Mesures d’approximation de valeurs de fonctions analytiques

LXXXVIII.2 (1999)

Mesures d’approximation de valeurs de fonctions analytiques

par

Patrice Philippon (Paris)

Nous donnons ici deux applications de la m´ethode d´ecrite dans [6] en montrant des mesures d’approximation de familles de nombres. On sait (au moins en petites dimensions) que de telles mesures entraˆınent des mesures d’ind´ependance alg´ebrique de ces mˆemes familles. La premi`ere application concerne les fonctions elliptiques de Weierstrass, tandis que la seconde con- cerne les K-fonctions introduites dans [7]. Ces deux applications fournissent par des biais tr`es diff´erents des mesures d’ind´ependance alg´ebrique des cou- ples de nombres π, Γ (1/4) ou π, Γ (1/3) par exemple, mais on verra que les fonctions de Weierstrass permettent d’obtenir des r´esultats plus fins. On en d´eduira en particulier que les nombres Γ (1/4) et Γ (1/3) ne sont pas des nombres de Liouville.

Soit x = (x ₁ , . . . , x _m ) ∈ Q ^m (Q d´esigne la clˆoture alg´ebrique de Q dans C = C ou C _p suivant le contexte). Pour toute place v du corps de nombres Q(x) = Q(x 1 , . . . , x m ) on note d(x) le degr´e sur Q et d v le degr´e local sur Q _v ,

kxk _v :=

 p |x ₁ | ² _v + . . . + |x _m | ² _v si v est archim´edienne, max(|x 1 | v , . . . , |x m | v ) si v n’est pas archim´edienne, et H(x) := Q

v k(1, x)k ^d _v

, le produit ´etant ´etendu `a toutes les places de Q(x) (H est une hauteur relative `a Q(x)). On pose

h(x) = log H(x) d(x) ,

la hauteur absolue de x, et si q ₁ , . . . , q _m est une famille de polynˆomes `a coefficients dans Q on appellera degr´e de cette famille le maximum des degr´es des q i et hauteur de cette famille la hauteur du vecteur des coefficients de tous les q _i .

1991 Mathematics Subject Classification: 11J91, 11J89, 11J82.

[113]

Enfin, rappelons qu’on dispose sur un espace projectif P n (C) de la dis- tance suivante :

Dist(x, y) = kx ∧ yk

kxk · kyk , x, y ∈ P _n (C),

o` u x ∧ y d´esigne le produit ext´erieur de syst`emes de coordonn´ees projectives dans C ⁿ⁺¹ des points x et y. Au voisinage de chaque point x ∈ P _n (C) cette distance est ´equivalente `a la distance (euclidienne ou ultram´etrique) de toute carte affine de P _n (C) centr´ee en x.

1. Mesures d’approximation et fonctions elliptiques. Soit ℘ une fonction elliptique de Weierstrass d’invariants g ₂ , g ₃ alg´ebriques. On note ζ sa primitive impaire et σ la fonction sigma normalis´ee telle que ζ = σ ⁰ /σ.

Soient ω ₁ , ω ₂ une base du r´eseau Ω des p´eriodes de ℘ telle que Im(ω ₂ /ω ₁ )

> 0. On note η ₁ , η ₂ les quasi-p´eriodes de la fonction ζ associ´ees (i.e. ζ(z +ω _i )

= ζ(z) + η i , i = 1, 2). Plus g´en´eralement, si ω ∈ Ω est une p´eriode non nulle de ℘ on note η la quasi-p´eriode de ζ associ´ee. Nous allons montrer

Th´ eor` eme 1. Avec les notations ci-dessus il existe un r´eel c > 0 tel que si P ∈ Z[X, Y ] est non nul on a

(1) |P (π/ω, η/ω)| > exp(−c ⁵ (log H(P ) + d ^◦ P log d ^◦ P )(d ^◦ P ) ² ).

Si θ = (1 : π/ω : η/ω) ∈ P ₂ (C) et α ∈ P ₂ (Q) on a

(2) Dist(θ, α) > exp(−c(h(α) + log d(α))d(α) ^3/2 ).

Un ´enonc´e du type (1) a ´et´e propos´e par G. V. Chudnovsky (voir [1] pour un panorama des travaux de G. V. Chudnovsky sur cette ques- tion) et une version l´eg`erement plus faible (avec un facteur (log(log H(P ) + d <sup>◦</sup> P )) <sup>2</sup> suppl´ementaire dans l’exponentielle) a ´et´e d´emontr´ee par G. Phili- bert [4] en utilisant un crit`ere de E. M. Jabbouri [2]. L’in´egalit´e (1) du th´eor`eme 1 montre en particulier que les nombres π/ω et η/ω ne sont pas des nombres de Liouville. En consid´erant les courbes elliptiques `a multiplica- tions complexes par Q(i) et Q(j) les couples (π/ω, η/ω) correspondants sont alg´ebriquement ´equivalents `a (π, Γ (1/4)) et (π, Γ (1/3)) respectivement, on peut donc ´enoncer :

Corollaire 2. Il existe un r´eel c ⁰ > 0 tel que pour tout polynˆome P ∈ Z[X, Y ] non nul on ait

|P (π, Γ (1/4))|, |P (π, Γ (1/3))| > (H(P )d ^◦ P ^d

^P ) ^−c

^(d

^{P )}

.

En particulier , les nombres Γ (1/3) et Γ (1/4) ne sont pas des nombres de Liouville.

La d´emonstration repose sur le th´eor`eme 1 de [6] et une construction des

approximations utilisant une id´ee due `a Chudnovsky. L’in´egalit´e (1) (mesure

d’ind´ependance alg´ebrique) se d´eduit de (2) via une propri´et´e d’approxima- tion ad´equate, que nous donnons `a la fin de ce paragraphe. Nous montrons d’abord l’in´egalit´e (2) (mesure d’approximation).

Analyse des donn´ees. Soit donc α = (1 : α ₁ : α ₂ ) ∈ P ₂ (Q). On suppose sans perte de g´en´eralit´e que ω/3 6∈ Ω et on choisit comme corps de base K ₀ = Q(α ₁ , α ₂ , g ₂ , ℘(ω/3), ℘ ⁰ (ω/3)). On consid`ere les fonctions

f ₁ (z) = (σ ² ℘)(z), f ₂ (z) = σ(z)



ζ(z) − η ω z



, f ₃ (z) = σ(z).

Soient D 1 , D 2 ∈ N ^∗ . On fait un choix de monˆomes de la forme

D = {h ∈ N ³ : h 1 ≤ D 1 , h 2 ≤ D 2 , h 3 = 2(D 1 − h 1 ) + D 2 − h 2 }.

Pour M ∈ N ^∗ , on note

Ω(M ) = {s ₁ ω ₁ + s ₂ ω ₂ : s ₁ , s ₂ ∈ N, s ₁ , s ₂ < M }

et on d´esigne par c _i des r´eels > 0 ne d´ependant que des fonctions f ₁ , f ₂ , f ₃ , de la base ω ₁ , ω ₂ de Ω et du point ω ∈ Ω. On ´ecrit ω = a ₁ ω ₁ + a ₂ ω ₂ et on identifie (Ω(M ) + Zω)/Zω `a un sous-ensemble de repr´esentants dans Ω(M ). Le cardinal de cet ensemble est ≤ c <sub>1</sub> M o` u c ₁ = |a ₁ | + |a ₂ |. On se donne encore des entiers T et T 0 .

Param`etres primaires A = K ₀ , C = C a = [K 0 : Q], η = η 0 = 1

d = 3 > n = 1 R = +∞

$ ₁ (r) = $ ₂ (r) = $ ₃ (r) = c ₂ r ² S = N × (ω/3 + Ω)

Choix

D = {h ∈ N ³ : h ₁ ≤ D ₁ , h ₂ ≤ D ₂ , h ₃ = 2(D ₁ − h ₁ ) + D ₂ − h ₂ } S 1 = {0, . . . , T 0 − 1} × (ω/3 + (Ω(M ) + Zω)/Zω)

S _i =

 {T ₀ + i − 2} × (ω/3 + Ω(M )) si 2 ≤ i ≤ T − T ₀ + 1

∅ sinon

S _i ⁰ = {0, . . . , T 0 − 1} × (ω/3 + Ω(M )), i ≥ 1

On restreint les choix pr´ec´edents en posant, pour c ₀ un r´eel ≥ 1 suf- fisamment grand par rapport aux autres c i ,

(3) D ₂ = [2c ₀ c ₁ M ] + 1, T ₀ = [c ₀ D ₁ ], T = 2 ⁸ c ₁ (T ₀ + 1),

de sorte que 2 card S 1 ≤ 2c 1 T 0 M ≤ D 1 D 2 ≤ card D, T > 2 ⁴ · 3D 1 , T M >

2 ⁸ c ₀ c ₁ D ₁ M ≥ 2 ⁵ · 3D ₁ D ₂ . On supposera M et D ₁ assez grands par rapport aux c _i et on pose U = − log Dist(θ, α).

Matrice des approximations. Suivant une id´ee de Chudnovsky, pour cons- truire les approximations on commence par ´ecrire z et ζ en fonction de ℘;

c’est le point qui permet d’am´eliorer les r´esultats de [4], [2]. Ces fonctions sont des int´egrales de premi`ere et seconde esp`ece sur la courbe elliptique param´etr´ee par ℘; on a

dz

d℘ = 1

p 4℘ ³ − g 2 ℘ − g 3

et dζ

d℘ = −℘

p 4℘ ³ − g 2 ℘ − g 3

.

On d´eveloppe ces expressions au voisinage de ℘(ω/3) et on int`egre, ce qui donne

(4)

℘ = ℘

 ω 3

 + ℘ ⁰

 ω 3

 u, ζ − η

ω z = γ −1 − X

i≥1

 γ i η

ω + γ i ℘

 ω 3



+ γ i−1 ℘ ⁰

 ω 3

 u ⁱ i ,

o` u u = (℘ − ℘(ω/3))/℘ <sup>0</sup> (ω/3) est un param`etre local au voisinage de ℘(ω/3) et γ _i ∈ K := Q(g ₂ , ℘(ω/3), ℘ ⁰ (ω/3)) satisfont H(γ ₋₁ , . . . , γ _i ) ≤ c ⁱ ₃ . On notera que γ ₋₁ = ζ(ω/3) − η/3, γ ₀ = 0 et les γ _i , i ≥ 1, sont d´efinis par

d du

 ζ − η

ω z



=

−



℘

 ω 3

 + η

ω

 + ℘ ⁰

 ω 3

 u

 s

1 + 2 ℘ ⁰⁰ (ω/3)

℘ ⁰ (ω/3) u + 12℘

 ω 3



u ² + 4℘ ⁰

 ω 3

 u ³

= −



℘

 ω 3

 + η

ω

 + ℘ ⁰

 ω 3

 u  X

i≥1

γ i u ⁱ⁻¹ .

(De fa¸con g´en´erale on v´erifie que la fonction ζ(nz) − nζ(z) est elliptique pour tout n ∈ Z.) La quasi-p´eriodicit´e et la relation de Legendre montrent que si ω = a ₁ ω ₁ + a ₂ ω ₂ alors

ζ(z + s ₁ ω ₁ + s ₂ ω ₂ ) − η

ω (z + s ₁ ω ₁ + s ₂ ω ₂ ) = 2i(a ₁ s ₂ − a ₂ s ₁ )π

ω + ζ(z) − η

ω z.

Consid´erons la matrice suivante :



 



.. .

. . . _t! ¹ · _du ^d

℘ ^h

· ζ − _ω ^η z + ^2i(a

^s

^−a _ω

^s

^)π
_h

 

u=0 . . . .. .



 



h

≤D

, h

≤D

0≤s

,s

<M, 0≤t<T

.

On d´eduit des formules (4) que chaque coefficient de cette matrice est un polynˆome Q _h,(t,s) `a coefficients dans K en π/ω, η/ω de degr´e ≤ D <sub>2</sub> et de taille ≤ c <sub>4</sub> (D <sub>1</sub> + T + D <sub>2</sub> log(T M )). On remarquera que les colonnes index´ees par (t, s) et (t, s <sup>0</sup> ) avec a 1 (s 2 − s <sup>0</sup> <sub>2</sub> ) = a 2 (s 1 − s <sup>0</sup> <sub>1</sub> ) sont ´egales, ceci refl`ete la p´eriodicit´e en ω des fonctions ℘ et ζ − (η/ω)z. On obtient une matrice dont les colonnes engendrent les mˆemes sous-espaces en restreignant s `a varier de sorte que s 1 ω 1 + s 2 ω 2 ∈ (Ω(M ) + Zω)/Zω. De plus, on v´erifie

(5) 1

t! · d ^t dz ^t



σ ^2D

^+D

℘ ^h

·

 ζ − η

ω z

 _h

   

z=ω/3+s

ω

+s

ω

= X t t

=0

µ _t

_,t,s Q _h,(t

,s)

 π ω , η

ω



o` u

µ _t,t,s = σ

 ω

3 + s ₁ ω ₁ + s ₂ ω ₂

 _2D

_+D

,

µ _t

_,t,s = X t j=t

1

(t − j)! · d ^t−j (σ ^2D

^+D

) dz ^t−j

z=ω/3+s

ω

+s

ω

× X

τ

+...+τ

=j τ

≥1

t

Y

i=1

1

τ _i ! · d ^τ

(℘/℘ ⁰ (ω/3)) dz ^τ

z=ω/3

.

Pour v´erifier (5) on utilise les formules de Leibniz et de changement de variable suivantes, valables pour toutes fonctions f (u) analytique en 0, g(z) analytique en z ₀ et u = ϕ(z) analytique en z ₀ telle que ϕ(z ₀ ) = 0 :

1

t! · d ^t (g · (f ◦ ϕ)) dz ^t (z 0 ) =

X t j=0

1

(t − j)! · d ^t−j g

dz ^t−j (z 0 ) · 1

j! · d ^j (f ◦ ϕ) dz ^j (z 0 ), 1

j! · d ^j (f ◦ ϕ) dz ^j (z 0 ) =

X j t

=0

1 t ⁰ ! · d ^t

f

du ^t

(0) · X

τ

+...+τ

=j τ

≥1

t

Y

i=1

1

τ _i ! · d ^τ

ϕ dz ^τ

(z 0 ), qui se d´emontrent par r´ecurrence. On remarquera que le terme correspon- dant `a t ⁰ = 0 dans le second membre de la seconde identit´e vaut 0 si j 6= 0 et f (0) si j = 0. La formule de Cauchy entraˆıne

    1

(t − j)! · d ^t−j (σ ^2D

^+D

) dz ^t−j

z=ω/3+s

ω

+s

ω

  ≤ e ^c

^(D

^+D

^)M

2

,  

  1

τ _i ! · d ^τ

(℘/℘ ⁰ (ω/3)) dz ^τ

z=ω/3

  ≤ e ^c

^τ

,

et le nombre de termes dans l’expression de µ t

,t,s ´etant ≤ 4 ^t , on a X t

t

=0

|µ _t

_,t,s | ≤ e ^c

^(t+(D

^+D

^)M

⁾ .

Les vecteurs approximations m _i+1,(T

_{+i−1,ω/3+s}

_ω

_+s

_ω

₎ sont alors les vec- teurs de composantes Q _h,(T

_+i−1,s) (α 1 , α 2 ), h ∈ D. On pose de plus

λ _i+1,(T

_{+i−1,ω/3+s}

_ω

_+s

_ω

_),Id = µ _T

_+i−1,T

_+i−1,s et

M _D =



 



.. .

. . . Q _h,(t,s) (α ₁ , α ₂ ) . . . .. .



 



h

≤D

, h

≤D

s

ω

+s

ω

∈(Ω(M )+Zω)/Zω, 0≤t<T

.

On calcule les param`etres secondaires (voir tableau).

Param`etres

secondaires i = 0 1 ≤ i < T − T ₀ + 1

K _i+1 K ₀

δ(i) 1

φ(i) c ₈ (D ₁ + T + D ₂ h(α) + D ₂ log M )

%(i) c 9 (D 1 + D 2 )M ²

r ⁰ (i) — max(|ω 1 |, |ω 2 |) · (2M + (|a 1 | + |a 2 |)/3) + 1 r(i) — 2e max(|ω ₁ |, |ω ₂ |) · (2M + (|a ₁ | + |a ₂ |)/3) + 2e

D$(r(i)) — ≤ c ₁₀ (D ₁ + D ₂ )M ²

N (i) — T 0 M ²

− log E(i) — T 0 M ²

U (i) — U − c ₁₁ (T ₀ + D ₂ )M ²

∆ i ≤ 4(a + 2) log(D 1 D 2 ) ≤ 4(a + 2) log(D 1 D 2 T 0 M )

Calcul de E(i). On a r ⁰ (i)/r(i) = 1/(2e), d’o` u E _r

_(i),r(i) (S _i ⁰ ) ≤ e ^{−N (i)} et H _r

(i) (S _i+1 ) = 1. Les conditions C _r,r

, C _N,r et C _E du th´eor`eme 1 de [6] sont satisfaites.

Calcul de U (i). Le support de S _i ⁰ ´etant de cardinal M ² dans C, on a (cf.

[6], §2.a, p. 296)

G _r(i),r

(i) (S _i ⁰ ) ≤

 133 max(|ω ₁ |, |ω ₂ |) min ω

∈Ω (1, |ω ⁰ |)

 _T

_M

≤ e ^c

^T

^M

,

car M est suppos´e assez grand par rapport `a c 1 . On notera que ce raffinement dans le calcul de la «gravitation» est d´ej`a pr´esent dans [4] via le lemme 4.5 de [9]. Grˆace `a (5) les quantit´es `a majorer dans la condition C _U du th´eor`eme 1 de [6] peuvent s’´ecrire

X t t

=0

µ _t

_,t,s



Q _h,(t

,s)

 π ω , η

ω



− Q _h,(t

,s) (α ₁ , α ₂ )

   

pour 0 ≤ s ₁ , s ₂ < M , 0 ≤ t < T ₀ + i, et sont donc major´ees par X t

t

=0

|µ t

,t,s |e ^c

^(D

^{+T +D}

^{log M )−U} ≤ e ^(c

^+c

^{)(T +(D}

^+D

^)M

^)−U

≤ e ^(c

^−c

^)(T

^+D

^)M

^−U .

Calcul de φ(i) et %(i). On a |σ(ω/3 + s ₁ ω ₁ + s ₂ ω ₂ )| ≥ e ^−c

^M

, d’o` u la majoration de |λ _i+1,(T

_{+i−1,ω/3+s}

_ω

_+s

_ω

_),Id | ⁻¹ et les majorations de la norme et de la taille de m _i+1,(T

_{+i−1,ω/3+s}

_ω

_+s

_ω

₎ r´esultent de celle des polynˆomes Q _h,(T

_+i−1,s) . Les conditions C _δ , C _φ et C _% du th´eor`eme 1 de [6]

sont ainsi satisfaites.

Rang de M D et lemme de z´eros. On retrouve ici les mˆemes arguments que dans [4], §3.3, `a ceci pr`es qu’on utilise un lemme de z´ero dans les groupes alg´ebriques plutˆot qu’une estimation de multiplicit´e. Si la matrice M _D est de rang < card D, il existe une combinaison lin´eaire non triviale de ses lignes, c’est-`a-dire une famille (a _h ) _h∈D ∈ C ^{card D} \ {0} telle que

X

h∈D

a h Q _h,(t,s) (α 1 , α 2 ) = 0

pour tout 0 ≤ t < T , 0 ≤ s 1 , s 2 < M . Mais chacune de ces combinaisons lin´eaires s’´ecrit

1 t! · d ^t

du ^t

X

h∈D

a h ℘ ^h

(ζ − α 2 z + 2i(a 1 s 2 − a 2 s 1 )α 1 ) ^h

  

u=0

,

ce qui montre que le polynˆome P

h∈D a h X ^h

Y ^h

s’annule `a un ordre ≥ T le long du sous-groupe analytique exp _G (z, α 2 z) de l’extension G par G a

de la courbe elliptique E param´etr´ee par ℘, d’exponentielle exp _G (z, w) = (℘(z), ζ(z) − w), en tous les points

exp _G

 ω

3 , −2i(a ₁ s ₂ − a ₂ s ₁ )α ₁ α ₂



, 0 ≤ s ₁ , s ₂ < M.

Le lemme de z´eros dans les groupes alg´ebriques commutatifs (cf. [5], thm. 9,

par exemple) entraˆıne alors qu’il existe un sous-groupe alg´ebrique propre G ⁰ de G tel que

T 2 card

 Σ + G ⁰ G ⁰



≤ 2 ³ · 3D ^{1−dim π(G} ₁

⁾ D ₂ ^1−dim(G

^∩G

⁾ o` u

Σ =

 exp _G

 ω

3 , −2i(a ₁ s ₂ − a ₂ s ₁ )α ₁ α ₂



: 0 ≤ s ₁ , s ₂ < M/2



et π d´esigne la projection de G sur E. On a card

 Σ + G ⁰ G ⁰



≥ [M/2] + 1 si G ⁰ ∩ G _a = {0}

et comme T > 2 ⁴ ·3D 1 , T M > 2 ⁵ ·3D 1 D 2 , l’in´egalit´e ci-dessus est impossible, ce qui montre que le rang de M _D est ´egal `a card D.

Condition C ₁ . D’apr`es nos choix (3) on a card D ≥ 2δ(0) card S <sub>1</sub> et δ(j) = 1 pour j ≥ 0. Comme la matrice M D est de rang card D le th´eor`eme 1 de [6] affirme l’existence d’un entier j ≥ 1 tel que

min(− log E(j) − D$(r(j)), U (j)) ≤ a(φ(j) + φ(0)) + %(j) + %(0) + ∆ _j + ∆ ₀ . Vu le calcul des param`etres secondaires et le fait que l’in´egalit´e

T ₀ M ² > (c ₁₀ + 2c ₉ )(D ₁ + D ₂ )M ²

+ 3c 8 (D 1 + T + D 2 h(α) + D 2 log(T M ))d(α) est satisfaite pour nos choix (3) avec D ₁ = [2c ² ₀ (h(α) + log d(α)) p

d(α)] + 1 et M = [c ₀ p

d(α)], c’est U (j) qui r´ealise le minimum dans le membre de gauche. On en d´eduit

U ≤ (2c ₁₁ + 1)T ₀ M ² < c ⁶ ₀ (h(α) + log d(α))d(α) ^3/2 , ce qui ´etablit l’in´egalit´e (2) du th´eor`eme 1 car U = − log Dist(x, α).

Mesure d’ind´ependance alg´ebrique. On a le lemme de transfert suivant.

Lemme 3. Soit θ ∈ P ₂ (C). Il existe un r´eel c ₁₅ > 0 tel que si pour une forme P ∈ Z[X 0 , X 1 , X 2 ] on a

log |P (θ)| ≤ −b ⁴ (log H(P ) + d ^◦ P log d ^◦ P )(d ^◦ P ) ² o`u b ≥ c ₁₅ alors il existe α ∈ P ₂ (Q) tel que P (α) = 0 et

log Dist(θ, α) ≤ − b

c 15 (h(α) + log d(α))d(α) ^3/2 .

D ´e m o n s t r a t i o n. C’est un cas particulier du th´eor`eme 3 de [8].

On applique ce r´esultat avec b = c · c 15 o` u c ≥ c 15 d´esigne la constante

du th´eor`eme 1, pour d´eduire (1) de (2) dans le th´eor`eme 1.

2. Mesures d’approximation et K-fonctions. Soient K un corps de nombres, d > 1 et f ₁ , . . . , f _d des fonctions analytiques dans B(0, 1) dont les d´eveloppements de Taylor en l’origine sont `a coefficients dans K. Pour D un sous-ensemble fini de N ^d notons |D| = max(|µ 1 | + . . . + |µ d | : µ ∈ D) et

D _t f ^D (0) = (D _t

(f ₁ ^µ

. . . f _d ^µ

)(0) : µ ∈ D, t ⁰ = 0, . . . , t);

c’est un vecteur de K (t+1) card D .

D´ efinition. Soient c ∈ R ≥1 , A un ensemble infini de parties finies de N ^d , ϕ : A×N → R _≥e une fonction telle que ϕ _D (t) soit croissante et (log ϕ _D (t))/t soit d´ecroissante par rapport `a t pour tout D ∈ A, et

lim inf

|D|→∞

log ϕ D (card D/(2[K : Q])) card D/(2[K : Q]) = 0.

Rappelons (cf. [7], §3) que f = (f ₁ , . . . , f _d ) est un syst`eme de K-fonctions de type ϕ si H(D t f ^D (0)) ≤ ϕ D (t) pour tout t ∈ N et D ⊂ N ^d .

Nous disons que D ⊂ N ^d est c-admissible pour f si pour tout Q ∈ C[X 1 , . . . , X d ] support´e par D, on a

ord 0 Q(f 1 (z), . . . , f d (z)) ≤ c · card D.

Soit encore K ⊂ C une extension de type fini de K et θ 1 , . . . , θ m un syst`eme g´en´erateur de K/K. On note θ = (1 : θ ₁ : . . . : θ _m ) ∈ P _m (C) et on dira qu’une famille d’´el´ements y 1 , . . . , y m ∈ K est de degr´e ≤ δ et taille

≤ τ s’il existe une famille de polynˆomes p ₀ , p ₁ , . . . , p _m ∈ K[X ₁ , . . . , X _m ] de degr´e ≤ δ et taille ≤ τ telle que y _i = p _i (θ)/p ₀ (θ), log |p _i (θ)| ≤ δ log kθk + τ pour i = 1, . . . , m et log |p 0 (θ)| ≥ −δ log kθk − τ .

On dira encore qu’une matrice M est produit d’une matrice triangulaire et d’une matrice `a coefficients dans K de degr´e ≤ δ et taille ≤ τ s’il existe une matrice triangulaire sup´erieure T `a coefficients dans C et une matrice R `a coefficients dans K telles que M = R · T , les coefficients et les inverses des termes diagonaux de T sont de valeurs absolues ≤ e ^τ et la famille des coefficients de R est de degr´e ≤ δ et taille ≤ τ .

Th´ eor` eme 4. Soient δ ∈ N <sup>∗</sup> , τ, c, c <sup>0</sup> ∈ R ≥1 , f = (f 1 , . . . , f d ) un syst`eme de K-fonctions de type ϕ, D ∈ A c-admissible pour f et 0 < r ⁰⁰ ≤ r ⁰ < 1.

On suppose qu’il existe un ensemble pond´er´e S de support dans la couronne B(0, r ⁰ ) \ B(0, r ⁰⁰ ) tel que la matrice f ^D (S) soit produit d’une matrice trian- gulaire et d’une matrice `a coefficients dans K de taille ≤ τ et degr´e ≤ δ et que les conditions suivantes soient r´ealis´ees :

(1) − 4m(S) log( √

r ⁰ − η ₀ r ⁰ ) ≤ −T ₀ log r ⁰ ,

(2) − log E _r, ^√ _r

(S) > 12 log ϕ D (T ) + 8[K : Q](log(8T ) + log card S),

(3) − card S · log r ⁰⁰ + log G _r, ^√ _r

(S) ≤ − c ⁰

c T log r ⁰⁰ , (4) 16 log(T 0 + ϕ D (T 0 )) ≤ T 0 min(1, − log r ⁰ ),

o`u T = [c · card D] + 1, T 0 = [card D/(2[K : Q])] et r = 1 − 2(log ϕ D (T ))/T . Alors, pour tout α ∈ P _m (Q) satisfaisant

(5) 33



δ(h(α) + log(4kθk)) + 2τ + log ϕ _D (T )

[K : Q] + log(8T ) + log card S



d(α) < − T ₀ log r ⁰ [K : Q] , on a

(6) log Dist(θ, α) ≥ − card D · (c ⁰ log r ⁰⁰ + 2c log r ⁰ ).

Analyse des donn´ees

Param`etres primaires A = Q, C = C ou C p

a = 1, η = 1, η ₀ = 1 ou 0 d > n = 1

R = 1 ω 1 (r), . . . , ω _d (r)

S ∪ (N × {0})

Choix D ∈ A, c-admissible

S i+1 =

 



 

{0, . . . , T ₀ − 1} × {0} si i = 0

S si i = 1

{(i + T ₀ − 2, 0)} si i = 2, . . . , T − T ₀ + 2

∅ sinon

S _i ⁰ = S _i

j=1 S _j

Matrice des approximations. La matrice f ^D (S) est produit d’une ma- trice triangulaire T et d’une matrice R `a coefficients dans K. On obtient la matrice M <sub>D</sub> des approximations en sp´ecialisant θ en α dans R et en lui adjoignant les colonnes de f <sup>D</sup> ({0, . . . , T } × {0}) (`a coefficients dans K).

On a card S ₁ = T ₀ , δ(0) = [K : Q], φ(0) = %(0) = (log ϕ _D (T ₀ ))/[K : Q]

et on calcule les param`etres secondaires (voir tableau). Posons U =

− log Dist(θ, α) et supposons U > 3(τ + δ log(4kθk)).

Param`etres

secondaires i = 1 2 ≤ i ≤ T − T ₀ + 2

K _i+1 K(α) K

δ(i) [K : Q] · d(α) [K : Q]

φ(i) = %(i) δh(α) + 2τ log ϕ _D (T )/[K : Q]

r ⁰ (i) r ^01/2

r(i) r ₀ = 1 − 2(log ϕ _D (T ₀ ))/T ₀ r = 1 − 2(log ϕ _D (T ))/T D$(r(i)) ≤ log(T 0 + ϕ _D (T 0 )) ≤ log(T + ϕ _D (T ))

N (i) T ₀ T + card S

− log E(i) − ¹ ₄ T ₀ log r ⁰ − 3 log ϕ _D (T ₀ ) − log E _r, ^√ _r

(S) − 3 log ϕ _D (T ) U (i) (U + T 0 log r ⁰ )/(d(α)[K : Q]) U + T 0 log r ⁰ + T (log r ⁰ + (c ⁰ /c) log r ⁰⁰ )

∆ i ≤ (a + 2) log(2(card D + T + card S))

Majoration de la croissance D$. Soit t 0 ∈ N ^∗ , r 0 = 1 − (2 log ϕ D (t 0 ))/t 0

et on ´ecrit, pour µ ∈ D, M (f ^µ ; r ₀ ) ≤ X

t≥0

|D _t f ^µ (0)|r ^t ₀ ≤ ϕ _D (t ₀ ) + X

t>t

ϕ _D (t)ϕ _D (t ₀ ) ^−2t/t

≤ ϕ _D (t ₀ ) + X

t>t

ϕ _D (t ₀ ) ^−t/t

car ϕ _D (t) ^1/t est d´ecroissante, puis

M (f ^µ ; r ₀ ) ≤ ϕ _D (t ₀ ) + ϕ _D (t ₀ ) ⁻¹ 1 − ϕ D (t 0 ) ^−1/t

≤ ϕ D (t 0 ) + t ₀

log ϕ D (t 0 ) ≤ ϕ D (t 0 ) + t 0 . Calcul de E(i) pour i = 1. On a

E(i) =

 r ^01/2 r(i)

 _T

H ^√ _r

(S)

et on v´erifie r(i) ^T

≥ exp(−3 log ϕ D (T 0 )) grˆace `a (4). Enfin, H ^√ _r

(S) ≤ ( √

r ⁰ − η 0 r ⁰ ) ^m(S) et la condition (1) entraˆıne log H ^√ _r

(S) ≤ ¹ ₄ T 0 log r ⁰ . Calcul de E(i) pour i = 2, . . . , T − T 0 + 2. On a

E(i) = E _r(i),r

_(i) (S)

 r ⁰ (i) r(i)

 _i+T

₋₂

r ⁰ (i) ^−(i+T

⁻²⁾ et on v´erifie r(i) ^−i−T

⁺² ≤ ϕ _D (T ) ³ grˆace `a (4).

Calcul de φ(i) pour i = 1 et U (i). En sp´ecialisant θ en α dans une

famille de polynˆomes q, p l,c (l = 1, . . . , card D, c = 1, . . . , card S) de degr´e

et taille convenables qui d´ecrivent la famille des coefficients de R, on obtient

des ´el´ements de K(α) de hauteur ≤ δh(α) + h(q, p) ≤ δh(α) + τ o` u p = (p _l,c ). Compte tenu de l’estimation des coefficients diagonaux de la matrice triangulaire T , cela donne la majoration de φ(i) = %(i).

Le calcul de U (i) ne fait intervenir que les approximations des vecteurs D t f ^µ (y) pour µ ∈ D et (t, y) ∈ S, les coefficients des autres colonnes

´etant dans K. Le corps K(α) est consid´er´e comme sous-corps de C par un plongement σ 0 ; nous notons σ les conjugu´es de ce plongement. Comme Dist(θ, α) ≤ (4kθk) ^−δ e ^−τ on a kαk ≤ 2kθk, |q(α)| ≥ |q(θ)|/2 et on ´ecrit p _l,c (θ)q(α) − q(θ)p _l,c (α) en d´eveloppant α = (α − θ) + θ. En notant c l’indice de la colonne D t f ^D (y) dans la matrice f ^D (S), p c le vecteur colonne (p _l,c ) l=1,...,card D et λ _c

_,c les coefficients de T correspondants, il vient, pour tout plongement σ de K(α) dans C,

log  

 D ^t f ^D (y) − X c c

=1

λ c

,c σ

 p c (α) q(α)

 

  ≤ −U ^σ o` u

−U ^σ

≤ log |α − θ| + log

 X ^c

c

=1

|λ c

,c |



+ log k(q, p)k

+ max(d ^◦ q, d ^◦ p) log(4kθk · kαk) − log |q(α)| − log |q(θ)|

≤ log Dist(θ, α) + 4(log k(q, p)k + δ log(4kθk · kαk) + τ + log card S) et, pour σ 6= σ 0 ,

−U ^σ ≤ log

 X ^c

c

=1

|λ c

,c |



+ log kσ(q, p)k + max(d ^◦ q, d ^◦ p) log(4kθk · kσ(α)k)

≤ 4(log kσ(q, p)k + δ log(4kθk · kσ(α)k) + τ + log card S).

Dans ces estimations on a utilis´e

|D _t f ^D (y)| =    

X c c

=1

λ _c

,c

p _c (θ) q(θ)

  ≤ card S · e ^3τ kθk ^2δ . En sommant, il vient

δ(i)U (i) = X

σ

U ^σ

≥ U − 4[K : Q]d(α)(δh(α) + δ log(4kθk) + 2τ + log card S),

mais d’apr`es la condition principale (5) le second terme du membre de droite

est major´e par −T ₀ log r ⁰ , d’o` u l’estimation de U (i) pour i = 1. Pour i > 1

et chaque plongement de K dans C on utilise la premi`ere estimation. De

plus, la condition (3) majore log(G _r(i),r

(i) (S _i ⁰ )H _r

(i) (S _i+1 )) par −T log r ⁰ −

(c ⁰ /c)T log r ⁰⁰ et on en d´eduit comme pr´ec´edemment l’estimation de U (i)

pour i > 1.

Si la matrice M D n’´etait pas de rang card D il existerait une combi- naison lin´eaire non triviale de ses lignes, c’est-`a-dire un polynˆome Q ∈ C[X <sub>1</sub> , . . . , X <sub>d</sub> ] non nul, s’annulant sur tous les m <sub>i+1,(t,y)</sub> , (t, y) ∈ S ∪ ({0, . . . , T } × {0}). En particulier on aurait ord 0 Q(f 1 , . . . , f d ) > T ; mais l’ensemble D est c-admissible, T = [c · card D] + 1 entraˆıne que ceci n’est pas possible et la matrice M <sub>D</sub> est de rang card D. Par ailleurs 2δ(0) card S <sub>1</sub> ≤ card D et le th´eor`eme 1 de [6] montre l’existence d’un entier i ≥ 1 tel que la condition C ₁ suivante soit r´ealis´ee :

min(− log E(i) − D$(r(i)), δ(i)U (i)) ≤ δ(i)((a + 1)(φ(i) + φ(0)) + ∆ _i + ∆ ₀ ).

Condition C ₁ pour i = 1. Le membre de droite est major´e par 4[K : Q]d(α)



δh(α) + 2τ + log ϕ _D (T )

[K : Q] + log(8T ) + log card S

 , d’apr`es les conditions (5) et (4) il est donc plus petit que

− ¹ ₈ T ₀ log r ⁰ ≤ − ¹ ₄ T ₀ log r ⁰ − 4 log(T ₀ + ϕ _D (T ₀ )) ≤ − log E(1) − D$(r(1)).

Ainsi lorsque la condition C 1 est r´ealis´ee pour i = 1 on obtient une majora- tion de U + T ₀ log r ⁰ par − ¹ ₈ T ₀ log r ⁰ , qui entraˆıne le r´esultat.

Condition C ₁ pour i = 2, . . . , T − T ₀ + 2. Le membre de droite est major´e par

8[K : Q]

 log ϕ D (T )

[K : Q] + log(8T ) + log card S



≤ − T 0 log r ⁰ 4d(α)

d’apr`es la condition principale (5), et la condition (2) entraˆıne qu’il est plus petit que − log E _r, ^√ _r

(S) − 4 log(T + ϕ _D (T )). Ainsi lorsque la condition C ₁ est r´ealis´ee pour i > 1 on obtient une majoration de U +T 0 log r ⁰ +T (log r ⁰ + (c ⁰ /c) log r ⁰⁰ ) par −T ₀ log r ⁰ /(4d(α)), qui entraˆıne `a nouveau le r´esultat.

Application. Prenons d = 4, f 4 (z) = z et f _i (z) = 1 + γ _i X

k≥1

 X

l|k

l ²ⁱ⁻¹



z ^k , i = 1, 2, 3,

avec γ ₁ = −24, γ ₂ = 240 et γ ₃ = −504, les s´eries d’Eisenstein. On a un syst`eme de K-fonctions de type ϕ o` u ϕ D (t) ≤ (504ζ(5)t ⁶ ) ^|D| car P

l|k l ²ⁱ⁻¹ ≤ ζ(2i − 1)k ²ⁱ⁻¹ . De plus le lemme de multiplicit´e de [3] (th´eor`eme 3) montre que toute partie D ⊂ N ⁴ de la forme {µ ∈ N ⁴ : µ ₁ , µ ₂ , µ ₃ < D, µ ₄ <

D log D} est c-admissible pour f et un r´eel c > 0 convenable. Soit D un entier assez grand; on applique le th´eor`eme 4 avec S = {0, . . . , N − 1} × {y}

o` u y ∈ C satisfait 0 < |y| < 1 et N =

 c ₁₆ D log D

− log E _r, ^√ _r

(y)



.

On prend r ⁰ = r ⁰⁰ = |y|, on a E _r, ^√ _r

(S) = E _r, ^√ _r

(y) ^N , G _r, ^√ _r

(S) ≤ 2 ^N pour r = 1 − c ₁₇ (log D)/D ³ , T ₀ = [D ⁴ log D/2], T = [cD ⁴ log D] + 1 et on v´erifie les conditions (1)–(4) du th´eor`eme. Enfin, on d´eduit du syst`eme d’´equations diff´erentielles satisfait par les s´eries f :

(7)

12zf ₁ ⁰ (z) = f 1 (z) ² − f 2 (z), 3zf ₂ ⁰ (z) = f ₁ (z)f ₂ (z) − f ₃ (z), 2zf ₃ ⁰ (z) = f 1 (z)f 3 (z) − f 2 (z) ² ,

zf ₄ ⁰ (z) = f ₄ (z),

que la matrice f ^D (S) est produit d’une matrice diagonale (dont les coeffi- cients sont des puissances < N de y ⁻¹ ) et d’une matrice `a coefficients dans Q(f 1 (y), f 2 (y), f 3 (y), y) de degr´e ≤ c 18 D log D et taille ≤ c 18 D(log D) ² . En effet, si D = zd/dz on a, pour toute fonction f ,

(8) z ^t d ^t f

dz ^t = D ^t f − X t−1 i=1

a i,t z ⁱ d ⁱ f dz ⁱ

o` u a <sub>i,t</sub> ∈ N satisfont a <sub>i,t</sub> = 0 si i 6∈ {1, . . . , t} et a <sub>i,t</sub> = ia <sub>i,t−1</sub> +a <sub>i−1,t−1</sub> sinon, pour t > 0. En particulier, on a a <sub>i,t</sub> ≤ c <sub>19</sub> t <sup>3(t−i)</sup> . Le syst`eme diff´erentiel (7) montre que si f d´esigne un monˆome f ^µ , µ ∈ D, alors D ^t f s’´ecrit comme un polynˆome de Q[f ] de degr´e ≤ D + t en f ₁ , f ₂ , f ₃ , de degr´e ≤ D log D en f ₄ et de hauteur ≤ c ₂₀ (D log D + t) log(D + t). Et la mˆeme assertion pour z ^t d ^t f /dz ^t suit par r´ecurrence sur t de (8). Soit α ∈ P 4 (Q); en choisissant

D = c ₂₁ (t(α)d(α)) ^1/3

o` u on a pos´e t(α) = h(α)+log d(α), de sorte que la condition (5) du th´eor`eme est satisfaite, on obtient log Dist(θ, α) ≥ −c ₂₂ D ⁴ log D.

Corollaire 5. Soit y ∈ C, 0 < |y| < 1 et θ = (1 : f 1 (y) : f 2 (y) : f 3 (y) : y) ∈ P ₄ (C). Il existe un r´eel c > 0 tel que pour tout α ∈ P ₄ (Q) on ait

Dist(θ, α) ≥ exp(−c(t(α)d(α)) ^4/3 log(t(α)d(α))) o`u t(α) = h(α) + log d(α).

En sp´ecialisant ce corollaire en y = e ^2iπτ ∈ C o` u τ est le quotient des

p´eriodes fondamentales d’une courbe elliptique d´efinie sur Q on obtient une

mesure d’approximation des points (1 : π/ω : η/ω : e ^2iπτ ) ∈ P ₃ (C). Remar-

quons que cette mesure n’est pas assez fine pour exclure que les nombres

π/ω et η/ω soient des nombres de Liouville (contrairement au th´eor`eme 1

du paragraphe 1). Elle am´eliore toutefois celle pr´esent´ee dans [6] et on en

d´eduirait ´egalement, en ´etendant le lemme 3, une am´elioration du th´eor`eme

3 de [7].

R´ ef´ erences

[1] G. V. C h u d n o v s k y, Contributions to the Theory of Transcendental Numbers, Math.

Surveys Monographs 19, Amer. Math. Soc., 1984.

[2] E. M. J a b b o u r i, Sur un crit`ere pour l’ind´ependance alg´ebrique de P. Philippon, dans : Approximations diophantiennes et nombres transcendants (Luminy 1990), de Gruyter, 1992, 195–202.

[3] Yu. V. N e s t e r e n k o, Modular functions and transcendence questions, Mat. Sb. 187 (1996), no. 9, 65–96 (in Russian); English transl.: Russian Acad. Sci. Sb. Math. 187 (1996), 1319–1348.

[4] G. P h i l i b e r t, Une mesure d’ind´ependance alg´ebrique, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 38 (1988), no. 3, 85–103.

[5] P. P h i l i p p o n, Nouveaux lemmes de z´eros dans les groupes alg´ebriques commutatifs, Rocky Mountain J. Math. 26 (1996), 1069–1088.

[6] —, Une approche m´ethodique pour la transcendance et l’ind´ependance alg´ebrique de valeurs de fonctions analytiques, J. Number Theory 64 (1997), 291–338.

[7] —, Ind´ependance alg´ebrique et K-fonctions, J. Reine Angew. Math. 497 (1998), 1–15.

[8] —, Approximations alg´ebriques des points dans les espaces projectifs, J. Number Theory, `a paraˆıtre.

[9] E. R e y s s a t, Approximation alg´ebrique de nombres li´es aux fonctions elliptiques et exponentielle, Bull. Soc. Math. France 108 (1980), 47–79.

UMR 7586 du CNRS–Probl`emes Diophantiens Universit´e P. & M. Curie

T. 46-56, 5`eme ´et.

F-75252 Paris Cedex 05, France E-mail: pph@math.jussieu.fr

Re¸cu le 5.5.1997

et r´evis´e le 15.7.1998 (3178)