Algebra dla MSEM 1, 2019/2020 ćwiczenia 3. – rozwiązania
11 października 2019
1. Niech An= {x ∈ R∶ x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃∞n=1An oraz⋂∞n=1An. 2. Niech An= {x ∈ R∶n1 ≤ x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃∞n=1An oraz ⋂∞n=1An.
3. Niech An= (−3 + (−1)n, 0) dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋂∞m=1⋃n≥mAn oraz ⋃∞m=1⋂n≥mAn. 4. Niech Ak,x= {y ∈ R∶ ∣x − y∣ < ∣y − k∣} dla k ∈ Z, x ∈ R. Znajdź ⋂k∈Z⋃x∈RAk,x.
5. Niech An= {x ∈ R∶ n2< x < 2n2} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃∞n=1An oraz ⋂∞n=1An. 6. Niech
An,m= {f ∈ NN∶ f(n) = m},
n, m∈ N. Znajdź: ⋃n⋂mAn,m,⋃m⋂nAn,m,⋂n⋃mAn,moraz ⋂m⋃nAn,m. 7. Udowodnij, że funkcja jest różnowartościowa i znajdź przekształcenie odwrotne:
a) f∶ R2→ R2, f(x, y) = ⟨x + y, x − y⟩, b) F∶ P(R) → P(P(R)), F (A) = P(A).
Zadania domowe
1. Sprawdź, czy prawdą jest, dla dowolnych zbiorów A, B, C, zachodzi: A∖ (C ∖ B) = (A ∖ C) ∪ (A ∩ B). Jeśli tak, udowodnij, jeśli nie – podaj kontrprzykład.
2. Wypisz wszystkie elementy i podzbiory zbioru:
{∅, {∅, {∅}}, {∅} ∪ {{∅}, ∅}, {{∅}, {∅, {∅}}} ∩ {∅, {{∅}}}, {∅, {∅, {∅}}}}.
3. Udowodnij, że relacja F⊆ (P(N) × P(N)) × P(N), taka że
⟨⟨A, B⟩ C⟩ ∈ F ↔ (∀x(x ∈ C ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B)) , jest funkcją(P(N))2→ P(N).
4. Następnie sprawdź, czy F jest różnowartościowa i czy jest „na”. Jeśli nie jest różnowartościowa, podaj przykład dwóch argumentów, które przyjmują te same wartości. Jeśli nie jest „na” znajdź jej przeciwdzie- dzinę.
5. Niech Ax= {y ∈ R∶ y > sin x}. Znajdź ⋃z∈R⋂x≥zAxoraz ⋂z∈R⋃x≥zAx.
1
