Algebra dla MSEM 1, 2019/2020 ćwiczenia 6. – rozwiązania

Algebra dla MSEM 1, 2019/2020 ćwiczenia 6. – rozwiązania

22 października 2019

1. Znajdź moc zbioru:

a) A = {A ⊆ N ∖ {0}∶ ∀n∈N∖{0}∣A ∩ {1, 2, . . . , n}∣ ≥ n − 2019},

Zauważmy, że jeśli A ∈ A, to ∣N∖A∣ ≤ 2020, ale A jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje dopełnienie.

Tymczasem podzbiorów liczb naturalnych o mocy nie większej niż 2020 jest przeliczalnie wiele, bo wszystkich skończonych podzbiorów liczb naturalnych jest tyle.

b) B = {A ⊆ N ∖ {0}∶ ∀n∈N∖{0}∣A ∩ {1, 2, . . . , 2n}∣ = n},

Zauważmy (prosty dowód przez indukcję), że A ∈ B wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n ∈ N, n > 1, albo 2n − 1 ∈ A, albo 2n ∈ A. Wobec tego zbiór A jednoznacznie wyznacza ciąg (an) ∈ {0, 1}^N tak, że 2n ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy an=1. Zatem mamy bijekcję F ∶ {0, 1}^N→ B, czyli ∣B∣ = ∣{0, 1}^N∣ =c.

2. Załóżmy, że X ⊆ R jest nieprzeliczalny. Czy zbiór {x²∶x ∈ X} też jest wtedy zawsze nieprzeliczalny?

Odpowiedź uzasadnij.

Tak, załóżmy bowiem przeciwnie, że X^′ = {x²∶x ∈ X} jest przeliczalny, ale w takim razie X ⊆ Y ∪ Y^′, gdzie Y = {√

x∶ x ∈ X^′}, Y^′= {−

√x∶ x ∈ X^′}. Ale ∣Y ∣ = ∣Y^′∣ = ∣X^′∣ są przeliczalne, więc X jest przeliczalny, sprzeczność. ◻

3. Znajdź wszystkie relacje równoważności na zbiorze {1, 2, 3}. Wskaż podziały im odpowiadające.

ˆ R = {⟨1, 1⟩ , ⟨2, 2⟩ , ⟨3, 3⟩}, {1, 2, 3}/R = {{1}, {2}, {3}},

ˆ R = {⟨1, 1⟩ , ⟨2, 2⟩ , ⟨1, 2⟩ , ⟨2, 1⟩ , ⟨3, 3⟩}, {1, 2, 3}/R = {{1, 2}, {3}},

ˆ R = {⟨1, 1⟩ , ⟨2, 2⟩ , ⟨3, 3⟩ , ⟨1, 3⟩ , ⟨3, 1⟩}, {1, 2, 3}/R = {{1, 3}, {2}},

ˆ R = {⟨1, 1⟩ , ⟨2, 2⟩ , ⟨3, 3⟩ , ⟨2, 3⟩ , ⟨3, 2⟩}, {1, 2, 3}/R = {{1}, {2, 3}},

ˆ R = {⟨1, 1⟩ , ⟨2, 2⟩ , ⟨1, 2⟩ , ⟨2, 1⟩ , ⟨3, 3⟩ , ⟨1, 3⟩ , ⟨3, 1⟩ , ⟨2, 3⟩ , ⟨3, 2⟩}, {1, 2, 3}/R = {{1, 2, 3}}.

4. Udowodnij, że ∼ jest relacją równoważności w zbiorze X. Znajdź moce poszczególnych klas abstrakcji oraz moc zbioru ilorazowego.

a) X = R, x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z,

Oczywiście x − x = 0 ∈ Z, więc x ∼ x. Jeśli x − y ∈ Z, to oczywiście y − x ∈ Z, więc y ∼ x. Jeśli x ∼ y oraz y ∼ z, więc x − y, y − z ∈ Z, zatem x − z = x − y − (y − z) ∈ Z, czyli x ∼ z, zatem relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Jeśli x ∈ R, to [x]∼= {x + z∶ z ∈ Z}, czyli ∣[x]∼∣ = ℵ0.

Zauważmy także, że jeśli x, y ∈ [0, 1) oraz x ≠ y, to x ∉ [y]_∼, zatem ∣R/ ∼ ∣ ≥ c. Z drugiej strony,

∣R/ ∼ ∣ ≤ ∣R∣ = c, zatem zbiór ilorazowy ma moc c.

b) X = P (N)∖{∅}, A ∼ B ⇔ (min A = min B ∧sup A = sup B), przyjmujemy, że jeśli A jest nieograniczony, to sup A = ∞.

Zwrotność, symetryczność i przechodniość oczywista.

Każda klasa abstrakcji jest wyznaczona przez dwie „liczby” m, n, m ∈ N, n ∈ N ∪ {∞} oraz m ≤ n – czyli minimum oraz supremum zbiorów, które w tej klasie leżą. A więc ∣X/ ∼ ∣ = ∣N²∣ = ℵ₀.

Jeśli n ∈ N, to moc takiej klasy abstrakcji to 2^m−n−1. Zaś jeśli n = ∞ to ta moc wynosi ℵ0.

1

c) X = N^N, f ∼ g ⇔ ∀n∈N2∣(f (n) − g(n)).

Oczywiście dla każdego n ∈ N, mamy f (n) − f (n) = 0 i 2∣0, czyli f ∼ f .

Jeśli f ∼ g, to dla każdego n, 2∣(f (n) − g(n)), zatem 2∣(g(n) − f (n)), zatem g ∼ f .

Jeśli f ∼ g oraz g ∼ h, to dla każdego n, 2∣(f (n) − g(n)) oraz 2∣(g(n) − h(n)), a zatem 2∣(f (n) − g(n) − (g(n) − h(n))), więc 2∣(f (n) − h(n)), czyli f ∼ h. Zatem ∼ jest relacją równoważności.

Jeśli f, g ∈ N^N to h zdefiniowany jako h(n) = f (n) + 2g(n), ma tę własność, że h ∈ [f ]_∼, zatem dla każdego f , [f ]_∼≥c, a zatem oczywiście [f ]_∼=c.

Zauważmy, że każde dwa ciągi ze zbioru {0, 1}^Nsą w różnych klasach abstrakcji, zatem ∣X/ ∼ ∣ = c.

5. Niech X będzie zbiorem wszystkich funkcji niemalejących N → N oraz ∼⊆ X² będzie zadane następująco:

f ∼ g ⇔ (∀_m∃_ng(n) ≥ f (m)) ∧ (∀_k∃_lf (l) ≥ g(k)) a) Wykaż, że ∼ jest relacją równoważności.

Sprawdzamy zwrotność: rzeczywiście dla każdego m, wystarczy wziąć n = m aby f (n) ≥ f (m), a drugi warunek mówi to samo.

Sprawdzamy symetryczność: rzeczywiście wystarczy zamienić miejscami oba warunki.

Sprawdzamy przechodniość: jeśli f ∼ g oraz g ∼ h, sprawdźmy pierwszy warunek – drugi analogicznie.

Mamy: dla każdego m istnieje n1 takie, że g(n1) ≥f (m), ale dla tego n1 istnieje n2 takie, że h(n2) ≥ g(n1), a więc h(n2) ≥f (m).

b) Znajdź moce zbiorów [f ]_∼ oraz [g]_∼, gdzie f (n) = 100, g(n) = n².

Zauważmy, że aby f ∼ h potrzeba i wystarcza, by sup f = sup h, bo jeśli sup h < sup f to istnieje takie m, że dla każdego n h(n) < f (m). Zatem [f ]_∼ = {h ∈ X∶ ∃n∀_m>nf (m) = 100} – funkcje od pewnego miejsca stałe i równe 100, czyli ∣[f ]_∼∣ = ℵ₀. Tymczasem [g]_∼ to zbiór wszystkich niemalejących funkcji nieograniczonych, więc ∣[g]_∼∣ =c.

c) Znajdź moc zbioru X/ ∼.

Zgodnie z tym co wyżej, ∣X/ ∼ ∣ = ∣N ∪ {∞}∣ = ℵ0.

6. Niech R będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych. Dla dowolnej funkcji S∶ N → R definiujemy relację R∞(S) = {⟨x, y⟩ ∈ N²∶ ∃i∈N∀j≥ixS(j)y}. Wykazać, że dla każdego S∶ N → R relacja R_∞(S) jest relacją równoważności. Czy R_∞ jest funkcją na R?

Niech S ∈ R, sprawdzamy, czy R_∞(S) jest relacją równoważności. Rzeczywiście:

ˆ dla każdego n ∈ N, i dla i = 0, dla każdego j ≥ i wiemy, że S(j) jest relacją równoważności, więc jest zwrotna, wiec nS(i)n, więc nR_∞(S)n, czyli R_∞(S) jest zwrotna.

ˆ niech n, m ∈ N będą takie, że nR∞(S)m. Oznacza to, że dla pewnego i i dla każdego j ≥ i mamy nS(j)m, ale ponieważ S(j) jest relacją równoważności, to również mS(j)n, czyli mR_∞(S)n, czyli R_∞(S) jest symetryczna.

ˆ Niech n, m, l ∈ N będą takie, że nR∞(S)m oraz mR_∞(S)l, wtedy istnieją takie i₀, i₁, że dla każdego j ≥ i₀, nS(j)m oraz dla każdego j ≥ i₁mS(j)l, zatem biorąc i = max(i₀, i₁), dla każdego j ≥ i mamy nS(j)m i mS(j)l, zatem z przechodniości relacji S(j) również nS(j)l, czyli nR_∞(S)l, co oznacza, że R_∞(S) jest przechodnia.

Jest to funkcja na R, bowiem dla dowolnego r ∈ R niech S_r(n) = r będzie stałym ciągiem relacji. Wtedy

∃i∈N∀j≥ixSr(j)y wtedy i tylko wtedy, gdy xry, czyli R_∞(Sr) =r.

2