ZESZYTY...KALKOWE POLITECHNIKI Sl.*SKTRT
• S e r i a s AUTOMATYKA z . 74
________ 1 9 8 4 , H r I col . 8 1 0
Lech J a m r o ż
P o l i t e c h n i k a Kr a k o ws k a
ZAGADNIENIE SZEREGOWANIA ZADAŃ Z OGRANICZENIAMI UięDZYOPEiiACYJNYMI
S t r e s z c z e n i e ,1v a r t y k u l e p r z e d s t a w i o n o r o z w i ą z a n i e p r o b l e m u s z e r e g o w a n i a z a d a ń z o g r a n i c z e n i a m i m l ę d z y o p e r a c y j n y m i i a d d y t y w n ą f u n k c j ą c e l u t y p u k o s z t o w e g o . Z b a d a n o i w y k o r z y s t a n o pewne w ł a s n o ś c i z b i o r u o p e r a c j i k o n l l i k t o w y c h . A l g o r y t m o p a r t o na s c h e E i a c i e me t ody p o d z i a ł u i o g r a n i o z e ń .
Dla o g ó l n y c h t ypów p r o b l e mó w s z e r e g o w a n i a i o g ó l n y c h f u n k c j i c e l u o g r a n i c z e n i a w p o s t a c i p r z e z b r o j e ń m i ę d z y o p e r a o y j n y c h b y ł y p o m i j a n e l u b r o z w a żani a z m i e r z a ł y w k i e r u n k u u p r o s z c z e ń do z a g a d n i e ń j e d n o r a a s z y n o w y e h l u b u - i d e n t y c z n y c h maszyn.T.' t e j s y t u a c j i do o t r z y m a n i p r o z w i ą z a n i a w y k o r z y s t y wane b y ł y a l g o r y t m y w ł a ś o i w e d l a z a g a d n i e ń TSP / T r a v e l i n g S a l e s m a n P r o b l e m / m-TSP c z y t e ż VHP / V e h i c l e R o u t i n g P r o b l e m / . P o n i e w a ż p r o b l e m TSP J e s t jednym z p o d s t a w o w y c h p r o b l e m ó w o p t y m a l i z a c j i k o m b i n a t o r y o z n e j . w o b e c t e g o i s t n i e j e o b e c n i e w i e l e a l g o r y t m ó w r o z w i ą z u j ą c y c h t e n p r o b l e m .
K s t o s u n k u do z a g a d n i e ń TSP o r a z VRP o p r a c o n a n o p r z e d e w s z y s t k i m a l g o r y t m y h e u r y s t y c z n e p o z w a l a j ą c e na o t r z y m y w a n i e d o ś ć d o b r y c h r o z w i ą z a ń d o p u s z c z a l n y c h . K ś r ó d a l g o r y t m ó w d o k ł a d n y c h b a z u j ą c y c h na s c h e m a c i e me t ody p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń / B - a n d - B / n a l e ż y w y m i e n i ć a l g o r y t m y L i t t l e ’a f 3 j , U e l d a i K a r
pa [ i ] . O r l o f f a [ 6 ] .
V." p r a c y p r z e d s t a w i o n o o p t y m a l n e r o z w i ą z a n i e p r o b l e m u s z e r e g o w a n i a z a dań z p r z e z b r o j e n i a m i m i ę d z y o p e r a c y j n y m i i a d d y t y w n ą f u n k c j ą c e l u t y p u koszt owego. ! . ' a l g o r y t m i e o p a r t y m na s c h e m a c i e me t ody B - a n d - B z b a d a n o i wy
k o r z y s t a n o w ł a s n o ś c i z b i o r ó w o p e r a c j i U o n f l i k t o w y c h , k t ó r e p o z w a l a j ą na znaczne z m n i e j s z e n i e l i c z b y p r z e g l ą d a n y c h r o z w i ą z a ń .
2. S f o r m u ł o w a n i e p r o b l e m u . 1. Wst ęp
Dane s ą : i / N = { i i / J = j i i i / M= { i v / Q=|
v / P M
I . - T n m r n *
v i / t ^ / t ^ - ^ 0 / - c z a s wykonywani a o p e r a c j i n ^ N na m a s z y n i e E j t U . y i i / J n ^ , n ł , ... ) - c i ą g o p e r a c j i z a d a n i a J ^ J / k a ż d e z a d a n i e s k ł a d a
1 2 i - i n s i ę z i o p e r a c j i / .
i I i “ My f . Łl
v i i i / ¡¡T= | ^n1>n J+1) j - r e l a c j a p o p r z e d z e ń r e p r e z e n t u j ą c a wymogi p o r z ą d k u t e c h n o l o g i c z n e g o w wykonywani u p o s z c z e g ó l n y c h o p e r a c j i , (n^ . n ^ f - K T powoduje , że o p e r a c j a n^, mus i b y ć zakoK-
czona p r z e d r o z p o c z ę c i e m o p e r a c j i n . . Ł
1 / 1 I*
i x / P ^ j / p j ^ O j - c z a s p r z e z b r o j e n i a maszyny uijf-M pod w a r u n k i e m , ż e o s t a t n i o wykonyv.aną~ńa n i e j ■ o p e r s c J ą b y ł a o p e r a c j a ^ . n a t o m i a s t n a s t ę p n y , b ę d z i e n^.
x / Każdemu z a d a n i u p r z y p o r z ą d k o w a n e s ą n o r ma t y wn e t e r m i n y :
i-j - n a j w c z e ś n i e j s z y ż ą d a n y t e r m i n r o z p o c z ę c i a r e a l i z a c j i z a d a n i a Jjfc-J.
d^ - n a j p ó ź n i e j s z y ż ą d a n y t e r m i n z a k o ń c z e n i a r e a l i z a c j i z a d a n i a J^ć-J.
Ni ech ,N2 . . . N“ } o r a z j f = N3 ,Ń2 , . . . . .NZ - b ę d ą r o d z i n a m i podzbior rów z b i o r u . N p r z y p o r z ą d k o w a n y c h o d p o w i e d n i o typom ma s z y n o r a z z a da ni om.
Y.ówczas N b ę d z i e p o d z b i o r e m o p e r a c j i p r z e z n a c z o n y c h do wykonywani a na ma s z yna c h k - t e g o t y p u . n a t o m i a s t N3 b ę d z i e p o d z b i o r o m o p e r a c j i n a l e ż ą c y c h do i - t e g o z a d a n i a . P o d z b i o r y N3t j T o r a z N^eJf s ą p a r a m i r o z ł ą c z n e i w y c z e r
p u j ą c e e l e m e n t y z b i o r u N.
Oznaczmy p r z e z s = ( s . , s 2 , ...s ^ ) o r a z c m ^ c ^ . c ^ , ... c ^ ) c i ą g w a r t o ś c i c h w i l o d p o w i e d n i o r o z p o c z ę c i a i z a k o ń c z e n i a wykonywani a o p e r a c j i ze z b i o r u N . n a t o u i a s t p r z e z o r a z w a r t o ś c i c h w i l r o z p o c z ę c i a o r a z z a k o ń c z e n i a r e a l i z a c j i z a d a n i a Jjfc J . w ó w c z a s :
ł k = ¡r.ax ( p , r j- Sj) - b ę d z i e p r z y ś p i e s z e n i e m w wykonywani u z a d a n i a T = i n a x ( o , o - d . ) - b ę d z i e s p ó ź n i e n i e m w wykonywani u z a d a n i a J . f J .
J J J J
Da tui j e s t f u n k c j a s) r e p r e z e n t u j ą c a k o s z t z w i ą z a n y z wykona ni e m z a d a n i a J . Z a k ł a d a s i ę . ż e f u n k c j a b j C s ) , i = I 7 z d a j e s i ę p r z e d s t a w i ć w n a s t ę p u - j ą c e j p o s t a c i :
1 ^ ( 8 ) = + f i ( T i ) / 2 . i /
i p o s i a d a j e d n o mi n i n i u m. g d z i e g ^ E ^ ) o r a z f ^ T W) n i e m a ł e j ą c e f u n k c j e s w o i c h ar gumenr ów o r a z g ^ O ) , f ^ O j c O .
Dc. . 1
P u n k c ^ i ę ^ : H j = ^ u ( i ) , n^e N , m^e-M nazywamy p r z y d z i a ł e m i - t e j o p e r a c j i do 1 - ; e j m a s z y n y .
Wek t o r ^ j = p (i) , y j ( 2 ) , nazywamy p r z y d z i a ł e m n ' o p e r a c j i . / 2 . 2 / Z b i ó r ¡/J={/i (i) , ^ ( 2 ) / j ( n ) ) , j u ( i ) * , kfeQ } / 2 . 3 / b ę d z i e z b i o r e m możl iwych p r z y d z i a ł ó w .
Ni ech i ' j “ {n^l / i ( i ) lc€Q } b ę d z i e z b i o r e m o p e r a c j i wykonywanyc&
na D a s z y n i e ai^ " K o l e j n o śó r e a l i z a c j i o p e r a c j i z e z b i o r u Nj na m a s z y n i e
Z a g a d n i e n i e s z e r e g o w a n i a z a d a ń . . . _ . 99
j e s t o k r e ś l o n a p e r m u t a c j ą :
JT1= l 3 r i U ) . . . J T j d ) , J C j U J f r N j , 1 = I 7 L , L = - c a r a C N ^ u ! ^ / 2 . 4 / Niech d a l e j n e k t o r p e r m u t a o j i J t . . . . . . . 3 1 ^ / 2 . 5 / o k r e ś l a k o l e j n o ś ć wykonywani a o p e r a c j i na p o s z c z e g ó l n y c h ma s z yna c h, wówczas z b i o r e m w s z y s t k i c h m o ż l i w y c h p e r m u t a c j i b ę d z i e z b i ó r
[~1 = j J l = ( JCj , . . . . . . . » . 3 C - ) p o s t a c i / 2 . 4 / } . Oznaczmy p r z e z
£ s | s = ^ s 1 , s 2 s j } - z b i ó r mo ż l i w y c h c h w i l r o z p o c z ę c i a wykony
wania o p e r a c j i ze z b i o r u ! " ! o r a z .
W z a g a d n i e n i a c h s z e r e g o w a n i a z p r z e z b r o j e n i a m i m i ę d z y o p e r a c y j n y c i wy
magany j e s t d o d a t k o w y w a r u n e k , aby p r z y p r z e j ś c i u od r e a l i z a c j i o k r e ś l o nej o p e r a c j i do r e a l i z a c j i n a s t ę p u j ą c e j po n i e j z a c h o d z i ł a k o n i e c z n o ś ć dokona ni a p r z e z b r o j e n i a mas zyny . N i e c h kt Q b ę d z i e z b i o r e m o p e r a c j i k - t e g o t y p u m a s z y n wy ma g a j ą c y c h p r z e z b r o j e n i a .
Def. 2
fc k r\+
P r z e z b r o j e n i s m mas zyny nazywamy f u n k c j ę P : x Np x M-wwi
p r z y p o r z ą d k o w u j ą c ą m a s z y n i e o r a z p a r z e o p e r a c j i na n i e j wykonywanych l i c z b ę r z e c z y w i s t ą d o d a t n i ą .
War t ość f u n k c j i P l ^ = p ^
nazywamy c z a s e m p r z e z b r o j e n i a ma s zyny m.^ do wykonywani a o p e r a c j i n^ pod w a r u n k i e m , t e o s t a t n i o b y ł a wykonywana o p e r a c j a n . •
1 k
Wa r t o ś c i p Aj s ą o k r e ś l o n e t y l k o d l a p a r { n ^ n . } t a k i c h , ż e n ^ . O j t N
N
K y s . l S t r u k t u r a m a c i e r z y c z a s ó w p r z e z b r o j e ń ma s z y n .
i i e l a k s a c j a p r o b l e m u w y j ś c i o w e g o p o l e g a j ą c a na chwi lowym o d r z u c e n i u z a ł o ż e n i a d o t y c z ą c e g o j e d n o c z e s n e g o wykonywani a p r z e z o k r e ś l o n ą ma s z y n ę t yl ko J e d n e j o p e r a c j i g e n e r u j e na t e j m a s z y n i e s y t u a c j e k o n f l i k t o w e .
100 L. Jnmr nż
D e f . 3
Z b i ó r C = { { n i , n J ^ j “ i A s i < ° j , y u d ) - / i ( J ) MDjf-li11 . n ^ n ^ t - N j ,k*<j ) nazywamy z b i o r e m p a r o p e r a c j i k o n f l i k t o w y c h mas zyny s^fc-M.
Warunkiem k o n i e c z n y m i w y s t a r o z a j ą c y m na i s t n i e n i e k o n f l i k t u mi ę dz y p a r ą o p e r a c j i na o k r e ś l o n e j m a s z y n i e j e s t a by p r z e d z i a ł y c z a s o w e w y z n a c z o n e dla z r e l a k s o w a n e g o p r o b l e m u w y j ś c i o w e g o , w k t ó r y c h mogą b y ć wykonywane o p e r a c j e p o k r y w a ł y a i ę . W p r z y p a d k u wykonywani a o p e r a c j i ze z b i o r u o p e r a c j i k o n f l i kt owych maszyna w y k o n u j e j e b e z p r z e s t o j ó w . Oznaczmy p r z e z C = C1 / 2 . 6 / sumę mn o g o ś c i o wą z b i o r ó w n a t o m i a s t p r z e z : 1 =i
e { c j c p o s t a o i / 2 . 6 / J z b i ó r mo ż l i w y c h k o n f l i k t ó w . W ł a s n o ś ć 1.
J e ż e l i { n j , n^ } fc C , 1*1 t m, wówczas u s t a l e n i a k o l e j n o ś c i t a k i e j ? aby w p e r m u t a o j i 3Cj
a / o p e r a c j a n ^ p o p r z e d z a ł a o p e r a o j ę n^ l u b b / o d w r o t n i e
n i e wprowadza c y k l i w g r a f i e r o z w i ą z a ń . Dowód p o m i n i ę t o z e w z g l ę d u na J e g o d ł u g o ś ć .
0 . Model ma t e ma t yc z n y ■
P r o b l e m s z e r e g o w a n i a p o l e g a na w y z n a c z e n i u w a r t o ś c i z m i e n n y c h s ł « ( s * , s * . . . s £ ) m i n i m a l i z u j ą c y c h f u n k c j ę c e l u w p o s t a c i
h (ś*') « m i n m i n m i n / I * l £ C * £ s€ £ p r z y o g r a n i c z e n i a c h :
Si + t i / i ( i ) ^ 8J » U i . a j ł t - H T . n ^ n ^ t - N f / p U ) * M / 3 . 2/
{ n 1 , n j }*C1 = ^ > ( s i + t i l ^ S ł ) / 3 . 3 /
n ^ n j t N ^ N p , l i l ^ , k6Q
fijyif ‘itjd, /l$CJ)) +
p\ i l )It1(jfisK 1(i+i).
/*'•*/J i j t i ) , J ^ u + D f r ^ • / W » ) - / > ( ^ a + i ) 3 - » 1e u k k*Q
r u n k c j a c e l u / 3 . l / p r z e d s t a w i a o a ł k o w i t y k o s z t z w i ą z a n y z w y k o n a n i e * w s z y s t k i c h z a d a ń . O g r a n i c z e n i e / 3 . 2 / r e p r e z e n t u j e wymagani e p o r z ą d k u t e c h n o l o g i c z n e g o p r z y r e a l i z a c j i o p e r a c j i . O g r a n i c z e n i e / 3 . 3 / o z n a c z a , ż e ope-
racj e k o n i l i k t o w e n i e mogą b y ć wykonywane J e dno o z e ¿ n i e l e c z mus zą b y ć u s z e r e g o w a n e . O g r a n i c z e n i e p o s t a o i / 3 . 4 / o r z e k a , ż e j e ż e l i - d n i e o p e r a o j e n a l e ż ą ce do z b i o r u o p e r a c j i wyma ga j ą oyc h p r z e z b r o j e n i a maszyny w y s t ę p u j ą « perwt/*
tacji b e z p o ś r e d n i o j e d n a po d r u g i e j . n ó n c z a s c h w i l a r o z p o c z ę c i a wykonywa
ni a n a s t ę p n e j o p e r a c j i J e s t n i e m n i e j s z a n i ż suma c z a s u z a k o ń c z e n i a r e a l i z a c j i p o p r z e d n i e j o r a z c z a s u t r w a n i a p r z e z b r o j e n i a .
Probl em / 3 . 1 / - / 3 . 4 / j e s t « o g ó l n o ś c i z a d a n i e m o p t y m a l i z a c j i n i e l i n i o w e j z l i n i o w y m i o g r a n i c z e n i a m i o r a z dodat kowym w a r u n k i e m o g r a n i c z a j ą c y m i j e s t N P - z u p e ł n y .
Da l e j z a k ł a d a ć b ę d z i e m y , że c z a s p r z e z b r o j e n i a mi ędzy o p e r a c y j n e g o J e s t wł ączany do c z a s u t r w a n i a o p e r a c j i p o p r z e d z a j ą c e j t o p r z e z b r o j e n i e . w ó w o z a s warunek / 3 . 4 / p r z y j m i e p o s t a ć :
s J i 1( i ) + 1 J t j U ) 1 ^ 8 J l 1 U + i ) , / 3 . 5 /
gd zie: t ^ - ‘ j c l ( 1 ) i + P Jil U ) ati (
1
+ ł j ;wówczas o J t ^ u ) ♦ ? J V 1 ) 1
... a i
1 J l j U ) 1 --- J
1
p Jtjil) J t ^ + i )
6 J t 1 ( i ) c Jt1 ( i)
ń y s . 2 I n t e r p r e t a c j a w i e l k o ś c i 1 _ o r a z c
® i
4. Sposób budowy d r z e wa r o z w i ą z a ń .
Oznaczmy p r z e z N^0 = { n i | n i t N , ( i) sm^f-M^, k f Q } z b i ó r o p e r a c j i p r z y d z i e lonych do ma s z y n , wówozas N ~ = i h j l U j . n j t - J t T , n ^ . n ^ t N U ' ^ J b ę d z i e z b i o rem o p e r a c j i b e z p o ś r e d n i o n a s t ę p u j ą c y c h wz gl ę de m z b i o r u N .
Niech r » c v> K m i n { c y } ** / 4 . 1 /
b ędzi e w i e l k o ś c i ą o k r e ś l a j ą c ą n a j w c z e ś n i e j s z ą c h w i l ę z a k o ń c z e n i a o p e r a c j i ze z b i o r u N ^ •
Del. 4 **
Z bi or e m o p e r a c j i a k t y w n y c h nazywamy z b i ó r
^(k) Sj<TT ,n1t-N“ niIk) , kf<? .
102
,L. JfliurożZ b i ó r N ^ k ) J e s t z b i o r e m o p e r a c j i b ę d ą c y c h z e s o b ą w k o n f l i k c i e . G e n e r a c j a p r z y d z i a Ió k.Na l e ż y w y g e n e r o wa ć w s z y s t k i e p r z y d z i a ł y o p e r a c j i ze z b i o r u N3 { k ) do mas zyn ze z b i o r u M11, k ( - Q. P r o c e s g e n e r o w a n i a p r z y d z i a łów b ę d z i e s i ę odbywał p o p r z e z z m i a n ę p r z y d z i a ł u j e d n e j z o p e r a c j i , t z n . j e ż e l i p r z y d z i a ł / i p z o s t a ł o t r z y m a n y z p r z y d z i a ł u / i t t o / J t (,v) =^up Cv) n ^ l A k ) , ^ o r a z V v ^ u : uj £ / j p( v ) d l a pewnego n ^ N 2 « k) , >u t < u ) , .
^ l p t u j t - ł ^ , kfrQ. P r o c e s g e n e r a c j i p r z y d z i a ł ó w można p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i dr zewa P. w k t ó r y m każdy w ę z e ł b ę d z i e o d p o w i a d a ł pewnemu p r z y d z i a ł o w i u.fl7.
A łt l *
Dl a p r z y k ł a d o w y c h z b i o r ó w łT ( k) = { l , 2 , . . . 5 } o r a z Łi = j i , 2 , 3 j dr z e wo p r z y d z i a ł ó w ma p o s t a ć j a k na r y s . 3 .
I t y s . 3 P r z y k ł a d o w y g r a f dr z e wa IP p r z y d z i a ł ó w
G e n e r a c j a r o z w i ą z a ń k o n f l i k t ó w . N i e c h (yut (1) jp t ( L ) ) | Lecar d( U^) b ę d z i e danym p r z y d z i a ł e m . O z n a c z m y p r z e z N3 C ^ ( k ) - z b i ó r o p e r a c j i
/ “ t
p r z y p o r z ą d k o w a n y c h maszynom p r z y d z i a ł e m . Każdy p r z y d z i a ł wyzns- cza z b i ó r r o z w i ą z a ń o k r e ś l o n y c h k o n f l i k t ó w wz g l ę d e m o p e r a c j i p r z y d z i e l o - n y c h . N i e c h tym z b i o r e m b ę d z i e z b i ó r C , k6Q wó wc z a s :
r t L
=
U
C1^ ktQ / i . 2 /^ t 1 = 1 / * t
g d z i e : C1^ = { ( n v , n 1 ^ ) , ... ( n y J / i (vj . . , n ji e N a ( k ) \ K 3u j j e s t r o z w i ą z a n i e m k o n f l i k t u wzgl ędem p r z y d z i a ł u 1 - t e j mas zyny k - t e g o t y p u . P r o c e s g e n e r a c j i z b i o r ó w p o s t a c i / 4 . 2 / d l a p r z y d z i a ł u Ar można p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i dr zewa € , k t ó r e g o . w ę z ł y o d p o w i a d a j ą p o d z b i o r o m C ’ ’1 k
A
n a t o m i a s t k o r z e ń t e g o d r z e wa u m i e s z c z o n y j e s t w w ę ź l e y j t d r z e w a !P.
Dla p r z y d z i a ł u j j , z r y s . 3 g r a f dr zewa C ma p o s t a ć j a k na r y s . 4 . P e ł n e dr zewo r o z w i ą z a ń ¡P^ j e s t s u p e r p o z y c j ą d r z e wa 1P o d p o w i a d a j ą c e g o w s z y s t k i m możliwym p r z y d z i a ł o m o r a z drzewo <D o d p o w i a d a j ą c e g o w s z y s t k i m r o z w i ą z a n i o m k o n f l i k t ó w w y n i k a j ą c y c h z d a n e g o p r z y d z i a ł u .
Z a g a d n ie n ie s z e r e g o w a n i a z a d a ń 1 0 1
C^ ; k =5(4,3) ,(4,5)5
R y s . 4 G r a f dr z e wa <E.
fiys.5 p r z e d s t a w i a s t r u k t u r ę p e ł n e g o d r z e wa r o z w i ą z a ń d l a p r z y k ł a d a z r y s . 3 . . L i n i ą — — z a z n a c z o n o d r z e w o I P , n a t o m i a s t l i n i ą --- drzewo <E.
R y s . 5 P r z y k ł a d o w y g r a i d r z e w a IP^-
5. Dolne o g r a n i c z e n i e .
Dla k a ż d e g o w ę z ł a d r z e w a r o z w i ą z a ń n a l e ż y z n a l e ź ć w a r t o ś ć d o l n e g o o g r a n i c z e n i a f u n k c j i c e l u .Oznaczmy p r z e z L B { u , , C k ' , N J ) d o l n e o g r a n i c z ę -
^ t , .
nie z w i ą z a n e z p r z y d z i a ł e m u . o r a z z r o z w i ą z a n i e m k o n f l i k t u C ’ d l a
ja . / J t
o k r e ś l o n e g o z b i o r u . w a r t o ś ć d o l n e g o o g r a n i c z e n i a z o s t a n i e wyznaczona przy z a s t o s o w a n i u i d e i r e l a k s a c j i m o ż l i w o ś c i wy k ona wc z yc h ma s z y n o r a z r e l a k s a c j i c z a s ó w p r z e z b r o j e ń .
^ t - i - O - & i ( s ) + Y Z hi { S y s v ~ 0 j } > r * ' l /
1 1 i i Z' j t z \ z 1
gdzie? Lj ( S j , s v , c 1) - j e s t z r e l a k s o w a n ą w a r t o ś c i ą f u n k c j i c e l u w y z n a c z o n ą
n Afc KnN'1
104 Ł.LJaBUTBŹ
s v - c h w i l a r o z p o c z ę c i a wykonywani a o s t a t n i o p r z y d z i e l o n e j o p e r a c j i do maszyny i n a l e ż ą c e j do z a d a n i a J j , J f c Z\ z ' ,
Z= ] 1 , 2 , ...z } - z b i ó r i n d e k s ó w z b i o r u z a d a l i ,
Z*- z b i ó r i n d e k s ó w z a d a ń , d l a k t ó r y c h w s z y s t k i e o p e r a c j e z o s t a ł y pr z y d z i e l o n e i u s z e r e g o w a n e / Z £ Z / .
W w y r a ż e n i u / 5 . 1 / w a r t o ś ć p i e r w s z e g o s k ł a d n i k a j e s t w a r t o ś c i ą c z ę ś c i o wi i u n k c j i c e l u o d p o w i a d a j ą c e j r o z w i ą z a n i u r e p r e z e n t o w a n e m u p r z e z okr eś l ony wę z e ł dr zewa r o z w i ą z a r i H a t o n i a s t d r u g i s k ł a d n i k r e p r e z e n t u j e w a r t o ś ć dol
n e go o g r a n i c z e n i a i u n k c j i c e l u d l a p o z o s t a ł y c h z a d a ń p r z y z r el aks owanycl m o ż l i w o ś c i a c h wykonawczych mas zyn i czas ów p r z e z b r o j e ń .
A l g o r y t m o p a r t y j e s t na s c h e m a c i e met ody p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń z p o d z i a ł em mi n i m a l n e g o wę z ł a w d r z e w i e r o z w i ą z a ń .
6 . Uwagi k o ń o o we .
W zapr oponowanym a l g o r y t m i e d a j ą c y m r o z w i ą z a n i e o p t y m a l n e r o z wa ż a n i a s p r o w a d z a j ą s i ę do a n a l i z y ( t z w . z b i o r ó w o p e r a c j i a k t y w n y c h w z a k r e s i e , k t ó r y o h r o z w i ą z y w a n e s ą i s t n i e j ą c e k o n f l i k t y m i ę d z y o p e r a c j a m i .
Z b i o r y t e p o s i a d a j ą o k r e ś l o n e w ł a s n o ś c i , k t ó r e p r o w a d z ą do d o d a t kowyc h m o ż l i w o ś c i e l i m i n a c y j n y c h w' z b i o r z e r o z w i ą z a ń .
P o p r z e z m o d y f i k a c j ę r e g u ł p o d z i a ł u i wybor u można s k o n s t r u o w a ć subopt ysa- l n y a l g o r y t m o w i e l o m i a n o w e j z ł o ż o n o ś c i o b l i c z e n i o w e j r z ę d u 0 ( n 4) j j e ż e l i z a ł o ż y ć g l o b a l n y s p o s ć b r o z w i ą z y w a n i a k o n f l i k t ó w ot r zymamy z ł o ż o n o ś ć 0(n2|.
LITB.lATUkA
[ i ] . H e l d M . , K a r p l t . 11. : The t r a v e l i n g - s a l e s m a n p r o b l e m a n d minimum spaninj t r e e s . P a r t I I , M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g , No 1 , 1 9 7 1 .
JsJ . J a mr o ż L . : O p t y m a l i z a c j a h a r mo n o g r a mo wa n i a p r o d u k c j i algo
r y t mu b a z u j ą c e g o na m e t o d z i e z b i o r ó w o p e r a c j i k o n f l i k t o w y oh . Ze s z yt y Naukowe AGH s Au t o ma t y k a , N o 9 2 8 , z . 3 2 , 1 9 8 2 .
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_ . „ H eceazent:D oc.d r h a b . i n ż . J ó z e f Grabowski
■płynęło uo B edak cji do
30
.03
.19
S4
r .Za^adnienie aze re go w an ia zadan
nPOEJIEM WEHQBAHHH 3AHAH C IIEPEOEOPyHOBAHHEfA 'H KFHTEPHEM (»H IBTPAiOB
P e s m e
B paÔOTe npe«cTaBjieaa. npoOjiewa HepenoBaaiM 3ajnan c KparepEeM cyme aipa$OB
H 3 - 3 aHeBHnojmeHES cpoKOB H3rDTOBJiemw
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THE PROBLEM OF JOB-SHOP SCHEDULING VTCTH INTERMEDIATE CONSTRAINTS S u m m .a r y
This p a p e r c o n c e r n s t h e f o r m a l d e s c r i p t i o n o f g e n e r a l d i s c r e t e p r o c e s ses of t h e j o b - s h o p t y p e a n d a p p l i c a t i o n . The j o b - s h o p s c h e d u l i n g p r o b l e m
»ith i n t e r m e d i a t e c o n s t r a i n t s a n d w i t h g e n e r a l a d d i t i v e c u m u l a t i v e c o s t obj ect i ve f u n c t i o n i s c o n s i d e r e d . T h i s p r o b l e m i s N P - c o n p l e t e . The me t hod of s o l v i n g o f t h e p r e s e n t e d p r o b l e m b a s e d on t h e c o n f l i c t o p e r a t i o n s s e t s concept, a n d c o m b i n e s l o w e r b o u n d w i t h e n u m e r a t i o n scheme g e n e r a t i n g a c t i ve s c h e d u l e s . Some p r o p e r t i e s o f d e s i g n a l g o r i t h m a r e p r o v e d . F o r p r o v i n g o p t y a a l i t y , h o w e v e r , t h e s o h e d u l i g t r e e may b e t r a c e d b a c k t o e x p l o r e those n o d e s , w h i c h h a v e b o u n d s , l e s s t h e n t h e c u r r e n t s o l u t i o n o b t a i n e d .
