Opis matematyczny dwufazowej maszyny asynchronicznej z wirnikiem klatkowym lub puszkowym

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ____________________________________ 1971

S e r i a : AUTOMATYKA z . 17 Nr k o l . 302

ZBIGNIEW BORTLJ.CZEK

K atedra T e o h n o lo g ii Urządzeń Automatyki

OPIS MATEMATYCZNY DWUFAZOWEJ MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ Z WIRNIKIEM KLATKOWYM LUB PUSZKOWYM

S t r e s z c z e n i e . W pracy wyprowadzono dwa układy równ?ń opisu,1ą- oyoh - każdy o d d z ie ln ie - s ta n równowagi dynamicznej dwufazowej maszyny a sy n ch ro n icz n ej z wirnikiem klatkowym lub puszkowym.

Równania mogą stanowló podstawę d la b a r d z i e j sz c z egó ło w ej a n a l i ­ zy w ła śo iw o śo i staty cz n y ch i dynamicznych podstawowych typów ma­

szyny, wykorzystywanych w układach au to m a ty k i.

1 , Z ało ż en ia wstępne

Rzeczyw ista maszyna e le k try c z n a prądu zmiennego, traktowana ja k układ dynamiczny o n ieje d n o ro d n e j bo elek tro m ech an icz n ej s t r u k t u r z e f i z y c z n e j , stan ow i o b ie k t złoż on y, któ rego dokładny o p is matematyczny bądź w ogóle nie J e s t możliwy, bądź - z uwagi na t r u d n o ś c i u zyskan ia użytecznego r o z ­ w iązan ia - nie ma praktycznego z n a c z e n ia . Powstaje zatem koniecsnośó pew­

n e j i d e a l i s a o j i z ja w isk występujących w maszynie r z e c z y w i s t e j , p o l e g a j ą - o ej na pom inięciu tych czynników komplikujących ogólny o b r a z , k tó re można uznaó za d rugorzędn e. W l i t e r a t u r z e znane J e s t w związku z tym p o ję c i e ma­

szyny e l e k t r y c z n e j i d e a l i z o w a n e J , k tó ra - a p e ł n i a j ą c s z e ­ r e g warunków - po siad a w ł a ś c iw o ś c i układu złożonego z liniowych obwodów e lek tryczn ych o parametraoh skupionych, przy ozym obwody te z m ie n ia ją wza­

jemne położenie ( p o r . n p . [1] , [ 3 ] , [ 1 0 ] ) .

V nracy n i n i e j s z e j równania o p i s u ją c e s ta n równowagi dynamicznej dwufa­

zowej maszyny a sy n ch ro n icz n ej z wirnikiem klatkowym lub puszkowym ( d a l e j - DAM) wyprowadzone z o stan ą w o p arciu o model dwufazowej maszyny asynchro­

n i c z n e j id e a liz o w a n e j (DAMI), równoważnej DAM. W łaśoiwośoi DAMI - k t ó r e j schemat ideowy wraz z oznaczeniami zmiennych wejściowych i w yjściowych*

p rzed staw ia r y s . 1 - o k r e ś l a j ą n a s tę p u ją c e z a ł o ż e n i a :

1 . Obwód magnetyczny DAMI tworzą dwa współosiowe cylrnd ry wykonane z mate­

r i a ł u ferrom agnetycznego izotropowego i ro z d z ie lo n e równomierną s z c z e ­ l i n ą t a k , że jeden z cylindrów (w irn ik ) może wirowaó wzglądem drugiego, k tó ry J e s t nieruchomy ( s ^ o j a n ) .

w) por. DODATEK do n in ie js z e j pracy, zawierający wykaz ważniejszych ozna­

czeń .

16 Zbigniew B o r t l l c z e k 2 . Zjaw iska n a s y c e n ia , h i s t e r e z y 1 prądów wirowych w obwodzie magnetycz­

nym DA MI nie w ystępują#

4 . Każde z uzwojeń s t o j a n a może być z a s i l a n e napięciem bądź sta ły m , bądź s i n u s o i d a l n i e zmiennym ze ź r ó d ła o im pedanoji wewnętrznej równej z e r o . 5 . Wirnik DAMI p o siad a uwa uzwojenia z a stę p cz e o parametrach Jednakowych

i n iezależn ych od p rę d k o śc i k ą to w e j; o s i e uzwojeń p r z e s u n i ę te są wzglę­

dem s i e b i e w p r z e s t r z e n i o k ąt e le k try c z n y równy 9 0 ° .

6 . Indukcja magnetyozna w s z c z e l i n i e zmienia s i ę wzdłuż obwodu maszyny s i ­ n u s o i d a l n i e .

7 . Efekty wynikające ze skońozonej w a r t o ś o i o p o rn o ści magnetycznej mate­

r i a ł u ferromagnetycznego ora z z i s t n i e n i a żłobków można pomlnąó. Podob­

nie można pomlnąó z jaw isk a związane z is t n ie n ie m pojemności międzyzwo- Jowych i międzyuzwojeniowych .

8 . Częśó mechaniozną DAMI o k r e ś la moment bezw ładn ości w irnika o ra z op o r- nośó mechaniczna. Zjawisko s k r ę c a n i a wału maszyny moż^a pominąć. Podob­

nie możr.a pomlnąó mechaniczne e fe k ty n ie lin io w e ( l u z y , t a r c i e s u c h e ) . Twierdzenie o równoważności DAMI i DAM J e s t prawdziwe pod warunkiem, że DAM s p e ł n i a w szy stk ie przytoczone z a ł o ż e n i a , co j e s t możliwe również w przypadku z a ło ż e n i a 5, J e ż e l i wziąó pod uwagę, że w irnik klatkowy lub puszkowy można z a s t ą p i ć uzwojeniem wielofazowym symetrycznym [ 2 ] , któremu z k o l e i odpowiada uzwojenie dwufazowe symetryczne [4 ] , 0 0 ] . W ż a lszyia clą^

gu o k r e ś le n i e "DAM" b ęd zie więc rozumiane ja k c "DAM id e a liz o w a n a " w omó­

wionym s e n s i e .

3 . Na s t o Ja n ie DAMI z n a jd u ją s i ę dwa u - zwojenla o o sia c h p rzesu n ięty c h względem s i e b i e w p r z e s t r z e n i o kąt e le k try o z n y równy 9 0 ° . Liczby zwojów uzwojeń s t o j a n a mogą byó ró ż n e , prze­

k ła d n ia zwojowa powinna Jednak s p e ł ­ n iać warunek:

(

.

)

R y s. 1

Opis matematyczny dwufazowej maszyny a s y n c h r o n i c z n e j .. 17

2 . Wybór metody an allz.y

T e o ria układów elektromechanicznych - w s z o z e g ó l n o ś c i t e o r i a e l e k t r o ­ mechanicznego przetw a rzan ia e n e r g i i - r o z w ija s i ę w spółcześn ie w dwóch za-', sadniozyoh u j ę o i a c h :

- w o p a rc iu o podstawowe prawa f i z y k i , t a k i e Jak prawo zachowania enor-.

g l i , za sad a d’ A leraberta, prawa K irch h o ffa i t d . ( p o r . n p . [ 1 ] , [ 5 ] , [ e j ) ,

- w o p a rc iu o zasadę w a ria c y jn ą Hamiltona i wywodząca s i ę z n i e j równa-, n la E u lera - L agran ge’ a ( p o r . np. [ 6 ] , [ 7 ] , [jo] )«

W pierwszym przypadku elektromechaniczny przetwornik e n e r g i i typu DAM traktowany J e s t Jak układ liniowych obwodów elektryoznyoh o parametrach skupionych, zn ajdująoych s i ę we względnym ruch u. Częśó e l e k t r y c z n ą p r z e ­ twornika o p i s u je s i ę wtedy przy pomocy równań napięciowych wynikających z I I prawa K iro h h o ffa z uwzględnieniem prawa F a ra d a y a , częśó mechaniczną - przy pomocy równania ruohu w ynikającego b ezpo śred nio z zasady d’ Alemberta, przy czym s i ł y meohanlczne pochodzenia ele k try c z n e g o o b ll o z a s i ę na ogó ł w o p a r c iu o prawo zachowania e n e r g i i i zasadę pracy w i r t u a l n e j .

W u j ę c i u drugim - wykorzystującym za sad ę Hamiltona - przetwornik typu DAM bada s i ę Ja k układ dynamiozny o skończonej l i c z b i e s t o p n i swobody z więzami typu holonomloznego, co pozwala z a p is a ó fu n k o ję Lagrange^a maszyny w z a l e ż n o ś c i od oztereoh prądów, p o ło żen ia kątowego i p rę d k o śc i kątowej wirnika i - d la uzyskania równań op isu ją oy oh s ta n równowagi dynamicznej - b ezpo śred n io wykorzystać równania' E u lera - L a g r a n g e * a .

Z punktu widzenia s t o p n i a sform aliz o w an ia oczy w ista J e s t wyższość meto-*, dy a n a l i z y oparte'J o za sad ę H am iltona. Z d r u g i e j Jednak s tro n y przedmiot n i n i e j s z e j praoy - ograniozony z z a ło ż e n i a do a n a l i z y p o je d y n o z e j, wyodrę­

b n io n e j z układu maszyny - sp r a w ia , że wyższość ta n ie ujawnia s i ę w sp o ­ sób na t y l e o c z y w isty , by można było bez wahania zrezygnować z metody tra-*

d y o y jn e j* ^ . Z tego względu w sz y stk ie z a l e ż n o ś o i wyjściowe będą w dalszym cią gu wyprowadzone z wymienionych Już podstawowych praw f i z y k i .

J- • O góln a p o s t a ć równań w yjśolow yoh

J .1 . Równania różnięzkowę DAM

A. Zgodnie z tym, oo powiedziano wyżej s t a n równowagi dynamicznej w o b w o d a c h e l e k t r y o z n y o h DAM o p i s u ją równania n a p ię ­ ciowe, w ynikające z I I prawa K ir c h h o ffa z uwzględnieniem prawa F a r a d a y a .

* Na ten temat p o r . uwagi na a t r . 197 praoy D.C. White*a i H.H. Woodsona C10] .

18 Zblgn ie w - B o r t li c z e k Wykorzystująo oznaczenia z r y s . 1 równaniom tym można nadad n a s t ę p u ją c ą

poetad macierzową:

Vab " Rab * ^ b + dVab > (2)

g d z i e :

*ab

R'ab

va" \>S"

a

< »5 *

r l "^ab “ < V i. = Tab w1 a

A t i .*5. X

"Ra 0 C 0

0 K 0 0

0 0 Rc 0

0 0 0

t_

linaozwoi V od prądu i w;

^ab = \

( 3 )

(4 )

g d z i e :

ab

Ls r .cosn© a - L ^ . s i n n ® a

I .siun© L^r .cosn©

L^r cosn® L^r .sinn©

- L ” r .sinn© L ^ . c o s n ©

( 3 )

Opis matematyczny dwufazowej maszyny a s y n o h r o n i o z n e J .. . 19

- m acierz ln d u k o y Jn c śo i, w k t ó r e j - zgodnie z z a ło żen iam i 1 , 3 , 5 1 7 -

LaS " i - a ^ A g + A s }

1 “ - ( z £ ) 2 . ( A g + A » )

L1 - ( z r )? . ( A " g + A * ) “ 3 (6 )

L f » * X . A g

i ^ r -

przy ozym:

A g - przewodność magnetyczna d la stru m ien ia głównego (w s z c z e l i n i e ) , A g - przewodność magnetyozna d la stru m ie n ia r o z p r o s z e n i a .

Zależn ość p oszczególnych elementów macierzy od p o ło żen ia w irnika ( k ą t © ) wynika bez po śred n io z za ło żeń 1 , 5, 6 ; L31 oznaoza wartośó induk- c y j n o ś c i wzajemnej pary uzwojeń, z których jedno zn ajd u je s i ę na s t o J a n i e , drugie - na w irn ik u , w przypadku, gdy o sie uzwojeń pokrywają s i ę . Należy ponadto zauważyó, że maoierz kolumnowa zawiera dwa elementy zerowe, co wynika z f a k t u , że uzwojenia z a stę p c z e w irnika - z uwagi na k o n stru k - o ję w irnika klatkowego lub puszkowego - s ą zwarte .W związku z tym

Ta = ^b ” C' (7)

Warunek (7 ) z o s t a n i e uwzględniony w końoowej o z ę ś o i wyprowadzenia.

B . Równanie maolerzowe ( 2 ) p o siad a dwie zmienne: A ^ ora z “V a ^ , związane z a l e ż n o ś c i ą ( 4 ) , z któryoh jedną n ależy wybraó Jako zmienną n i e z a l e ż n ą . W związku z tym rozpatrywane będą dwa p r z y p a d s l .

a . Zmienną n i e z a l e ż n ą j e s t 1 ^ » Wynik podstaw ienia wyrażenia ( 4 ) do równania ( 2 ) b ędzie 'n a s t ę p u ją c y :

Vab “ ® ab'^ab * D(Ła b * i a b ) “ (Rhb + ^ a b ^ a b “ ^ a b ^ b ( e )

20 Mą o l e j B o r t l l o z e k

przy czym:

Bab + DŁab “ ( 9 )

" Ra + DLaS 0 B L |2 .oosn0 -DL32 .a lnu® a 0

DL3 1 .oosnfla

R f + ^Ł3a a

DL^2 .sixin0

BL^2 .sinnQ

R2 + DL2

EL^2 .ooan©

0

(10)

*

-DL31 . s inne DL^r .ooan® 0 R2 + DL2

b . Zmienną n ie z a le ż n ą j e s t V Wyrażenie ( 4 ) należy więc p r z e k s z t a ł - oi6 do p o s t a o i :

^ab “ (La b )-1 ‘ ^ a b (1 1)

a n a s tę p n ie podstawić (1 1 ) do ( 2 ) . Wynik.będzie n a s t ę p u ją o y :

-Xb * ■ [ ‘W ^ b ’' 1 * °]-X b ■ X b-X b. <'2>

g d z i e :

D -

D O O O

C D O O

O O B O

.0 O O D.

przy ozym:

Aab “ ^ b b ^ a b 5

ab

(13)

- ( k ^ j j ^ c o s n e (k'/tyaT*)ainn®

• K ^ b r ^ ‘ inne ■<vX i k)co," g

(1^TaTr ) + D

(14D

O p i s matematyozuy dwufazowej maszyny a s y n c h r o n ic z n e j. . . 21

Do równania (14) wprowadzono - w wyniku pewnych p r z e k s z t a ł c e ń - n a s t ę ­ pujące w sp ó łczy n n ik i:

or a z

Oznacza j ą c :

K = k = —

a 1 /

Lt *

4 - LSID r l

(15)

Ga = 1 - k f . k * a a a

> (16)

-r3 - JŁŁs ' R3 a

r s _ _bT 3 T h ~ pS

®b R (17)

A„

A g + A g - A g

( i e )

c r a z u w zględn iając ( 6 ) , wyrażenia (15) nożna p r z o k s z t a ł c i ó do p o s t a c i na­

s t ę p u j ą c e j :

22 Zbigniew B o r t l i c z e k

Na podstawie (2 0 ) będzie w ięc:

(21 )

Z k o l e i na podstawie (1) :

( 2 2 )

W r e z u l t a c i e m acierz Aab przyjmuje p o s ta ć n a s t ę p u j ą c ą :

( 1 / 6 T S)+ D

0 '

O ~(k^/6"T s )cosn0 (k*/6"Ts )sinn0

(1/ff-r3) + D -(k£/ff T s )sinn0 -(k£/<yTs )cosn0

a.ab (23)

-( k 3/(S‘r r )cosn0 - ( ’; 3/ & r r )sinn0 (l/WT8) + D 0

(k3/(?Tr )sina© -(k^/i?'rr )eosn9 O ( 1 / 6 T r ) + D

C. Zgodnie z z a sad ą d*Alemberta 1 na podstawie z a ło ż e n ia 8 s t a n równo­

wagi dynamicznej c z ę ś c i m e o h a n i o z n e j DAM o p i s u je na- st ę p u ją o e równanie momentów:

M - moment obrotowy pochodzenia elektrom agnetycznego (moment e l e k t r o - magnetyczny), który d la (O- > 0

Me < 0 w przypadku pracy prąńnioowej DAM, Mfl > 0 w przypadku praoy s i l n i k o w e j DAM.

Moment elektrom agnetyczny Mfl o b li c z y ć można - zgodnie z przyjętym t o ­ kiem postępowania - w op aro iu o prawo zaohowania e n e r g i i i zasadę praoy w i r t u a l n e j [ 7 ] , [10] , przy czym z a p i s końcowy wyniku z a le ż e ć będzie cd wy­

boru zmiennych n i e z a l e ż n y c h . Podobnie Ja k w E . n ależ y tu więc rozważyć dwa p rz y p a d k i.

M u J . D o i + B.oi' - M , e 7 (24)

g d z i e :

M - moment obrotowy doprowadzony z zewnątrz, J - moment bezw ładn ości w ir n ik a ,

B - oporność mechaniczna o r a z :

Opis matematyczny dwufazowej maszyny a s y n c h r o n i c z n e j . . . 23

a . Zmiennymi niezależn ym i są ® , ^ b * Moment elektrom agnetyczny

ow’ ( i , e )

i< • m 7

e = + — o e — ’

g d z i e :

w’n < i , e ) = / 2 , v k . a i k . Ct / . . O k=1

Ponieważ jednak - zgodnie z założeniem 2 - z a l e ż n o ś c i V k *» f i ^ ) niowe, k c e n e rg ia magnetyozna Ti^ r6vma s i ę e n e r e i i magnetycznej 7/^.

d z l w ię o :

W*m = Wn - 1

1

Wm( l »0 ) = ¡ P ^ a b ^ t ^ a b ^ a b

o i a z :

OL ,

’’e = + ? * ^ab^t ’ "55" * ^ab•

Wynik.końcowy - po wykonaniu pewnych p r z e k s z t a ł c e ń - przyjmuje post, s t ę p u j ą c ą :

M0 = n . [ ( i f - Ls r . i ^ . i | ) . c o s n e -

" a a r * i a ' 1a + • ^ • 1b ) s ln n ®J

b . Zmiennymi n iezależn ym i 3 ą © , * V q^ * Moment elektromagnetyczny (25)

(26)

ą l i - Zaoho^

(27)

(28)

(29)

ri n a-

(30)

24 Zbigniew B o r t l l o z e k

g d z i e :

4

w r v , e ) / 2 l f c . a w . . ( 3 2 )

n O ,‘/..O k=1 11

U w zględniając w równaniu (2 7 ) zależ n o śó (11 ) , fu n k c ję (3 2 ) można t e r a z wyj.

r a z i ó w p o s t a o i :

wB(V ,0) = |.C V a b ) t . ( L a b ) " 1 .Va t (33)

s k ą d :

Me = ¹7 lv s V t * Ł a b > -1

a© • V .ab * (34)

W konsekwenoji wynik końcowy przyjmuje postaó n a s t ę p u j ą c ą :

Me = ~ r * [ (kb * ^ * Vb - kaS . ^ . ^ ) . c c s n © -

(35)

" (ka * ^ * Va + kV ^ * V'o)sinn©] ^.

D. Dwa układy równań różniczkowyoh, uzyskane w przedstawionym wypro­

wadzeniu - mianowicie (8 ) i (30) o r a z (12) i (35) - o p i s u j ą , każdy od­

d z i e l n i e , s ta n równowagi .dynamiczne J DAM. Zmienne n ie z a le ż n e tych równań - c z te ry prądy w uzwojeniach lub c zte ry l in i c z w o je uzwojeń oraz p ołożenie kątowe wirnika - to w i e l k o ś o i r z e o z y w i s t e , które-można mierzyó lub r e j e - s t r o w jó . Równocześnie Jednak w obu przypadkach równania s ą ule liniowe niet- Jednorodne o współczynnikach zmiennych okresowo - a tym samym mało p rzy­

datne do d a l s z e g o w y k o rz y sta n ia .

O p e ra o ją , k tó ra pozwala pi-zejśó do układu równań o s t a ł y c h współczyn­

nikach J e s t tr a n sfo r m a c ja lin io w a zmiennych danego układu równań na zmien­

ne nowe, zazwyczaj f i k c y j n e .

W o g ó ln e j t e o r i i maszyn e lektryczn ych w ykorzystuje s i ę k i l k a rodzajów t r a n s f o r m a c j i zmiennych, przydatnych w z a l e ż n o ś c i od typu maszyny lub r o ­ d z a ju zadania ( p o r . n p . [i], [ 5 ] , [10] ) . W rozpatrywanym przypadku w y sta r­

c z a ją c o efektywna b ęd zie t r a n s f orma o Ja S tan le y ^ [ 9 ] , zwana także t r a n s f o i s macją typu d-q [10] .

Opis matematyczny dwufazowej maszyny a s y n c h r o n ic z n e j. . . 25 3 , 2 . P r z e k s z t a ł c e n i e równań różniczkowyoh DAM przy pomocy tr a n sfo rm a -

o j l S tan ley ła

A. P o sta ć t r a n s f o r m a c j i S t a n l e y a , k tó r a będzie wykorzystana w dalszym c i ą g u , można zdefiniow ać Jako t r a n s fo r m a c ją kogrediontną o o rt o g o n a ln e j macierzy t r a n s f o r m a c j i .

I s t o t n i e , j e ż e l i tnaoierze kolumnowe Vab oraz ^ab (lu b tworzą pa­

r ę układów zmiennych pierwotnych, zaó macierze kolumnowe oraz ł,^

(lu b - parę układów zmiennyoh nowyoh, to tr a n s fo r m a c ję S t a n l e / a s t a ­ nowi para p r z e k s z t a ł c e ń linlowyoh tych zmiennych o p o s t a o i :

▼ab “ C 'v dq

^ b = C , i dq

(56)

l u b :

▼ ab - C *Vdq

■^ab “ C ^ d q >

(37)

g d z i e :

▼ab » 4a b * ^ a b - Ja k w równaniach ( 3 ) ,

'da

- i _ ¹ d '

i ^*

*5

Ł d q "

*

V .

(38)

o r a z :

0 oosn© sinn®

0 -sinn© oosn®

(39)

26__________________________________________________________ Zbigniew B o r t l l c z e k

przy czym maoierz t r a n s f o r u a o j i C s p e ł n i a n a s t ę p u ją c e warunki:

d e t 0 ^ 0 c . o t = 1

J e s t więo n ieo so b llw a i o r t o g o n a ln a .

B . D e f i n i c j ę t r a n s f o r m a c j i S tan ley ’a podaną w A. można wykorzystać Bez­

pośrednio d la p r z e k s z t a ł c e n i a zmiennych wyprowadzonych w 3.1 równań r ó ż ­ niczkowych DAM. Należy w tym o elu p o d staw ić: wyrażenie (3 6 ) - do równań ( 8 ) i ( 2 9 ) , wyrażenie (3 7 ) - do równań (1 2 ) i ( 3 4 ) . Wyniki podstawień przedstawione z o sta n ą d la otu wariantów równań DAM.

a . Zmiennymi niezależn y m i s ą © , * d q * Równanie napięciowe ( 8 ) po t r a n s ­ f o r m a c j i przyjmuje p o s t a ć :

dq C - , .8 a b . O . i d(1 ® t*a s b * ° * ^ d q a dq * ^ d q > (40)

g d z i e ;

Bdq = Ct * Ba b * C

K + La * D

L « . D

- L « Wa

R» + Ł®.D

L ^ . n . o i

L«.T >

i f . D

Rr + Lr .D

—Ł1 .n •oor

Ts r -

1jX .n a?

R1 + Lr .D

(42)

zaó wyrażenie na moment elektrom agnetyczny:

dL.

Ue " + T i ^ * C , i dq “ + n , a bI * 1d * 1q “ K * ( 4 3 )

b . Zmiennymi n iezależn y m i s ą © , V . Równania napięciowe przyjm ują po­

s t a ć :

▼dq “ CtAb*«^dq ' Adq*Vdq 5

Opis na te ira ty peny dwufazowej Paszyny asy n ch ro n ic z n e j . . 27

g d z i e :

* a q = Ct * Aał)*C (1/tTT3 ) + D

(45)

-k*/fcYs

( l £ V * ) + D O -k^/frT3

O (1/6'T1 ) + D nu*

-Je3/*??1 -rtó* (l/b'Tr )>D

(46)

a moment elektrom agnetyczny:

71 00

c.v,

CL - k | . v * . v g ) . (47)

Konleozne J e s t - w związku z powyższym - p o d k re śle n ie f a k t u , że równania (4 1 ) 1 (4 6 ) stan ow ią ty lk o z a p i s formalny związków łąoząoych maoierze S ai) 1 Z; o ra z J L V dq ^ o aq • Maoierze te z a w ie r a ją o p e ra t o r różnioskowania D 'od-. noszący s i ę nie ty l k o do zmiennej 6 * a l e i dn zmiennyoh i. Club O b li—

oz eu la maolerzy 1 przeprowadzono więo wfejdług z a l e ż n o ś o i (4 0 ) i ( 4 5 ) . Ha p rzykład w przypadku Zd(j kolejm -śó o b lio z e ń b y ła n a s t ę p u j ą o a : wy­

konanie mnożeń 0 . i d(1 o r a z ®ab*^®*^dq ) , wykonanie różn lozko w an ia, p r z e ­ k s z t a ł c e n i e wyniku do p o s t a o i (e^ .c) . ! ^ , wykonanie mnożenia C ę . f j S ^ . C ) .

, l dJ . Podobnie o b llo z cn o Ad q ‘

C. P r z e k s z t a ł c e n i a wprowadzone d la u p r o sz c z e n ia rówu&A różniczkowych DAM można zakońozyó u w zględ n ia jąc w wyrażeniach ( 5 8 ) warunek ( 7 ) . W kon­

se k w e n c ji:

▼dq - O •▼ab “ ° f Vab

0

lO

(4 8 )

28 Zbigniew B o r t l l c z e k

l u b :

(49)

O s ta te c z n ie układ równań różniczkowych o p i s u ją c y c h s ta n równowagi dyna­

micznej DAM przyjm uje Jedną z dwóoh n a s tę p u ją c y o h p o s t a c i : a . Zmiennymi n iezależn y m i s ą ©,

r o+ł3d

a a 0 L S IDa 0

i 0 0 L « DD

0 l « D -a i ? W RI +Lr D ^lV

e - a-l33W i 3^ -L-noi RI +LI E

<

M = JD cJ + Bo? - d a q - l 3* ! 1 ! 3 )a q a

t>« Zmiennymi n iezależn y m i s ą 0 , V dq2

’(i/<j-t3 )+d o - k f / n 3 a o 'Vd'

0 (1/<5'TS )+D 0 -k£/<5T3

0 = - k 3/5"Tr 0 (l/6-T c )+D no/ •

Vd

0 0 -k^/frT1 -n o f ( l/ 5 T r )+D

M = jD c f + Bni - - 2 - (k? V * Y 3 - k 3 V1 V ! )o d q a q d

(50)

(51 )

(52)

( 5 3 )

D. Podsumowująo przedstawione wyprowadzenia s t w i e r d z ió można oo n a s t ę ­ puje :

- W wyniku tr a n 3 f o r m a o ji zmiennych uzyskano dwa układy równań r ó ż n ic z k o ­ wych (5 0 ) i (51) oraz (5 2 ) 1 ( 5 3 ) , o p isu ją cy o h - każdy o d d z i e ln ie - s t a n równowagi dynamicznej DAM. Są to równania o s t a ł y o h współozynnikaoh, li?i :n1owe w przypadku, gdy prędkoóó kątowa o>r «= oon3t, n ie lin io w a - gdy a r - r e r .

Opis matematyczny dwufazowej maszyny a s y n c h r o n ic z n e j. 29

- Wyprowadzone równania stanowić mogą podstawę d la a n a li z y w ła ś c iw o ś c i sta ty c z n y c h DAM (0/ = e o n s t ) i w ła śc iw o śo i dynamicznych DAM (0/ = v a r ) z uwzględnieniem stanów n ie u sta lo n y c h w :ioh obwodach elek trom agn etycz­

nych. W przypadku drugim równania należy lin ea ry zo w ać , n p . d la małyoh przyrostów w i e l k o ś c i w e jś o l o w e j.

- V n iek tó ry ch konkretnych przypadkaoh a n a l i z y w łaśo lw o śo i dynamicznych DAM (nT-. o b l i c z a n i e t r a n s m i t a n c j i operatorowych) wygodniej j e s t korzy­

s t a ć z równań (5 2 ) 1 ( 5 3 ) , w których n a p i ę c i a 1 moment elektrom agnetycz­

ny DAM wyrażone s ą w z a l e ż n o ś c i od linlpzwoi.W ynika to z f a k t u , że ma­

c i e r z - vł porównaniu z macierzą - zawiera w ię c e j elementów z e ­ rowych .

A. Uwagi końcowe

Dwufazowa maszyna asynohroniozna z wirnikiem klatkowym lub puszkowym wykorzystywana j e s t w układach uutomatykl w tr z e c h conajm niej p o s ta o ia o h , mianowicie ja k o :

- prąd nica taohometryozna,

- miernik p r z y s p ie s z e n i a kątowego ( a k c e le r o m e t r ), - sterowany s i l n i k wykonawczy.

Pojedyncze J e d n o s t k i można poza tym łą c z y ć mechanicznie w zespoły dwu- lub trójm aszynowa, co j e s t s z c z e g ó ln ie chętnie stosowane n p . w serwomecha­

nizmach.

Ta różnorodność m ożliw ości p rzetw arzan ia sygnałów przy pomocy DAM, z d r u g i e j z a ś stro n y p r o s t o t a budowy/poszczególnych¡typów DAM 1 niezawodność w p rac y , stanow ią o wadze, Jaką dość powszechnie przywiązuje s i ę do m o ż l i ­ wie wszechstronnego poznania ich w ł a ś c i w o ś c i . Dorobek w t e j ffzied zin ie j e s t s z c z e g ó ln ie bogaty w z a k r e s i e a n a l i z y w ła śc iw o śo i staty cz n y c h wymie- nicnyoh typów DAM. Brakuje n a to m ia st o g ć ln e j i j e d n o l i t e j metody badania ich w ła śc iw o śo i dynamicznych z punktu w idzenia wpływu na te w ł a ś c iw o ś c i k o n s t r u k c ji maszyny.

Podstawą d l a t a k i e j metody może s t a ć s i ę - ja k s i ę wydaje - o p is mate­

matyczny DAM uzyskany w n i n i e j s z e j , p ie rw sz e j c z ę ś c i p racy . 'W o z ęśo iac h d r u g i e j i t r z e o i e j równania różniozkowe DAM p rz e k sz ta łco n e zo stan ą do po­

s t a c i u m o ż liw ia ją c e j b ezpo śred nio o b li c z a n i e tran sm itan c J i operatorowych dwufazowej asy n ch ro n ic z n e j prądnicy tach o m etry cz n ej, dwufazowego asynchro­

nicznego m iernika p r z y s p ie s z e n i a kątowego 1 dwufazowego asynchronicznego s i l n i k a wykonawczego*^.

» ) ---Część druga 1 t r z e c i a n i n i e j s z e j pracy ukazały s i ę w 2NPS1 " E l e k tr y k a "

1971 z . 29 o ra z z . 3 0 .

30 Zbigniew B o r t l l c z e k

LITERATURA

[ i j Adkins B . - The General Theory o f E l e o t r i o Machines. Chapman and H a l l , London 1959.

[23 ie ife t J . S . - Upravl’ aernyj a3 in cb rcn n y j d v i g a t e l ’ s polym rotorom . G o se n e rg o iz d a t, Mosk/a 1955.

[3] . F i t z g e r a l d A . E . , K in g sle y <Tr Ch. - E l e c t r i c Machinery. McGraw-Hill, New York 1 961.

['O Gruzov L .N . - Metody matem atiiesicogo io sle d c v - a n ija ¿ l e k t r l S e s k i c h ma- S i n , G o se n e rg o iz d a t, Moskva 1953.

[5] Ku Y.H. - E l s o t r i o Energy C on versio n . Ronald P r e s s , New York 1959.

[ (Q Ł a d z i ń s k i B . - C pis matematyczny układów dynamicznych o skońozonej l i o z h i e s t o p n i swobody. Praca I n s t y t u t u Automatyki PAN, 1967, z . 6 2 . W Meinel <J. - Zasady elektrom echanicznego p rzetw a rzan ia e n e r g i i (tłu m .

z a n g . ) . WNT, Warszawa 1970.

[8] M esserle H.K. - Dynamie C i r c u i t Theory. Pergamon P r e s s , Oxford 1965.

[9] S ta n le y H.C. - An A n a l y s is o f the Induction Machine. AIEE T ra n sa c ­ t i o n s , 1938, v o l . 57, s . 751-757.

[10] White D .C ., Woodson H.H. - E le ctro m e ch an ica l Energy C on versio n . John Wiley and S o n s, New York 1959.

Rękopis złożono w R e d a k c ji w dniu 3C.X.1970 r .

MATELATEHLCWii AHaJMS-flByX«Á3Hüíí ACHHXPOHHOfl KAiaiHU C KO POT KDSAMKHyTUU UJM IiOJUlw POTOPOM

P e 3 d u e

3 p a d e r e j a n b u j o a AB yx CHCTeu y paBKeH H fl , o n z c i r B a B ^ z x - K ax jiaji B o t- AeabHCCTZ - COCTOłiHI*'' jtHHaUM-» =“CKO TO P aBHOBCCMJi SByXIpaSHofi faCBIIXpCKHCfl u a - uiMKH - <copoTK03&MKHyr..M t u » : n o jiu u p o t o p o m. ypnBKeHZA s t u u o r y r Ci.t ł o c h o b- k uuh a r s d o j i e e n o ji p o O H o r j a H a J i n 3 a C T a i í .^ c c x M X a fl,uuaMzvc CKioc c b o ü c t b o- CHO.BHwr í a n c B uaiUHH, n p n u e K s e u i c c a C K C T eu ax a B T O M a T z u e c K o r o p e r y J i z p o B a u u a .

Opls matematyosny dwufazowej maszyny asynohronlocne j . ³¹

MATHEMATICAL DESCRIPTION OF TWO-PHASE ASYNCHRONOUS MACHINE WITH SQUIRREL-CAGE OR DRAG-CUP ROTOR

S u m m a r y -

In the paper two system s o f e q u a tio n s d e s o r i b in g - each s e p e r a t e l y - dynamic b alan ce s t a t e o f tvio-phase asynchronous machine with s q u l r r e l - c a - ge or drag-oup r o t o r have been in tr o d u c e d . The e q u a tio n s can be the base f o r more s p e c i f i c a n a ly s e o f the s t a t i c and dynamic o h a r a c t e r i s t i o s of the main t y p e s o f maohines used in auto m atic c o n t r o l s y s t e m s .

32' Zbigniew B o r t l i n z e k

DODATEK

Wykaz w ażnlejszyoh oznaczeń

a - wartośó chwilowa,

A - maolerz kwadratowa,

A.j. - maolerz transponowana względem A, A"^ - maoierz odwrotna-względem A, detA - wyznaoznik maoierzy A, 1 - macierz jednostkowa t - c z a s ,

D = d / d t - o p e r a t o r H e a v i s id e ’ a , v - n a p lę o le e l e k tr y o z ń e ,

1 - prąd e l e k t r y c z n y , •' V - l l n l o z w o j e ,

i, - c z ę s t o t l i w o ś ć , co « 2 X f - p u l s a o j a ,

n - l i c z b a par biegunów fa z y DAM, z - l i c z b a zwojów fa z y DAM, 6 - współczynnik u zw o jen ia, X - współozynnik t r a n s f o r m a o j i , A - przewodnośó magnetyozna,

R - r e z y s t a n o j a ,

L - lndukoyJnoóó,

k - w s p ó ło z y n n i k s p r z ę ż e n ia magnetyocnego, 6 , - w s p ó ło z y n n i k r o z p r o s z e n ia magnetyosnego, X - s t a ł a czasowa,

© - k ą t obrotu w irnika DAM, o / » D© - prędkośó kątowa w irnika DAM,

M - moment obrotowy doprowadzony z zew nątrz, M ₆ - moment elektrom agnetyczny DAM,

J - moment bezw ładn ośoi w irnika DAM, B - opornośó mechaniczna.

Indeksy przy w ie lk o śc ia c h d o ty o z ą : górne : s - s t o J a n a ,

r - w i r n ik a ,

d o ln e : a - uzwojenia DAM r z e o z y w l s t e j w o s i a , b - uzwojenia DAM r z e c z y w i s t e j w o s i b ,

d - uzwojenia DAM w 0 3 i a po t r a n s f o r m a c j i , q - uzwojenia DAM w o s i b po t r a n s f o r m a c j i , g - stru m ie n ia w s z o z e l i n i e ,

s - strum ień a r o z p r o s z e n i a .