Pokaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi 1 a+1 b +4 c +16 d ­ 64 a + b + c + d

8.11.2018, kl 1b

Powtórka przed klasówką nr 2.

Zadanie 1. Dla par liczb rzeczywistych x, y takich, że x < 2, y < 1 i x + y > −¹₂ znajdź największą wartość wyrażenia

√2 − x · (1 − y)²· (x + y +1 2).

Zadanie 2. Pokaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi 1

a+1 b +4

c +16

d ­ 64

a + b + c + d. Zadanie 3. Znajdź wszystkie rozwiązania x, y, z układu równań















x³+ y = xyz + z, y³+ z = xyz + x, z³+ x = xyz + y, x + 2y + 3z = 6.

Zadanie 4. Pokaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi a²+ b²+ c² ­ ab + bc + ca.

Zadanie 5. Oblicz sumy

a.

6

X

j=0

5^j· 6 j

! , b.

n

X

k=1

2^k· n k

! , c.

n

X

k=1

k² n k

! .

Zadanie 6. Udowodnij, że (n²)! dzieli się przez (n!)ⁿ⁺¹. Zadanie 7. Oblicz sumę

n

X

k=0

1

(n − k)!(n + k)!. Zadanie 8. Liczby całkowite a_n, b_n spełniają równość

a_n+ b_n√

2 = (1 +√

2)²ⁿ⁺¹. Udowodnij, że liczby a_n i b_n są nieparzyste.

Zadanie 9. Z talii 52 kart wyjęto 10 kart. W ilu przypadkach (na ⁵²₁₀
) wśród tych kart znajdą się (a) co najmniej jeden as,

(b) dokładnie jeden as, (c) co najmniej dwa asy, (d) dokładnie 2 asy.

Zadanie 10. Udowodnić, że liczba podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , n} nie zawierających dwóch kolejnych liczb jest równa F_n+2, gdzie F_n oznacza n-ty wyraz ciągu Fibonacciego.

Zadanie 11. Na ile różnych sposobów można nawlec 14 kolorowych korali (7 żółtych, 4 czerwonych i 3 białych) na okrąg. Dwa układy korali uważamy za równoważne, jeśli jeden można uzyskać z drugiego przez obrót okręgu.

Zadanie 12. Uzasadnić, że liczba _n!(n+1)!^(2n)! jest całkowita.