R O C ZN IK I PO LSK IE G O T O W A R Z Y S T W A M ATEM ATYCZN EGO S E R IA I: P R A C E M A TE M A T Y C ZN E V (1961)
J. Z a m o r s k i (Wrocław)
Oszacowanie współczynników' funkcji należących do dwóch klas A-symetrycznych funkcji jednokrotnych
L. Spacek [9] dowiódł, że każda funkcja kształtu
(1) f(z) = z exp P (*)—1
s ds i
gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, a funkcja p{z) = 1
\z\ < 1 ma część rzeczywistą nieujemną, jest funkcją jednokrotną.
Niech 8a oznacza klasę wszystkich funkcji kształtu (1) dla ustalonego a.
Funkcja
f 1 Г Ю (s^ 1 1 1 (2) /*(*) = [/(**) ]1,Ł = « exp — - !---*
II — aiJ s
v n 7
jest oczywiście pewną funkcją klasy 8a. Niech 8„ oznacza podklasę wszyst
kich funkcji klasy 8a, mających rozwinięcie (3) f k{z) = z Ą-ak+lzk+1f-a 2k+1z2k+1
widzimy, że każda funkcja należąca do podklasy 8* jest kształtu (2).
Zachodzi następujące
T w i e r d z e n i e 1. Współczynniki funkcji podklasy Sa spełniają nie
równość
Kfc+il ^ ( 1 + a*)-e/2
^ knnl
n—1
f j [(2+ j k y + j*Va*]42.
7=0
Znak równości zachodzi dla funkcji
/*(*)■= * ( 1 + Ч**)-1'*'1-»'».
D o w ó d tw ie r d z e n ia 1. Niech
102 J. Z a m o r s k i
gdzie q = --- r, p(z) = 1 + axz + re{p(z)) у 0; stąd 1 — ai
zfk(z) k
W - ~ = e [ p t f ) ~ Ч + 1 - f M
Niech
(5) oj(z) P (J )~ 1
J> (« * )+ ! 7 = 1
Tak określona funkcja co (z) spełnia nierówność |со(г)| < 1. Z (4) i (5) otrzymujemy
"(« )[» /* (« ) + ( 2 e - i ) / A(.«)] = « /* (« )—/*(«)?
albo inaczej
OO 00 oo
(6) ^ cok)-zki Jy (jky2p)ajk_,1zjk-'1 = jkajk{lzik11.
i=i ?'=o 7=0
Stąd oczywiście
oo n — 1 n OO \ '
J ] c o kjZkl £ { j k - [ - 2 Q ) a jkĄ J k ''1 = + J T % - n ^ ' f l 7
7 = 0 7- = 0 i = 0 7-= n + l
gdzie Сд.+1 są pewnymi liczbami zespolonymi. Stosując do tej równości twierdzenie o wartości średniej modułu po kole \z\ = r < 1 i uwzględniając, że | co (^)l < 1 , dostajemy
n oo n —1
fc2^ j al%*+il*r2(,*+1) + \0jk+i\^4ik+1) \№+29\2-\аЛс+1\2гЦ/'ки),
7 = 0 ’ 7 = 7 1 - 1 - 1 7 = 0
dla r < 1. Stąd
n n — 1
&2 y p \ a }kĄ.i? < У li^ + 2cj|2|ct?7l-+1|2,
7=0 7=0
czyli
(7) \^nk-\-l 12
< ---4 n2k2
n —l
2
jfe+1
1 + a2!«/*+il2- Dla w = 1 otrzymujemy
2 f c / l + o 2" ’
l»*+il <
Funkcje klas k-symetrycznycli
Stąd i ze wzoru (7) przez łatwą indukcję otrzymujemy, że
7=0
Łatwo sprawdzić, że dla funkcji
/»(*) = * ( i + ł)*‘ r !'* {1- “4, \ v \ = з,
ostatnia nierówność przechodzi w równość, a więc podane oszacowanie jest ostre.
W dowodzie tego twierdzenia posłużyliśmy się zmodyfikowaną metodą ,1. Glunie’go [3] szacowania współczynników funkcji gwiaździstych z bie
gunem. Dla a = 0, tj. dla k-symetrycznych funkcji gwiaździstych, twier
dzenie to zostało udowodnione przez Gołuzina [5], Dunduczenkę [4]
i Waadelanda [10].
Rozpatrzmy teraz klasę fc-symetrycznych funkcji kształtu
gdzie ft jest k-symetryczną funkcją gwiaździstą i p(z) = 1 + ■a1« + . .., rep (z) ^ 0. Jest to podklasa klasy funkcji liniowo osiągalnych Biernackiego [2], jak wiadomo (patrz Lewandowski [7]) równoważnej klasie L funkcji prawie wypukłych wprowadzonej później przez Kapłana [6]. Dla klasy (8) zachodzi
T w i er d ze n i e 2 . Współczynniki funkcji kształtu ( 8 ) spełniają nierów
ności («)
o
7=0
lłówność jest osiągana przez współczynniki funkcji
z . ь
D o w ó d tw ie r d z e n ia 2. Jeśli napiszemy, że OO
9k(«) Л/11
OO
00 p{zk) = 1 + yajZ k\
104 J. Zamorski
to ze wzoru (8) otrzymamy 1 (9) l^-nic + l I
nk-f-1
Ponieważ z twierdzenia 1 mamy
Укп+\-\~ ахУк(п-1)+1-^Г • • • + ап-\Ук+1-\- an\-
1 j~l J ’ Р = 0
(trzeba w tezie twierdzenia przyjąć a — 0) oraz ponieważ |a,-| < 2 , więc podstawiając te wartości w (9), otrzymujemy przez łatwą indukcję, że
ft — 1
\a n k+l\ ( 2 + i ^ ) -
? = 0
Łatwo sprawdzić, iż równość jest osiągnięta dla funkcji
a к
/ ( l + e ł ) - ^ k— - kdt, р _g j > K k| = 1.
1 -j- ES
0
Dla к = 1 udowodnili to twierdzenie Bazilewicz [1] i Beade [8].
Prace cytowane 1
[1] И. E. Б а з и л е в и ч , Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера-Куфарева, Матем. сб. 37 (1955), str. 471-476.
[2] М. B ie r n a c k i, Sur la representation conforme des domaines lineairement accessibles, Prace M at.-Fiz. 44 (1936), str. 2 93-31 4.
[3] J. C lu n ie , On meromorpMc schlicht functions, Jour. London Matli. Soc. 34 (1959), str. 115-116.
[4] Л. E. Д у н д у ч е н к о , О некоторых экстремальных задачах теории спе
циальных классов конечно-многолистных аналитических функций, Киев. Изв.
Политех, ин-та, 18 (1955), str. 173-194.
[5] Г. М. Г о л у з и н , О некоторых оценках, относящихся к функциям, совер
шающим однолистное конформное преобразование круга, Матем. сб. 36 (1929), str. 152-172.
[6] W . K a p la n , Close-to-convex schlicht functions, Michigan Math. Jour. 1 (1952), str. 169-185.
[7] Z. L e w a n d o w s k i, Tiber gewissen Klassen von schlichten FunTctionen, Coll.
Math. 7 (1959), str. 145-146 (streszczenie).
[8] M. 0 . R e a d e , On close-to-convex functions, Michigan Math. Jour. 3 (1955-56), str. 5 9 -6 2 .
[9] L. Ś p a c e k , PHspevek k teorii funkci prostych, Ćasop. Pest. Mat. 62 (1933), str. 1 2-19.
[10] H. W a a d e la n d , Tiber k-fach symmetrische, sternfdrmige schlichte Abbil- dungen des Einheitskreises, Math. Scand. 3 (1955), str. 150-154.
Funkcje klas k-symetrycznych 105
Я н Заморски (Вроцлав)
О Ц Е Н К А К О ЭФ Ф И Ц И ЕН ТО В Ф У Н К Ц И Й , П Р И Н А Д Л Е Ж А Щ И Х К Д ВУМ КЛАССАМ fc-С И М М Е Т Р И Ч Е С К И Х О Д Н О Л И С ТН Ы Х Ф У Н К Ц И Й
РЕЗЮМЕ
Для коэффициентов fc-симметрических однолистных функций вида
Л\
fk (z) = s e X p ( _ J L _ д , )
I 1 — m J s I
v o '
имеют место следующие оценки
(1 + a2)~ nl2
iFni J J [(2+ jk)2+ j 2k2a2]1!2.
1=o
Подобным образом коэффициенты однолистных ^-симметрических функций вида
Г * p (s k)
= j о
удовлетворяют неравенству
! п~г
K t + l1 < I I (2+#'<).
. 7 = 0
J. Za m o r s k i (Wrocław)
E STIM A TIO N OF TH E C O E FFICIE N TS OF FU N C TIO N S B E L O N G IN G TO TW O CLASSES OF ^-SYM M E T R IC SCH LICH T FU N CTIO N S
S U M M A R Y
For the coefficients of fc-symmetric schlicht functions of the form
S , 4 * i 1 f P (s ) ~ 1ttk\ л ) fk {z) = z e x p L -— — —---ds
II — at J о s JI the following inequality is valid:
(1 + a2)~ nl2
l«»*+il <
knn\ f j [(2 + jk )2 + j 2k2a2y/2.
1=o
Similarly the coefficients of fc-symmetric schlicht functions of the form
f V n P(sk) Л
= J 4 ( s> — ~ ds
71—1
\агьк-\л I < - j ^ T / 7 (2 + ^ '
’ 7=0
satisfy the inequality
