Metody wypełnienia jednostek ładunkowych w zastosowaniu do optymalizacji systemów transportowych

Seria: T R A N SPO R T z. 47 N r kol. 1586

A ndrzej R A T K IE W IC Z '

METODY WYPEŁNIENIA JEDNOSTEK ŁADUNKOWYCH W ZASTOSOWANIU DO OPTYMALIZACJI SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH

S treszczen ie. Z agadnienia pakow ania stanow ią jed en z mniej znanych obszarów badań operacyjnych. W niniejszym artykule przedstaw iono typologię zagadnień pakow ania, po czym om ów iono ich znaczenie praktyczne. N astępnie przedstaw iono m atem atyczne sform ułow anie problem u um ożliw iające rozw iązanie zagadnienia załadunku m etodam i program ow ania całkow itoliczbow ego.

METHOD OF LOAD UNITS PACKING APPLICATED TO TRANSPORT SYSTEMS OPTIMIZATION

S u m m a ry . P acking problem s are not ones o f very w ell know n areas o f operational researches. In this paper typology and practical im portance o f packing problem s is discussed.

N ext, a m athem atical definition o f the problem is developed, w hich allow s for solution to the packing problem w ith use o f integer program m ing methods.

1. W PR O W A D Z E N IE

Jednym z kierunków optym alizacji system ów transportow ych je s t dążenie do m aksym alnego w ykorzystania ładow ności i kubatury skrzyń ładunkow ych stosow anych środków transportu. Stopień w ykorzystania ładow ności środka transportu w ynika z sum y m as um ieszczonych w nim ładunków (np. opakow ań jednostkow ych lub zbiorczych). N atom iast w ykorzystanie kubatury (przestrzeni) skrzyni ładunkow ej zależy w dużym stopniu od sposobu rozm ieszczenia w niej ładunków . W ydaje się oczyw iste, że w przypadku ładunków jedn o ro d n y ch (o identycznych w ym iarach i m asie) um ieszczenie ich w skrzyni ładunkow ej je s t zadaniem znacznie prostszym , niż w przypadku ładunków niejednorodnych. Z adania tego typu w y stęp u ją w literaturze p od n azw ą zagadnień pakow ania.

Z agadnienia pakow ania (ang. P acking P roblem s) stanow ią je d e n z ciekaw szych obszarów badań operacyjnych. Ich pow stanie było o dpow iedzią nauki na w ystępujące w praktyce problem y. Rozw ój zagadnień pakow ania był określany poprzez w zrost w ym agań w ystępujących w rzeczyw istości oraz rozw ój istniejących m etod i narzędzi rozw iązań.

W artykule przedstaw iony został obecny stan w iedzy w tym zakresie.

! Wydział Transportu Politechnika Warszawska, ul. Koszykowa 75 00-662 Warszawa, tel. (+48 22) 6607338 ara@it.pw.edu.pl

434 A. R atkiew icz

2. T Y P O L O G IA Z A G A D N IE Ń PA K O W A N IA

M ów iąc najogólniej, zagadnienie pakow ania po leg a na rozm ieszczeniu zbioru przed m io tó w (opakow ań) w pojem nikach zgodnie z o k reślo n ą fu n k c ją celu. W celu analizy zagadnień pakow ania m ożna zaproponow ać przedstaw iony na rys. 1 p o d ział przedm iotow y:

Z aładunek jed n ej dostawy n a w iele palet

Z aładunek jed n ej dostawy do kontenera, w agonu

Z aładunek kilku dostaw do kontenera

Rys. 1. Typologia zagadnień pakowania Fig. 1. Typology o f packing problems

P o d ział zagadnień pakow ania n a Z agadnienie P lecaka (a n g . K n a p sa ck P roblem - K P) i Z agadnienie Z aładunku (ang. Bin P ackin g P roblem - B P P ) uzasadnia następujący fakt:

z definicji K P w ynika, że załadow anie każdego konkretnego p rzedm iotu o znacza otrzym anie pew nego zysku, a celem je s t takie zapakow anie pojem nika, aby zysk płynący z zapakow ania przedm iotów ze zbioru w ejściow ego był m aksym alny. N atom iast w B PP szukam y takiego zapakow ania p rzedm iotów ze zbioru w ejściow ego do pojem ników , ażeby stopień w ykorzystania przestrzeni pojem ników był najw iększy lub też ich (pojem ników ) liczba była najm niejsza.

N astępny podział w ew nątrz BPP w ynika ze zróżnicow ania w ystępujących w praktyce problem ów :

a) Z aład u n ek jednej dostaw y na w iele palet (pojem ników ) {ang. P allet L oading) - w ejściow y zb ió r przedm iotów należy zapakow ać do pojem ników (palet) tak, aby liczba użytych pojem n ik ó w była m inim alna (rys. 2).

Rys. 2. Załadunek jednej dostawy na wiele palet Fig. 2. Pallet Loading

Zazw yczaj pojem niki (palety) m ają te sam e identyczne w ym iary. W przypadku palet często nie zakłada się m aksym alnej w ysokości jednostki ładunkow ej paletow ej (jłp), tylko w prow adza się kryterium stabilności jłp , w ów czas je j w ysokość je s t p o c h o d n ą tego kryterium .

b) Z aładunek jednej dostaw y do kontenera lub w agonu (ang. C ontainer Loading) - w tym przypadku m am y do czynienia z w ejściow ym zbiorem przedm iotów , które należy załadow ać do pojem nika (kontenera, naczepy, w agonu) tak, aby m aksym alnie w ykorzystać jeg o przestrzeń ład u n k o w ą (rys. 3).

1 2 3 4 5 6 7 8 J

_j J

- | _____i

kontener

1 i ,•ł 1 ł 2 1

3 1 3

4

w agon

Rys. 3. Załadunek kontenera i wagonu Fig. 3. Container and wagon loading

Z azw yczaj przyjm uje się, że sum a objętości przedm iotów je s t nieznacznie m niejsza od objętości pojem nika. R óżnice pom iędzy kontenerem (naczepą) a w agonem p o le g a ją na ustaleniu innej sekw encji układania przedm iotów w rzędach i w y n ik ają z innego (rys. 3) położenia otw orów drzw iow ych (liczby oznaczają kolejność układania rzędów opakow ań).

c) Z aład u n ek kilku dostaw do kontenera (ang. M ultiple D estination C ontainer Loading) - w tym przypadku w ejściow y zbiór przedm iotów składa się z kilku podzbiorów . Przedm ioty należące do określonego podzbioru m ają trafić do konkretnego odbiorcy. Problem (rys. 4) po leg a n a zapakow aniu w szystkich podzbiorów przedm iotów do kontenera (skrzyni ładunkow ej) z m aksym alnym w ykorzystaniem je g o przestrzeni ładunkow ej przy następujących ograniczeniach:

- przedm ioty należące do podzbiorów pow inny być ułożone w odległości od drzw i zgodnej z k o lejn o ścią odw iedzania odbiorców ;

- przedm ioty przeznaczone do jednego odbiorcy pow inny się dać pobrać z kontenera bez naruszania układu pozostałych przedm iotów .

Rys. 4. Z aładunek kilku dostaw do kontenera (każdy kolor oznacza inną dostawą) Fig. 4. Multiple destination container loading (colors indicate différent deliveries)

W szystkie przypadki opisane pow yżej w ram ach BPP m o g ą być rozw ażane odnośnie do w ejściow ego zbioru przedm iotów jednorodnych lub niejednorodnych.

436 A. R atkiew icz

3. Z N A C Z E N IE PR A K T Y C Z N E Z A G A D N IEŃ P A K O W A N IA

Jeżeli chodzi o zagadnienie plecaka, m a ono obecnie w system ach transportow ych raczej niew ielkie zastosow anie (chyba że zysk z zapakow ania danego przedm iotu będzie oznaczał je g o objętość - w ów czas K P sprow adza się do m aksym alizacji w ykorzystania przestrzeni pojem nika). Z nacznie ciekaw sze s ą zagadnienia załadunku (B PP), które od zw iercied lają rzeczyw iste opisane w p. 1 problem y w ystępujące w praktyce. N ależy przy tym zw rócić uw agę, że np. kontener m oże być zarów no pojem nikiem (załadunek dostaw y do k ontenera), ja k i przedm iotem (rozm ieszczenie kontenerów w ładow ni statków ).

Jednym z najczęściej pojaw iających się pytań w logistyce dystrybucji (konkretnie w relacji m agazyn - odbiorca detaliczny) je s t dylem at: czy skom pletow ane w m agazynie jed n o stk i ładunkow e paletow e należy po nałożeniu na nie zabezpieczenia transportow ego ładow ać do sam ochodu w całości, czy też należy je rozform ow ać i załadow ać każde opakow anie tow aru do skrzyni ładunkow ej traktując j ą ja k o pojem nik w kategoriach BPP.

W pierw szym w ariancie oszczędza się na kosztach operacji rozform ow ania jłp , natom iast straty w y n ik a ją z w iększych kosztów transportu (gorszego w ykorzystania kubatury i ładow ności środka transportu). W w ariancie drugim je s t odw rotnie. O czyw iście rozw iązanie w spom nianego dylem atu dla konkretnego rzeczyw istego przypadku należy szukać w p orów naniu kosztów realizacji obu w ariantów .

4. SFO R M U Ł O W A N IE PR O B L EM U I M E T O D A R O Z W IĄ Z A N IA Z A G A D N IE Ń Z A Ł A D U N K U

O becnie jed y n ie pakow anie przedm iotów o identycznych w ym iarach je s t oparte na opisanych i spraw dzonych w praktyce m etodach. Pakow anie przedm iotów niejednorodnych je s t tzw . problem em N P -zupełnym , co ju ż przy średnio dużej liczbie przedm iotów w zasadzie stanow i o niem ożliw ości je g o rozw iązania w rozsądnym czasie m e to d ą w yznaczenia w szystkich m ożliw ych kom binacji przedm iotów , a następnie w yboru najlepszej z nich.

O becnie podejm ow ane s ą próby rozw iązania zagadnienia B PP za p o m o c ą m etod p rog ram o w an ia całkow itoliczbow ego, m etod heurystycznych, m etod bazujących na algorytm ach genetycznych oraz m etod sym ulow anego w yżarzania. Poniżej przedstaw iono je d n ą z m etod rozw iązania zagadnienia załadunku w ielu pojem ników , o p a rtą na program ow aniu całkow itoliczbow ym .

W opisyw anej m etodzie optym alizacyjnej przyjęto, że rotacja przedm iotów jest dopuszczana, ale tylko w okół osi w ysokości. D o m atem atycznego sform ułow ania problem u w kategoriach program ow ania całkow itoliczbow ego konieczne je s t zastosow anie następujących oznaczeń:

N całkow ita liczba przedm iotów do zapakow ania m całkow ita liczba dostępnych pojem ników p-,, q i: r-, długość, szerokość, w ysokość przedm iotu i Lj, Wj, Hj długość, szerokość, w ysokość pojem nika j M dow olnie duża liczba (np. M - 1000),

Xi, y„ Z,

«/

a ‘eik

c f rik

a “ ik

ik

a'"ik nr

.

a ik

zm ienna binarna rów na 1, jeżeli ¿-ty przedm iot je s t um ieszczony w /-tym pojem niku, w przeciw nym w ypadku rów na 0

w spółrzędne dolnego lew ego rogu (D L R ) ¿-tego przedm iotu

zm ienna binarna rów na 1, jeże li y-ty pojem nik został użyty, w przeciw nym w ypadku rów na 0

zm ienna binarna rów na 1, jeże li ¿-ty przedm iot je s t um ieszczony podłużnie (tj. długość przedm iotu je st rów noległa do długości pojem nika), w przeciw nym w ypadku rów na 0

zm ienna binarna rów na 1, jeże li i-ty przedm iot je s t z lewej strony od ¿-tego przedm iotu (tzn. D LR przedm iotu ¿-tego je s t z lewej strony od D L R przedm iotu

¿-tego);

zm ienna binarna rów na 1, jeżeli ¿-ty przedm iot je s t z praw ej strony od ¿-tego przedm iotu

zm ienna binarna rów na 1, jeżeli ¿-ty przedm iot je s t za k -tym przedm iotem (z tyłu)

zm ienna binarna rów na 1, jeżeli ¿-ty przedm iot je s t przed ¿-tym przedm iotem (z przodu)

zm ienna binarna rów na 1, jeżeli ¿-ty przedm iot je st poniżej ¿-tego przedm iotu

zm ienna binarna rów na 1, jeże li ¿-ty przedm iot je s t pow yżej ¿-tego przedm iotu

Interpretację w prow adzonych zm iennych przedstaw iono na rys. 5.

Wj

a'eik = 1

= 0

= 0

< * = 1 a"',k = 0 dvy,k = 1

<!■

przedm iot i (si= 1) ( X,, y , , z,)

pojem nik j

qk

przedm iot ¿ (Sk = 0)

Pk

( x k , y k , z k)

Rys. 5. Przedstawienie oznaczeń zmiennych Fig. 5. Variables presentation

438 A. R atkiew icz

F u n k cja celu m a w ów czas postać:

M inim um

przy ograniczeniach:

d la każdego i, k, i < k

r m N

Ż L j - W j - H j - n j - ' Ż P r q i - ri

W=1 '■='

I tij = 1

/ = 1

( 1)

Xi + p tSi + q t ( 1 - S i ) < x k + ( 1 - d eik ) M (2) x k + Pks k + 1 ~ s k ) ^ x i + ( 1 - d " i k ) M (3) y t + qls l + p i ( 1 - S i ) < y k + ( 1 - aza^ ) M (4)

yk +

2

i + ri

zk +

a”'ik

zk

rk

a ik + d’ ik + a ik + c^dik + a ik + a *ik - Hj + lkj ~ ^ (8)

d la każdego (9)

N

X t y < M ■ n j dla każdegoy (10)

i= l

x i + P i H + q i ( \ - s i ) < L j + ( \ - t i j ) ■ M dla każdego i , j (11) y i + <lis i + P i (1 - s i) ^ Wj + ( 1 - t i j) • M dla każdego i j (12) z j + r i < H j + ( \ - t i j ) - M dla każdego i, j (13) S i , d ei]ę , c fri k . ^{a zaik} , ( f diji , a ‘ik . c T ik , t y , n j - binarne,

x i , y i , z i > 0

O graniczenia (2) - (7) zab ezp ieczają przed ew entualnym pokryw aniem się (zachodzeniem n a siebie) przedm iotów odpow iednio w osi X (2), (3) następnie w osi Y (4), (5) oraz w osi Z (6), (7). O graniczenie (8) spraw dza, czy ograniczenia (2) - (7) s ą stosow ane tylko dla p rzedm iotów w ew nątrz tego sam ego pojem nika (inaczej byłoby to bezcelow e).

O graniczenie (9) zapew nia, że każdy przedm iot n a pew no zostanie zapakow any na którąś paletę. O graniczenie (10) oznacza, że je ż e li paleta nie została użyta do zapakow ania, nie m oże się na niej znaleźć żaden przedm iot. O graniczenie (11) zapew nia, że przedm ioty nie b ę d ą w ystaw ać za obrys p ojem nika określony je g o d łu g o ścią L. Podobnie ograniczenia (12)

i (13) zapew niają, że przedm ioty nie b ęd ą w ystaw ać za obrys pojem nika określony jeg o szerokością W i w y so k o śc ią //.

Jak w ynika z zapisu funkcji celu, om aw iany m odel pozw ala przy zapakow aniu zadanego zbioru przedm iotów na zastosow anie pojem ników o różnych w ym iarach.

Do rozw iązania tak sform ułow anego problem u m ożna zastosow ać kom puterow e narzędzie w spom agające rozw iązyw anie zadań program ow ania całkow itoliczbow ego (PCL).

W ów czas jed n a k cały proces poszukiw ania rozw iązania zależy od param etrów takiego narzędzia, co m oże się negatyw nie odbić na jakości rozw iązania.

5. PO D SU M O W A N IE

P rzedstaw iona w artykule m etoda rozw iązania zagadnienia załadunku je s t oparta n a program ow aniu całkow itoliczbow ym , m ożna zatem spodziew ać się, że jej skuteczne stosow anie przyniesie rozw iązanie optym alne. N iestety, w spom niana w rozdziale 3 N P - zupełność zagadnienia załadunku pow oduje, ze liczba ograniczeń w m odelu m atem atycznym drastycznie rośnie w raz ze w zrostem liczby przedm iotów do zapakow ania. F akt ten stanowi pow ażne ograniczenie w próbach rozw iązania zagadnienia załadunku m etodam i program ow ania całkow itoliczbow ego. D latego najbardziej obiecującym i m etodam i rozw iązania w y d ają się być obecnie m etody heurystyczne.

N ależy przypuszczać, że dalsza ew olucja zagadnień załadunku będzie przebiegała w kierunku w yznaczonym przez w ym agania technologii transportu. D latego w rozw ażaniach dotyczących zagadnień załadunku m ożna się spodziew ać w zrostu znaczenia stabilności układanej jednostki ładunkow ej oraz uw zględniania nacisku pow ierzchniow ego w ystępującego n a opakow aniach.

W kolejnych publikacjach z o stan ą przedstaw ione m etody w ykorzystania zagadnienia w ypełniania jłp do optym alizacji system ów transportow ych.

Literatura

1. C hen C. S., Sarin S., Ram B.: The pallet packing problem for non-uniform box sizes.

International Journal o f Production R esearch 1991 (29) 10 s. 1963-1968.

2. D y ck h o ff H.: A typology o f cutting and packing problem s. E uropean Journal o f O perational R esearch 1990 (44): s. 145-159.

3. R atkiew icz A.: O ptym alizacja procesu kom isjonow ania w ustalonej klasie łańcuchów transportow o-m agazynow ych. R ozpraw a doktorska na W ydziale T ransportu PW , W arszaw a, czerw iec 2002.

4. Siudak M .: B adania operacyjne. O ficyna W ydaw nicza Politechniki W arszaw skiej, W arszaw a 1994.

440 A. R atkiew icz

Abstract

In this p ap er an integer linear program m ing m odel for solution to general packing problem has been presented. T heoretically, a packing problem being w ell-form ulated in terms o f linear p rogram m ing should yield an optim al solution. It is essential, that according to N P - com pleteness, the num ber o f constraints drastically increases w ith n um ber o f cartons. So, obtaining the optim al solution is dependant on param eters o f the m athem atical program m ing tool.

F or further developm ent, additional constraints can be introduced to the m odels to include other concerns in the packing problem such as stability o f packing un it and carton surface pressure.