O funkcjach liniowo osiągalnych (prawie wypukłych) i prawie gwiaździstych

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

E. S

i J. Z

(Wrocław)

O funkcjach liniowo osiągalnych (prawie wypukłych) i prawie gwiaździstych

M. Biernacki [2] określił klasę funkcji liniowo osiągalnych. Z. Le­

wandowski [5] udowodnił, że klasa ta jest identyczna z klasą К funkcji prawie wypukłych, wprowadzoną przez W. Kapłana [4]. Klasa ta jest klasą wszystkich funkcji kształtu

( 1 ) f(z) = f p ( z ) ^ ~ ^ - d z = z + ^ a kł , | « | < 1 ,

0 fc *=*2

oo oo

gdzie p(z) = l + £ a kzk, rep {z) > 0 oraz /*(z) = z + £ b kzk jest funkcją

fc=l

k—2

jednokrotną gwiaździstą. Funkcje klasy К są funkcjami jednokrotnymi i, jak to wykazali I. E. Bazilewicz [1] i M. O. Beade [ 6 ], zachodzi dla nich oszacowanie |a j < n.

Mech F?(a2, ..., an) będzie funkcją rzeczywistą 2n — 2 zmiennych rzeczywistych % , yki ®k+ iy k — określoną w тг-tym obszarze zmien­

ności współczynników funkcji klasy К i mającą tam nie znikający gra­

dient. Funkcję F (a 2, ..., an) możemy uważaó za funkcjonał określony na funkcjach klasy K . Zachodzi natępujące

T

1. Funkcja, należąca do klasy K , dla której funkcjonał E(f) — E (a 2, ..., an) osiąga wartość ekstremalną, musi być kształtu

№ =

РквкЯ \ Г Т n— 1

1 - ъ г ! Ц (L— rkz) Vkdz.

Nadto parametry ftk, yk, ok, rk spełniają następujący układ równań:

(2n — 2)A n_1okl 3 -j-. . . Ą-nAxak —l)Acr£ 2 +

Ą-{n — 2)A 1ak 3 + • • • + J [n_2 = 0 ,

-S»-i‘*r*n~2+ 2+***“ł~-®n-i = O?

142 E. S z c z e p a n k i e w i c z i J. Z a m o r s k i

. + nB l r t - l + ( n - l ) x x n- 2^

»— i »— i -Ą-(n—2)В 1тк 3+ ... -\-Bn_2 = 0

л P k= £ Ук = 2,

a

=

=

& > 0 , y* > 0 , 1(7*1 = \rk\ = 1 ^ (* = 1 > ...» w— 1 ) gdzie

Jc4-j\dosk+j dpk+J f

i i : ?=i

jaj / dE . dE )

&+j 1 dxkĄ.j " dyk+j У

; A

” -1-2 0 ... 0 i Аз I)23 —2-3 0... 0

Jc[(Jc- _l)!]2

A a

• • i ...

A a A a • • • A -i, a

П — j

A,* — j [(& + 1 — 2j) ak__j -f- JT* o.k_j_i <5j], z=i

Ьг ^{— 1 0 . . . 0}

t 1 b 2 < $ ! - 2 0 . . . 0

( Л ? — 1 ) !

Óa- i d k _ 2 dk _ b . . .

И — 1 n— ¹

«* = _/=i ^{£ &} ’ ók = S yjX* _/=i *

D ow ód. Z równości ( 1 ) otrzymujemy następujące związki między współczynnikami;funkcji;/(»), 2 >(г), /*(г):

2a2 — a1-j-b2, 3a 3 = a2+ ai& 2 -f- 6 3,

nan = an- i ~b aw-2^2H“ • • • H~ bn -

Dalej wiemy,.że dla każdej funkcji gwiaździstej jednokrotnej /* (z) istnieje taka funkcja o części rzeczywistej dodatniej р г (z) — 1-4- <4+• • • > \z\ < 1, że

(3)

z

/*(«) = зехр / ^{P i(z z ) - 1 ..}

Funkcje liniowo osiągalne i prawie gwiaździste

Ze wzoru (3) mamy, że współczynniki funkcji /* (z) wyrażają się przez współczynniki funkcji p x{z) w następujący sposób:

<V~ ^{-1 0} .. 0

(4) bk — ¹ di ^{- 2 0} .. 0

Ófe_l Ó ^*_2 Ófc _3 .. di

Mech teraz funkcja f(z) daje największą wartość funkcjonału E (f) =

= Щ а2, .. . , an). Z pracy C. Carathćodory’ego [3] wynika, że do każdej funkcji o części rzeczywistej dodatniej można znaleźć funkcję o części rzeczywistej dodatniej, mającą takie same n —1 pierwszych współczynni­

ków i będącą postaci

p(z) = 1 + ^

fc=i l — akz

i > = 2 ,

fc=l

h > o , \ak\ — 1 »

Stąd wynika, że funkcjonał E (f) osiąga wartość ekstremalną również dla pewnej funkcji kształtu

(5)

e n s n

o ' o fc=i K 1

e n n

- / ( ■ + 2 ł ^ j n 0 ' fc* 1 * '

«. w

i »» i = w =

, = & > 0 > л >0

Teraz jednak funkcjonał E (f) jest funkcją 4w zmiennych rzeczywistych П

fo, y*, tfc, S/c (ak = = eiłk), związanych dwoma warunkami £ pk = 2 ,

n fc“ l

2 7 fc = 2. Łatwo zauważyć, że ekstremalną wartość osiągnie on tylko w punktach, w których

dE

W k = 0 , dE

дук Or

dE

двк = 0 , ⁰ J 2

= 0 ,

144 E. Szczep ankiewicz i J. Zamorski czyli

y / d M

2 j i da>, dxj dpk

dE

+ Wi ^. дУ1 '

d&J ¹ +д' = o, уч / bE dxj 1 dE ^{_ Qy} i \ _{1 -1- v'}

j L j _{\dcOj byk tyj byk )} ^{1 -j-} У — U,

(6) y l dE.

dLJ \ doc;

}=2 ' } дх^

dsk dE dyi

t by i |

ds* J |=o, yi Ib E

удое*

i =2 ' ’

dx.j btk

+ "Г, dE * tyj

дуЛ

btk J = 0 (k =

Ponieważ z (5) mamy 00

f {z) = V rnamzm~

inJ

n

Pk ok z \ Г Т

i - w l i j ( l - T **)-»■*,

a z (2) i (4) wynika, że możemy różniczkować współczynniki wzglę­

dem рк, yk , sk , tk , więc po prostych przekształceniach dostajemy

byk

m — l

JL у ^ z i a Ti m ć-d _/=1 ■' i

d&m bsk dd/ffi dtk

m — l

i / jbm—j &k) W Ć-J

/=1

Ул— _m

^У, _L

1=

(Jc = 1 , w).

W dalszym ciągu opieramy się na związku am = a?w + iym i wstawia­

jąc otrzymane pochodne w ( 6 ), po łatwym rachunku, otrzymujemy, że wartość ekstremalna funkcjonału jest osiągana dla tych wartości para­

metrów, dla których jest spełniony następujący układ równości:

(7)

( 8 )

A n_14№_2+ • • •+-^-1 <7* + ^ak~l 1 — O, (2n — 2 )A n_x<г *"'~3 + ... + п А гак~1 -f- (n —l)Xak~2 -\-

+ (n — 3 +-**+-^n - 2 — O, Bn_ 1 тлГ~2+ • • • + 7? 1 Т&-|- Ktk-1 +7?iTfc~ 2 ~f- • • ■ +-S »_1 = O, (2n — 2)Bn_1rkl~9 + ... -f-п В хх^Гх + (n — 1 ) yrk 2 -f-

(n — 2 )B 1Tn 3 + . . . 2 = 0 ,

n n

] ? p k = У^Ук = 2, !<7*| = |т*| = 1, f t > 0 , yk > O,

Funkcje Uniowo osiągalne i prawie gwiaździste

gdzie

n—k

= у ^ / 6 k

Z

fc + j \дя

n—k

У i a> ( j z t k + i '

a k —

B* = ł

& [(& -l )!]2 i

k + j

dE dxk+j

dE дУк+. )•

dE dyk +1 ^)■

К =

(Л-1)

-Д 2 - 1-2 0 ... 0

E 1S - 2 - 3 0 ... 0 E lk E 2k Ди- • •• E k_lk 1 — 2 j) Uk-j ”f

n—j E ak-i

1 -г

’Л — 1 0 ... 0

ó 2 by ^{- 2 0} ... 0 1

Ófc_l &k- 2 ^ C - 3 1

n n

a k = ^ fij Gj > &k — У ) •

y = l j = l

Zwróćmy teraz uwagę na grupę równań (7). Wynika z niej, że wie­

lomian

A n_ x c r 2 n - 2 + . . . + A x * " + Я ^ - 1 + A X an- 2 + . . . + i n _ !

ma wyłącznie podwójne pierwiastki ak1 a więc wśród liczb ak, określają­

cych funkcję dającą ekstremum funkcjonału E (f) co najwyżej n —1 może być różnych (1). Podobnie wnioskujemy z ( 8 ), że co najwyżej n —1 liczb Tfc jest różnych. Powróćmy teraz do funkcji / ( 0 ), o której założyliśmy, że daje ekstremum funkcjonału. Z tego, co zostało poprzednio powiedziane, wynika, że funkcje p{z) i p x{z) określające funkcję

f(z) = J p ( e ) e x p |j ..-- du

o 'o

mają po n —1 pierwszych współczynników identycznych z n —1 pierw­

szymi współczynnikami funkcji 1

Ti—1

+ 2 k=l

fik<!kz

1 — akz oraz

тг —1

+ ²

:

Vk*k«

1 — rkZ

(x) Jak łatwo zauważyć, wielomian ten nie może być tożsamości©wo równy zeru, ponieważ z założenia gradE Ф 0 .

Roczniki PTM - Prace Matematyczne VI

10

146 E. S z c z e p a n k i e w i o z i J. Z a m o r s k i

Na mocy twierdzenia zawartego w cytowanej już pracy Carathćodo- ry ’ego [3] muszą być z nimi identyczne. W ten sposób dowód twierdzenia jest zakończony.

Z klasą funkcji prawie wypukłych M. O. Eeade [ 6 ] związał klasę funkcji prawie gwiaździstych w analogiczny sposób jak z funkcjami wypukłymi są związane funkcje gwiaździste.

Mianowicie, każdej funkcji f(z) prawie wypukłej odpowiada pewna funkcja prawie gwiaździsta dana wzorem

oo

F(z) = zf(z) = J ? a*mzm, a* = 1 ,

m = l

i odwrotnie, każdej funkcji F(z) prawie gwiaździstej odpowiada funkcja prawie wypukła

f(z) = j da.

o

Oczywiście nie będą to na ogół funkcje jednokrotne. Dla klasy tej jest również prawdziwe twierdzenie, analogiczne do poprzednio udowodnio­

nego twierdzenia 1 , a mianowicie

T

2. Funkcja należąca do Masy funkcji prawie gwiaź­

dzistych, dla której funkcjonał F (F) = F (a 2, ..., an) osiąga wartość ekstre­

malną, musi być kształtu

П— l

*4*) = * ( i + 2 ' *=i

n

Г Т

i — okz i { 1 - T kz) Yk ,

Ы — l T * l — ^ fik = ^ У к — 2 , fik > 0 } У к > ń -

f c = l

k=\

Ponadto parametry fik, ykl ok, rk muszą spełniać układ równań 4 L i o T - 2+ ...+A*l a l+ X o t-1+A*l a l- 2Ą- ....+ 4 L i = 0 , (2n - 2) A*n_x orf-3 + . . . + ПАГ o t- 1 + (n - 1 ) Ao *-2 +

+ — 2 ).A*Ofc 3+ • • = 0 ?

5:_1аГ-2+...+Бг^+^гч5Гтг2+...+Ё:_1 = o,

( 2 n - 2 ) r f - 3 + •.. + n B tr n k- 1 + (n-- 1 ) xrn k-* +

-\-{n — 2 )-§*Tfc 3 2 ==

»— i »—i

£ P k = £ У к = 2 > & > 0 , У * > 0 , |flfc| = i Tj f cl = 1

* = 1 f c = l

{k = 1 , n - 1 ) ,

Funkcje liniowo osiągalne i prawie gwiaździste 147

gdzie

ak

n—k

A t = J T Ъ, 3 = 1

d E . m \

дУк+i) B t 1 V ? - *( dE . . dE \

* Удавк+1 1 дУк+ i ) ’

T)*

0

1 ^I>n

- 2

B*ik Dt k

D t-i,k

n—j

D j yk — + 1 — 2 j ) a k _ j + о-к- j - i i

i=i

-- 1 0 . . . 0

h = 1

^ 2 - 2 0 . . . 0

< 5 * - i & k- 2 71— 1

Gj , Ąfe

n ~ \

i = i

У i r i ? f c = 1 , .

* Dowód twierdzenia 2 jest identyczny z dowodem twierdzenia 1.

Prace cytowane

[1] И. E. Б а з и л е в и ч , Об одном случае интегрируемости, в квадратурах уравнения Лёвнера- Куфарева, Mat. Sbor. 37 (1955), str. 471-476.

[2] М. B ie r n a c k i, Sur la representation conforme des domaines linearement accessibles, Prace Mat.-Piz. 44 (1936), str. 293-314.

[3] C. C a ra th eo d ory, Tiber den Variabilitatsbereich der Fourierschen K on- stanten von positiven harmonischen Functionen, Rend. Circ. Mat. di Palermo 32 (1911), str. 193-217.

[4] W. K a p ła n , Olose-to-convex schlicht functions, Michigan Math. Jour.

1 (1952), str. 169-185.

[5] Z. L e w a n d o w sk i, Uber gewisse Klassen von schlichten Funktionen, Coli.

Math. 7 (1959), str. 145-146 (streszczenie).

[ 6 ] M. O. R ea d e, On close-to-convex functions, Michigan Math. Jour. 3 (1955- 56), str. 59-62.

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK UNIWERSYTET WROCŁAWSKI

E.

Я.

(Вроцлав)

О КВАЗИВЫ ПУКЛЫ Х И К ВАЗИЗВЕЗДНЫ Х ФУНКЦИЯХ

В этой заметке рассматривается класс квазивыпуклых функций и класс квазизвездных функций. Дается вид функции экстремальной относительно произ­

вольного функционала. Дается уравнения которым должны удовлетворять параметры экстремальной функции.

14В Е. S z c z e p a n k i e w i c z i j . Z a m o r s k i

Е.

and J.

(Wrocław)

ON CLOSE-TO-CONVEX AND CLOSE-TO-STARLIKE FUNCTIONS

In this paper the authors study the class of the close-to-convex functions and the class of the close-to-starlike functions. They give the form of the extremal func­

tions belonging to the above classes; further they give the equations which are satis­

fied with the parameters of the extremal functions.