Synteza układu sterowania ruchem samolotu w płaszczyźnie pionowej

ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIKI ¿LA S KI EJ Seria: A U T O M A T Y K A 3. 103

________ 19911 Nr koi .109q]

Walerij J UR K IE WI CZ Marian BŁ-ACHUTA Konrad W O J C I E C H O W S K !

SYNTEZA UK ŁADU S T E R O W A N I A R U C H E M S A M O LO T U W PŁASZCZYŹNIE P IONOWEJ

S t r e s z c z e n i e . W pracy p r z e d s t a w i o n o z a s t o so wa ni e m e t o d y lokalizacji do syntezy u kł ad u s te ro wa n ia r u c h e m s a m o l o t u w pła s zc zy źn i e pionowej w w ar unkach ni e pełne' informacji o jego modelu. Ch a ra kt er ystycznymi cechami m e t o d y iokaiizacji jest wy ko rz y s t a n i e w sp rz ę ż e n i u zwr ot ny m

•oprócz w e k t o r a ' stanu rów n ie ż jego pochodnej w z g l ę d e m czasu ora z zastosowp.je d u ż y c h w s p ó ł c z y n n i k ó w wzmocnienia, co w sumie pozwala na . ikwidacię w p ł y w u niepewności 1 u z y s ka n ie trajektorii w yj ś ci ow ej o z ałożonych z gó ry w ł a s n o ś c i a c h . W pracy pr ze ds t a w i o n o model samolotu wraz z przykład ow y mi danymi iiczoowymi. ora z p odano definicje s to sowanych u k ł a d ó w w sp ół rz ę dn yc h. W z a k oń cz en i u pracy prz ed s ta wi on o wyniki c yfrowej symulacji p ra c y z a m k n i ę t e g o uk ładu sterowania.

.. eprowaczenie

Synteza prawa s t er ow a n i a dla w i e l o w y m i a r o w y c h n i el in i ow yc h o b i e k t ó w 1 rożnych zadań st er ow a ni a jest stale aktualna, d z i e d zi n a badań zarówno teoretycznych, jak 1 aplika cy jn yc h . W d zi ed z in ę tej istnieją . pr zykładowe

"trudne", obiekty, k t ó r e Ze w z g l ę d u na ich wł as n oś ci d yn am i c z n e wyko rz ys tu j e się do t e S t o wn i a o pr a co w a n y c h a l g o r y t m ó w sterowania. J e d n y m z takich obiektów jest samoi o t .

W p r a c a ch p o ś w i ę c o n y c h s t e r o w m u sam ol ot u jak i syn te z ie praw sterowania odnaleźć m o żn a wię ks z oś ć p o d s t a w o w y c h idei 1 podejść teorii sterowania.

N a j p r o s t s z y m 1 n aj cz ę śc ie j s t o s o w a n y m p o d e j ś c i e m jest 1inearyzacja modelu w w y b r a n y m pun k ci e iub wzdłuż w y b ra n ej trajektorii, a następnie zastosowanie dc o t r z y m a n e g o model u' liniowego k l a s y c z n e g o podejścia częstotliwościowego iub liniowe k w a d r a t o w e g o 15.6.1 0 1.W p r ac y T7]

zaproponowano z a s t o s o w m e m e t o d y H do m o d e l u I m e a r y z o w a n e g o przedziałami.

Stosuje - się s te ro wa n ie z. m o d e l e m o d ni es ie n ia oraz r ó ż n e . w e r sj e sterowania adaptacyjnego t-.T41.

76 W. Jurkiewicz, M. Błachuta. K. W ojciechowski Wymienione powyżej podejścia d a j ą z ad ow a l a j ą c e r e z u l t a t y przy założeniu d zi ałania uk ładu s te ro w an ia w n i e w i e l k i m o t o c z e n i u pu nktu pracy oraz znajomości popraw ny ch p a ra m e t r ó w modelu. Jeżeli zał oż en i a te nie są spełnione jakość sterowania może być niska lub układ st e ro w a n i a może pracować n i e p o p r a w n i e .

W pracy r oz pa t r u j e sio zadanie syn te zy d w u w y m i a r o w e g o układu sterowania parametrami lotu w pła s zc zy źn i e p ionowej przy w ym aganiu auhonorniczności po sz c z e g ó l n y c h to ró w u k ł ad u za mk n i ę t e g o oraz ni ezależności ich własności st at y c z n y c h i d y n a m i c z n y c h od zak ł óc eń i z m ia n parame tr ów s te ro w a n e g o obiektu, co. w s p os ó b ist ot ny w y różnia pod ej śc i e p r o po no wa n e w Pi a c y .

R oz wiązanie tak s f o r m u ł o w a n e g o zadania mo ż na uzyskać przez z as to sowanie o g ó m e j m e t o d y synt ez y p r a w s te r ow a n i a n az ywanej "metodą

1 oKfi3 ir.acji ” iS.15— 16j'.

M et od a lokalizacji jest r o z w i n i ę c i e m idei w y k o r z y s t a n i a c za sowych pochod ny ch wielkości w y j ś c i o w y c h jako a r g u m e n t ó w prawa st e ro w a n i a w powiązaniu z k o n c e p c j ą z m n ie j sz an ia w p ł y w u z a k ł óc e ń przez s t o s o w a n i e dużych' współ c z y n ni kó w wz mo c n e n i a w pętłi s pr z ęż en ia z w r o t n e g o ;12.13,20.21 i -

W pracy p r z e ds t aw io no pełny model p r z e s t r z e n n e g o r u c n u s a m o l o t u oraz szczególny pr zy pa d ek ruchu w płasz cz y źn ie pionowej. Dla p r z e j r z y s t e g o i jednoznacznego przedst a wi en ia m o d e l u i s f o rm uł ow a ni a zaaanie sterowanie w pr ow ad z on o w c z e ś ni ej d e f i ni c je s t o s o w a n y c h . tiki a d ó w w s p ó ł r z ę d n y c h i . ch wz a je m n y c h t r a n s f o r m a c j i .

a zakresie synt e zy u kładu s t er ow an i a p rz e ds t a w i o n o kolejne, metodo wyboru st ru k tu ry prawa s t er ow an i a i d oboru jego p a r a m e t r ó w liczbowych, warunki rea 1 izowa 1 ndści za da ny c h trajektorii w y j ś c i a jak •.również dyskusję wp ływu i i itrów r ó ż n i c z k u j ą c y c h na własności układu z a m k ni ęt eg o

V z ak oń c z e n i u pracy z a m i e s z c z o n o wyni ki cyfrowej sumulacji za ch o wa ni a się układu z a m k n i ę t e g o przy sko ko wy c h z m i a n a c h wartości zadanej, gdzie pa ra m et ry aig or y tm u s t e r o w a n i a w y zn ac zo n e z o s t a ł y teoretycznie.

-• K cde. p r z e s t r z e n nego rucnu sa mo lo t u

~ - ~-‘k- a ~ wsnół r ż e c r.y :.n i transf ormac ię

W yr óż ni a my nastę pu ją ce pr o st o k ą t n e i pr aw os k r ę t n e ukł ady. współrzędnych?

:.'kład inercyjny I . które g o p o c z ą t e k c> w y br an y jest d o w o l n i e na powierzchni ziem: , zaś osie o x . l y lezą w p ła s zc z y ź n i e sty c zn ej w punkcie o oo powi er z ch ni ziemi.

1 . Układ g ra wi t a c y j n y G z p o c z ą t k i e m o w p u n kc ie (x,y .z) .stanowiącym ś ro de k ciężkości s a m o l ot u ■ i os iach r ó w n o l e g ł y c h i zgod n ie skierowariifh z oSiam:

układu I .

3. Układ s am ol ot o wy S z p o c z ą t k i e m o, osi ą oxs r ó w n o l e g ł ą d o osi podłużnej samo lo t u i zwrocie w e k t or a p r ę d k o ś c i .oraz osią cys sk ie ro w a n ą na prawe s k r z y d l o .

4. Układ p r z ep ł yw ow y A z p o c z ą t k i e m w punkcie o, os i ą oxA ró wn ol e g ł ą do kierunku opływu i s ki er o w a n ą zgodnie z r u c h e m obiektu.

5. Układ trajektorii T -z p o c z ą t k i e m w punkcie o. osią o x t równoległą do wektora prędkości sam o lo tu .osią oyT równol eg ł ą do p ła szczyzny utworzonej przez osie oxQ .oyo .

T ransformacje r wek to ra z uk ładu w s p ó ł r z ę d n y c h B do układu

C B

współrzędnych C okre śl a m a c i e r z D c B (rotacja) i w ek to r rc B ( t ra ns l ac ja ).

Zakładając, że k aż d a z o k r e ś l o n y c h dalej macierzy, rotacji jest nieosobliwaj określenie czt er ec h m a c i e r z y p o z w al a na d o k o n an ie transformacji pomiędzy dowolnymi z pięc iu w y r ó ż n i o n y c h u k ł a d ó w współ r z ę d n y c h tco ilustruje graf z rys.1.

Syntezo układu stero wa ni a r uc he m samolotu. . . . ____ _______________

,r ) ( B ' . r _) (B .r„_) <D„. -r_.)

TI TI IO ICJ OS OS S A S A

R y s .1. T r a n s f o r m a c j e po mi ę dz y wyróżnionymi układami w s p ó ł r z ę d n y c h Fig . 1 . T r a n s f o r m a t l o n s beet w en coordi n at e systems

Macierze postacie:

w e k t o r y ok r eś l a j ą c e posz cz eg ól n e tra ns fo r ma cj e mają

D C 6, 0, uO so

c o s O COSlfJ s ln @ s i n e c o s y/

(-c o s 0 siny/ ) cos<p si ne c o s y

■+sin0 siny/

c o s 6 si n y s i n<p s t nO s i ny/

-*-cosp c o s y cos<p s i n e siny/

(-sin0 c o s w )

-sine s i m p cose

c o s 0 cose

(1)

gdzie

s o

= O D = 1

io e

<t>

w C O , 0, y/J>

kąt pochylenia kąt przechylenia kąt odchyl en ia

D CO,p, y0>

o s

D € R- IO

R 3x3

(2) (3) (41

D Ca.ft^

S P

c o s a c o s e sinfi s i n a cosft

-cosa. sinf3 c o s e -sina sinfi

-sina

O (5)

?dz:e kąt natarcia.

= 0

kat ś 1izgu

■7Q_________ W. Jurkiewicz. M. Błachuta. K. Wojciechowski

R y s . 2. interpretacja fizyczna w i e l ­ kości s te ru j ą c y c h ó , & ,6 .

I n V

F i g . 2. Physical i nt e rpretation of the control v ar ia bl e s ,<5. .6 .

i v. v

Rys.4. PredkoSc: liniowe i katow e w uklaazie S samolotu.

Fi g .4. Linear and a n g ul ar v e l o c i ­ ties in the aircraft coordinate s y s t e m S.

Rys.5. Prędkość powietrzna, kat n atarcia a. kat ś l i z g u ft pr zy z e r o ­ wej prędkości w i a t r u v -0.

V

F i g . 5. Air velocity., an gl e a of a t t a c k and s i d e s l i p angle ft for ze ro w i n d v e l o c i t y v — 0.

V

Rys.3. Ka ty Eu lera 0. <t>. v. o k r e ś l a ­ jące o ri en t ac je u k ładu s am ol otowego S wzglederr. uk ładu inercy jn e go I . F i g . 3. E u l e r angles 0. <P. v, of the ai rc r af t coordinate s y s t e m S in re­

lation to the inertial s y s t e m I.

Synteza układu s te r ow an ia r u c h e m samolotu. .. 79.

Ry s .7. K ą t y É ulera 8, <P. w. okr eś la ­ jące or i en t a c j ę u k ł a du samolotowego S w z g l ę d e m u kł ad u in ercyjnego I dla pr zy p ad ku ru ch u w płas zc zy ź ni e pio­

nowe j .

F i g . 7. E uler angles 8. <p, y, ot the airc r af t c o o rd in at e s y s t e m S in r e ­ lation to the inertial s y s t e m I .in case of longi.tudionai motion.

Sys.8. Prędkość' powietrzna, kąt natarcia, cc, przy zero we j p r ę d ­ kości wiatru v i r uc hu w pi a-

V

ezczyźnie pionowej.

Fig.8. Air velocity, angie a ot attack for .zero win d v e l o c i t y vv in case of longitudiona:

moti on .

R y s . 9. P r ę d ko ść powietrzna, kąt n a t a r c i a a przy niezerowej prędkości w i a t r u i r uchu w p ł a s zc z yź ni e pionowej

F i g . 9. Air velocity, angle a of attack for non- z er o wi nd v e l o c i ­ ty v in case of longitudiona!

V motion.

Rys.6. Prędkość powietrzna, kąt natarcia a, kąt ś l i z gu ft prz y n i e ­ zerowej prędkości w i a t r u v : Fig.6. Air velocity, angle a ot attack and side sl ip angle ft tor non-zero wind v e l o c i t y v .

V

J ur ki ew i cz M. at a ć h u t a . Wojciechowski

C C y . rp = Tl

COSy COST!

S-LTIT)

s i n y c o s T i

- co sy sonri

COST)

-siny si nr/

gdzie y kąt nachyl e ni a trajektorii, r = [x,ii.s]T

- si ny j

O cosy J 7) kąt drogi

(6)

(7)

D ynamika i ki ne ma t y k a ru ch u p rz es t r z e n n e g o

Ogólne r ó w n an ia o p is ujące d y n am ik ę ruchu p r z e s t r z e n n e g o b ry ły sztywnej w inerc yj ny m uk ładzie w s p ó ł r z ę d n y c h I m a j ą postaó:

m w x v

gdzie masa

v w e kt or prędkości

<*> prędkość kątowa W uk łaczle w s p ó ł r z ę d n y c h S mamy:

“ r • T

V * f TJ , v , \l>

o>-[p. t?.r T

1 = Jo.

1 m om e nt pedu

? siła z ewnętrzna V

M m o ment z e wn ęt r zn y

(8 !

i 5 i

CIO' ( lii

112

Ró w na ni a dynam ik o zn ac z e n i a c h postaó:

J - di a g ' J .J . J ) x y z

r u c h u p os tę p o w e g o p rz yjmują przy powyższych

i : w ę —vr 1 j - m j mr - w p

o j [

gezie si ły ze w nę tr zn e F 1⁼1^.2,3 omó wi o ne są w p.2.3- R ównania dynamiki r u ch u o b r o t o w e g o p r z y j m u j ą postać:

1 r~ x ł

&

II _Fy -

*

ji r,

% J

(13>

f p ; < J -J S>ro

= y r Mx .

i . k. '■ ~ : CJ - J ïpr i

X 2 = I ! My t 9 L 'r C J - J y ą p !

y >: -

!.. w •; Hz \ ‘

*

gezie w y r a że n ie no m o m e n t y z ew nę t rz ne V p rz ed s t a w i o n e jest w p.2.3.

R ów na ni a kinematyk; w y r a ż a j ą związki p o m i ęd zy p o ł o ż e n i e m a prędkością dla ruchu p os t ęp o w e g o oraz k a t e m a prędko śc ią dla r u c h u obrotowego Przypominając, t e w e k t o r (x,y,z]T okr e śl a p o ł o ż en ie ś r o d k a ciężkości u kładzie T zaś w e k t o r v m a w tyir. u k ł a d z i e postać v = t v , 0 , C ’T gdzie

, 2 Z 2 . 1X2

v = (u +v +w i .możemy napisać:

Synteza układu s t e ro wa ni a r uc he m samoiotu.

V X u

y = D jr<r- "o 2 O 1 ub ÿ = ^{D CO} os ^,(p, yO u

2

2

Dla ruchu o b r o t o w e g o o d p o w i e d n i e zależności m a j ą postać :

i ?

?

L

(16)

oraz z założenia &*n/2.

2.3. Siłv i m o m e n t y ze wn ę tr zn e

Silami zewnętrznymi są: siła ciężkości O, ciąg silni ka C ora z siła aerodynamiczna A. W ukła dz i e w s p ó ł r z ę d n y c h G siła g ra wi t a c y j n a ma postać:

¡0,0. gm (17)

Zakładamy.że w u k ł a d z i e w s p ó ł r z ę d n y c h S siła ciągu p r z ed s ta wi on a może być v postaci :

C . * a ó (1 ,0, O ]T ' (18)

c c

gdzie t Je s t wielkością, ste ru ją c a silnika zaś a^ s ta ły m w s p ó ł c zy nn ik i em proporcjonalności.

S.ła aerody na mi cz n a p r z e ds ta w io na w ukł ad z ie w s p ó ł r z ę d n y c h A ma postać:

a « - pC h J» v2 £ (c , c . c ]T (19)

2 a k y 2

gdzie p-p(h) gęstość p ow ie tr z a jako funkcja w y s o ko ś ci h.. v^moduł wektora prędkości w z g l ę d e m powietrza, S * d i a g [S ,5 ,S ] m a c i e r z w sp ó łc z y n n i k ó w

x y z

Wagowych m a j ąc y ch w y m i a r powierzchni, Cv .c^ , c_ dane funkcje zmiennych a.fl.6, .6 .& .

r< v

W układzie w s p ó ł r z ę d n y c h S m o m e n t p oc ho dz ą cy od siły grawitacji jest równy zeru, ponieważ p o c z ą t e k u k ł ad u S zna jd uj e się w ś r o d k u ciężkości samolotu.. Zakładamy. że w t y m s a m y m u kładzie w s p ó ł r z ę d n y c h moment powodowany c i ą g ie m s i l n ik a jest r ó w n i e ż zerowy.

Moment ae ro dy n a m i c z n y w u k ł ad zi e w s p ó ł r z ę d n y c h A w y ra ża się ogólnie postacią:

W • - pChO v Si. [m ,m ;m 3 '

2 a. x y 2 (2 0)

gdzie pct-o. S m a j ą takie same z n a c z e n i a jak w o kr eś l en iu sił aerodynamicznych, t-diagti. .L ,L ł jest macierzą, w s p ó ł c z y n n i k ó w m ających

x y z

wymiar długości, m ,m ,m są danymi funkcjami z m i e nn yc h cx.fi.6 6 ,6 .

X V Z V l

2.4. Model p r z e s t r z e n n e g o ruchu samolotu

Model p r z e s t r z e n n e g o r uc hu sa m ol o t u dany- jest n a s t ę p u j ą c y m u k ł ad em równań:

to*

8 2 _____________________________ W. Jurkiewicz. M. Błachuta. K. Wo jciechowsfr.;

r x t !;v r u

1 >>

• = Da s< e - e . w J v

L * . ' ^u*

i ? ' r p

! t ^“ 7 (£.£>) <?

L * - r J

r •

U w ? - u r 0 * " x .‘ . ¹

" X 1

¡ V -*■ »a ur-u»p ==/a D C 6, <p. v O

s o ^{0 t g} Ć

c c 0 ; ^{- p C h J} v 2 D

2 o SV -

y

u> u p - u ę - • ₆ j 0 ._ ’ ‘ ' ; - "v _; 'ż ? _{C =J}

• . ! J \ p

• i i . ii

f C ł -J O n j ]

■ - ■ y i

< V -J 2>pr . i • ■ ■

= - c<hC> X." £ Ca,/?) ¿ 1 ;

! m "■ i ; i 'i„ * j

ty -l * - .!

. f J

2 a SP j

' \ \

Dodatkowe zależności po m oc n i c z e maja, postać:

(23;

1 V -.1 I u r v 1

; ■ * * . - ■ vx !

: v i - - u — Z> C & t & . w ? V 1

, ay ; S G vv

L v « J L “ J

—i

N>> •

ax , c y a a

a.-e tg Cy / v

sr: sir. C y /v 1) a v O

">■■“ •‘vw ’ V vy • V v; ' jest w e k t o r e m prędkości, w i a t r u w. u k ł ad zi e i

>3. Moce; 'ruchu sam o lo tu w p ł a sz cz y źn ie P i o n ow e :

U6;

i 27)

■ 26!'

2akiada:ac c s v = C, ■- irzenne.-70. że również p

0 otrzymujemy, na po d st aw ie r ó wn ań ruchu e 0, y — C-, ,'j = 0. Ma my zatem:

[ ■ . X . Xł

• o : = r- ć 6 O. u * Q ; os

. Ü’ J

Synteza u k ł ad u sterowania., rucne m sa mo lo tu .

31

6

o j - r. . < e ,o ) _{t ł*>} .¡- <?ł

O j . . • [ o

(30)

r v .i r utQ i O ’

_ r i ' c ^

r

.♦ m l 0 i

■|

= m D X 0 , 0 . 0 5

s o ó +a^tb ^

0 +

2 a SP. c

y

L J ¡ — u o ¡ e • O c

L z

(31)

O .

r ° '

Q ¿ - p o u i

7

v c ' c c t . / ? J i . i* ; m

a S P . 1 y

\O « O

i- w

(32)

O s t a t e c s n i e ‘-‘k ł a d r ó w n a ń o p a s u j ą c y c h r u c h s a m o l o t u w p ł a s z c z y ź n i e P i o n o w e ’ p r z y j m u j e p o s t a ć :

< ■ - u co.st- - w s i r\&

. rr .= - u s i n t - u. c p s O

■e - y

- C 1 2 _

o - *• s i n e -*■ o - — p v * <. S c coscu - t. c s i n c u >

771 C 2/71 a X X Z Z

l 2

v = oio -*■ ^ c o s S ■*- — p v C S : s i n o S c c o s a ó '

2m a x x z z

L • . 5 77i

y v > (33)

ilaieżnoici p o mo c ni cz e pr zy jm uj ą p o s t a ć ; v »■ -u - -v. c o s e - v s m B

ax v x . vz

V ■ u» - v sine- - v cc s S

<3.2 VX W 2

v v v * , v *

G a y oz

cx = arc. C v -> i

o z a>

•DJa uproszczenia w s t ę p u j ą c y c h ' ’ dale', w r a ż e ń w pracy zakłada się v -O.

W

2.6/ P r z y k ł a o c - w e c a n e 11 c z b o w °

Dane liczbowe w y m a ga n e dla przeprowadzenia, cyfrowej symui-a • zamkniętego układu s t er ow an i a m o ż n a podzielić na nastę pu ją ce grupy.

1 Wartości parametrów.

2 O kreślenie funkcji.

3. Przedziały zmien no śc i s.kłaaowycn w e k t o r a stanu..

4. Ograniczenia- s k ł a d o w y c h wekto ra sterowań.

5. P rz e d z i a ł y zmienności w i el kości pomocniczych.

84 W, Jurkiewicz., M. Błachuta. K. Wojci echował:

Pierwsze dwie grupy -danych w y m ag a ne są dla symulacja obiek t u st er o w a ń » Pozostałe pozwą l a j ą .o dp ow ie d ni o do przeds ta wi an e j w pracy m e t o d y . n a syntes układu sterowania z "dokładnością" do w s p ó ł c z y n n i k ó w liczbowych.

Wartości p a ra me tr ó w

T a b .1.

Oznaczenie Nazwa J e d n . Wartość':

m masa 1 kg 1 2000

J m o m e n t y bezwładności, w z g l ę d e m i kg m z i 2000 J s am ol o t o w e g o ukła du w s p ó ł r z ę d n y c h ¡kg m 2 ! ■ 5000

Jz i kg m 2 I i 0000

L r ów no w a ż n e ram io na sił w p r z e p ł y ­ Imi

.

L w o w y m uk ła dz i e w s p ó ł r z ę d n y c h ¡mi 0.5

Lz ■ . . - Im) O

5 r ów no w a ż n e p ow ie r z c h n i e w przep ły ­ Im2 1 0,5 | S w o w y m u k ł a dz ie w s p ó ł r z ę d n y c h [m2 i łO O

Sz lir.2 , 4 0. 0

p • gęstość powietrza ¡kg/m ! 1.2. |

przyśp ie sz e ni e z iemskie [m /s2 i GO T-i

współ czynnik ■[N/ % ) 20.0 J

O kr eś le n ia funkcja

Funkcje c^.c^.c^ r o z w i n i ę t e w szeregi potę go w e są postaci:

a a OZ 2 CO 3 fi fiz „2 r - H2„ . • . 2

c = c * c a - c a + c a t - c f i — c u * c o - c i o j

i i t l i t ». • h

* ,cvó - cvV ó j* - c-ó - a l2C ć S

i. V . V V Ir i •

gazie i-x .y .z

Liczbowe war to śc i współ c z y n n i k ó w . z y ch r oz wi ni ę ć przed«t awiaja t.ab.2 .o,2/i-

i ab-» 2. £• .

i - : c * a

c 012 c <** . c k . c fiz

V

Ł =X - 2 .0 -1 0“ 0.0 -2.0- 10‘3 0.0

' 0.0 c.c

ji«y 0.0 0.0 ■"

.

o r*

i i=z -i .5- 10-1 — 616 i 0.0

0

-i

Synteza układu st er ow a ni a r u c ne m samolotu.

35

T a b . 2 .b.

s K z V l

c C C c c

t

L

i= x 0 . 0 - 2 . 0 - 1 0 ~ 3 O o - 2 . 0 - 1 0 ' 3

o

o

- 2 . 0 - 1 0 ' 3

o

o O O - 2 . 5 - 1 0 3

O

O oo OO

l = Z

*1o

•0

-ł

1 o o Oo ■OO

0 . 0 o o

Funkcje m ^ , ro zw in i ęt e w szeregi pot ęg ow e są postaci::

o o ft. h, v. i

.

m =m - r n i o i - * m f i - + m o + m <5 m o

t i > \ v K i v i l

Liczbowe w artości w s p ó ł c z y n n i k ó w tych ro z winięć prze ds t aw ia Tab.3.

Ic£>.3.

....

n P m.

L

mh i

mV i

ml t

| f-x 1

0 . 0 0.0 O ° o o

- 4.0- 10'3 -4.0- 10'2

\i=y o o 5 . 7 - 10"z

o

o i w o H* O N OO OO

0 . 0

OO

- 1 . 1 - 1 0 ' *

O

O

8 . 0 - 1 0 " * - 2 . 0 - 1 0 " 5

Przeaziały zmienności s k ł a d o w y c h w e k to ra stanu

T & b .Ą.

■

Oznaczenie Nazwa Jedn. Z akres zmienn.

x.y, z s k ł a do we p o ło żenia ś r o d k a masy [ml d o w o 1ny . w u k ł a dz ie 1

B k ą t y Euler a p o ł o że ni a ukła d u [radl (-n/8.n/8)

•fi s a m o l o t o w e g o w z g l ę d e m ukła d u I [radl [-n.n 1

* - [radl dowo ln y

-

s kładowe prędkości w ukła dz i e S !m/s! 150.3001

.... - . .-

. V- '"i : !m/sj [-20,201

v ■ im/sl (— 20,201

P-O. r skłacowe' p rę dkości kątowej w ukia d zi e S

irad/s 1

.

1-0.15,0.15 1

86 ^W. J urkiewicz. K. B ł a c h u t a . K. Woje i echowski

Ograniczenia składow yc h w e k t or a s t er ow ali Tab.5.

Oznaczenie Nazwa J e d n. Zakr es zmienn.

<5 .<5 .5

h v l w yc hy le n ia k ąt o we s teru w y s o ­ kości k i e r u nk u i lotek

[rad] [-0.7. 0.7)

6 | w z g l ęd n y ciąg silnika f

0N0

[0,200)

P rzedz ia ł y zmienności wielkości p om oc niczych T a b.6.

i Oznaczenie N azwa Jedn. Za kres zmienn.

c* kąt natarcia [rad) [-0.3.0.3)

0 kąt ś 1 izgu (rad) [-0.5.0.5)

h~-z- w ysokość lotu [mi dowoIna

V flX Va y V

a s

s kładowe prędkości s amolotu w z g l ę d e m powietrza

.

■

im/s!

Im/s) (m/s)

[ 0 . 2 0 0 ) [-20.20 ) i-20.20 )

V

a moduł wekt or a prędkości

s a m o lo t u w z g l ę d e m p ow i etrza

im/s) [10.300 )

V , V , V

v x v y v z s kł ad ow e prędkości w i a t r u w uk ładz i e I

.— ...' .. ... ... ...

im/s) .

■

[-20,20 )

3.' S f o r m uł ow an i e zada ni a s terowania

Z a d a ni em s te ro w an ia jest s t a b i l i z a c j a w y b r a n y c h w i e l k o ś c i . wyjściowych obiektu (parametry lotu). W r o z p a t r y w a n y m prz y pa dk u są nimi .u. B. Należy zapewnić zatem:

It m u C O = u , Lim. B C !_> = e

o o

t -*00 t -cc

gdzie v 0 = ■■const. 8 = const są warto śc ia mi zadanymi stabilizowanych w i e l k o ś c i . D od at ko w o żąda się aby o r o ce s v p rz ej ś c i o w e uC tJ ■> u ecti - 6

o o

.Kolejnych wyjść były w z a j e m n i e niezależne, s pe ł n i a ł y z a da n e równania różnic zk ow e , a t y m s a m y m były równi eż n ie za l e ż n e od ■ z m i e n i a j ą c y c h sie c h a r a kt er ys t yk obiektu.

4. Synteza układu sterowania

4.1. St r uktura a lg o ry tm u s terowania

C h a r a k t e r y s t y c z n ą cechą a l g o r y t m ó w s t e r o w a n i a r e a l i z o w a n y c h metod*

lokalizacji jest zależność .st er o w a n i a od "wektora p rę dk o ś c i " rozumianego jako pochodna w z g l ę d e m czasu w e k t o r a stanu. Algorytmy- st er o w a n i a o - t a k i e ’

Synteza układu s te ro w a n i a r u c h e m samolotu.

strukturze roz pa tr yw a ne był y w prac ac h 18,15-17).

Ogólna m e to da o kr e śl an ia s t r u k t u r y a l g o r yt mu sterow an ia ze s pr zę że n ie m ad wektora prędkości dla p r zy padku o dw r ac a l n y c h u k ł ad ów dynam ic z ny ch przedstawiona zost ał a w pracy ¡23). Zgodnie z tą m e t o d y można, w pokazany poniżej s po só b ,d la zada ni a s te ro w a n i a s f o r m u ł o w a n e g o w pracy u tworzyć układ równań w z g lę de m cz a so wy ch pochod ny ch wielkości wyjściowych, z którego następnie m oż n a jawnie wy z na cz yć sterowania.

R óż ni czkując u ć O jedno k ro tn ie i BC O dw uk r o t n i e w z g l ę d e m czasu otrzymujemy:

(35)

gdzie

/ 2 2

/ C&,u , w . q , - - W ą - & s i n & + p C u + w ) «

(S Cc° -*■ c 0*2 C a r c t g Cu>/iL>S>2 + c h2Có } 2J c o s C a r c t g Cw/uS>J> +

X X X & x h

•fC-O S ic° + c°* arctrf Ć w/uJ + c h <5. J s i n C a r c U

Z z. Z z r>

f X u , uO = — p C u 2 + w ZJ> J ”1 L S m.a arc i.# Cw/uJ>

3 2 y y y y

, . i 2 2 . .-i , - h

b.Cu, uO = tz p C u + w J J L S m.

6 2 y y y y

a 6 = — - - . u m

Z postaci ikładu wynika, że jego r z ą d w z g l ę d e m w y j ś c i a uCtl jest równy jeden, zaś w z g l ę d e m w y j ś c i a S C O wynosi dwa. Z a t e m (patrz również [22.23!) algorytm st er ow a ni a ze s p r z ę ż e n i e m od w e k t o r a prędkości p oz w al aj ąc y na uzyskanie z a da n y c h traje k to ri i wi el k oś ci w y j ś c i o w y c h ma postać:

6 = k { r - u 1'}

- C U O

* F-i ~

(36)

gdzie k k g w s pó łc z y n n i k i w z m o c n i e n i a regulatora, kJs^>o. kQ b e >o .6 ,t o k r e ś la ją z ad an ą d y n a m i k ę wi el ko śc i wyjś ci o wy ch , uCtJ, &C tj za

U C7

pomocą nast ęp u ją cy ch w z a j e m n i e n ie za l e ż n y c h równań różniczkowych:

ix<1> = F C u ' , u (37)

u o

e ’2’ = _e e '1’, e , e j _o (

38

Faram.etry równa ń r ó ż n i c z k o w y c h (37) , (38.) w y b i e r a się tak by by ły spełnione zadane.wymagania o d n oś ni e p r z e b i e g ó w p r z e jś ci ow y ch

u<r o - m , e c u -• e

O O

Przy uw zględnieniu o g r a n i c z e ń ha war to śc i sterowań.

88 W. Jurkiewicz. M. Błachuta. K. Wojciechowski Przy kł a do wo wyma ga n ą dyna mi k ę m ożna zadać za pomocą następującym liniowych równań różniczkowych:

r u u: + u = uo 139;

Ą * ‘2> *

2

któruch parametrami liczbowymi są

t

4.2. Wł as no śc i ukła du z a m kn ię te g o

W s t ę pn ie w ła sności u k ł ad u z a m k n i ę t e g o r o z p a t r z y m y bez uwzględniani!

w pł yw u filt ró w różniczkuj ąc y ch , p o z w a l a j ą c y c h na u zy s ka ni e 'ocen' czasowyci p ochodnych wi e lkości wyjściowych.

P o d st a wi aj ąc prawa s te r ow a n i a (36)- do (35 ) o t r z y m u j e m y po w y k o n am i1 prostych p r z e k sz ta łc e ń n a s tę pu ją c e wy r aż en ia dla u" .s'2'

u ‘ 1 C t .k J = F ■* \ 1 + b h ■ > V / CB. u, w. ą, ć J - F > '41'

~ r c¡ ■* { 1 i (u, w i ł > I-i s C u, u>J’ - ,r * ' :4j’

V Z! t? Z7 ’ C? f

Dalej przech ząc do gran i cy otrzymujemy:

k ■* cc k „-►-a.'

w e

M oż na z a t e m stwie rd z ić na po ds ta w ie .43). że a l g o r y t m s t er ow a ni a (36!

zapewnie m ci 1iwośó uzyskania, z a d a n y c h za p o m o c ą r ó w na ń r ó ż n i c z k o w y c h (37!

i38) dy na m i c z n y c h w ła sności z m i e n n y c h w y j ś c i o w y c h w T O . Równocześnie, uzyskuje się a u t o n om iz ac j ę t o r ó w s t er ow an i a i ni ez a leżność własności (43 / od c ha r ak t e r y s t y k obiektu.

R oz pa tr z my czasowe przebiegi ste ro w ań ó , ó w y n i k a j ą c e . z przvjętegc

C h

prawa sterowania. Po ds ta w i a j ą c (35) dc (36) otrzymujemy:

ó C l , k J? = -C k 1 b } V r* Cu. u J> - / CS.u, w .o.ć J (441

C u u u u O u h

ó < t . k . ,.** = í t e - — ć>_^<L u . i i O J 1 * j ~ f C u . u C ( 4 5 :

r- C" t* tr t? C ' w

s/.rtt or prze iścig do g r an ic y mam y

¿ •: : ■ - = ó/Cł/ . t ■: m = ¿*C ¿

.

* - * « ' k . -*- a

u r>

gezie ó" •.' . s¿. następującym: a sy mp t otycznym; postaciami praw

¿* terowanie

o íij. = ó r i \ , u , - • Cr. u, w.ę.t**, • Az

<5^<T O = 6^ Cu,wJ> Fq{q,&,6^' - f JZu , >

Syntezo u k ł a d u s t e r o w a n i a r u c h e m s a m o l o t u . 89

4.3. Warunki' r e d! iz ow a ln oż ci z a d a ny ch trajektorii w y jś c io wy ch

. Wiadomo.. 1 ■ 4 . że jeżeli układ d y n a m i c z n y jest odwracalny to sterowanie z a p e w n i a j ą c e u z yskanie trajektorii w y j ś c i o w y c h o zadanych własnościach d y n a m i c z n y c h istnieje na sk oń c z o n y m p rz ed zi a le c z a s ow y m i jest jednoznacznie określone. Zauważmy,. ź e a s y m p to ty cz n e postacie. praw sterowania 6aCtJ , ¿ “t o o tr z ym an e w p.4.2. w w y n i k u p rz ej ś ci a granicznego

c n

można również uzyskać dla u k ła du o d w r a c a l n e g o b ez p o ś r e d n i o z wy ra ż en ia (35) i warunków

u “ ’- r . e ‘2 ’ = r

u (9

W tym pr z ypadku dla t «= [t , oa> war t oś ci sterowań 6 aC ¿J> , ó ac O

O c h

reali z u j ą cy c h, z a d a n ą t r aj ek t o r i e m o g ą rosnąó d o w o l n i e (tj, 1 in s u p < .fó“<rtjjz + fójYtJJ2 J ■= co

t -*co

co nie jest m o ż l i w e w r o z p a t r y w a n y m uk ł ad zi e s t er o wa ni a ponieważ wartości

. _ ,niax .mox . £ . rmax -max , ■

sterowań są o g ra ni c z o n e <5 <= i-o ,6 J, <5 e C~ó. , 6 i 1 a w konsekwencji

c c c h h h

zadana trajektoria wyj śc io w a nie będzie r ea li z o w a l n a po upływie skończonego odcinka czasu.

Na p od stawie p ow yż s z y c h rozważań dla r e a l izowatności zadanej trajektorii w y j ś c i o w e j o p r óc z w a r u n k u odwracał no ś ci układu d o d a t k o w o wymaga się stabilności o b i e k t u w z g l ę d e m s t er o wa ni a w p ro w a d z o n e j w p r a ca ch (22,23).

Określony tam w a r u n e k s ta bilności m a p o s t a ć -

tim sup < f<5aCtJjZ+ fó^TćJJ2 J < oo (4 8 )

c n

t -*0D

W.szczegóiności w r o z p a t r y w a n y m prz y pa dk u zakł ad a się

t

c c h h

l -*00 t -»CD

Sprawdzenie k ie d y po wy ż sz y w a r u n e k jest s p e ł n i o n y prowadzi do badania stabilności u k ł a d ó w o d w r a c a l n y c h m i n i m a l n e g o rzędu* a w prz y pa dk u u k ł ad ów liniowych i s t a c j o n a r n y c h do a n a l i z y zer t ransmitancji u kładu [24.25].

4.4. Analiza, r e a i i z o w a 1ności

Podstawiając w y r a ż e n i e (46;,(47) do układ u (33) o tr zy m u j e m y równania układu z a mk n ię te go o postaci:

x = u cosB + w sin&

2 = t u si nS u> c o.st?

0 = 0 ’ (49)

u = F Cu, u J

u O

w

f C S

•<?= F e < ą . ; e , e ^ .

gdzie

90 W. J u r k i e w i c z , M. B ł a c h u t a . K. Wojcaechowsk;

\l, w, <7» 6^> - m. ą + & c o sB

• < S [c° c 0*2 C ar ct g C w S x O J2 f X X ' X

*-

c ^ C b * C\x, \o2> <F^C

, & , & O

wS>>22]

X & C7 O C7

5 ■** nr-t* t <p fiiisiijy- •*■ h *Cm 1 łił> C F C n . G . O } •*

■*-C

-1

Ponieważ układ równań (37 1.(38) jest s t a b il ny . . zaś skł ad ow e xC t j i z < i > si m e o b s e r w o w a l n e w z g l ę d e m wyjśó eCt-J, uCij to dla s p e ł n i e n i a w a r u n k u (48 ) wy s ta rc zy stabi l no ść r oz wiązań równania

łi = i CS.u.w.o.ćł J>

V o

Ze w z g lę d u na nieliniowość ogólna analiza, stab i ln oś ci p ow yż s z e g o równania jest trudna stąd w p r a c y og ra n i c z o n o sie d o s z c z e g ó l n e g o przypadku' r eaIizowainości w zadaniu'stabilizacji, wie lk o śc i 'wyjściowych.

4.5. Ana.izą trajektorii o s o bl iw yc h

S z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m a n al iz y r e a 1i z o w a 1ncści trajektorii w yj śc i o w y c h jest anal i za r e a I i z o w a l n o ś c i . ich s t a bi l iz ac ji na zadanych w a r to ś ci ac h t j .

uftj = u , Sf tj = 9 ■ V : e i £ . oo j

o o o

W tym przypadku, trajek to r ia u k ł a d u z a m k n i ę t e g o należy do pewne;

po a przestrzeni p rz estrzeni stanu (trajektorie osobliwe) i spełnienie w a r u nk u (48) sp r ow ad za sie d o b a da ni a s t ab il no ś ci w tej p o d p r z e s t r z e n i ..

W pracy [24] pokazano, że liczba równa ń o k r e ś l a j ą c y c h podprzestrzeń trajektorii os o bl i w y c n jest równa s umie r z ę d ó w u kł ad u ( 3 3 j wzgleden zm i en ny ch w y j ś c i o w y c h ; w p r z y pa dk u rozpatrywanym, w 'pracy w ynosi trzy a )ównar.ia: określ aj ąc e po dp r z e s t r z e ń m a j ą p o s t a ć :

u 1..' - u . QC Łj - r , of i «5 = 0 ■ V : € i : , ® i

O o

Stać u Ki sd równa!'; o p i s u j ą c y c h t r aj ek t or ie oso bl i we jest u k ł a d e m rzeóu C n- 3) . gd za e n jest r z e d e m układu w y jś c iowegc imode] obiektu): Układ, ten mt p o s t a ć •

y. ~ m cos O - w sinO

o O o 1o

2 = * li Sin5 - >x COSĆr O

u; - / C O , \j , uC _»'50’

g d z i e

Synteza układu s t er o wa ni a r u c h e m samolotu 91

* CO

wS>

g c o s O + p C u 2

Vf2} ( S C c°

c ^ C a r c tg C w C u }S>2 +

' w o o o

dm

+ c h2CCma / m n^ a r c L g C w /u J>2>2 ] s i n C a r c t g C w / u

x

y '

4 £> l c

z z

z

O z

y' y O

cosC crrc t #Cuł/u^J)>)

Ponieważ skła do w e x C O , 2Ć O nie są ob s er w o w a ł n e w z g l ę d e m zmiennych wyjściowych 6CtJ, \tCt} to przy a n a l i z i e wła s no śc i (48) pierwsze dwa równania tego u kł ad u m o g ą być po mi ni ęt e (23,24).

Zakładając na po ds ta wi e p rz es ł a n e k fizykalnych. że |u>/uq |<<i i rozwijając funkcje t r y g o n o m e t r y c z n e w szeregi po tęgowe otrzymujemy:

u> = a w + < g c o s O + p u 2S c ° > + / C C w / u ->2 ,<Tw/u ,

v

o z z y v ' o ' o

g d z i e

1 . — o — -

h- Ci j >, i .

a

w

¿rm

o x x

z z

z y ' y

' v 7 O 7 O

(w^u > -.O

Uwzględniając dane liczbowe z a m i e s z c z o n e w T ab.1.,2.. o tr zy m uj em y a^s: - l co oznacza, Ze r o z w i ą z a n i e r ó w n an ia -(5C0 jest sta bi l ne dla m a ł y c h wielkości stosunku |w/uo | . S p e ł n i o n y jest z a t e m w a r u n e k ( 48 ) i stabilizacja wybranych wi e lk oś ci w y j ś c i o w y c h jest r e a l i z o w a l n a przy istniejących ograniczeniach na wart o śc i sterowań..

1 postaci w y r a ż e ń (46),(47) wnika, że pop r ze z w y b ó r p a r a m e t r ó w pożądanej dynamiki F ^. F traj ek to ri i w y j ś c i o w e j m o żn a z awsze spełnić warunki

C> U

,q . .max -m a x, -a r . m a x ¿ m a x ,

<5 e f-ć , 6 1 * 6 e ,<5 J

c c c n h n

W a r t o ś ć .usta 1o n ą zm iennej w w y z n a c z y ć m o ż n a na p o dstawie nas tę pu j ąc eg o przybliżonego w y r a ż e n i a

w 3: -ie cosQ + p u zS c 0 > / ( " p u < S c° + S fca — J>

° o Pm o z -z 7 2m. o x x z z z y 7 y

4.6. D okładność reali za cj i zadanej t ra jektorii wyjśc ia

Dla o k re śl e ni a w i e l ko śc i b łędu realiz ac j i zada ne j trajektorii wyjścia występującego p r z y s k o ń c z o n y c h w a r t o ś c i a c h w s p ó ł c z y n n i k ó w w z m o c n ie ń wykorzystać m o ż n a z al eż n oś ci p r z e d st aw i on e w p r a ca c h f 15/16].

Oznaczmy przez

•F _ - ‘i > .F r- ,aiZ' A u - V u ' “e = r o ~ 6

błędy realizacji zadanej d ynamiki F^ i t q • Załó żm y że do pu s z c z a l n e wartości b ł ę d ó w p o w i n n y sp ełniać n as t ę p u j ą c e ograniczenia:

I < 1 5 ° -°5 ! r J m o * ' I Ael £ 0 5 I Fe¡mo*

Zatem, uwzględn ia ją c w y r a ż e ni a (41).(42) otrzymujemy. . że w układzie zamknię-tym

Af = < i ■+■ t> k > " < F (u., u S> - / C 0 , i i , u i , ę , ć J) )

u u u u O u »>

4 = ° * b0 c%t’w > K e > l< Fe c 6)(,>'e -e0:> " j y u . u o >

W w yniku otrzymujemy:

Ik I > l ó | ’ V I r (u,u 2-f C e . u . u i . g . ó J>| S ( 0 . 0 5 \ F <Tu,u J>| >-l)

J U J ' u 1 1 u O ' u h 1 max 1 u O 1 max

1*^1 ^ \àa C u . w i ł ' 1 < i r ^ c e ^ . e . e }-/x-u,w}\ yc o. 0 5 \f c.j\ i - / j I 0\ 1 0 (min 1 6 O & * max ■ © 1 max

Zauważmy, że ponieważ wielkość uCtJ jest mierzona, to z al eżność A^ od uC£J> mo żn a zmniejszyć przyjmując:

* * - V - z (51!

Z a t e m dla określ en ia w ie lkości k^ mamy zależność:

V = {2Jy/cpLy SJ r ^ - V > \ ™ * ' C 0 -0 5 \ F e c ->

Z kolei dla w y z n a c z e n i a w ie lk o śc i b łę du realizacji, w s t anie ustalonyo przy skończonej wartości w s p ó ł c z y n n i k ó w w z m o c n i e n i a k^ , kQ wykorzystamy zależności prze ds ta w io ne w pracy ! 25 ]. Zakładamy, ż e w ukła dz ie występuje stan ust a lo ny jeżeli:

u<" tj> = xl = const , 9C tS) = O = const .

s »

O zn ac za j ąc przez

A* = u - u , A* = & - 6

u O s 0 O a

błędy realizacji w stanie u s t a l o n y m .można s f o rm u ło wa ć następujący w a r u ne k :

I A " I £ I A * ! • I 4 I 5 I 4 I 1 u ., ». 1 u 1 max 1 0 1 1 0 1max *

Z wyra że ń (411,(42) i (391,(40) w y n i k a ,że w s tanie u s t a l o n y m zachodzi O .= t < . > - ó u r-‘ A* . 0 = ♦ b e C. > k e r ? a;

W w yn ik u otrz y mu je my os ta t e c z n i e waru nk i :

k |> t ! / <T. J> ! <T ! b I i A* Ï J _1 u} u u ' s- r u 1 s 1 u 1 max ■

N * T Sl 4 4 . • > ! . - ' i 4 < ; 3 u i 4 ima* ->'1

•Jeżeli okr eś li m y o c p o w i e d m o do w y r a ż e n i a (51) otrzymujemy:

• V * V ' ^ ! . i 4 I w * '

Wyko rz y st uj ąc powyższe ni erówności m o ż e m y ' wybr ać wartość:

w s p ó ł c z y n n i k ó w w zm oc ni e ń k . tak by j e d no cz e śn ie b y ł y spełnione

U 0

wy m ag an ia o dnośnie dopuszczalnej- wi el kości b ł ę d u re al i za cj i zadanej trajektorii wy jś ci o we j w sta na ch p r z e j ś c i o w y m i ustalonym;

qp________________________________ W. Jurkiewicz, M. Błachuta. K. Wojciechowski

Synteza u k ł ad u s t er ow a n i a r u c h e m samolotu.

31

4.7. W p ł y w t i 1tr ó w r ó ż n i c z k u j ą c y c h

O dp owiednio d o koncepcji s t er ow an i a ze s p r z ę ż e n i e m od wektora prędkości ar gumentami prawa s te ro w a n i a (36) s ą p ochodne u'1’ , e'z>, e'1’.W praktycznej realizacji s t er o w a n i a pochodne te nie s ą dostępne pomiarowo.

Zamiast nich w y k o r z y s t u j e się ich oc e ny o t r z y ma ne w w y n i k u zasto so w an ia dwu filtrów różniczkujĄcy.ch o postaci [8.16] :

u u * u = u

U

Ą e ' 2' * 2d & fJd e'" * e = a

Równocześnie u w z g l ę d n i aj ą c ograniczenia na wartości sterowań . , -max ..max - - , .max .max ,

6 € f-ó , 6 J . Ó € t -<5ł , 6. . 3

c c c h h h

przyjmujemy p rawo s te r ow a n i a w postaci

.max - “1 ..max . , .max z .max _ ó • O s a t C ó /6 - 3 , 6 - 6 s a u ó / < : >

C C c* c r» r> rv r

g a z i e

i r > i s a t C >0

ó = * i F C U , u J> - u

C U u O

5 h -

k e < U

W wyniku. r ównania u k ł a d u z a m k n i ę t e g o m a j ą postać:

x = u cosG + u> s t n 9

x ~ - b sinO * 'j> cos6

6 = q (52!

- „ . . . rmox . , _ . " . <1>. ..max.

u = / < r e , u , w , o . c J> -r 6 ó s a t C h \ F C u ,u J - u 3/0 j

' u r> u c u u' o * c

= i C G , u tw tą*6^}

, . .max .. ł > A « s, —<2>. ..max . O = /gC-UęUO s a z C k g C FqC6 ,6 tCfo ~ ' k

2 *C2> _ . “(1) "

htę6 ■+ c a & iue e - 6 = .0

g d z i e

; C G , u, w, v 0 . 6 3 = k u q * c o s ó .-*•¿rm p Cu2 w2J> *

t”S t c° c-“ Cctrc.t*rC’lu/uO}2 - •: K2:'ó. s m C a r c t ^ C w ^ u J J ♦

x y x x r>

■f S i c ° * ci r c ŁgC xosu3 c* ć 3 c o s C ar c LgCw/\DJ>3

2 . * Z Z

W po wy ższym uk ładzie równań, p^. i p g od g ry wa ją rolę m a ł e g o parametru stąd jakościowe w ł asności u k ła d u z am kn i ę t e g o mo żn a badać poprzez w yróżnienie dwu podukładów, s z y b k ie go i. wolnego. W y d z i e l e n i e tych podukładów moż e być w y k on a ne m e t o d ą p r z e d s t a w i o n ą w p r a c ac h [8.15,16).

Z ak ładamy również, że dla wart oś ci zm i en n y c h n a l e ż ą c y c h d o przedzialó#

w ym ie ni on y ch w Tab.4-6. sp e łn io ne są n a s tę pu ją c e nierówności:

- W. Jurkiewicz,. M. Błachuta. .K.. Wojciechowski

| F / 0 - f e C ; i \ max < |óe Ć O j mln ć hmax

4.8. Skła do wa w o l n o z m i e n n a

O d p o w i e d n i o do m e t o d y p r z e d st aw i on ej w pr ac y ! 15 ) wprowadzamy do d atkowe zmienne

u = -u“ ’ . e = e*1’ . e = e<2>

1 1 2

i r oz sz e r z a m y układ C52J przez w p r o w a d z e n i e d o d a t k o w y c h r ó w na ń wiążących te zmienne. Ot rz y m a n y r o z s z e r z o n y uk ła d ró wnań m a postać:

x = u cos

6

6

z = - u sinG ■+ w cos

6

e = q

u = / J + b ó m<u<s a i t ł CF Cu , u J> - u ł / ó maxż

u h u c u u o i ' c

U> = / 2

v h

ó = / / u . w j + b-C-u.w}ó™a*saLCk.-{r0ce ,a .3 j - e > /ómaxj

0 & h 0 6 1 O 2 ' h

' <i>

U -U u = -u

P u +. u = / C e ,u .w ,< ? ,o t .> 1- b

6

U i ł u h u c u u o i ' c

-

4

2 ^<2>

M e®2 ~a d & H

6e2

Wy k on uj ąc w p o w y ż s z y m u kładzie pr z ej śc ie g r a n i c zn e p - O , u a - 0

u , 6*

ot r zy m u j e m y w w y n i k u uk ła d równań o p i s u j ą c y w o l n o z m i e n n e składowe przebiegów. Ma on postać*.

Synteza ukiadu s t e r o w a n i a r u c h e m samolotu. 95

x = u cosO + w sinG

z = - \jl, ś i n 0 + u> cosG

e

(53) w = / CG, u, w, o , <5, 2

v h

Otrzymany uk ła d o dp o w i a d a przy pa d ko wi z a s to so wa n ia i de a lnych filtrów różniczku j ą c y c h .

4.9. S k ładowa s z y b k oz mi en n a

W r o z p a t r y w a n y m p rz yp a d k u dla ok re ś l e n i a po d uk ła du składowej szybkozmiennej p o d s t a w i a m y M i d o k o n u j e m y p r z e s ka lo wa n ia osi czasu według zależności r - ^ 11 ^. O t r z y m a n y w w y n i k u r o z s z e r z o n y u kład ma postać:

d— x = /j < u c o s G +■ w $ i n & )

d z * p <- u sinG + w cosG )

d

XI - XI

G

XIi

i Q

d‘2

dr

Wykonując w o t r z y m a n y m ukł ad z ie pr z ej śc ie g r a n i cz n e p -* 0 t otrzy mu je m y Podukł ad opi s uj ąc y s k ł a d o w ą s z y b k o z m i e n n ą jako funkcje z miennej r .Podukład ten ma p o s t a ć :