest tu założen ie o jednostkow ej przepustowości maszyn.

W tabelach pojawia się w ielkość p określająca dokładność algorytmu heurystycznego.

Jest ona zdefiniowana następująco. Niech H(I) będzie wartością funkcji celu otrzymaną przez heurezę H dla problemu konkretnego I, a OPT(I) minimalną wartością funkcji celu dla I. Dokładność algorytmu H, dla najgorszego przypadku, określona jest (dla zagadnień minimalizacji, w których OPT(I)>0 dla każdego 1) w tej pracy przez

P = suplH(l)/OPT(l); po w szyskich I).

W rozważanych modelach nie rozpatruje się kw estii podzielności zadań, tak jak jest ona formułowana w konw encjonalnych problemach. Porcjowanie zadań jest jednak w pewnych przypadkach równoważne d zieleniu. (przerywaniu) w sensie tradycyjnym, np. gdy czas w yko­

nania części w yznaczony jest przez czas wykonania zadania, a porcje są ciągłe.

Wśród w>yników teoretycznych wybija się obserwacja poczyniona przez Monmę i Pottsa [37], że zasada przyległych zadań, prowadząca w przypadku zagadnień klasycznych do sły n n y ch algorytmów Smitha, Jacksona i Johnsona, przenosi się ar odpowiednich zagadnie­

niach grupowania na zadania tych samych rodzin - dla czasów przezbrojeń zależnych od ko­

lejności i sp ełniających nierów ność trójkąta. Wynik działania tej zasady jest zatem nas­

tępujący.

360

Problem Pr z ez b r o je n ia p om ięd zy zad.

B=n

Harm onogram owanie g ru p ow e

Grupowanie

^ sa b ^ m a x N P -tr. N P -tr.

(Komiwojażer * x) (Komiwojażer ■ *) A lg . dokładne i (Jak w 1 kolumn.) h e u r y s t.: [28]

N P -tr.

(Komiwojażer * *) (Jak w 1 kolumn.)

1 |s b |L max O(nlogn) np. 1291 (Alg. Jacksona)

O(nlogn) [411164]

(Alg. Jacksona dla zagregowanych zad.)

N P -tr. (już dla s fa=s) 16]

B ustalone: 0 ( B 2n 2B ) [37]

dj<0: heureza z p=3/2 [62.64]

l l r j*s b ICmax 0<nlogn) [64]|29]

(Jak w yżej)

O(nlogn) [6211641 (Jak w yżej)

N P -tr.(ju ż dla s b=s) |64]|6]

(Jak w yżej)

' " L m a A O(nlogn) (Jak w yżej)

O(nlogn) (Jak w yżej)

N P -tr. (już dla c b=c) [6]

B ustalone: 0 ( B 2n2B ) [371141]

l l s b iL m ax+Icb O(nlogn) (Jak w yżej)

Oinlogn) (Jak w yżej)

N P -tr. [6]

1 ' sa b ' Lmax N P -tr. N P -tr.

(Komiwojażer « *) (Komiwojażer a *)

N P -tr.

2

B ustalone: 0 (B nB +B) [37[

1 |c b= l,p r e c |I c b “ “ N P -tr. [43]

B=2: 0(n2) [43]

U SbilW jG j 0(n logn ) np. 129]

(Alg. Smitha dla dla P j+ S j)

Oinlogn) [37][41]

(Alg. Smitha dla zagregowanych zadań)

O twarty (otw arty dla W j = l ) B ustalone: 0 ( B 2n2B ) (dla W j«l. 0 ( B 2nB )) [37]

Alg. dokładny: [33]

lliZ w .C .+ Z c.

J J D Oinlogn)

(Jak w yżej)

Oinlogn) (Jak w yżej)

O tw arty (otw arty dla w .= l) J B ustalone: 0 ( B 2 nB) [37|

1 Is, i£ w .C +Sc.

b j j b Oinlogn) (Jak w yżej)

O inlogn) (Jak w yżej)

O tw arty

1 1 IKN Otwarty Otwarty O twarty

B u s ta lo n e : 0 ( B ~ n B ) [2]

H eu rezy: i 21] [25] (21 A lg . d o k i ,(B = 2 ) : [44]

H l^ ab

Komiwojażer * x Komiwojażer ■ x (Jak w 3 kolumn.) (Jak w 3 kolumn.)

N p-tr.

Komiwojażer = x

Alg. wielomianowe: |18][28]

Heurezy: [28]

IIIEWjCj+Sc^ N P -tr.

A lg . dokładne i h eu rezy: 141

N P -tr. N P -tr.

1 |sb|EUj

(A.Moor&Hudgson)

O twarty N P -tr. (już dla s b=s) B ustalone: 0 ( B 2nB+1) [37]

l||Z U .+ Z e b CKnlogn) np. [29) (Jak wyżej)

O twarty N P -tr. (już dla c b=c) B ustalone: 0 ( B 2nB+1)[37,41]

n Pj=i,a.izcab

Pj. (61)

Algorytmy dokładne: 1191(36]

[151126]

P | s b ICmax N P - t r . np. 129]

H eu rezy [29]

N P -tr . np. [29]

H eu rezy [29]

N P -tr. np. 129]

P |s b |EC. O ( n lo g n ) np.[29]

( R e g u ła SPT)

Otwarty Otwarty

PHICj+ECh O ( n lo g n ) np.|29]

(J a k w y ż e j )

Otwarty Otwarty

F 2 ls b ICmax O(nlogn) [60] CKnlogD) [46] Otwarty

( F 2 " Cm ax+IV m>2: heurezy [59] B ustalone: <XB2n 2B) [371 F 2 ' sa b 'Cmax N P -tr. N P -tr.

(Komiwojażer « x) (Komiwojażer « x) Spec. przypadki:

0 (n lo g n )(4 8 ,49.50]

Heurezy:[22,23,24]

N P -tr.

(Komiwojażer « x)

° 2 l s b ICmax O twarty O twarty Otwarty

Komiwojażer « x oznacza redukowalność, w sensie teorii N P -zu p ełn ości, problemu.

Komiwojażer do rozważanego problemu x; = oznacza równoważność.

362

Z łożoność obliczeniowa probiemów porcjowania

Tabela 2

Problem Sposób w yznaczania czasu wykonania części

A = item a = lot A = sublot

1 |s J-*|L max(A)+Lcj CHnlogn) 145]

(Alg. Jack son a, zad.

n ie są d z ie lo n e )

O(nlogn)

(Jak w 1 kolumnie)

Ośnlogn)

(Jak w 1 kolumnie)

H rj ,qj .sj,con tiC m axCA) N P -tr. (65) N P -tr. 165] N P -tr. 165]

(Dla dj <0:

11 r j.Sj.cont I Lmax(A>)

Heureza z p=3/2 [65] (Jak w 1 kolumnie) (Jak w 1 kolumnie)

11 Sj,*! EWjCjCA) O(nlogn) 114]

(Alg. Smitha, zadań, nie są dzielone)

O(nlogn) [411 (Jak w 1 kolumnie)

O twarty

n= l,*= con t: 0(1)114]

n=l.*=discr: [40]

n>l:heurezy [14]|40]

11 cont i EWjCj(A)+2Cj O(nlogn) (Jak w yżej)

O(nlogn) (Jak w yżej)

Oinlogn) [41]

11 s j ,* 1 EUj(A) U IM Z U jtA H Z cj)

N P -tr. [27] NP-tT. [27] N P -tr. [27]

P 2 |s / |Cm ax(ń) ( P 2 | , | W A)+£cj)

N P-hard |37]|41| NP-hard (37)141] N P-hard [37][41]

P | Sj.co n tlC max(A) Heurezy (oszac. P):

I38JI12]

(Jak w 1 kolumnie) (Jak w 1 kolumnie)

P 1 SjS b,cont I Cmax(A) Heurezy:[52)i58][53] (Jak w 1 kolumnie) (Jak w 1 kolumnie)

F 2 |s / iCW W Otwarty

n = l: 0 ( 1 ) [42]

Otwarty

(Jak w 1 kolumnie)

O twarty

(Jak w 1 kolumnie)

* odnosi się do obydwu sposobów podziału zadania: con t i discr.

Jezeii (zależne od kolejności) czasy przezbrojeń sp ełniają nierów ność trojkata. to istnieje harmonogram optym alny, w którym zadania te j sam ej rodziny

( ł | s ai)ILmaY ) : w ystępują w kolejności niem alejących dj;

O ls _ , |2 iv C . ) : w ystępują w kolejności niem alejących p-/w.;

dD J J J J

( J |s 0, |E w £ 7 . ) nie spóźnione, w ystępują w kolejności niem alejących p-/w ,

3 0 J J j j

(F 2 l s a b \C m a y ) : i oraz j w ystępują w kolejności i,j, jeżeli m in lp ^ .p -jjsm in ip jj.p ^ ).

W łasność ta umożliwia konstrukcję algorytm ów programowania dynamicznego, które są w ielo­

mianowe ze względu na n i w ykładnicze ze względu na B. Jednakże z wyjątkiem bardzo m ałych B ich znaczenie je st w yłączn ie teoretyczne.

Wobec tego, że pojaw ienie się przezbrojeń w modelu harmonogramowania zadań wyraźnie pom niejszyło zbiór problemów rozwiązywalnych w wielomianowym czasie, dużego znaczenia nabierają algorytmy heurystyczne. Jak wynika z Tabel 1 i 2, są one powszechnie propono­

wane do rozwiązywania zadań optym alizacyjnych, jednakże analiza ich dokładności przeważnie polega na badaniach eksperymentalnych. Pierwsze analityczne podejścia do sza­

cowania dokładności heurez, wykorzystujące m etodę analizy najgorszego przypadku, pojaw iły się w pracach Monmy i P ottsa 138), Chena [121 i autora (621, 163], (64 i (651.

Ponieważ przedstawione modele harmonogramowania są znacznie bliższe rzeczywistości niż konw encjonalne i rów nocześnie zachowują prostotę charakteryzującą te ostatnie, można spodziewać się intensyfikacji badań w kierunku proponowanym w niniejszej pracy.

Zagadnienia harmonogramowania z przezbrojeniami maszyn wychodzące poza ramy nakreślone w pracy lub zawierające w sw oich sform ułowaniach elem enty specjalne, odbiegające od ogólnego modelu, rozważane są w pracach 151, [441, 1311, [39], [551, [471.

LITERATURA

[11 A xsater, S.: An exten sion o f th e extended basic period approach for economic lot scheduling problems, J. Opt. Theory Appl. 52(1987),! 7 9 -1 8 9 .

[21 Ahn B.H., Hyun J.H.: Single facility m ulti-class job scheduling. Computers and Operations Research 17(1990), 2 6 5 -2 7 2 .

(31 Baker K.R.: Introduction to Sequencing and Scheduling, Wiley, N ew York, 1974.

[4] Barnes J.W., V an ston L.K.: Scheduling Jobs w’ith Linear Delay Penalties and Sequence Dependent Setup Costs, Operations Research 29(1981), 146-159.

[51 Bellman R., Esogbue A.O., Nabeshima I.r M athematical A sp ects of Scheduling and Applications, Pergamon Press, N ew York. 1982.

[61 Bruno J.. Downey P.: Com plexity of Task Sequencing w ith Deadlines, S et-U p Tim es and Changeover Costs, SIAM J. Comput. 7(1978), 3 9 3 -4 0 4 .

[7) Burbidge J.L.: T he Introduction o f Group Technology, Wiley, N ew York 1975.

[8) Cattrysse, D.. M aes J., Van W assenhove L.N.: Set partitioning and column generation for capacitated dynamic lotsizing, European J. Oper. Res. 46(1990), 3 8 -4 7 .

[9) Coffman E.G., Garey M.R., Johnson D.S.: An application of bin-packing to m ulti-processor scheduling, SIAM Journal of Computing 7(1978), 1-16.

(101 Conway R.W., Maxwell W.L.. Miller L.W.: Theory of scheduling, Addison-W esley, Reading 1967.

[11] Corwin B.D.. E sogbue A.O.: T w o-m achine flow shop scheduling problems with sequence dependent setu p times: A dynamic programming approach. Nav. Res.

Logist. Q. 21(1974), 5 1 5 -5 2 4 .

[12] Chen B.: A better heuristic for preemptive parallel machine scheduling with batch a et-u p tim es, Report 9131/A , Erasmus University, Rotterdam 1991.

(131 Darrow W.P., Gupta J.N.D.: Integrated Group Technology and MRP System s Through Lot Sizing and Scheduling, Computers ind. Engng 16(1989), 2 8 7 -2 9 6 .

364

¡14) Dobson G.. Karmarkar U.S. and Rummel J.L.: Batching to minimize flow tim es on one machine. M anagement Science. 33(1987), 7 8 4 -7 9 9 .

¡15) Driscoll W.C., Emmons H.: Scheduling Production on One Machine with Changeover Costs. AI1E Transactions 9(1977), 1 8 8-395.

¡16) Elmaghraby S.: The econom ic lot scheduling problem ELSP: R eview and exten sions.

Management Science 24(1978), 5 8 7 -5 9 6 .

(17) Gallagher C.C., Knight W.A.: Group Technology, Butterworth, London, 1973.

|18) Gilmore P.C.. Gomory R.E.: Sequencing a one state-variable machine: a solvable case o f the travelling salesman problem. Operations Research 12(1964), 6 5 5 -6 7 9 . 119) G lassey C.R.: Minimum changeover scheduling o f several products on one

machine. Operations Research 16(1968), 3 4 2 -3 5 2 .

¡20! Graham R.L. e t al.: Optimization and approximation in determ inistic sequencing and scheduling: a survey, A nn. Discrete Math. 5(1979), 2 8 7 -3 2 6 .

|21) Gupta J.N.D.: Optimal Scheduling for Single F acility with Tw o Job Classes, Comput.& Ops Res. 11(1984). 4 0 9 -4 1 3 .

[22) Gupta J.N.D., Darrow W.P.: Approxim ate schedules for the tw o-m ach in e flow shop w ith sequence dependent setup tim es. Indian Journal o f M anagement and System s, 1(1985), 6 -1 1 .

(23) Gupta J.N.D., Darrow W.P.: T he tw o-m ach in e sequen ce dependent fiow shop scheduling problem. European J. Oper. Res. 24(1986), 4 3 9 -4 4 6 .

)24) Gupta J.N.D.: Flowshop schedules w ith sequence dependent setu p tim es. Journal Oper.

Res. S ociety o f Japan, 29(1986), 2 0 6 -2 1 9 .

125) Gupta J.N.D.: Single facility scheduling w ith m ultiple job classes, European J.

Oper. Res. 8 0 988), 4 2 -4 5 .

[26) Hu T.C.. Kuo Y.S., Ruskey F.: Some optimum algorithms for scheduling problems w ith changeover costs. Operations Research 35(1987), 9 4 -9 9 .

(27) Kovalyov M.Y.. P o tts C.N., Van W assenhove L.N.: Single m achine scheduling w ith se t-u p s to minimize th e number of late item s. Report , Econom etric Institute.

Erasmus University. Rottterdam 1990.

[281 Lawler E.L.. Lenstra J.K., Rmnooy Kan A.H.G., Shm oys D.B. (ed.): The Traveling .Salesman Problem. A Guided Tour of Combinatorial Optim ization, John W iley and Sons.

Chichester 1985.

[29) Lawler E.l Lenstra J.K., Rinnooy Kan A.H.G.. Shmoys D.B.: Sequencing and

scheduling: algorithms and com plexity, Report B S-R 8909, Centre for M athem atics and Computer Science. Amsterdam 1989.

¡30) Lenstra J.K., Rmnooy Kan A.H.G.. Brucker P.: Com plexity o f M achine Scheduling Problems. Ann. Discrete Math. 1 0 9 7 7 ). 3 4 3 -3 6 3 .

13 li L ockett A.G. Muhlemann A.P.: A scheduling problem involving sequ en ce dependent changeover costs. Ops Res. 20(1972), 8 9 5 -9 0 2 .

¡321 Manne A.S.: Programming of economic lot sizes, M anagement Science 4 /2 0 9 5 8 ), 115-1 3 5

¡33) Mason A.J.. Anderson E.J.: Minimizing flow tim e on a single m achine w ith job classes and setup tim es, to appear in Naval Res. L ogistics. 1991.

134) Maxwell W.: The scheduling of econom ic lot sizes. Naval. Res. Logist.

Q u a r t.ll(1964), 8 9 -1 2 4 .

|35] Mitrofanov S.P.: Scien tific Principles o f Group Technology, National Lending Library, U.K., 1966.

136] Mitsumori S.: Optimal production scheduling o f m ulti-com m odity in flow line, IEEE Trans. System s Man and Cyber., SMC-2C1972), 4 8 6 -4 9 3 .

¡37] Monma C.L., P o tts C.N.: On the com plexity o f scheduling with batch setup times.

Operations Research 37(1989), 7 9 8 -8 0 4 .

|38l Monma C.L., P o tts C.N.: A n alysis of heuristics for preemptive parallel machine scheduling w ith batch se t-u p tim es, to appear in Operations Research. 1991.

[39] Moore J.E.: A n Algorithm for a Single M achine Scheduling Problem with Sequence Dependent Setup Tim es and Scheduling Windows, A1IE Trans. 7(1975), 3 5 -4 1 . 140] Naddef D„ Santos C.: O n e-pass batching algorithms for the one machine problem,

Discrete Appl. M ath. 21(1988), 1 3 3-145.

141] P o tts C.N., Van W assenhove L.N.: Integrating scheduling with batching and lot-sizing: a review of algorithms and com plexity. Report 9008/A. Econometric Institute. Erasmus U niversity, Rotterdam 1990.

142] P o tts C.N., Baker K.R.: Flow shop scheduling w ith lot streaming. Operations Research L etters, 8(1989), 2 9 7 -3 0 3 .

143] Richter K.: The robot sequencing problem: polynomial algorithm and complexity, Optimization 16(1985), 5 9 7 -6 0 5 .

144] Sahney V.: Single server.two m achine sequencing with sw itching times. Operations Research 22(1972), 2 4 -3 6 .

145] Santos C., Magazine M.: Batching in single operation manufacturing system s.

Operations Research L etters 49(1985), 9 9 -1 0 3 .

146] Sekiguchi YzOptim al schedule in a G T -ty p e flo w -sh o p under series-parallel precedence constraints, J. Opns Res. Soc. Japan 28(1983), 2 2 6 -2 5 1 .

|47j So K.C: Some heuristics for scheduling jobs on parallel machines with setups.

Management Science, 36(1990), 4 6 7 -4 7 5 .

|48i Sule D.R.: Sequencing n jobs on tw o m achines w ith setup, processing and removal tim es separated. Naval Res. L ogistics Quarterly 29(1982), 5 17-519.

¡49) Sule D.R., Huang K.Y.: Sequencing on tw o and three machines with setup, processing and removal tim es separated. International Journal of Production Research 21(1983).

7 2 3 -7 3 2 .

1501 Szwarc W„ Gupta J.N.D.: A flo w -sh o p with sequence-dependent additive setup times.

Naval Res. Logistics. 34(1987), 6 1 9 -6 2 7 .

(51] Szwarc W.: Flow Shop Problems w ith Time Lags, Management Science 29(1983). 4 7 7-481.

1521 Tang S.: Scheduling batches on parallel m achines with major and minor set-u p s.

European J. Oper. Res. 46(1990), 2 8 -3 7 .

153] Tang C.S., W ittrock R.J.: Parallel m achines scheduling w ith major and minor setups.

RC 11412, IBM T.J. W atson Research Center, Yorktown Heights, 1985.

154] T oczylow ski E.: N iektóre m etody strukturalne optymalizacji dc sterowania w dyskretnych system ach wytwarzania, WNT. Warszawa ¡9 8 9 .

155] Unal A.T., Kiran A.S., U zsoy R.: Due date determination on a single machine with

366

part type dependent setup ti.mes, Research Memorandum N o .9 1 -2 2 , Purdue University, 1991.

156! Vakharia A.J., Chang Y.L.: A simulated annealing approach to scheduling a manufacturing cell. Nav. Res. Logist. 37(1990), 5 5 9 -5 7 7 .

157] Wagner H.M., Whitin T.: Dynamic version of the econom ic lotsizing model. Management Science 5/3(1958), 8 9 -9 6 .

158) Wittrock R J.: Scheduling Parallel M achines w ith Setups, Research Report RC 11740 3/3/86, IBM T.J. W atson Resarch Center, Yorktown H eights 1986.

[59] Vakharia A.J., Chang Y.L.: A sim ulated annealing approach to scheduling a m anufacturing cell, Nav. Res. Logist. 37(1990), 5 5 9 -5 7 7 .

[60] Yoshida T.. Hitomi K.: Optimal tw o stage production scheduling w ith setup tim es separated, AIIE Transactions 11(1979), 2 6 1 -2 6 3 .

[61] Zdrzałka S.: Problemy szeregowania zadań z przezbrojeniami maszyn. Z eszy ty Naukowe Politechniki Śląskiej, Autom atyka z.94 (1988), 3 7 3 -3 9 1 .

162] Zdrzałka S.: Approximation algorithm for single-m ach in e sequencing w ith delivery tim es and unit batch se t-u p tim es, European J. Oper. Res. 51(1991), 1 99-209.

[63] Zdrzałka S.: Single m achine sequencing w ith delivery tim es and equal batch s e t-u p times: 3/2 approximation algorithm, Research Report 1CT 33/91, Technical U niversity o f Wrocław, 1991.

[64] Zdrzałka S.: A nalysis o f an approximation algorithm for single-m achine

scheduling w ith delivery tim es and sequence independent batch setup tim es. Research Report ICT 43/91, Technical University o f W rocław, 1991.

165] Zdrzałka S.: Preem ptive scheduling w ith release dates, delivery tim es and sequence independent setup tim es. Research Report, Technical U niversity of Wrocław, 1991.

[66] Zipkin P.H.: Computing optimal lot sizes in th e econom ic lot scheduling problem.

Operations Research 39(1991), 5 6 -6 3 .

R e c e n z e n t : P r o f . d r h . i n Z . E u g e n i u s z T o c z y i o w s k i W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i do 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r.

A b s t r a c t :

Batching and lotsizing problems, on the one hand, and scheduling and sequencing problems, on the other, are nearly alw ays considered in the literature separately. We understand by batching the decision problem o f w hether or not to schedule similar jobs contiguously, and by lotsizing, th e decision on w hen and how to split a production lot o f identical item s into sublots. Scheduling and sequencing problems are concerned w ith optimal allocation of limited machine resources to jobs, activities, over tim e, in the paper, w e consider a general scheduling model involving m achine setup s, w hich com bines batching and lotsizing with scheduling. In the paper, th e elem ent which brings together th e three fields is th e phenomenon o f m achine setups. A review o f problems, com putatio­

nal com plexity results and algorithms for th is general model is given.