CO TO SĄ BAZY GR ¨OBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku

Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku

Andrzej Nowicki

W. Gr¨obner, 1899-1980, Austria.

B. Buchberger, Austria.

H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa).

Bazy, o których będzie mowa pojawiły się w 1965 roku w pracy doktorskiej Buchbergera. Gr¨obner był inicjatorem (i doradcą) tej pracy doktorskiej.

Te same bazy pojawiły się (niezależnie, ale rok wcześniej) w 1964 roku w pracy Hironaki o usuwaniu osobliwości. Hironaka nazywa je bazami standardowymi. Tak się je czasem jeszcze dzisiaj nazy- wa. Hironaka podał niekonstruktywny dowód istnienia. Buchberger natomiast podał prosty algorytm konstruowania tych baz.

Publikacja Buchbergera, z wynikami jego pracy doktorskiej, pojawiła się w 1976 roku. Od tego roku można zaobserwować szybki rozwój teorii baz Gr¨obnera. Udoskonalono algorytmy. Powstały i nadal powstają coraz to lepsze programy komputerowe. Odkrywane są przeróżne zastosowania.

Wspomnijmy jeszcze, że główna myśl (na której opiera się teoria baz Gr¨obnera) znana była już wcześniej. Można ją odczytać w pracach matematyków takich jak: D. Hilbert (1890), F. S. Macaulay (1916), G. Hermann (1926).

k - ciało (np. R, C, Q).

k[X] = k[x1, . . . , xn] - pierścień wielomianów n zmiennych nad k.

Przypomnijmy znane

Twierdzenie Hilberta o bazie. Każdy ideał w k[X] jest skończenie generowany.

Oznacza to, że jeśli I jest ideałem w pierścieniu k[X], to istnieje skończony podzbiór F = {f1, . . . , fs} ⊂ k[X] taki, że

I = (f₁, . . . , f_s) = {h₁f₁+ · · · + h_sf_s; h₁, . . . , h_s∈ k[X]}.

Ten skończony podzbiór nazywa się w tym przypadku bazą (ideału I). Twierdzenie Hilberta o bazie mówi zatem, że każdy ideał w k[X] ma bazę. Właśnie o takich bazach będziemy tu mówić.

Dany ideał w k[X] może mieć wiele różnych baz, nawet różnej mocy. Okazuje się jednak, że każdy ideał w k[X] ma bazę posiadającą pewne specjalne własności. Te specjalne bazy, to właśnie bazy Gr¨obnera. Każdy ideał w k[X] ma bazę Gr¨obnera. Może ich mieć dużo. Możemy jeszcze zażądać by baza Gr¨obner spełniała pewne dodatkowe warunki i mówić wtedy o tzw. zredukowanych bazach Gr¨obnera. Wtedy można udowodnić, że każdy ideał w k[X] ma dokładnie jedną zredukowaną bazę Gr¨obnera. Istnieje ponadto prosty algorytm na skonstruowanie takiej zredukowanej bazy.

Do czego to potrzebne?

Załóżmy, że dane są wielomiany f1, . . . , fs∈ k[X]. Rozważmy ideał A = (f1, . . . , fs).

Problem 1. Niech g ∈ k[X]. Jak sprawdzić (w skończonej ilości krokach) czy wielomian g należy do ideału A? W szczególności (gdy g = 1): jak sprawdzić czy ideał A jest różny od k[X]?

Problem 2. Znaleźć generatory ideału A ∩ k[x₁, . . . , x_p], dla p < n.

Problem 3. Znaleźć generatory radykału ideału A. Jak rozstrzygnąć czy dany wielomian należy do radykału?

Problem 4. Załóżmy, że dany jest jeszcze drugi ideał B = (g1, . . . , gt), gdzie g1, . . . , gtsą danymi wielomianami z k[X]. Znaleźć generatory ideału A ∩ B. Znaleźć generatory ideału A : B.

Problem 5. Znaleźć generatory jądra danego homomorfizmu wielomianowego (lub ogólniej homo- morfizmu k-algebr). W szczególności stwierdzić czy ten homomorfizm jest różnowartościowy lub ”na”

lub czy jest automorfizmem.

Problem 6. Dany jest wielomianowy układ równań:







f1 = 0 ...

fs = 0.

Rozstrzygnąć czy układ ten ma rozwiązanie, czy ma skończoną ilość rozwiązań (w algebraicznym do- mknięciu ciała k). Jeśli tak jest, to znaleźć wszystkie rozwiązania.

Problem 7. Opisać zbiór generatorów modułu syzygii danego ciągu wielomianów.

Problem 9. Jak rozstrzygnąć czy dany wielomian g z k[X] należy do k-podalgebry k[f₁, . . . , f_s] (najmniejszej k-podalgebry w k[X] zawierającej dane wielomiany f₁, . . . f_s)?

W związku z Problemem 9 proponuję spróbować rozwiązać następujące zadanie dla wielomianów jednej zmiennej.

Zadanie. Czy t⁵∈ k[t³− t, t²]?

Słynna hipoteza jakobianowa (która do dzisiaj nie jest rozstrzygnięta, nawet dla dwóch zmiennych) związana jest z Problemem 9. Stwierdza ona, że x1, . . . , xn ∈ k[f1, . . . , fn], gdzie f1, . . . , fn są danymi wielomianami w k[X] mającymi stały jakobian (char k = 0).

Tego rodzaju problemów można wypisać bardzo dużo. Podobne problemy istnieją np. w teorii równań różniczkowych.

Wszystkie powyższe problemy są stosunkowo łatwe, gdy znamy bazy Gr¨obnera. Dla wszystkich tych problemów istnieją proste algorytmy. Jest tu tylko jeden mały wyjątek. Pierwsza część Problemu 3, o generatorach radykału, jest nadal otwarta.

Bazy Gr¨obnera można definiować różnie. Istnieje kilka równoważnych definicji. Podamy teraz jedną z takich definicji.

Najpierw ustalmy pewne oznaczenia.

Rozważmy niezerowy wielomian f należący do k[X]. Wielomian ten ma następującą postać:

f = X

(α₁,...,α_n)

a_α1...αnx^α₁¹· · · x^α_nⁿ,

gdzie wszystkie współczynniki postaci aα₁...α_n są elementami ciała k, prawie wszystkie równe zero.

Sumowanie przebiega przez wszystkie ciągi (α1, . . . , αn), nieujemnych liczb całkowitych. Oznaczmy zbiór takich wszystkich ciągów przez Ω (lub Ωn). Zbiór ten jest półgrupą przemienną ze względu na dodawanie z zerem 0 = (0, . . . , 0).

Jeśli α = (α1, . . . , α_n) ∈ Ω, to przez X^αoznaczać będziemy jednomian x^α₁¹· · · x^α_nⁿ. W szczególności X⁰ = x⁰₁· · · x⁰_n = 1. Ponadto, X^α· X^β = X^α+β, dla wszystkich α, β ∈ Ω. Współczynniki postaci a_α1...αn oznaczać będziemy odpowiednio przez a_α.

Teraz nasz wielomian f ma przyjemniejszy zapis:

f =X

α∈Ω

a_αX^α.

Ustalmy w zbiorze Ω pewien porządek>, na przykład leksykograficzny. Zdajmy sobie sprawę z tego, że porządek leksykograficzny spełnia następujące trzy warunki.

1. (Ω,>) jest zbiorem liniowo uporządkowanym;

2. ∀α∈Ωα > 0;

3. ∀α,β,γ∈Ωα > β =⇒ α + γ > β + γ.

Każdą relację> (zbioru Ω) spełniającą powyższe trzy warunki nazywamy G-porządkiem (lub po- rządkiem Gr¨obnera lub porządkiem dopuszczalnym). Porządek leksykograficzny jest więc G-porządkiem.

Istnieje sporo innych G-porządków. Warto zaznaczyć, że z powyższych trzech warunków wynika na- stępujący warunek:

1’. (Ω,>) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.

Przypomnijmy, że liniowy porządek jest dobry jeśli każdy niepusty podzbiór posiada element najmniej- szy lub równoważnie, gdy nie ma nieskończonych ciągów zstępujących postaci

α₁> α₂> . . . , gdzie α₁, α₂, · · · ∈ Ω.

Załóżmy zatem, że na zbiorze Ω ustalony jest pewien G-porządek i wróćmy do naszego niezerowego wielomianu f . Wielomian ten możemy teraz zapisać jednoznacznie tak:

f = b1X^α1+ · · · + bsX^αs,

gdzie b1, . . . , bs są niezerowymi elementami ciała k, natomiast elementy α1, . . . , αs należą do Ω i spełniają nierówności

α1> · · · > αs. W tej sytuacji wprowadzamy następujące oznaczenia i nazwy.

f^∗ = a₁X^α1 − najwyższy jednomian, c_f = b₁ − najwyższy współczynnik, deg f = α₁ − stopień.

Wprowadziliśmy te oznaczenia dla wielomianu niezerowego. Dla zera przyjmujemy: 0^∗ = 0, c₀ = 0, deg 0 = −∞. Stopień spełnia podstawowe własności zwykłego stopnia. Mamy w szczególności:

deg(f g) = deg f + deg g.

Jeśli A jest podzbiorem w k[X], to przez A^∗oznaczmy zbór {f^∗; f ∈ A}.

Teraz możemy podać już definicję bazy Gr¨obnera. Załóżmy, że I jest ideałem w k[X].

Bazą Gr¨obnera ideału I nazywamy każdy skończony podzbiór F ⊂ k[X] taki, że (I^∗) = (F^∗)

(równość ideałów w k[X]; ideał generowany przez zbiór I^∗pokrywa się z ideałem generowanym przez zbiór F^∗).

Stwierdzenie 1. Każdy ideał w k[X] posiada bazę Gr¨obnera.

Dowód. Niech I będzie ideałem w k[X]. Rozpatrzmy ideał (I^∗). Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika, że ideał ten jest skończenie generowany. Istnieje więc skończony zbiór F ⊂ I taki, że zbiór F^∗ generuje ideał (I^∗). Wtedy oczywiście F jest bazą Gr¨obnera ideału I.

Równie prosto dowodzi się (dowód zostawiam dla słuchacza), że baza Gr¨obnera ideału I jest istotnie bazą tego ideału, tzn.:

Stwierdzenie 2. Jeśli F jest bazą Gr¨obnera ideału I, to I = (F ).

Wprowadźmy dwa następne pojęcia. Będą to już ostatnie nowe pojęcia wprowadzone na tym wykładzie.

Niech f, g ∈ k[X]. Przez S(f, g) oznaczać będziemy wielomian zdefiniowany następująco:

S(f, g) = cgX^αf − cfX^βg, gdzie α, β są najmniejszymi elemenatami w Ω takimi, że

deg f + α = deg g + β.

Zauważmy, że powyższe elementy α i β zawsze istnieją i są wyznaczone jednoznacznie. Spójrzmy na przykład:

Przykład. Dwie zmienne x i y. Porządek leksykograficzny. Niech f = 2x²y + 1, g = 3xy⁴+ 5x.

Wtedy deg f = (2, 1), deg g = (1, 4) i wtedy α = (0, 3), β = (1, 0). Mamy zatem: S(f, g) = 3x⁰y³f − 2x¹y⁰g = 6x²y⁴+ 3y³− 6x²y⁴− 5x²= −5x²+ 3y³.

Załóżmy, że F jest skończonym podzbiorem w k[X]r{0}. Przez R(F ) oznaczać będziemy podzbiór w k[X] zwierający wielomian zerowy oraz każdy niezerowy wielomian h ∈ k[X], który jest postaci:

h = b1X^α1f1+ · · · + bsX^αsfs, gdzie b1, . . . , bs∈ k r {0}, α1, . . . .αs∈ Ω, f1, . . . , fs∈ F oraz

deg(X^α1f1) > · · · > deg(X^αsfs).

Zauważmy, że R(F ) ⊆ (F ).

Teraz możemy podać następujące twierdzenie, które jest najważniejszym i najistotniejszym twier- dzeniem teorii baz Gr¨obnera.

Twierdzenie (Buchberger). Niech F będzie skończonym podzbiorem w k[X]. Następujące trzy warunki są równoważne.

(1) F jest bazą Gr¨obnera ideału (F ).

(2) R(F ) = (F ).

(3) ∀f,g∈F S(f, g) ∈ R(F ).

Przejdźmy do algorytmów i zastosowań.

Algorytm na sprawdzanie czy dany wielomian należy do zbioru R(F ) jest oczywisty; wynika wprost z definicji zbioru R(F ).

Warunek (3) powyższego twierdzenia pozwala podać prosty algorytm na sprawdzanie czy dany skończony zbiór F ⊂ k[X] jest bazą Gr¨obnera ideału (F ). Wystarczy tylko sprawdzić czy S(f, g) ∈ R(F ), dla wszystkich f, g ∈ F . Par postaci (f, g) jest oczywiście tylko skończenie wiele.

Algorytm dla skonstruowania bazy Gr¨obnera ideału (F ) jest następujący. Sprawdzamy, czy F jest bazą Gr¨obnera. Jeśli tak, to koniec. W przeciwnym wypadku istnieje (na mocy (3)) wielomian postaci S(f, g), gdzie f, g ∈ F , który nie należy do R(F ). Dorzucamy ten wielomian do zbioru F . Z nowym zbiorem F postępujemy podobnie. Łatwo się wykazuje, że postępowanie to musi się zawsze zakończyć.

Znane programy komputerowe konstruują bazę Gr¨obnera przy pomocy powyższego algorytmu, wzbogaconego o procedurę eliminowania zbędnych wielomianów.

Przykład. Dwie zmienne x i y. Porządek leksykograficzny. F = {f1, f2}, gdzie f1 = x²y + y,

f2 = xy²+ x.

Znajdziemy bazę Gr¨obnera ideału I w k[x, y], generowanego przez zbiór F . W tym celu obliczamy najpierw wielomian S(f1, f2):

S(f1, f2) = yf1− xf2= −x²+ y².

Szybko zauważamy (porównując stopnie), że wielomian ten nie należy do zbioru R(F ). Należy on jednak do ideału I. Tworzymy zatem nowy zbiór F⁰= {f1, f2, f3}, gdzie

f₁ = x²y + y, f₂ = xy²+ x, f3 = x²− y². Zauważmy, że I = (F⁰).

Zauważmy następnie, że wielomian f1można ”uprościć” przy pomocy wielomianu f3: f1− yf3= x²y + y − x²y + y³= y³+ y.

Powyższa równość świadczy o tym, że gdy wielomian f1 zastąpimy wielomianem y³+ y, to nadal otrzymamy zbiór generatorów ideału I. Niech więc G = {g1, g2, g3}, gdzie

g1 = y³+ y, g₂ = xy²+ x, g₃ = x²− y².

Wtedy I = (G) i szybko stwierdzamy (na mocy (3)), że zbiór G jest bazą Gr¨obnera ideału I.

Na zakończenie naszkicujemy w jaki sposób można znaleźć generatory przekroju dwóch ideałów.

W tym celu wyjaśniamy najpierw jak szuka się generatorów ideału C ∩ k[x_r, . . . , x_n], gdzie r > 1 i C jest danym ideałem w k[X] = k[x₁, . . . , x_n]. W tym przypadku postępujemy następująco.

1. Ustalamy G-porządek taki, by wszystkie zmienne zbioru {x1, . . . , xr−1} były ”większe” od po- zostałych zmiennych (np. zwykły porządek leksykograficzny).

2. Konstruujemy bazę Gr¨obnera ideału C (względem ustalonego porządku). Niech G będzie tą bazą.

3. Ze zbioru G (który jest zbiorem skończonym!) wybieramy te wszystkie wielomiany, które należą do k[xr, . . . , xn] (tzn., w których nie występują zmienne x1, . . . , xr−1). W ten sposób otrzymujemy zbiór G⁰, który jest bazą Gr¨obnera ideału C ∩ k[xr, . . . , xn]. Mamy zatem zbiór generatorów tego ideału.

Uwaga. Może się okazać, że G⁰ jest zbiorem pustym. W tym przypadku C ∩ k[xr, . . . , xn] = 0.

Niech A = (f1, . . . , f_p), B = (g1, . . . , g_q) będą ideałami w pierścieniu k[X]. Chcąc znaleźć zbiór generatorów ideału A ∩ B postępujemy tak:

1. Wprowadzamy jedną nową zmienną t i rozpatrujemy pierścień wielomianów k[t, X] = k[t, x₁, . . . , x_n].

2. Ustalamy G-porządek taki, by zmienna t była ”większa” od zmiennych x₁, . . . , x_n. 3. W pierścieniu k[t, X] rozważamy ideał

C = (tA, (t − 1)B) = (tf1, . . . , tfp, (t − 1)g1, . . . , (t − 1)gq).

4. Łatwo można udowodnić, że A ∩ B = C ∩ k[X]. Należy zatem zastosować algorytm poprzedni.