ZAGADNIENIE ZAKRZYWIONEJ ANIZOTROPOWEJ ORAZ FUNKCJONALNIE GRADOWANEJ POWŁOKI PODDANEJ DZIAŁANIU POLA TEMPERATURY

RUTMech, t. XXXV, z. 90 (2/18), kwiecień-czerwiec 2018, s. 237-244

Damian SZUBARTOWSKI¹

ZAGADNIENIE ZAKRZYWIONEJ

ANIZOTROPOWEJ ORAZ FUNKCJONALNIE GRADOWANEJ POWŁOKI PODDANEJ

DZIAŁANIU POLA TEMPERATURY

Praca dotyczy problematyki zakrzywionej powłoki wykonanej z anizotropowego materiału o funkcyjnej gradacji. W rachunku wykorzystano koncepcję tensora krzy- wizny Riemanna-Christoffela wzbogaconą o wpływ pola temperatury przez obec- ność tensora właściwości termicznych. W ramach wykonanych obliczeń różnica wektora poddanego koneksji afinicznej wzdłuż infinitezymalnego czworokąta wyraża się, zależnie od drogi przejścia, sumą zarówno efektu geometrycznego, re- prezentowanego tensorem krzywizny Riemanna-Christoffela, jak również efektu termicznego wyrażonego przez symbol krzywizny termicznej.

Słowa kluczowe: materiał funkcjonalnie gradientowy, termosprężystość

1. Wprowadzenie

Budowana teoria stanowi podejście Riemanna Christoffela, opierające się na ogólnie rozumianym przesunięciu równoległym wektora wzdłuż infinitezymal- nego czworokąta (por. [1]). Nowością jest natomiast doszacowanie wpływu pola temperatury, którego obecność objawia się w przyroście wektora bazowego według wzoru:

10ptt

j k j

i ik i j

de = Γ( dx + αdT)e (1)

10pt

Oznacza to, że lokalny reper przy przejściu do nieskończenie bliskiego punktu sąsiedniego doznaje przyrostów wektorów bazowych zarówno z uwagi na pierwotnie posiadaną krzywiznę, jak i jej modyfikację związaną z obecnością właściwości termicznych oraz pola temperatury. W rachunku Γ_ik^j oznacza symbol Christoffela drugiego rodzaju, natomiast α_i^j stanowi tensor rozszerzalności ter- micznej.

1 Autor do korespondencji/corresponding author: Damian Szubartowski, Politechnika Krakowska, al. Jana Pawła II 37, 31-864 Kraków, tel.: (12) 3743370, e-mail: damian.szubartowski@pk.edu.pl

Przyrost kontrawariantnego wektora poddanego przesunięciu równoległemu można wyrazić jako:

10pkt

j i j k j

ik i

da = − Γa ( dx + α dT) (2)

10pkt

2. Koneksja afiniczna wektora kontrawariantnego wzdłuż infinitezymalnego czworokąta

Rozważmy nieskończenie mały czworokąt ABCD rozpięty na zakrzywionej powłoce zgodnie z rys. 1.

Rys. 1. Infinitezymalny czworokąt ABCD Fig. 1. Infinitesimal quadrangle ABCD

Boki wielokąta zostaną oznaczone kolejno przez:

10pkt

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 n

A x ,..., x

A B B d

A D D

B C C d d d d

D C C d d d

d d C C C d d

= =

→ ⇒ = +

→ ⇒ = + δ

′ ′

→ ⇒ = + + δ + = + + δ + δ

′′ ′′

→ ⇒ = + δ + + δ = + + δ + δ

′ ′′

δ = δ ⇔ = = = + + δ + δ

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

jeżeli: x x przestrzeń Riemanowska x x x x (3)

10pkt

Można dokonać przesunięcia równoległego wektora a z punktu A przez B do C oraz z punktu A przez D do C. Różnica wektorów przesuwanych równolegle wspomnianymi drogami stanowi pewną miarę krzywizny, zgodnie z następują- cym rachunkiem:

10pkt

j j A

j j i j k j

A B ik i

j j i j k j j i j k

B C ik i ik

j

j j j i k i j k ik i k l i j l k m

i ik ik l lm ik

j

j i k ik i k i l j k

ik l ik

A a a

(A B) B a a a ( dx dT)

(B C) C a a a ( dx dT) [a a ( dx

dT)] a a dx a x a dx x a dx x

x

a dx a dx T a dx T a

T

→

→

→ =

→ ⇒ → = − Γ + α

→ ⇒ → = − Γ + α + δ − Γ

+α = − Γ − Γ δ −∂Γ δ + Γ Γ δ

∂

−Γ δ −∂Γ δ + α Γ δ −

∂

i j i j

i i

j j

i k i i j l m i j l j i

i i

lm i l i i

k

j j i j k j

A D ik i

j j i j k j j i j k

D C ik i ik

j

j j j i k j i k ik

i ik ik

dT a T

a dT x a dT T a x dT a dT T a dT

T x

(A D) D a a a ( x T)

(D C) C a a a ( x T) d[a a ( x

T)] a a x a dx

→

→

α − α δ −

∂α δ −∂α δ + Γ α δ + α α δ − α δ

∂

∂

→ ⇒ → = − Γ δ + α δ

→ ⇒ → = − Γ δ + α δ + − Γ δ +α δ = − Γ δ − Γ −∂Γ_l ^{i k l i}_{lm ik}^{j l k m}

j

j i k ik i k j l i k i j i j

ik ik l i i

j j

i k i j i l m i j l j i

i i

i lm l i i

k

j

j j j j j i k i j k ik i

B C D C ik ik l

a x dx a x dx x

a d x a x dT a x dT a T a dT

T

a dx T a TdT a dx T a TdT a d T

T x

a a a a a dx a x a d

→ → x

δ + Γ Γ δ

∂

−Γ δ −∂Γ δ + Γ α δ − α δ − α

∂

∂α ∂α

− δ − δ + α Γ δ + α α δ − α δ

∂ ∂

− = ∆ = − Γ − Γ δ −∂Γ

∂

k l

j

i j l k m j i k ik i k j j i k j i k

lm ik ik ik ik

j j

i k l i j l k m j i k i k

ik ik

lm ik ik

l

j j

i l j k i j i j i i k i i

l ik i i k

i j l

lm i

x x

a dx x a dx a dx T a a x a dx

T

a x dx a x dx a d x a x dT

x T

a dx T a dT a T a dT x a dT T

T x

a

δ +Γ Γ δ − Γ δ −∂Γ δ − + Γ δ + Γ

∂

∂Γ ∂Γ

+ δ − Γ Γ δ + Γ δ + δ

∂ ∂

∂α ∂α

+α Γ δ − α − α δ − δ − δ

∂ ∂

+Γ α ^{m i}l i^{j l} i^{j i} ik^{j l i}l ^{k i} i^j

j j

i j i i k i i j i l m i j l

i k i lm l i

j

j i j i k j i k ik i k l m j i k l

i ik ik l il mk

j i k

ik

x dT a dT T a dT a x dT a T

a dT a dx T a TdT a dx T a TdT

T x

a d T a dx a x a dx x a dx x

x a dx

δ + α α δ − α δ − Γ α δ + α δ

∂α ∂α

+ α + δ + δ − α Γ δ − α α δ

∂

∂

+α δ = −Γ − Γ δ −∂Γ δ + Γ Γ δ

∂

−Γ δ

(4)

10pkt

0pkt

j j

i k j i k j i k i k l m j i k l

ik il

ik ik k ik ml

j j

j i k ik i k j i l k i i k

ik ik l k

j

i j l m j i l k i i k i j l m

lm i ik l k lm i

j

il ik

k

a dx T a x a dx a dx x a dx x

T x

a d x a x dT a dx T a x dT

T x

a x dT a x dT a dx T a dx T

x ( x

∂Γ ∂Γ

− δ + Γ δ + Γ + δ − Γ Γ δ

∂ ∂

∂Γ ∂α

+Γ δ + δ + Γ α δ − δ

∂ ∂

+Γ α δ − Γ α δ +∂α δ − Γ α δ

∂

∂Γ ∂Γ

= −

∂

j j j

m j m j i k l ik i l j

il mk ik ml ik l

l k

j l i k k

lk i

)a dx x (

x T x

)a ( x dx )dT

∂Γ ∂α + Γ Γ − Γ Γ δ + − + Γ α

∂ ∂ ∂

−Γ α δ −

10pkt gdzie:

10pkt

l l

ij l m l m l

ik

mj ik mk ij ijk

j k R

x x

∂Γ −∂Γ + Γ Γ − Γ Γ =

∂ ∂

(5)

10pkt

stanowi tensor krzywizny Riemana-Christoffela, natomiast 10ptt

k k

ij i l k k l k

ij l lj i ij

j S

T x

∂Γ −∂α + Γ α − Γ α =

∂ ∂

(6)

10pt

można interpretować jako symbol krzywizny termicznej.

W celu wyznaczenia pochodnej symbolu Christoffela drugiego rodzaju po temperaturze wykorzystuje się jego związek z tensorem metrycznym, prezentując następujące rozumowanie:

10pt

( ) ( )

( ) ( )

ij ij

k

ij i j ij i j i j

l k l l k l

ik i l j jk j i l

l l k l l

ik lj jk il i lj j il

g g

x T

ij l

i lj

g dg d d

dx dT dx dT

g g dx g g dT

g 2 g

T

e e e e e e

e e e e

∂ ∂

= =

∂ ∂

= ⇒ = + =

= Γ + α + Γ + α =

= Γ + Γ + α + α

∂ = α

∂

(7)

10pt

Dalej, postulując na tensorze metrycznym spełnienie warunków Schwarza z uwagi na zmienną x oraz T, otrzymuje się:

10pt

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ij kj ik l

ik lj

k i j

l l l

i lj k lj i lk

k i j

l

l l l

ik

lj k i lj i k lj j i lk

l m m nj

ik l mj j lm

g g g

2 g

T x x x T

2 g 2 g 2 g / : 2

x x x

g g g g

T x x x

g g / g

∂ ∂

 ∂ 

∂  + − = ∂ Γ =

∂ ∂ ∂ ∂  ∂

∂ ∂ ∂

= α + α − α

∂ ∂ ∂

∂Γ  ∂ ∂ ∂ 

= α + α − α 

∂ ∂ ∂ ∂ 

−Γ α + α

(8)

10pt Ostatecznie:

10pkt

( ) ( ) ( )

( )

k

ij km l l l

i lm j lm i lj

j i m

l k m kn

ij l n lm

g g g g

T x x x

g g

∂Γ  ∂ ∂ ∂ 

=  α + α − α 

∂ ∂ ∂ ∂ 

−Γ α + α (9)

10pkt zatem:

10pkt

( ) ( ) ( )

k km l l l

ij i j lm j i lm m i lj

k

l m kn k l i

ij n lm lj i j

S g g g g

x x x

g g x

∂ ∂ ∂

 

= ∂ α +∂ α −∂ α 

−Γ α − Γ α −∂α

∂

(10)

10pkt Transformacja symbolu krzywizny termicznej:

10pkt

k k l m k

k ij i l k k l n

ij j ij l lj i i j n lm

l m k 2 l k 2 m l

n

lm i j n i j l i j m

n k 2 m n l k

r r l

n n m

l r l j i r m j

x x q

S S

T q q q x

x x q x q x q

T q q x T q q x q q x

x q x x q q

q x q q q x x q

∂Γ′ ∂α′ ∂ ∂ ∂

′ = − + Γ α − Γ α =′ ′ ′ ′ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

   

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ Γ  +  + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⋅ α − α − α

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

m k

i l

x q

q x

 ∂ 

 

∂ ∂

 

(11)

10pkt

Kilka ostatnich członów transformacji nie znika, przez co symbol nie trans- formuje się w pełni, wykorzystując tensorowe prawo transformacji.

3. Podsumowanie

Wyznaczony symbol krzywizny termicznej obrazuje numerycznie potwier- dzoną obecność zakrzywienia funcjonalnie gradowanej powłoki poddanej działa- niu pola temperatury. Wspomniana problematyka jest szczególnie widoczna w przypadku konstrukcji warstwowych z interfejsem wykonanym z materiału FGM (por. [2]). Podczas gdy warstwy zewnętrzne różnych materiałów ulegają swobodnej deformacji termicznej, interfejs zaczyna się zakrzywiać, wprowadza- jąc tym samym obecność naprężenia. Widać to wyraźnie na rys. 2., który obrazuje deformacje trójwarstwowej struktury. Pierwsza warstwa stanowi materiał cera- miczny, druga to interfejs wykonany z materiału FGM, trzecia zaś stanowi mate- riał metaliczny. Z uwagi na strukturę funkcjonalnie gradowaną w obecności pola temperatury zakrzywieniu ulega wyłącznie interfejs. Dalej zestawiono przypadki szczególne opisywanej teorii:

• powłoka izotropowa

10pkt

j j k

i i Sij 0 dla każdego i, j, k = 1, 2, 3

α = αδ ⇒ = (12)

z uwagi na brak funkcyjnej gradacji wszystkie składowe symbolu krzywizny termicznej zgodnie z oczekiwaniami wynoszą zero,

10pkt

• powłoka pierwotnie niezakrzywiona

jk ij

ijk i k

S x x

∂α ∂α

= −

∂ ∂ (13)

symbol krzywizny termicznej zależy wyłącznie od pochodnych cząstkowych tensora rozszerzalności termicznej,

10pkt

• powłoka pierwotnie niezakrzywiona, zdefiniowana tensorem rozszerzal- ności termicznej

3 3 11

11 12 13 113 3

3

21 22 23

12

123 213

31 32 33 3

(x ) (x ) S

(x ) x

S S

x

α α α  = −∂α

α α α ⇒ ∂

  ∂α

 α α α  = − =

  ∂

(14)

10pkt

1

31 3

3 2

32 3

3 k k km

ij j i ij m

3 3

11 3

3

22 3

S x

(x ) 0 0 S

0 (x ) 0 S x

x x

0 0 (x ) S

x

S x

= ∂α

∂∂α

α  =

∂α ∂α

 α ⇒ = δ − δ δ ⇒ ∂

  ∂ ∂ ∂α

 α  = −

  ∂

= −∂α

∂

(15)

W tym przypadku z uwagi na brak pierwotnej krzywizny symbol krzywizny termicznej jest związany różniczkowo wyłącznie z tensorem rozszerzalności ter- micznej. Wcześniej pokazano wyłącznie niezerowe składowe.

10pkt

Rys. 2. Przykładowa deformacja intefejsu FGM Fig. 2. Exemplary deformation of FGM interface

Literatura

[1] Karaśkiewicz E.: Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN, Warszawa 1976.

[2] Ganczarski A., Szubartowski D.: On the stress free deformation of linear FGM inter- face under constant temperature, Acta Mech. Automatica, 9(2015) 135-139.

PROBLEM OF CURVILINEAR ANISOTROPIC AND FUNCTIONALLY GRADATED COATING SUBJECTED TO TEMPERATURE FIELD

A b s t r a c t

This work concerns the problem of a curvilinear shell made of anisotropic material with func- tional gradation. The calculus is based on the concept of the Riemann-Christoffel curvature tensor enhanced by the influence of temperature field through the presence of a thermal tensor. Calculations

comprise estimation of the difference of a vector subjected to the affine connection along the infin- itesimal quadrangle expressed, correspondingly to the shifting path, by a sum of both the geometric effect, represented by the Riemann-Christoffel curvature tensor, as well as certain symbol of the thermal curvature.

Keywords: FGM, thermo-elasticity

DOI: 10.7862/rm.2018.20

Przesłano do redakcji: 24.04.2018 Przyjęto do druku: 21.05.2018