Zad. 1
Hobbit Bilbo Baggins mieszkający w Shire został zaproszony przez Gandalfa, który przebywa obecnie w Anfalas (kraina 6). Odległości oraz połączenia między krainami prezentuje graf poniżej. Jaka trasa będzie dla Bilbo najkrótsza, aby dotarł on do Gandalfa?
3,5 4,5
3 5
4,5
6,5 2
2,5 1
a) Zapisz problem jako zadanie programowania liniowego
b) Jaką trasę wybierze Bilbo i jaka będzie przebyta przez niego odległość?
c) Trasa pomiędzy Lasem Fangorn (4) a Anfalas (6) została zablokowana przez orków. Jaką trasę będzie musiał wybrać Bilbo i jaką odległość przebędzie?
d) Poniżej został zaprezentowany wyciąg z raportu wrażliwości. Jaki byłby skutek jednostkowego wzrostu wartości zmiennej decyzyjnej wyrażonej przez komórkę D12 na funkcję celu względem rozwiązania optymalnego ceteris paribus.
Zad. 2
Firma telekomunikacyjna tworzy sieć do przesyłu jednego sygnału. Na poniższym grafie przedstawiono przepustowości między poszczególnymi punktami. Celem jest maksymalizacja przepływu.
6. 2.
4.
1.
3.
5.
3 4
3 5
4
6 2
2 1
a) Zapisz problem jako ZPL
b) Jaki będzie maksymalny przepływ?
c) Jaki byłby maksymalny przepływ gdyby przepustowość między punktami 3 a 5 wzrosła do 10.
d) Jaki byłby maksymalny przepływ gdyby przestało istnieć połączenie 1 z 2. Założenie z podpunktu c) nie obowiązuje.
Zad. 3
Hobbit musi ze sobą zabrać kilka rzeczy o które poprosił go Gandalf, które mają różne wagi i różne wartości. Jako wykształcony Hobbit, Bilbo wie, ile są warte poszczególne przedmioty.
Bilbo nie może jednak zabrać do swojego plecaka więcej niż 10 kg oraz każdy przedmiot może występować maksymalnie 1 raz. Co Bilbo zapakuje do swojego plecaka?
Przedmiot Waga Wartość
Mapa 0,5 5
Pióro orła 1 20
10 ziarenek piasku 1,25 15
Liść z rośliny, która kwitnie
tylko w równonoc jesienną 4 30
Włos krasnoluda 0,75 10
Woda ze źródła elfickiego 6 100
Przyprawy hobbickie 5 50
Część kory drzewa 7 150
a) Zapisz problem jako zadanie programowania liniowego
b) Jakie przedmioty zabierze Bilbo i jaka będzie ich łączna wartość
6. 5.
4.
1.
2.
3.
c) Załóżmy, że Bilbo nienajlepiej zna Śródziemię i musi wziąć ze sobą mapę. Jakie przedmioty weźmie ze sobą w takiej sytuacji i jaka będzie łączna wartość zabranych przedmiotów?
d) Załóżmy, że Bilbo nie potrzebuje brać ze sobą pióra orła i jednocześnie dziesięciu ziarenek piasku. Co weźmie w takiej sytuacji jaka będzie łączna wartość zabranych przedmiotów?
Założenie z podpunktu c) nie obowiązuje.
Zad. 4
Adam postanowił przygotować kolację sushi dla swoich znajomych i zaprosił 4 osoby.
Postanowił on przygotowywać cztery rodzaje rolek: z tuńczykiem, łososiem, krewetkami i ogórkiem. Podstawą dla każdej jest ryż. Aby rolki wyszły odpowiednio powinny one mieć odpowiednie proporcje ryżu i drugiego składnika. Minimalne oraz maksymalne gramatury poszczególnych składników w rolkach przedstawione w tabeli poniżej.
Min Max
Ryż 75 125
Tuńczyk 30 50
Łosoś 40 80
Krewetki 15 40
Ogórek 30 60
Adam postanowił kupić pakiety składające z różnych gramatur poszczególnych składników sushi. Skład oraz ceny pakietów zostały przedstawione w tabeli poniżej.
Pakiety A B C D E
Ryż 400 800 400 1200 400
Tuńczyk 300 500 1000 600 100
Łosoś 500 1000 800 300 100
Krewetki 200 100 300 500 200
Ogórek 500 600 400 500 200
Cena 150 260 340 230 60
a) Zapisz zadanie ZPL, dzięki któremu Adam przygotuje kolację składającą się z co najmniej 5 rolek każdego typu, której koszt będzie najniższy. Adam musi wykorzystać całość zakupionych produktów.
b) Podaj wartości funkcji celu oraz zmiennych decyzyjnych z ppkt a).
c) W sklepie okazało się, że Adam może kupić co najwyżej 1 albo co najmniej 3 sztuki pakietu E. Jaki będzie minimalny koszt zakupów?
d) W przypadku zakupu pakietu D Adam otrzyma w prezencie pakiet E. Jaki będzie minimalny koszt zakupów? Ograniczenie z ppkt c) nie obowiązuje.
ZAD5
Firma kosmetyczna chce stworzyć nowy zapach. Ma do dyspozycji 3 składniki, których intensywności zapachowe w przeliczeniu na 1 ml są podane w tabeli poniżej. Docelowe wartości intensywności w mieszance podane są w ostatnim wierszu tabeli. Pomóż firmie znaleźć optymalne ilości składników.
zapach1 zapach2 zapach3 zapach4 zapach5
skl1 4 0 7 1 2
skl2 1 5 2 0 0
skl3 0 1 0 3 6
docelowa
wartość 40 20 50 30 50
a) Zapisz (niekoniecznie liniowy, można tu wykorzystać np. wartość bezwzględną) problem optymalizacyjny przed przekształceniem do postaci liniowej. Zdefiniuj zmienne decyzyjne, funkcję celu i warunki ograniczające.
b) Jaki jest optymalna ilość poszczególnych składników?
c) Jaka jest optymalna ilość składników, jeśli waga przy kryterium na zapach 1 byłaby 5 razy wyższa od pozostałych?
ZAD6
Firma produkuje towar w dwóch zakładach produkcyjnych i sprzedaje go do 5 różnych krajów.
Poniższa tabela pokazuje koszty transportu pomiędzy zakładami i krajami, maksymalną produkcję zakładów, popyt, koszty produkcji i ceny sprzedaży.
Koszty
transportu K1 K2 K3 K4 K5 Podaż Koszt produkcji
Fabryka 1 8 6 4 10 4 250 70
Fabryka 2 18 10 16 14 8 150 60
Popyt 40 60 40 100 80 Cena
sprzedaży 110 90 70 120 110
a) Zapisz liniowy problem optymalizacyjny (zmienne decyzyjne, funkcję celu i warunki ograniczające).
b) Ile wynosi optymalny zysk firmy?
c) O ile powinna wzrosnąć cena towaru w K3, żeby sprzedaż na tym rynku była opłacalna?
ZAD7
Szkoła tańca przyjęła 8 osób i musi dobrać tancerzy w pary. Tabela poniżej pokazuje stopień dopasowania poszczególnych tancerzy. Pomóż firmie dobrać ich w pary, tal aby zmaksymalizować sumę stopni dopasowania.
Helena Irena Joanna Katarzyna Laura
Adam 7 2 6 5 5
Bartłomiej 10 6 3 7 2
Cezary 1 3 10 5 8
a) Zapisz liniowy problem optymalizacyjny (zmienne decyzyjne, funkcję celu i warunki ograniczające).
b) Zapisz optymalne dopasowanie i podaj sumę dopasowania.
c) Załóż teraz, że celem jest zmaksymalizowania najgorzej dobranej pary. Jakie jest teraz optymalne dopasowanie i jaki jest stopień dopasowania najgorzej dobranej pary?
ZAD8
Pomóż w organizacji imprezy, określając optymalną ilość atrakcji: Muzyki, Zabawy i Cateringu. W tabeli poniżej podana jest (dodatkowa) użyteczność wynikająca z jednostki poszczególnych atrakcji oraz jednostkowy koszt każdej atrakcji. Celem jest maksymalizacja użyteczności w przeliczeniu na całkowity koszt imprezy. Załóż dodatkowo, że:
• Organizator dysponuje budżetem w wysokości 50.
• Koszt wynajęcia sali wynosi 5.
• Bazowa użyteczność z imprezy (bez żadnych atrakcji) wynosi 2.
• Organizator musi zapewnić przynajmniej jedną jednostkę Cateringu.
• Na każde 2 jednostki Muzyki powinna przypadać przynajmniej jedna jednostka Zabawy.
Muzyka Zabawy Katering
użyteczność 4 15 7
koszt 3 12 6
a) Zapisz problem optymalizacyjny (niekoniecznie w formie liniowej), tzn.: zmienne decyzyjne, funkcję celu i warunki ograniczające.
b) Jaka jest optymalna ilość poszczególnych Atrakcji?
c) O ile może maksymalnie wzrosnąć bazowa użyteczność imprezy, żeby optymalna ilość poszczególnych atrakcji pozostała bez zmian?
