ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE MATEMATYCZNE X I I (1968)
ANNALES SOC1ETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I : COMMENTATION ES MATHEMATICAE X I I (1968)
Al i n a Da w id o w ic z (Kraków)
Une remarque sur les solutions radiates d’une equation aux derivees partielles d’ordre superieur
Designons par 8 la transformation des coordonees cartesiennes ( X i> • • •, x m) de l’espace a m dimensions en coordonees hyperspheriques
( r , <Pl, ■■ • •) Pm —l)
k - i
x k = r f j cos^sin^i (k =
i= l = •••>»»)>
ой
r > 0, — — , —u < c p i < 7 t (i ~ 2 , 3 , . . . , n ) .
Z Л
Soit T la transformation inverse a 8. Posons
(0) Xm) V(r) \T.
Alors v{r) — и (х г, . . . , x m)\s . Une fonction и ainsi definie sera dite uns fonction radiale.
Kous allons demontrer par induction le theoreme suivant:
Th e o e e m e I. Pour les fonctions radiales и nous aurons la formule d2kv k{m —1) d2k~l v
---1--- aUT + (m —1) (m ~ 3 )Ф к (r) (1) А и ^ . . . ^ x m)
dr,2k d r
oil Ak designe la k-ieme iteration de V operatem de Laplace A, nous avons posee i km.
Ф к(г) (L v
J2k—i
et Akm, i — 1, . . . , 2k — 2 ; к = 1 , 2 , . . . , est une suite de constantes.
D ó m on stration . I. Pour к = 1
d2v m— 1 dv
dr2 r dr
Au
II. Supposons que la formule (1) est vraie pour к = n, nous allone la demontrer pour n = Zc+l.
58 A. D a wi d o w ic z
Soit
Alu\s =wi{r) {1 = 1 , 2 , . . . ) .
En reprenant le calcul de la premiere etape, nous allons obtenir Wi+1(r) = w'i (r) + w'i{r){m—l)jr et
yyi,_
Ak+M s = wk+i(r) = wk {r) + w'k{r) — ■—
ой
d2k+2v (fc+l)(m —1)
dr2k+2 r
d2k+1v
-ftftk+T + ( т - 1 ) (т - 2 )Ф к+1(г),
&k+i(r) = Те d2kv
~Лк Те d2* -1®
,.2k—1
m —1 r2 dr™ r d dr™ * r II en resulte que pour n = Te-\-1 on a
Фк(г) + Фк(г)-
Wn{r) = d2nv n(m —1) d2n
dr2n r dr2 T + {ш —1){т — 3)Фп, ее qui acheve la dómonstration de la formule.
Considerons maintenant l’equation suivante:
ой a0, ax, . . . , ak sont des constantes. Soit z = и {х г, . . . , xm) = v{r) une solution radiale de l’equation (2).
Alors en substituant (1) a (2), nous allons obtenir une óquation d’Euler
2к
(3) ^ /?VV?) — /(r)
} = 0
ой ft sont des constantes pour j = 1, . . . , 2Tc.
Par un changement exponentiel des variables (voir [2], p. 440) l’equation (3) se transforme en une equation lineaire a coefficients con
stants.
Considerons maintenant en particulier l’equation
(4) Akz-\- q
( v ' l - O z = 0
dans le cas oil z est une fonction de trois variables.
Th eo r em e II. Si v{r) est une solution radiale de Vequation (4), la fonction w{r) = rv(r) est la solution de Vequation
(5) d2kw
- ^ k- + i ( r ) w = 0.
Solutions radiates diunę equation aux derivees partielles 59
Nous ommetons la demonstration par induction (voir [1]).
Maintenant nous presentons une solution radiale pour certains cas particuliers de liquation (4).
Dans le cas ой q(r) = 0, liquation (4) est une óąuation &-harmonique
(6) Akz = 0
et l’equation transformee (5) se reduit a liquation d2kw
dr2k
8a solution gónerale est
2k— X
w(r) = JT* щгг i—Q ou at sont des constantes. Done
(7) v(r)
2k—2 V + N ai+1r’
' i=0
II s’ensuit que chaque solution radiale de l’equation (6) a la forme (0), ou v est donne par la formule (7).
Nous prósentons maintenant les conditions sous lesquelles la solu
tion v(r) est definie pour r > 0.
Si v(r) est de la classe C2k pour r > 0,
«() = 0 et d2kw dr2k r = 0
= 0.
£tan t donne que w{r) = rv{r), nous avons d2kw _ Л d2fc- 1
dr2k dr2k dr2k~1
done
d2k~lv
dr2k~ 1 r=0 = 0 ? alors on obtient a2t = 0 pour 1 = 1 , . . . , k —1.
On obtient le theoreme suivant:
Th e o r e m e III. Toutes les fonctions k-harmoniques radiates a trois variables ont la forme
k- 1
и ( х г, x 2, xf) = J T Pi(xl + x22 + x l f
i=0 ou f}0, (Зг, . . . , fa sont des constantes.
6 0 A. D a wi d o w ic z
Soit (xx, x 2, х ъ)- = W(2?i, s2, s3) une transformation biunivoque. De- signons par Dk l’ensemble de l’espace (хх, х 2, х 3) qni est une image de la sphere tronquśe
h2 <C z\ + -f- zl < (ifc-)-l)2.
De f i n i t i o n. Nous dirons qu’une fonction и — u (x x, x 2, x z) est oscil- lante dans Vensemble x2-\-x2-\-xl > r\ > 0, s’il existe une transformation biunivoque W telle que
sgnw(a?!, x 2, x 3) = ( —1)* dans Dk, Tc = 1,2, ...
Les ensembles des points (xx, x 2, xs) pour lequels u (x x, x 2, x z) = 0
sont appeles des lignes de noeds de la fonction u.
II resulte de cette definition le theoreme suivant:
Th e o r e m s IV. Une condition suffisante et necessaire pour qu’une fonction radiate soit oseillante est que la fonction v (r) soit definie et oseillante pour r > r0.
oo
Th e o r e m e У. Si q ( r ) ^ q 0 > 0 , ou q(r) > 0 et
J
q(r)dr = oor оalors chaque solution non banale de Vequation (4) est oseillante.
Th e o r e m e VI. Si q{r) > r2k+e, ou e est une constante positive quel- conque, chaque solution non banale de Vequation (4)' est oseillante.
OO
Th e o r e m e VII. Si q ( r )^ 0 , et J r2k~1q(r)dr = o o , chaque solution
о
radiate non banale de Vequation (4) est oseillante.
Leurs demonstrations sont basóes sur les rósultats des travaux [3]
et [4] respectivement.
T ra v a u x cites
[1] A. D a w id o w icz , Zastosowanie twierdzenia Fite'a do pewnego typu równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych, Czasopismo Techniczne 4 (60) (1963), pp. 3 -4 .
[2] E . G o u rs a t, Cours d'Analyse, tome II, Paris 1911.
[3] W. В. F i t e , Concerning the zeros of the solutions of certain differential equa
tion, Trans. Amer. Math. Soc. 19 (1918), pp. 341-352.
[4] J . G. M ik u siń sk i, On Fite's oscillations theorems, Coll. Math. 2 (1951), pp. 34-39.
