Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18
7. Funkcje i ich własności. Ciągłość. (c.d)
Zadania do omówienia na ćwiczeniach 11.12.2017 (grupy 2–5).
392. Funkcja f spełnia warunki
f (3 − x) = f (x), f (6 − x) = f (x)
dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Dowieść, że funkcja f jest okresowa i parzysta.
393. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem f (x) =
ax + b dla x < 1 x2 dla 1 ¬ x < 2 ax − b dla 2 ¬ x
jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a,b), dla których funkcja f jest ciągła.
394. Niech f :R→R będzie funkcją określoną wzorem f (x) = a · {x}3+ b · {x}2+ c · {x} + d , gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x.
Jakie warunki muszą spełniać liczby a, b, c, d, aby funkcja f była ciągła?
395. Niech f :R→R będzie funkcją określoną wzorem f (x) = a · {2x} + b · {2x + 1} + c · {x} + d ·
x +1 2
, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y.
Jakie warunki muszą spełniać liczby a, b, c, d, aby funkcja f była ciągła?
396. Podać wszystkie sześć par parametrów (a, b), dla których funkcja f :R→R określona wzorem
f (x) =
6 dla x < a
|x2− 10x + 15| dla a ¬ x < b
6 dla b ¬ x
jest ciągła.
397. Niech f :R→R będzie funkcją określoną wzorem f (x) = a · {x} + b · 3{x},
gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x, a w drugim składniku wyrażenie {x} wystę- puje w wykładniku potęgi o podstawie 3.
Wyznaczyć wszystkie pary parametrów rzeczywistych (a, b), dla których funkcja f określona powyższym wzorem jest ciągła.
398. Dowieść, że równanie cosx = x ma co najmniej jedno rozwiązanie.
399. Dowieść, że równanie cosx = x2 ma co najmniej dwa rozwiązania.
400. Dowieść, że równanie x2017+ x = 2017 ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Lista 8 - 29 - Strona 29
