Modelowanie i algorytm rozwi¹zywania problemu przep³ywowego z transportem

(1)

* Instytut Informatyki Automatyki i Robotyki, Politechnika Wroc³awska Adam Tyñski*, Mariusz Makuchowski*

Modelowanie i algorytm rozwi¹zywania problemu przep³ywowego z transportem

1. Wstêp

Czas wykonania zadania produkcyjnego przez maszyny stanowi zaledwie kilka pro- cent ca³kowitego czasu pobytu zadania w systemie produkcyjnym. Pozosta³y czas zadanie spêdza m.in. w buforach maszyn, b¹d jest transportowane. Uwzglêdnienie czasów transportu ju¿ na etapie konstrukcji harmonogramu pracy takiego systemu w doæ oczywisty sposób znajduje prze³o¿enie na wzrost jego wydajnoci. Wp³yw na wydajnoæ systemu ma równie¿ odpowiedni dobór rodków transportu. Wród urz¹dzeñ transportuj¹cych du¿¹ po- pularnoci¹ ciesz¹ siê wózki AGV. Wykorzystanie wózków AGV wi¹¿e siê ze wzrostem elastycznoci, lepszym wykorzystaniem przestrzeni roboczej i ni¿szymi kosztami pracy systemu w stosunku do systemów wykorzystuj¹cych inne rodki transportu. Przegl¹d osi¹- gniêæ w zakresie zastosowania wózków AGV do transportu w systemach produkcyjnych znajduje siê m.in. w pracy [1].

Wykorzystanie wózków AGV wymaga odpowiedniej organizacji ca³ego systemu produkcyjnego. Jedno z rozwi¹zañ polega na zaopatrzeniu systemu w stacjê za³adowcz¹ i wy-

³adowcz¹, jeden lub wiêcej wózków AGV, za okrelon¹ liczbê maszyn organizuje siê w uk³ad typu pêtla (single loop). Aby wyeliminowaæ ryzyko wyst¹pienia konfliktów trans- portowych, na system narzuca siê jednokierunkowy przep³yw zadañ, za na wózkach wy- musza siê cykliczny, jednokierunkowy tryb pracy. W poszczególnych cyklach pracy ka¿dego wózka do systemu wprowadzane jest jedno zadanie przez stacjê za³adowcz¹, jedno zadanie opuszcza system przez stacjê wy³adowcz¹, za wszystkie pozosta³e zadania s¹ transportowane w kierunku kolejnych maszyn w pêtli. Uk³ady tego typu, ze wzglêdu na swoj¹ prostotê i jednoczenie du¿y potencja³, znajduj¹ szerokie zastosowanie w przemyle i tym samym przykuwaj¹ uwagê badaczy [24].

Ze wzglêdu na narzucony kierunek przep³ywu zadañ oraz tryb pracy wózków, optyma- lizacja harmonogramu pracy systemu wi¹¿e siê z koniecznoci¹ rozwi¹zania permutacyjne-

(2)

go problemu przep³ywowego. W literaturze opisano wiele metod rozwi¹zywania wspo- mnianego problemu. Wród najlepszych algorytmów klasycznych wymieniany jest algorytm TSAB, wykorzystuj¹cy technikê poszukiwañ z zabronieniami [5]. Algorytmy te w trakcie swojej pracy nie uwzglêdniaj¹ jednak czasów transportu. Wykorzystanie harmo- nogramów klasycznych spowoduje stosunkowo nieefektywn¹ pracê systemów produkcyjnych, w których czasy transportu odgrywaj¹ istotn¹ rolê w ca³oci procesu produkcyjnego. Jedn¹ z szans na poprawê jakoci harmonogramów pracy takich systemów upatruje siê w próbie zaadaptowania algorytmów klasycznych do rozwi¹zywania permutacyjnego problemu przep³ywowego z uwzglêdnieniem transportu, co czyni siê w niniejszej pracy.

W pracy rozwa¿any jest elastyczny system produkcyjny typu pêtla o strukturze prze- p³ywowej permutacyjnej, w którym do transportu miêdzystanowiskowego wykorzystano identyczne wózki AGV. Problem polega na wyznaczeniu takiej kolejnoci wykonania za- dañ przez maszyny, by moment zakoñczenia wykonywania procesu technologicznego przy- j¹³ wartoæ minimaln¹. Do rozwi¹zania przedstawionego w pracy problemu zastosowano odpowiednio zmodyfikowany algorytm rozwi¹zywania przybli¿onego, wykorzystuj¹cy technikê poszukiwañ z zabronieniami. Algorytm zosta³ poddany badaniom numerycznym w celu okrelenia jakoci generowanych przez niego rozwi¹zañ miêdzy innymi w zale¿no-

ci od liczby uwzglêdnionych wózków AGV. Rozwa¿ania przedstawione w tej pracy stanowi¹ kontynuacjê rozwa¿añ z prac [6, 7], w których opisywano systemy typu pêtla wyposa-

¿one w jeden wózek AGV.

2. Model matematyczny problemu

Problem mo¿na przedstawiæ nastêpuj¹co. W rozwa¿anym systemie produkcyjnym znajduje siê zbiór maszyn M =M^p∪M^t ={1, 2,...,m^p} {∪ m^p+1}, gdzie m^p> 2 jest licz- b¹ wszystkich maszyn produkcyjnych, za m^t≥ 1 jest liczb¹ wózków AGV (maszyn trans- portowych) znajduj¹cych siê w systemie. Ka¿da maszyna o numerze 2, ..., m^p– 1 posiada bufor wejciowy i wyjciowy o jednostkowej pojemnoci, za maszyny 1, m^p uto¿samiaj¹ odpowiednio stacjê za³adowcz¹ i wy³adowcz¹, wyposa¿one w bufory o nielimitowanych pojemnociach. Wszystkie maszyny zorganizowane s¹ w uk³ad typu pêtla, tj. rozmieszczo- ne s¹ wzd³u¿ zamkniêtej drogi w ten sposób, ¿e maszynê l, 1 < l ≤ m^p, poprzedza maszyna o numerze l – 1. Dodatkowo stacja za³adowcza (maszyna 1) znajduje siê w bezporedniej bliskoci stacji wy³adowczej (maszyny m^p).

Czas przejazdu wózka v ∈ M^t pomiêdzy maszyn¹ l i maszyn¹ l + 1, 1 ≤ l < m^p, bêdzie oznaczany przez t(l, l + 1) > 0. Podobnie, przez t(m^p, 1) > 0 bêdzie oznaczany czas przejazdu wózka pomiêdzy stacj¹ wy³adowcz¹ i za³adowcz¹. Zak³ada siê, ¿e wózki mog¹ poruszaæ siê tylko w jednym kierunku, tj. odwiedzaj¹c kolejno maszyny 1, 2, ..., m^p– 1, m^p. W po³¹- czeniu ze sposobem rozmieszczenia maszyn ³atwo jednoznacznie okreliæ czas przejazdu wózków

(3)

1

1 1

1

( , 1),

( , ) ( , 1) ( ,1) ( , 1)

0,

p

k i l

m p l

i i k

t i i

l k

t l k t i i t m t i i l k

l k

=−

− −

= =

⎧ +

⎪ <

=⎪⎨ + + − + >

⎪ =

⎪⎩

∑

∑ ∑

⁽¹⁾

pomiêdzy dowoln¹ par¹ maszyn produkcyjnych l, k ∈ M^p.

W systemie nale¿y wykonaæ r > 1 zadañ ze zbioru J = {1, 2, ..., r}. Ka¿de zadanie j ∈ J podzielone jest na m = 2m^p– 1 operacji, w tym m^p operacji produkcyjnych i m^p– 1 operacji transportowych. Operacjê produkcyjn¹ l zadania j ∈ J, notowan¹ jako para (l, j), nale¿y wykonaæ na maszynie l ∈ M^p w czasie p(l, j) > 0. Zbiór wszystkich n^p operacji produkcyjnych bêdzie oznaczany symbolem O^p={( , ) :l j l M∈ ^p,j J∈ },gdzie |O^p|=m r n^p⋅ = ^p. Pomiêdzy ka¿d¹ par¹ operacji produkcyjnych (l, j), (l + 1, j), 1 ≤ l < m^p, j ∈ J, wykony- wana jest operacja transportowa, notowana jako para (m^p+ l, j). Operacja ta polega na przetransportowaniu przez wózek v ∈ M^t palety z elementem wykonywanym w ra- mach zadania j pomiêdzy maszynami l, l + 1 ∈ M^p i wykonywana jest w czasie

( ^p , ) ( ^p ) ( , 1).

p m +l j = p m + =l t l l+ Zbiór wszystkich n^t operacji transportowych bêdzie oznaczany symbolem O^t ={(m^p+l j, ) :1≤ <l m^p,j J∈ }, gdzie |O^t| (= m^p− ⋅ =1) r n^t. W dalszych rozwa¿aniach przydatny bêdzie równie¿ zbiór wszystkich n operacji

p t ,

O O= ∪O = × gdzie N = {1, 2, ..., m}, oraz N J ^{| |}^O =ⁿ^p+ⁿ^t = ⋅ =^{m r n}^.

Przyjêta struktura systemu oraz kierunek przep³ywu zadañ wymuszaj¹ jednakow¹ ko- lejnoæ przejcia zadañ przez ka¿de ze stanowisk (system ma strukturê przep³ywow¹ per- mutacyjn¹). Dalej, niech permutacja zbioru zadañ π = (π(1), π(2), ..., π(r))oznacza kolej- noæ wykonywania zadañ ze zbioru J przez ka¿d¹ z maszyn produkcyjnych, za niech Π bêdzie zbiorem wszystkich permutacji. Dla permutacji π ∈ Π przyjmuje siê arbitraln¹ kolej- noæ wykonywania operacji transportowych przez ka¿dy wózek, generowan¹ na bazie π w sposób opisany poni¿ej. Nie trudno zauwa¿yæ, ¿e wszystkie wózki wykonuj¹ w sumie l_C = m^p+ r – 2 cykli, gdzie cykl i pracy ka¿dego wózka, 1 ≤ i ≤ lC, przebiega nastêpu- j¹co. Jeli i ≤ r, to wózek czeka przy maszynie 1 na zakoñczenie siê operacji za³adowczej (1, π(i)), po czym wykonuje operacjê transportow¹ (m^p+1, π(i)) w czasie p m( ^p+ π1, ( ))i =t(1, 2).

W przeciwnym przypadku, je¿eli ostatnie z zadañ do wykonania zosta³o ju¿ wprowadzone do systemu, tzn. jeli i > r, wózek wykonuje przejazd pusty (przejazd bez za³adunku) w kierunku maszyny 2 (w czasie t(1, 2)). Nastêpnie, jeli 1 ≤ i – 1 ≤ r, to wózek oczekuje na zakoñczenie siê operacji (2, π(i – 1)), po czym wykonuje operacjê transportow¹ (m^p+2, π(i – 1)). W przeciwnym razie wózek wykonuje przejazd pusty w kierunku maszyny 3.

Proces powtarza siê a¿ do momentu przyjazdu wózka do maszyny m^p. Wykonanie przejaz- du pustego pomiêdzy stacj¹ wy³adowcz¹ i za³adowcz¹ w czasie t(m^p, 1) koñczy cykl.

Arbitralna kolejnoæ wykonania operacji transportowych wi¹¿e siê z arbitralnym przy- dzia³em ka¿dego wózka v ∈ M^t do wykonania operacji

(m^p+ +1 f , (πe − f )), u=0,...,u , w=0,...,w ( )u (2)

(4)

gdzie

u t

e = ⋅u m +v (3)

0

uw u

f = f +w (4)

0 max(0, )

u u

f = e −r (5)

max { : _u , _u 1 }

u = u e ≤lc e ₊ >lc (6)

max( ) { : _uw min( ^p 1, ),_u _uw 1 min( ^p 1, )}_u w u = w f < m − e f ₊ ≥ m − e (7) Jak przedstawiono w pracy [6], przyjêcie arbitralnej kolejnoci realizacji operacji transportowych jest uzasadnione sposobem programowania komputera pok³adowego wózków AGV oraz metod¹ koordynacji pracy systemu produkcyjnego. Co wiêcej, przyjêcie innego trybu pracy wózków zasadniczo nie prowadzi do poprawy wydajnoci systemu. Przyjêta ko- lejnoæ gwarantuje równie¿, ¿e wózki nie bêd¹ wyprzedzaæ siê w trakcie realizacji harmonogramu, co jest czêstym wymogiem w wielu rzeczywistych systemach produkcyjnych.

Uszeregowaniem nazywa siê zbiór wartoci S(i) ≥ 0, i ∈ O, gdzie S(i) jest momentem rozpoczêcia wykonania operacji i. Uszeregowanie jest dopuszczalne, gdy spe³nia wszystkie ograniczenia technologiczne, typowe dla klasycznego problemu przep³ywowego (patrz. np.

[57]). Problem polega na odnalezieniu takiego uszeregowania dopuszczalnego, by moment zakoñczenia siê procesu technologicznego, równy ^{S m}⁽ ^p^{, ( ))}π^r +^{p m}⁽ ^p^{, ( )),}π ^r przy- j¹³ wartoæ minimaln¹. Problem jest silnie NP-trudny.

3. Model permutacyjno-grafowy

Przedstawiony poni¿ej model permutacyjno-grafowy znajduje swoje zastosowanie g³ównie w algorytmach rozwi¹zywañ; jest szczególnie przydatny na etapie obliczania war- toci funkcji celu. Dana jest permutacja π ∈ Π. Niech G(π) =(O, E) bêdzie grafem skierowa- nym, reprezentuj¹cym dowoln¹ permutacjê π ∈ Π, ze zbiorem wierzcho³ków O i zbiorem

³uków E E= ^T∪E^K∪E^V ∪E^S, gdzie

1 1

{(( , ),( , )),(( , ),( 1, ))}

mp

T p p

j J l

E ⁻ l j m l j m l j l j

∈ =

=

7 7

+ + + ⁽⁸⁾

1 1

{(( , ), ( , 1))}

p

K r

l M j

E ⁻ l j l j

∈ =

=

7 7

+ ⁽⁹⁾

(5)

2 2 1

{(( , ),( 1, 1))}

r mp

V p p

j l

E ⁻ m l j m l j

= =

=

7 7

+ + + − ⁽¹⁰⁾

Zbiór E^Sstanowi sumê zbiorów Ê^S =Ê^S¹∪Ê^S² okrelonych nastêpuj¹co:

1

1 2

{(( ( ), ( )),( 1, 1))}, 1 2

, 1 2

r mt

p t t

S j

t

a j b j m j m r m

E

r m

− +

=

⎧⎪ + + − − + ≥

= ⎨⎪

⎪ ∅ − + <

⎪⎩

7

(11)

1 2 max(2, 2 )

{(( ( ), ( )),( , ))}, 1 max(2, 2 )

, 1 max(2, 2 )

p

t

m p p t

S l m r

p t

c l d l m l r m m r

E

m m r

−

= + −

⎧⎪ + + ≥ + −

= ⎨⎪

⎪ ∅ + < + −

⎪⎩

7

₍₁₂₎

gdzie

( ) min( , ^p 1)

a j = m j m+ − (13)

( ) max(1, ^p 1)

b j = j m− + (14)

( ) min( , ^p 1 ^t)

c l = m l m+ − + −r m (15)

( ) max(1, ^p 1 ^t)

d l = l m− + + −r m (16)

Ka¿dy wierzcho³ek (l, j) ∈ O przyjmuje obci¹¿enie p(l, π(j)). £uki ze zbiorów E^T, E^K, E^V nie s¹ obci¹¿one. Reprezentuj¹ odpowiednio kolejnoæ wykonania operacji w zadaniu, operacji produkcyjnych przez maszyny i operacji transportowych przez wózki. Ka¿dy ³uk (a, b) ∈ E^S, gdzie a = (l, i), b = (k, j), przyjmuje obci¹¿enie t(l – m^p+ 1, k – m^p). £uki te reprezentuj¹ przejazdy wózka bez za³adunku. Definicja zbioru ³uków E gwarantuje acy- klicznoæ grafu dla ka¿dej permutacji π ∈ Π. Symbolem r^π(i) bêdzie oznaczana najd³u¿sza

cie¿ka dochodz¹c¹ do wierzcho³ka i ∈ O bez jego obci¹¿enia p(i) w grafie G(π). War- toæ r^π(i) jest równa najwczeniejszemu mo¿liwemu momentowi rozpoczêcia operacji i, tj.

r^π(i) = S(i). Rozwa¿any w pracy problem sprowadza siê zatem do odnalezienia permutacji π ∈ Π, dla której cie¿ka krytyczna w grafie G(π), równa Cmax( )π =r m r^π( ^p, )+p m( ^p, ( )),πr przyjmuje wartoæ minimaln¹.

Graf G(π) skonstruowany jest w ten sposób, ¿e ka¿dy z wierzcho³ków posiada co naj- wy¿ej dwa bezporednie poprzedniki i nastêpniki, dziêki czemu stosunkowo ³atwo mo¿na

π

(6)

proste s¹ te¿ modyfikacje powy¿szego grafu. Graf G(δ), δ ∈ Π bêdzie siê ró¿ni³ od grafu G(π) jedynie obci¹¿eniem wierzcho³ków reprezentuj¹cych niektóre operacje produkcyjne, tj. (l, δ(j)), gdzie l ∈ M^p, δ(j) ≠ π(j), j ∈ J. Struktura zbioru ³uków E oraz czas wykonania operacji transportowych w przyjêtym modelu s¹ niezale¿ne od permutacji.

4. Algorytmy rozwi¹zywania i badania numeryczne

Pomimo zmienionej definicji, mo¿liwy przebieg cie¿ek krytycznych w opisywanym grafie nie zmienia siê w stosunku do opisu z pracy [7]. W zwi¹zku z powy¿szym w³asnoci

cie¿ki krytycznej opisane w [7] w badanym przypadku równie¿ s¹ zachowane. Przyjmuj¹c zatem za definicjê funkcji kryterialnej d³ugoæ Cmax(π) cie¿ki krytycznej w grafie G(π), do rozwi¹zywania problemu z transportem mo¿na zastosowaæ algorytm konstrukcyjny NEH_AGV oraz algorytm poszukiwañ z zabronieniami TSAB_AGV, omawiane równie¿ w pracy [7].

Celem przeprowadzonych badañ numerycznych by³o (i) okrelenie relacji czasowych i jakociowych pomiêdzy algorytmem NEH_AGV i TSAB_AGV oraz (ii) okrelenie wp³ywu liczby wózków AGV na wartoæ funkcji celu. Wspomniane algorytmy nie bêd¹ porówny- wane z algorytmami klasycznymi, nieuwzglêdniaj¹cymi czasów transportu, gdy¿ takie porównanie dla systemu z jednym wózkiem AGV zosta³o wykonane w pracy [7]. W cyto- wanej pracy zaproponowano równie¿ zestaw 70 instancji testowych podzielonych na 7 grup. Ka¿da instancja ma swoj¹ unikaln¹ nazwê w postaci TFr/m^p/k, gdzie r jest liczb¹ zadañ, m^p jest liczb¹ maszyn produkcyjnych, r×m^p = 20×5, 20×10, 50×5, 50×10, 100×5, 100×10, 200×10, za zmienna k ∈ {1, 2, ..., 10} jest numerem instancji w danej grupie r×m^p. Na potrzeby problemu opisywanego w tej pracy do ka¿dej instancji zostanie dodany dodatkowy parametr m^t = {1, 2, 3, 6}, okrelaj¹cy liczbê wózków w systemie. Ostatecznie otrzymujemy zestaw 280 instancji podzielonych na 28 grup, gdzie ka¿da instancja ma na- zwê w postaci TFr/m^p/m^t/k.

Wszystkie instancje zosta³y w sposób przybli¿ony rozwi¹zane przez nastêpuj¹ce algorytmy NEH_AGV i TSAB_AGV, zaimplementowane w Delphi i uruchamiane na komputerze z procesorem Intel Core 2 Duo (2,66 GHz, 22445 MIPS). Permutacja wygenerowana przez algorytm NEH_AGV stanowi³a permutacjê pocz¹tkow¹ algorytmu TSAB_AGV. Algorytm TSAB_AGV dla ka¿dej instancji zosta³ uruchomiony z identycznymi wartociami parame- trów jak w pracy [7] (ε = 0, maxt = 8, maxret = 1000/500, maksymalny czas pracy algo- rytmu, równy 10 minut). Wartoci funkcji celu permutacji dostarczonych przez algorytm NEH_AGV oraz TSAB_AGV bêd¹ oznaczane (w zale¿noci od liczby wózków AGV uwzglêd- nionych w instancji) odpowiednimi symbolami C^NHm^t iC^TSm^t.

Dla ka¿dej instancji TFr/m^p/m^t/k, zosta³a wyznaczona poprawa wzglêdna ( ^t, ^t) 100% ( ^NHm^t ^TSm^t) / ^NHm^t

FI NHm TSm = ⋅ C −C C wartoci ^C^NHm^t przez algorytm TSAB_AGV. Dla ka¿dej grupy instancji zosta³a wyznaczona rednia wzglêdna poprawa

( ^t, ^t).

I NHm TSm Dodatkowo dla instancji (oraz grup instancji), dla których m^t > 1 zosta³y

(7)

wyznaczone odpowiednie wartoci ^{FI TS TSm}^{( 1,} ^t^{), ( 1,}^{I TS TSm}^t^). Wszystkie wyznaczone

rednie poprawy wzglêdne zosta³y przedstawione w tabeli 1. Dla ka¿dej grupy instancji wyznaczone zosta³y równie¿ rednie czasy pracy algorytmów; dla algorytmu TSABAGV

zosta³y oznaczone przez T(TSm^t) i przedstawione w tabeli 2.

Tabela 1

rednie wzglêdne poprawy dla poszczególnych algorytmów

Tabela 2

rednie czasy pracy algorytmów dla poszczególnych grup instancji

Z tabeli 1 wynika, ¿e uwzglêdnienie drugiego wózka AGV w trakcie pracy algorytmu TSAB_AGV (poprawy I(TS1, TS2)) powoduje w niektórych przypadkach nawet ponad dwu- dziestoprocentowy wzrost jakoci generowanych rozwi¹zañ. Dodanie ka¿dego kolejnego

r / m^p I(NH1,TS1) [%] I(NH2,TS2)

[%] I(NH3,TS3)

[%] I(NH6,TS6)

[%] I(TS1,TS2)

[%] I(TS1,TS3)

[%] I(TS1,TS6) [%]

20 / 5 3,77 2,87 2,85 2,85 2,68 2,72 2,72

20 / 10 4,93 6,00 5,86 2,39 13,09 15,11 15,64

50 / 5 3,47 2,49 1,49 1,26 5,06 5,07 5,07

50 / 10 4,99 5,62 6,10 3,82 22,76 19,75 22,52

100 / 5 1,68 1,28 0,80 0,50 6,40 6,47 6,47

100 / 10 3,16 4,62 4,93 3,65 14,80 20,19 24,59 200 / 10 1,09 2,32 3,17 2,74 14,60 20,72 27,06

rednia 3,30 4,96 3,60 2,46 11,34 12,86 14,87

r / m^p T(TS1)

[s] T(TS2)

[s] T(TS3)

[s] T(TS6) [s]

20 / 5 5,20 5,12 5,19 4,78

20 / 10 10,68 11,46 15,31 13,83 50 / 5 116,38 97,33 85,72 84,72

50 / 10 287,94 324,30 321,05 300,70

100 / 5 600,00 600,00 589,69 563,02

100 / 10 600,00 600,00 600,00 600,00

200 / 10 600,00 600,00 600,00 600,00

rednia 317,17 319,99 316,71 309,52

(8)

punktów procentowych. Dla instancji, dla których liczba maszyn jest niewielka (m^p = 5), dodanie trzeciego i kolejnych wózków praktycznie nie wp³ywa na jakoæ generowanych rozwi¹zañ. Najprawdopodobniej dla tych instancji algorytm generuje rozwi¹zania bliskie optimum ju¿ dla liczby wózków, wynosz¹cej m^t = 2. Najwiêkszy wzrost jakoci rozwi¹zañ w zale¿noci od liczby wózków obserwowalny jest dla instancji charakteryzuj¹cych siê du¿¹ liczb¹ zadañ i maszyn, tj. dla r ≥ 100, m^p = 10. Podobne obserwacje mo¿na poczyniæ, porównuj¹c rozwi¹zania generowane przez algorytm TSAB_AGV w stosunku do NEH_AGV. Pewnym wyj¹tkiem s¹ instancje z grup TFr/5/m^t, dla których obserwowany jest spadek przewagi algorytmu popraw nad algorytmem konstrukcyjnym wraz ze wzrostem liczby wózków.

Czas pracy algorytmów NEH_AGV, TSAB_AGV nie zale¿y w istotnym stopniu od liczby wózków AGV. Wraz ze wzrostem liczby wózków obserwowalny jest nieznaczny spadek czasu pracy algorytmu dla grup instancji TFr/5/m^t oraz nieznaczny wzrost czasu pracy dla instancji z grup TFr/10/m^t. Czasy pracy algorytmu NEH_AGV nie przekroczy³y 3 sekund i nie zosta³y ujête w tabeli 2.

5. Podsumowanie

W pracy jest rozwa¿any elastyczny system produkcyjny typu pêtla, w którym trans- porty realizowane s¹ przez zbiór identycznych wózków AGV. W pracy zosta³ przedstawiony model matematyczny, reprezentacja permutacyjno-grafowa opisywanego sytemu oraz zosta³ sformu³owany problem szeregowania zadañ. Nastêpnie, dla problemu zosta³ zapro- ponowany algorytm konstrukcyjny NEH_AGV i algorytm lokalnych poszukiwañ TSAB_AGV oraz instancje testowe. Pod koniec pracy zosta³y zaprezentowane wyniki badañ numerycznych, których celem by³o okrelenie relacji jakociowych pomiêdzy algorytmami jak rów- nie¿ wp³yw liczby wózków AGV na jakoæ generowanych przez nie rozwi¹zañ.

Po przeprowadzonych badaniach okaza³o siê, ¿e dla instancji uwzglêdniaj¹cych ju¿

dwa wózki AGV by³ obserwowalny znaczny wzrost jakoci generowanych przez algorytmy rozwi¹zañ w stosunku do rozwi¹zañ instancji z jednym wózkiem. Dla instancji z wiêk- sz¹ liczb¹ wózków wzrost jakoci rozwi¹zañ nie by³ ju¿ tak istotny jak w przypadku instancji z dwoma wózkami. Wzrost ten waha³ siê od zera do kilku punktów procentowych.

Nie zaobserwowano równie¿ istotnego wp³ywu liczby wózków na czas pracy badanych al- gorytmów.

Literatura

[1] Ganesharajah T., Hall N., Sriskandarajah C., Design and operational issues in AGV-served manu- facturing systems. Annals of Operations Research, 76, 1998, 109.

[2] Hall N., Sriskandarajah C., Ganesharajah T., Operational decisions in AGV-served flowshop loops:

scheduling. Annals of Operations Research, 107, 2001, 161.

[3] Bozer Y.A., Srinivasan M.M., Tandem configurations for automated guided vehicle systems and the analysis of single vehicle loops. IIE Transactions, 23, 1991, 72.

(9)

[4] Bozer Y.A., Srinivasan M.M., Tandem AGV systems: a partitioning algorithm and performance comparison with conventional AGV systems. European Journal of Operational Research, 63, 1992, 173.

[5] Nowicki E., Smutnicki C., A fast tabu search algorithm for the permutation flow-shop problem.

European Journal of Operational Research, 9, 1996, 160.

[6] Smutnicki C., Tyñski A., Modelowanie przep³ywu zadañ w elastycznym systemie produkcyjnym z wózkami AGV. Automatyka, 9, 2005, 223.

[7] Tyñski A., Zastosowanie techniki poszukiwañ z zabronieniami w rozwi¹zywaniu problemu prze- p³ywowego z transportem. Komputerowo Zintegrowane Zarz¹dzanie, 2, 2006, 595.