Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze je´sli µ := c ¯ d − d¯ c 6= 0, to homografia h(x) = (ax + b)/(cx + d), a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0, odwzorowuje o´s rzeczywist¸a R ⊂ C na okr¸ag

ALGEBRA I R

Liczby zespolone, liniowa zale ˙zno´ s´ c i bazy Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze je´sli µ := c ¯ d − d¯ c 6= 0, to homografia h(x) = (ax + b)/(cx + d), a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0, odwzorowuje o´s rzeczywist¸a R ⊂ C na okr¸ag

C  a ¯ d − b¯ c

µ ;

ad − bc µ



z usuni¸etym punktem a/c = lim _x→∞ h(x) = h(∞).

Cwiczenie 2. Niech uk lad e ´ ₁ , . . . , e _n , gdzie n ≥ 3, b¸edzie uk ladem liniowo niezale˙znym w przestrzeni wektorowej V . Dowie´s´ c, ˙ze uk lad e ₁ + e ₂ , e ₂ + e ₃ , . . . , e _n + e ₁ jest liniowo niezale˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy liczba n jest nieparzysta.

Cwiczenie 3. Niech V = R ´ ^R b¸edzie przestrzeni¸ a liniow¸ a nad R funkcji rzeczywistych jednej zmiennej. Zbada´ c liniow¸ a zale˙zno´s´ c uk ladu funkcji sin φ, cos φ, sin 2φ, cos 2φ, sin 3φ i cos 3φ.

Cwiczenie 4. Dowie´s´ ´ c, ˙ze ci¸ agi geometryczne Γ(u) := (u, u ² , u ³ , . . .) przy u przebie- gaj¸ acym √

1 tworz¸ a baz¸e przestrzeni liniowej Ω _n ⊂ C ^N nad C z lo˙zonej z ci¸ag´ow okre- sowych z okresem n, tzn. x = (x ₁ , x ₂ , . . .) ∈ C ^N takich, ˙ze ∀k : x _k+n = x _k .

Cwiczenie 5. Niech n ∈ N. Sprawdzi´c, ˙ze wielomiany v ´ ^k (t) = t ^k +t ^k−1 , dla k = 1, . . . , n, tworz¸ a baz¸e przestrzeni liniowej (nad K) W = {v ∈ K n [·] : v(−1) = 0} ⊂ K n [·], gdzie K n [·] to zbi´ or wielomian´ ow stopnia n o wsp´ o lczynnikach w ciele K.

Cwiczenie 6. W zale˙zno´sci od p ∈ R zbada´c liniow¸a niezale˙zno´s´c nad R tr´ojki wektor´ow ´







 2 1 + 2p

−3 7







 ,







 p 5 3 + p

−3p







 ,







 0 7 10 + p

−13







 .

Cwiczenie 7. Udowodnij, ˙ze wektory ´





−1 0 1



 ,





−1 1

−1



 ,



 1 2 1





tworz¸ a baz¸e R ³ i napisz wsp´ o lrz¸edne wektora



 3 7 1



 w tej bazie.

1