Opracowanie zadania nr 2.1(a) z listy zadań z Rachunku Prawdopodobieństwa
Jarosław Gruszka, Jonas Al-Hadad Wrocław, 8 stycznia 2015
1
Rozwiązanie
Na początek przypomnijmy definicję prawdopodobieństwa. Prawdopodobień- stwem nazywamy funkcję P : F → [0, 1] o następujących własnościach:
1. P (Ω) = 1
2. dla A1, A2, ... ∈ F , parami rozłącznych, tzn. Ai∩ Aj= ∅ dla i 6= j P
∞
[
n=1
An
!
=
∞
X
n=1
P (An) (przeliczalna addytywność)
Pokażemy zatem, że PB(A) = P (B|A) przy ustalonym B, takim, że P (B) > 0 spełnia przytoczone przed momentem warunki, czyli - innymi słowy - istnieją matematyczne podstawy, by tak określoną funkcję nazywać „prawdopodobień- stwem”.
a) Pokażemy, że ∀A 0 ¬ PB(A) ¬ 1 Dowód. Lewa nierówność, tj.
0 ¬ PB(A) =P (A ∩ B) P (B)
jest oczywista - wiemy przecież, że P jest funkcją prawdopodobieństwa, a więc dla dowolnego zbioru (oczywiście - należącego do F , bo dla takich zosta- ła określona) może przyjmować tylko wartości z przedziału [0, 1]. Wiedząc ponadto, że P (B) > 0 (aby dzielenie miało sens) zauważamy, że badane prawdopodobieństwo PB jest ilorazem liczby nieujemnej i dodatniej - wynik takiego dzielenia musi być nieujemny.
Aby udowodnić prawą nierówność, skorzystamy z pewnej własności prawdo- podobieństwa, mianowicie: jeśli A ⊂ B, to P (A) ¬ P (B)
Z własności zbiorów wiemy, że
A ∩ B ⊂ B
(przekrój dwóch zbiorów zawiera się w każdym z nich, a więc w szególności - w tym drugim), dzieki czemu możemy wykorzystać wspomnianą własność, skąd otrzymamy:
P (A ∩ B) ¬ P (B),
zaś dzieląc tę nierówność przez P (B) > 0 (dzięki dodatniości uzasadnia- my sesnowność dzielenia i nie martwimy się o zmianę zwrotu nierówności) otrzymujemy, że
P (A ∩ B) P (B) ¬ 1.
Pokazaliśmy zatem, że ∀A 0 ¬ PB(A) ¬ 1.
b) Pokażemy, że PB(Ω) = 1
2
Dowód. Zapiszmy, czym jest z definicji PB(Ω):
PB(Ω) = P (Ω|B) = P (Ω ∩ B) P (B) Wiemy jednak, że
B ⊂ Ω,
ponieważ każde zdarzenie w danej przestrzeni probabilistycznej musi zawierać się w zbiorze zdarzeń elementarnych tej przestrzeni. Dla takich zbiorów prawdą jest, że
Ω ∩ B = B.
Dzięki tej równości, możemy zapisać, że P (Ω ∩ B)
P (B) = P (B) P (B) = 1
c) Pokażemy, że dla A1, A2, ... ∈ F , parami rozłącznych zachodzi:
PB
∞
[
n=1
An
!
=
∞
X
n=1
PB(An)
Dowód. Zapiszmy lewą strone tej równości w nieco bardziej przyjaznej formie:
PB
∞
[
n=1
An
!
= PB(A1∪ A2∪ ...)
Skorzystajmy ponownie, z definicji PB:
PB(A1∪ A2∪ ...) = P ((A1∪ A2∪ ...) |B) = P (A1∪ A2∪ ...) ∩ B) P (B)
O ile A1, A2, ... są parami rozłączne (a są takie z założenia), tak dla dowolnego zbioru B zachodzi równość:
(A1∪ A2∪ ...) ∩ B = (A1∩ B) ∪ (A2∩ B) ∪ ...,
(przekrój sumy wszystkich parami rozłącznych zbiorów danej rodziny z dowol- nym zbiorem jest sumą części wspólnych tego zbioru z każdym ze zbiorów tej rodziny) przy czym zbiory A1∩ B, A2∩ B, ... są oczywiście również parami rozłączne. Skorzystajmy wobec tego z tej równości w dalszych rachunkach:
P (A1∪ A2∪ ...) ∩ B)
P (B) = P (A1∩ B) ∪ (A2∩ B) ∪ ...
P (B) =
= P (A1∩ B) + P (A2∩ B) + ...
P (B)
3
Ostatnia równość wynika z przeliczalnej addytywności prawdopodobieństwa P na zbiorach parami rozłącznych. Ostatnie co uzyskaliśmy to tak naprawdę prawa strona udowadnianej równości, wystarczy tylko odpowiednio ją zapisać:
P (A1∩ B) + P (A2∩ B) + ...
P (B) =P (A1∩ B)
P (B) +P (A1∩ B) P (B) + ... =
= PB(A1) + PB(A2) + ... =
∞
X
n=1
PB(An)
4
