ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś LĄ S K IE J Seria: A U T O M A T Y K A z. 134
2002
N r kol. 1554
Eugeniusz N O W IC K I Politechnika W rocław ska
ALGORYTM TABU DLA PROBLEMU GNIAZDOWEGO Z CZASAMI TRANSPORTU
S t r e s z c z e n i e . W p rac y p rzed staw ia się szybki aproksym acyjny algorytm , m in im alizu jący m om ent w ykonania w szystkich zadań, d la problem u gniazdowego z tra n s p o rte m . A lgorytm bazuje n a technice ta b u ze specyficzną definicją sąsiedztw a. P rzeprow adzone eksperym enty obliczeniowe pokazują, że algorytm z n a jd u je m niejsze w artości k ry teriu m niż najlepsze ak tu aln ie algorytm y aproksy
m acyjne.
TABU SEARCH ALGORITHM TO JOB SHOP PROBLEM WITH TRANSPORTATION TIMES
S u m m a r y . A fast ap p ro x im atio n alg o rith m for a problem of finding th e m inim um m ak esp a n in a jo b shop w ith tra n sp o rta tio n tim es is presented. T h e alg o rith m is b ased on a ta b u search te chnique w ith a specific neighborhood definition. Com p u ta tio n a l ex p erim en ts show th a t th e algorithm finds sh o rter m akespans th a t th e b e s t a p p ro x im atio n s approaches.
1. Wprowadzenie
P roces p ro d u k cy jn y w system ach gniazdowych z uwzględnieniem system u tra n s portowego m o ż n a naszkicow ać n astępująco: P ierw sza o p eracja każdego zad an ia (wyrobu) polega n a załad o w an iu w gnieździe załadowczym n a paletę jego części bazowej. N astępnie paleta je s t tra n sp o rto w a n a pom iędzy gniazdam i produkcyjnym i, w których wykonyw ane są odpow iednie operacje. O s ta tn ia o peracja odbyw a się w gnieździe wyładowczym i polega na d em o n tażu gotow ego w yro b u z palety. P a le ta p rze tra n sp o rto w an a do danego gniazda produkcyjnego oczekuje w buforze w ejściowym n a rozpoczęcie w ykonyw ania operacji n a części bazow ej zad an ia, k tó re je s t n a niej umieszczone. P o w ykonaniu operacji p a le ta oczekuje n a tr a n s p o r t w buforze wyjściowym. Z reguły zak ład a się, że pojem ność bufora
328
E. Nowicki
wejściowego i wyjściowego każdego g n iazd a oraz liczba p a le t je s t nieograniczona. Jako podstaw ow e k ry te riu m przy jm u je się m om ent w ykonania w szystkich zadań.
O gólnie m o żn a w yróżnić dw a try b y p rac y środków tra n s p o r tu (wózków): (i) tryb zab ierz i zostaw (ang. pick a n d dro p ) lu b (ii) tr y b czekaj i je d ź (ang. s to p and go), [10]. P ierw szy z nich p olega n a tym , że po do sta rc ze n iu p alety z częścią bazow ą zadania d o b u fo ra wejściowego odpow iedniego gniazda, w ózek je s t gotow y do tra n s p o rtu części bazow ej innego za d an ia; w p rz y p a d k u gdy zad an ie to je s t w ykonyw ane n a innej maszynie, m usi n a jp ie rw do niej ’’d o jechać” (tzw. p u sty przebieg). W try b ie d ru g im wózek jest zw iązany z częścią bazow ą z a d a n ia (dokładniej z p a le tą , n a której je s t o n a umieszczona) o d p o c z ą tk u d o końca jego p rocesu technologicznego. T ry b pierwszy, będąc ogólniejszy niż d ru g i, je s t znacznie tru d n ie jsz y do m odelow ania (z uw agi n a p o trze b ę uwzględnienia p u sty c h przebiegów wózków).
W celu ro zw iązan ia p roblem u gniazdow ego z tra n s p o rte m poleca się w literaturze stosow anie p rzed e w szystkim algorytm ów przybliżonych ty p u konstrukcyjnego, p atrz np.
[1], [5], [10]. A lg o ry tm y te n a p o d sta w ie pew nych reguł prio ry teto w y ch szeregują kolejno p o je d y n cz e o p era cje n a m aszynach i w ózkach tran sp o rto w y c h . C zas ich p ra c y je s t bardzo k ró tk i, ale jak o ść produkow anych przez nie h arm onogram ów nie je s t zadow alająca. Os
ta tn io je d n a k p ojaw iły się w lite ra tu rz e algorytm y przybliżone ty p u p opraw , bazujące n a technikach ta b u , [2]; p a trz p race [7], [8] - d la try b u czekaj i jed ź oraz prace [3], [4]
- d la tr y b u zab ierz i zostaw ; w tych dw óch o sta tn ic h rozw aża się tylko jed en wózek tra n s p o rto w y (ro b o t). A lgorytm y t e p ro d u k u ją znacznie lepsze h arm o n o g ram y (w sensie w arto ści funkcji celu) p rzy akceptow alnych przez p rak ty k ó w czasach obliczeń; odnosi się to szczególnie d o algorytm ów z p ra c [7], [8].
W niniejszej p rac y form ułuje się w ygodny, p erm utacyjno-grafow y m odel proble
m u gniazdow ego z tra n s p o rte m p rac u jąc y m w try b ie zabierz i zostaw . Następnie w y k o rz y stu ją c tzw . elim inacyjne w łasności ścieżki krytycznej, p ro p o n u je się bardzo niew ielkie sąsiedztw o danego rozw iązania, k tó re m ożna zastosow ać p rz y konstrukcji różnych m e to d popraw . W p rac y sto su je się tech n ik ę ta b u , a dokładniej tw órczo adaptuje się a lg o ry tm T S A B w ykorzystyw any wcześniej do szybkiego zn ajd o w an ia efektywnych h arm o n o g ram ó w w problem ie gniazdow ym bez uw zględnienia tr a n s p o rtu [9]. Wyniki b a d a ń porów naw czych pom iędzy proponow anym algorytm em a alg o ry tm am i z prac [3], [4] pok azu ją, że d o sta rc z a on isto tn ie lepszych rozw iązań w znacznie k ró tszy m czasie. Do
datkow e b a d a n ia n a in sta n c ja c h o prak ty czn y ch rozm iarach w ykazały, że algorytm pro
Algorytm ta b u d la problem u gniazdowego z czasam i tra n s p o rtu 329
dukuje średnio o 15% lepsze rozw iązania niż jednoczesne zastosow anie kilku powszechnie używanych alg o ry tm ó w konstrukcyjnych w m aksym alnym czasie rzędu kilku m in u t n a IBM P C .
2. Sformułowanie problemu i model permutacyjno-grafowy
D any je s t zbiór m aszy n produkcyjnych
M p
= { 1 , . . . , m '} oraz zbiór V\> zaw ierający Iw > 1 identycznych środków tran sp o rto w y c h (wózków). W ózki są ponum erow ane k o l' ąnymi liczbam i + = = {m ' + 1 , . . . , m}. Czas przejazdu pomiędzy k ażd ą p a r ą różnych m aszyn produkcyjnychl',l" e M p
wózka pustego oraz wózka załadow anego w y m ag a odpow iedniod(l\ l")
> 0 orazD(l\ l")
>d(l\ l
") jednostek czasu;
D(l,l)
=d(l,l)
= 0, I 6M p.
Przyjm ujem y, że wielkościd(l',l"), D(l',l")
spełniają w arunek tr ó jk ą ta oraz że czas p rzejazdu wózka załadowanego nie zależy od transportow anego ła d u n k u (palety z częścią bazow ą odpow iedniego zadania).
Proces p ro d u k cy jn y polega n a w ykonaniu zbioru zadań J = { 1 , 2 , . . . , r} . K ażde zadanie k e j sk ła d a się z sekwencji n p operacji produkcyjnych indeksowanych kolejno przez Tk + 1, Tk + 2 , . . . , r* + n p , k tó re pow inny być wykonywane w tej kolejności, gdzie 7*. = D ?= i n f oraz T\ = 0. Łącznie trz e b a w ykonać n p = T ,k e J n k operacji produkcyjnych Ov — { 1 , 2 , . . . , n p }. D la każdej operacji produkcyjnej j € O je st określona dokładnie jedna m a szy n a p ro d u k c y jn a P j € M p , n a k tórej może być ona w ykonana w czasie pj > 0.
Po w ykonaniu operacji produkcyjnej j ' — Tk + i, 1 < i < n p za d an ia k
e
J na. m aszynie Pj', część bazow a tego za d a n ia je st przem ieszczana do bu fo ra wyjściowego tej m aszyny i następnie tra n s p o rto w a n a przez je d en z wózków do bufora wejściowego m aszyny , gdzie j " = Tk + i + 1. (Przyjm ujem y, że czas przem ieszczenia części bazowej za d an ia z maszyny do jej b u fo ra wyjściowego oraz z b u fo ra wejściowego n a m aszynę je s t rów ny zero.) W ynika s tą d , że p om iędzy każdą p a rą operacji produkcyjnych Tk + i, Tk + i + 1 za d an ia k jest w ykonyw ana o p e ra c ja tran sp o rto w a , k tó rą oznaczam y przez [r* + z], 1 < i < n p . Łącznie w ystęp u je J2k e j ( n k — 1) = — r operacji transportow ych" f - i
oTr= U U + W
k e j »=i
O peracja tra n sp o rto w a
j e 0 Tr
może być w ykonana przez jeden z wózków ¡ije
W .W p rak ty ce przem ysłow ej możliwe są dwie sytuacje: (i) wózek p j je s t wcześniej określony lub (ii) p o d le g a w yborow i (dodatkow a zm ienna decyzyjna). Dalej będziem y rozpatryw ać
330 E. Nowinki
tylko tę pie rw sz ą sy tu a cję. T ak więc, realizacja operacji tran sp o rto w e j j = [r* -fi] ę 0 Tr p o le g a n a przew iezieniu przez zad an y w ózek p j części bazowej z a d a n ia k z maszyny p ro d u k cy jn e j l' = p Tk+i do m aszyny produkcyjnej l" = p Tk+i+i w czasie p j — D (l',l").
Zauw ażm y, że p om iędzy w ykonaniem dw óch kolejnych o peracji tran sp o rto w y c h j ' — [r*/+
j'], j " = [rjt"+ i"] n a ty m sam ym w ózku w = p ? = p j" wózek m usi przejechać b ez ładunku z m aszyny l' = Prk,+i'+ i do m aszyny l" — w czasie d (l', l"). C zas te n interpretujem y ja k o w ym ag an y czas przezbrojenia s ( j ' , j ") w ózka pom iędzy dw iem a kolejnym i operacjami tra n sp o rto w y m i przez niego w ykonyw anym i.
P o d o b n ie ja k w klasycznym problem ie gniazdow ym , nie dopuszczam y podzielności op
eracji p ro d u k cy jn y c h i tran sp o rto w y c h i zakładam y, że w każdej chwili czasowej:
(i) k aż d a m a sz y n a p ro d u k c y jn a m oże w ykonyw ać co najw yżej je d n ą o p erację produkcyjną, (u ) każdy w ózek m oże w ykonyw ać co najw yżej je d n ą o perację tra n sp o rto w ą oraz (iii) nie m o ż n a jedno cześn ie w ykonyw ać więcej niż je d n ą o p erację p rodukcyjną lub tra n s p o rto w ą dan eg o zad an ia. O znacza to , że nie m usim y rozróżniać m aszyn produk
cyjnych o d wózków (m aszyn tran sp o rto w y c h ) oraz o peracji p rodukcyjnych od operacji tra n sp o rto w y c h , z je d n y m w yjątkiem , że pom iędzy kolejnym i operacjam i transportow ym i w ykonyw anym i n a te j sam ej m aszynie tran sp o rto w e j (wózku) w y stę p u ją przezbrojenia N iech O = O p U 0 Tt ozn acza zbiór w szystkich o peracji p rodukcyjnych i transportowych, M = M p U W - zbiór w szystkich m aszyn produkcyjnych i tran sp o rto w y c h ,
zaś S ( j ) - m o m en t rozpoczęcia w ykonyw ania o peracji j € O n a m aszynie P j. Uszere
gow anie dopuszczalne definiujem y jako zestaw S ( j ) > 0, j 6 O ta k i, że sformułowane powyżej ogran iczen ia s ą spełnione. P ro b le m p olega n a znalezieniu dopuszczalnego uszere
gow ania m inim alizującego m o m en t w yk o n an ia w szystkich operacji m axJ-ec) ( 5 ( j ) + p 3j . P rz ejd z iem y te ra z do sform ułow ania m odelu perm utacyjno-grafow ego. W tym celu w prow adzim y d o datkow e niezbędne oznaczenia. N iech Oi = { j € O : Pj — /} określa zbiór o p e ra c ji w ykonyw anych n a m aszynie l 6 M .. N iech kolejność w ykonyw ania tych op era cji w yznacza p e rm u ta c ja 7p = ( ^ ¡ ( 1 ) ,... ,7T;(o()), gdzie oj = |C?i|. W te d y zestaw p e rm u ta c ji rr = ( tti, 7T2, . . . , 7rm) - zw any dalej te ż p e rm u ta c ją - je s t zm ien n ą decyzyjną o k re śla ją c ą kolejność w ykonyw ania w szystkich o peracji ze zb io ru O n a poszczególnych m aszynach; zbiór w szystkich ta k ich p erm u ta c ji oznaczam y przez II.
W y k o rz y stu ją c w prow adzone oznaczenia, d la p e rm u ta c ji 7r € II definiujemy skierow any g ra f G (ir) = (O , E T U E K (x )) ze zbiorem wierzchołków O reprezentującym
Algorytm ta b u d la problem u gniazdow ego z czasam i tr a n s p o rtu 331
poszczególne operacje oraz zbioram i łuków
£T = U U
k e j j=rk+2(2)
E K ( n ) =
U U
{(7Ti(ż - l),7Tf(ż))} (3)leM ¡=2
reprezentującym i ograniczenia w ynikające odpow iednio: z m arszru ty technologicznej poszczególnych o p era cji w zadaniach oraz kolejności 7r w ykonyw ania operacji n a m aszy
nach. K a ż d y w ierzchołek j m a wagę pj. K ażdy łuk (ni{i — 1), ^ (ż ) ) , m ' < l < m , ze zbioru E K (7r) m a w agę s(7T|(i — l),7Tj(i)), zaś w szystkie pozostałe łuki z tego zbioru oraz luki ze z b io ru E ? m a ją w agę zerową. N iech C max(7r) oznacza długość najdłuższej ścieżki (ścieżka k ry ty cz n a) w grafie G(7r) d la p erm u tacji tt € II; w przy p ad k u gdy g raf G(7r) jest cykliczny, przyjm ujem y, że C max(7r) = oo. O statecznie, rozw ażany problem możemy sformułować ja k o znalezienie takiej p erm u tacji 7r* € II, że odpow iadający jej g ra f G (tx') ma n ajm n ie jszą długość ścieżki krytycznej Gmax(7r*).
I s to tn ą rolę w dalszych rozw ażaniach pełni ścieżka k rytyczna w grafie G (x ) zapisyw ana jako ciąg u = (tti,U 2, . . . ,u iu) w ierzchołków (operacji), których liczbę oznaczam y przez lu. Ścieżkę u m o ż n a przedstaw ić w p ostaci konkatenacji pewnej liczby (oznaczm y ją przez Ib) zw arty ch podciągów operacji wykonywanych n a tej sam ej m aszynie, zwanych blokami. D okładniej, u = { B u B 2, . . . , B a ), gdzie B h = {irik {eh), n¡h{eh + 1)... ^ ( A ) ) . 1 < h < Ib, je s t ciągiem (/i-tym blokiem n a ścieżce u ) zaw ierającym operacje wykonywane na m aszynie oznaczanej przez l poczynając od operacji z pozycji eh, 1 < < Oih, a kończąc n a operacji z pozycji A , ek < fh < oih w perm utacji irih\ przyjm ujem y, że operacje z dw óch kolejnych bloków B h - i, B k , są wykonywane n a różnych m aszynach, tzn.
lh~i ^ lh, h = 2 , . . . ,lb. Zauważmy, że wierzchołek 7Tjfi_1( A - i ) odpow iadający o statniej operacji z b lo k u B h - i je s t połączony z wierzchołkiem ^ ( e / , ) odpow iadającym pierwszej operacji z b loku B h lukiem z E T . W ierzchołki odpow iadające sąsiednim operacjom bloku są połączone łukam i z E K (n ).
R ozbijm y indeksy bloków Bh n a dw ie rozłączne grupy: I 1 = {1 < h < Ib : (|2A| = 1) V (1 < lh < m ')} - indeksy bloków jednoelem entow ych lub bloków w ystępujących n a m aszynach pro d u k cy jn y ch oraz I 2 — {1 < h < Ib : (|B /,| > 1) A (m 1 < lh < m )} - indeksy bloków w ieloelem entow ych w ystępujących n a m aszynach transportow ych. W ted y długość
332 E. Nowicki
ścieżki krytycznej Cmax(7r) można przedstawić w postaci:
Cmax(7!-)=E Z)
Pi+ 23 ( £
Pi+Z 5(7ri/l(i - 1).7rii.W) )• (4)
h e l 1 jC.Bh h e P j e B h i= e h+ \
P ierw szy sk ła d n ik tej sum y oraz pierw szy frag m en t drugiego sk ład n ik a określa czas w ykonyw ania w szystkich o peracji z bloków, zaś d rugi fragm ent drugiego składnika - czasy p rze zb ro jeń pom iędzy kolejnym i o p eracjam i tran sp o rto w y m i z poszczególnych bloków w y stę p u jąc y ch n a m aszynach tran sp o rto w y ch .
3. Sąsiedztwa i ich własności
P o d staw o w y m elem entem algorytm ów aproksym acyjnych ty p u po p raw je st pojęcie sąsiedztw a JJ (ir) danego rozw iązania (p erm u ta cji ir). Ogólnie m ów iąc, je s t to zbiór per- m u ta cji a € II \ {zr}, k tó re z n a jd u ją się w ’’p obliżu” p erm u ta c ji tt. D o określenia tej bliskości w y korzystuje się pojęcie ruchu, tzn. funkcji v, k tó ra odw zorow uje zbiór II w Et. Zdefiniow anie d la danej p erm u ta c ji tt € II ruchu v, a dokładniej — określenie zbioru w ykonyw anych z tej p e rm u ta c ji ruchów V(zr), pozw ala określić jej sąsiedztwo jV ( n ) = {7T(V) : w S V (ir)}; sym bol ZT(V) oznacza tu ta j w artość funkcji v d la p erm utacji w.
P rz y w yborze zb io ru ruchów w y stę p u ją dw ie sprzeczne tendencje. Z jednej strony zbiór V (zr) pow inien być ja k najw iększy, poniew aż zw iększa to szanse n a dokładniejszą p e n e tra c ję p rze strzen i rozw iązań (zbioru p erm u ta c ji II). Z drugiej stro n y pow inien być jak najm niejszy, ab y czas p rzeglądnięcia sąsiedztw a W (w ) - p o d k ą te m zn alezienia najlepszego ro zw iązan ia - był ja k najk ró tszy . Isto tn e je s t także, aby p ro c e d u ra spraw d zan ia, czy graf G(7T(u)) je s t acykliczny, b y ła ja k n ajm n iej pracochłonna; najlep iej, gdy d la każdego ruchu v g ra f te n j e s t zaw sze acykliczny. D latego te ż szczególnie interesu jące w y d a ją się być ruchy v = (a, b) p o leg ające n a w ym ianie położenia dw óch kolejnych o peracji a, b wykonywanych n a tej sam ej m aszynie; zbiór w szystkich ta k ich ruchów oznaczam y przez = {v = (a, b) : a = n t(i - 1), b = 7rt (ż), 2 < i < Oi,l € M } . Zbiór V°(7r) zaw iera n — m ruchów, co m oże być je d n a k znacznie za dużo, gdyż do w yznaczenia jednej w artości Cm a^71» ) p o trz e b a aż 0 (r i) czasu, gdzie n = 2n p — r. W iększość z nich m ożna je d n a k wyeliminować bez w y liczan ia C max(7r(v)), co w ynika z następ u jącej własności, stanow iącej uogólnienie odpow iedniego tw ie rd z en ia z p rac y [9] d la problem u gniazdow ego bez tra n s p o rtu . W ł a s n o ś ć 1. N iech p erm u ta cja tt S II generuje acykliczny g r a fG (tt) ze ścieżką krytyczno, u i blokam i operacji Bh, h = 1 , . . . , Ził. N iech ruch v = (a, b) € V ° (tv). Jeżeli spełniony
Algorytm ta b u d la pro b lem u gniazdowego z czasam i tra n s p o rtu 333
jest je d en z poniższych dwóch warunków:
(i) co n a jm n ie j je d n a z operacji a, b nie należy do żadnego z bloków,
(ii) operacje a, b należą do pewnego bloku B k , h e l 1 oraz żadna z nich nie je s t pierwszą lub osta tn ią operacją tego bloku,
to
Ć7max !>(v)) -i Cmoa(^)- (5)
Ten dow ód w łasności w ynika z dw óch n astępujących spostrzeżeń: (I) po w ykonaniu ruchu v spełniającego je d e n z w arunków (i)-(n ) w grafie G (7T(V)) istnieje ścieżka zaw ierająca wszystkie w ierzchołki ścieżki u oraz (II) p rzezbrojenia s ( j ', j " ) sp e łn ia ją tzw. słaby w arunek tr ó jk ą ta , tzn.
< s { j', k ) + p k + s (k , j" ) (6) dla każdych trzech o peracji tran sp o rto w y ch j ' , k, j " . W ykorzystując te spostrzeżenia oraz równanie (4) b ezpośrednio otrzym ujem y nierów ność (5).
Niech V l (n ) o znacza zbiór w szystkich ruchów v e V (-jr) nie spełniających w arunku (i) oraz w aru n k u (ii) powyższej własności. Zbiór te n zaw iera ruchy polegające n a zam ianie położenia pierw szych dw óch i o sta tn ic h dw óch operacji każdego bloku n a m aszynach pro
dukcyjnych oraz zam ian ie położenia kolejnych p a r operacji każdego bloku n a m aszynach transportow ych. W szczególności n a m aszynie produkcyjnej d la bloku dw uelem entowego jest w ykonyw any tylko je d e n ruch, a d la bloku wieloelementowego - dw a ruchy. Z kolei na m aszynie tran sp o rto w e j d la każdego bloku B k wykonuje się — 1 ruchów. T ak więc
| V » | = £ m in{2,
\Bh\
- 1} + £ (\B h\ - 1). (7)hef' heP
W ynika, s tą d , że zbiór ruchów V 1(7r) je st znacznie m niejszy niż V ° (x ) . B a d an ia nu
meryczne pokazały, że d la przykładów zaw ierających n p — 500 operacji produkcyjnych, m! = 20 m aszy n p rodukcyjnych oraz Iw = 10 m aszyn transportow ych zaw iera on średnio około 40 elem entów . N a uw agę zasługuje ta k że fakt, że d la każdego ruchu v € Y 1^ ) graf G(tt(vj) je s t acykliczny. W łasność t a - try w ialn a d la problem ów gniazdowych bez tra n s portu - w ynika tu ta j ze słabego w arunku tró jk ą ta spełnionego przez czasy przezbrojeó (puste przebiegi wózków).
R easum ując, zbiór ruchów Vr l(w) je st stosunkowo niewielki, co pozw ala n a szybkie przeglądnięcie sąsiedztw a i w konsekwencji oznacza bardzo k rótki czas w ykonania jednej iteracji a lg o ry tm u p opraw , w k tó ry m będzie on zastosowany. Jednocześnie przeprow ad
334
E. Nowicki
zone b a d a n ia num eryczne pokazały, że je s t on w ysta rc za jąc o duży, aby skutecznie prow adzić proces poszukiw ań w przestrzen i rozw iązań.
W tej p ra c y proponow any zbiór ruchów w ykorzystujem y przy k o nstrukcji sąsiedztwa w alg o ry tm ie p o p raw ty p u ta b u - zw anym dalej algorytm em T S . W szystkie pozostałe elem enty alg o ry tm u T S , ta k ie jak : p o sta ć listy ta b u T , definicja ruchów zabronionych, s tr a te g ia p rz e g lą d a n ia sąsiedztw a A/"1 (w) = {7T(v) : v 6 V 1(7r)} oraz m e to d y intensyfikacji i dyw ersyfikacji poszukiw ań są zbliżone do tych, k tó re zastosow ano w algorytm ie TSAB z p rac y [7] i d lateg o nie b ę d ą przedstaw iane.
4. W yniki badań testowych
A lg o ry tm T S zakodow ano w D elphi 5 i uru ch am ian o n a P e n tiu m II (330MHz).
G łów nym celem b a d a ń testow ych była odpow iedź n a dw a p y ta n ia . J a k zachowuje się a lg o ry tm T S w p o ró w n a n iu do algorytm ów z p rac y [4] n a in stan c jac h ta m badanych (w [3] te s tu je się tylko in stan c je b ez operacji produkcyjnych) oraz o ile lepsze rozwiązania g eneruje T S o d rozw iązań otrzy m an y ch przez algorytm y k o nstrukcyjne n a instancjach losowych?
In sta n c je te sto w an e w [4] zostały w ygenerow ane n a bazie dw óch p rzykładów M utha i T h o m p so n a , problem ów gniazdow ych bez tra n s p o rtu ; pierw szy zaw iera 6 za d ań , 36 ope
racji oraz 6 m aszyn, zaś d rugi 10 z a d ań , 100 o peracji oraz 10 m aszym (tzw . ’’setka” ).
D alej będziem y się zajm ow ać ty lko ty m drugim , poniew aż je s t on znacznie bardziej skom
plikowany. W p rac y [4] rozw ażano dw ie klasy problem ów : w pierw szej czasy wykonywania o peracji pro d u k cy jn y ch p j nie zostały zm ienione w sto su n k u do czasów setki, zaś w drugiej czasy p j z a stą p io n o przez \ f ■ Pj~\, gdzie 0 < / < 1. D odatkow e p a ra m e try wynikające z uw zględnienia tra n s p o r tu generow ano następ u jąco : P rz y jęto , że w system ie je st tylko je d e n w ózek Iw = 1 (ro b o t), a m aszyny p rodukcyjne s ą um ieszczone n a jednej linii w kolejności 1 , . . . , m !. D la czasów tr a n s p o rtu w ózka załadow anego ro zp a trz o n o dwie sytu
acje: (i) D ( l ',l " ) = D\V — l"\ z różnym i w artościam i D (czas tr a n s p o rtu proporcjonalny do odległości p om iędzy odpow iednim i m aszynam i produkcyjnym i) oraz (ii) D (l',l" ) \ = T (stały czas tra n s p o r tu T ). P o d o b n e sy tu a cje rozw ażono d la czasów tra n s p o rtu wózka pustego: (t) d (l',l" ) = d\l' — l"\ oraz (ii) d (l',l" ) = t. P o w ykonaniu serii eksperymentów z różnym i w arto ściam i / , D , d, T , t o trzy m an o ostateczn ie 14 n ajtru d n ie jsz y c h instancji.
Algorytm ta b u d la p roblem u gniazdowego z czasam i tra n sp o rtu 335
W p rac y [4] testo w an o trz y różne wersje algorytm u tab u : pierw szą i d ru g ą u rucham ia
no 6 razy, a trz e c ią 12 razy, przy różnych p ara m etra ch sterujących. N iech C HK oznacza najm niejszą w arto ść funkcji celu w ygenerow aną d la danej instan cji w śród 6 + 6 + 12 = 24 przebiegów. W szy stk ie przebiegi rozpoczynały się z uszeregow ania o w artości C IN otrzym anego przez odpow iedni algorytm konstrukcyjny, zwany dalej algorytm em IN.
Nasze b a d a n ia testow e polegały n a w yznaczeniu, d la każdej z 14 wyżej opisanych in
stancji, w artości funkcji celu C TS w yprodukow anej przez algorytm T S oraz dwóch w artości względnej p o p raw y $ (IN ,H K ), $ (H K ,T S ), gdzie <S>(A,B) = 100% (C'4 - C B) / C A. W yniki wraz z w arto ściam i C IN , C HK (z p racy [4]), ’’kodam i” instan cji oraz sum arycznym czasem przebiegu w ózka załadow anego S u m T r = 2 j6 0 rr Pj p odano w ta b lic y 1; przykładow o kod f l,0 .D l.tl oznacza, że / = 1, D = 1, t — 1.
T ablica 1 W y n ik i b a d a ń testow ych algorytm u T S n a przykładach z p rac y [4]
Nr K od
in sta n c ji
S u m 'll ■CA P opraw a w %
IN HK TS $ (IN ,H K ) $ (H K ,T S )
1 fl.O .D l.d l 223 1088 990 967 9,0 2,3
2 fl.O .D l.tO 223 1088 989 964 9,1 2,5
3 f l.O .D l.tl 223 1088 995 961 8,5 3,4
4 f l,0 .D 2 .d l 446 1123 993 980 11,6 1,3
5 f l,0 .D 3 .d l 669 1163 1070- 1033 8,0 3,5
6 fl,0 .D 5 .t2 1115 1444 1325 1321 8,2 0,3
7 f l.O .T l .tl 90 1092 1006 956 7,9 5,0
8 f l,0 .T 2 .tl 180 1094 1015 958 7,2 5,6
9 f l,0 .T 5 .t2 450 1102 1090 974 1,1 10,6
10 fO ,5 .D l.d l 223 600 555 505 7,5 9,0
11 fO ,5 .D l.tl 223 595 544 492 8,6 9,6
12 fO,5.D 2.dl 446 689 633 630 8,1 0,5
13 fO,5.D2.tO 446 611 578 553 5,4 4,3
14 fO ,5.D 2.tl 446 635 613 604 3,5 1,5
all 7,4 4,2
Z analizy tej ta b lic y w ynika, że algorytm T S uruchom iony tylko raz d la każdej instancji zawsze z n a jd u je lepsze uszeregow anie niż najlepsze uszeregow anie otrzy m an e w śród 24
336
E. Nowinki
przebiegów alg o ry tm u z p rac y [4]; śred n ia p o p raw a n a b ad an y ch in stan c jac h w ynosi 4,2%.
W a rto tu ta k ż e zauw ażyć, że łączny czas p rac y n a pojedynczej in stan c ji 24 przebiegów alg o ry tm u z [4] b y ł rzędu k ilk u n a stu godzin, p o d cz as gdy alg o ry tm T S p rac u je w czasie kilk u m in u t; a lg o ry tm z [4] testo w an o n a kom p u terze S un U ltra 2 (167 M H z). Oznacza to , że a lg o ry tm T S isto tn ie przew yższa porów nyw any alg o ry tm z uw agi n a lepszą jakość p rodukow anych uszeregow ań i znacznie k ró tszy czas obliczeń.
A lg o ry tm T S te sto w an o ta k ż e n a serii 800 in stan c ji o trzy m an y ch z 80 in stan c ji Tail- la rd a d la p ro b lem u gniazdow ego b ez tr a n s p o r tu (liczba operacji n p w ty c h instancjach w a h a się o d 225 do 2000, zaś liczb a m aszyn m ' G {15,20}). C zasy tr a n s p o r tu generowano z p rze d zia łu [1,10], zaś liczbę wózków z przed ziału [ m '/ /3 ,m '] . T S p opraw iał średnio o 15% ro zw ią zan ia d o sta rc zo n e przez algorytm y k o nstrukcyjne w czasie kilku m inut.
L IT E R A T U R A
1. Bilge U ., U lusoy G.: A tim e w indow -approach to sim u lta n eo u s scheduling of ma
chines a n d m a te ria l h an d lin g sy stem in a n FM S. O p eratio n s R esearch 43, 1995, pp.
1058-1070.
2. G lover F ., L a g u n a M.: T a b u Search. K luw er A cadem ic P u b lish ers, M assachusetts USA , 1997.
3. H u rin k J., K n u st S.: A ta b u search a lg o rith m for scheduling a single ro b o t in a jo b -sh o p en v iro n m en t. O snabriicker S chriften zu r M a th em atik , R eihe P, No. 213,
1999.
4. H u rin k J., K n u st S.: T a b u search alg o rith m s for th e jo b -sh o p problem s w ith a single t r a n s p o r t ro b o t. O snabriicker S chriften zu r M a th em atik , R eihe P, No. 231, 2001.
5. L a n g sto n M .A .: In te rsta g e tra n s p o r ta tio n p la n n in g in th e d ete rm in istic flow-shop en v iro n m en t, O p eratio n s R esearch 40, 1992, pp. 113-125.
6. N ow icki E.: T h e p e rm u ta tio n flow shop w ith buffers. A local search approach.
E u ro p e a n J o u rn a l of O p eratio n al R esearch 116, 1999, pp. 205-219.
7. Nowicki E.: M e to d a ta b u w problem ach szeregow ania z a d a ń p rodukcyjnych. Oficyna W y d a w n icz a P olitechniki W rocław skiej, Ser. M onografie 27, W rocław 1999.
8. Nowicki E.: Z astosow anie tech n ik i ta b u do h arm o n o g ram o w an ia elastycznych gniazd p ro d u k cy jn y ch z czasam i tr a n s p o r tu i p rzezbrojeń. Z. N . Pol. Śl., se ria A utom atyka 129, 2000, pp. 295-303.
9. Nowicki E ., S m utnicki C.: A fa st ta b o o search alg o rith m for th e jo b shop problem.
M an ag e m en t Science 42, 1996, pp. 797-813.
10. Saw ik T .: P lanow anie i sterow anie p ro d u k cji w elastycznych systemach m ontażow ych. W N T , W arszaw a 1996.
A lgorytm ta b u d la problem u gniazdowego z czasam i tra n s p o rtu 337
R ecenzent: D r hab . inz. E ugeniusz Toczylowski, Prof. Pol. W arsz.
A b s t r a c t
T h e p a p e r d ea ls w ith th e criterio n of th e m akespan m inim isation for th e jo b shop problem w ith tr a n s p o r ta tio n tim es. A fast an d easily im plem ented approxim ation algo
rithm is p ro p o sed b ased on a non triv ia l generalisation of th e p a th elim ination pro p erties known for th e classic jo b shop problem . T h is alg o rith m is able to achieve excellent resu lts for in stan c es u p to 2000 o p eratio n s, 100 jo b s an d 20 m achine due to exploiting of some stru c tu ra l p ro p e rtie s of th e p roblem com bined w ith a local search technique controlled by a ta b u search strateg y . C o m p u ta tio n a l results are presented for te s t d a ta arising from benchm ark in stan c es enlarged by tra n s p o rta tio n an d em p ty m ow ing tim es.
