Proszę pokazać, że przy przeniesieniu równoległym wektora ξ wzdłuż infinitezymalnego równoległoboku rozpiętego na wektorach δu, δv (rys.1) zmiana wektora ξ wynosi:

(1)

OTW (zestaw 5 - poniedziałek 30.10.2017)

Proszę dokończyć zadania z porzedniego zestawu.

18. W celu rozwiązania zadania 16, proszę przemysleć problem omawiany na wykładzie:

Proszę pokazać, że przy przeniesieniu równoległym wektora ξ wzdłuż infinitezymalnego równoległoboku rozpiętego na wektorach δu, δv (rys.1) zmiana wektora ξ wynosi:

δξ ^α (p) = −R ^α _βµν (p)ξ ^β (p)δu ^µ δv ^ν .

Wskazówka: W punkcie, w którym liczymy δξ wygodnie jest wybrać układ lokalnie lo- rentzowski.

p ^-

δu

q

δv r

s −δu

−δv

rys.1

19. Rozważmy geodetyki γ 0 i γ 1 sparametryzowane parametrem afinicznym t, tzn. u ^µ ∇ µ u ^α = 0, gdzie u ^µ = dx ^µ

dt γ

0

(i analogicznie dla γ ₁ ). Wprowadźmy parametr s, który rośnie w sposób ciągły pomiędzy γ ₀ i γ ₁ , a na γ ₀ , γ ₁ przyjmuje stałą ustaloną wartość. Definiujemy wektor w ^µ = dx ^µ

ds _γ

0

. Proszę pokazać, że

u ^µ ∇ _µ (u ^ν ∇ _ν w ^α ) = R ^α _βγδ u ^β u ^γ w ^δ .

20. Proszę rozważyć dwie sąsiednie geodetyki (koła wielkie) na 2-sferze o promieniu R: równik (γ ₀ ) i geodetykę (γ ₁ ), która w φ = 0 jest równoległa do równika i lekko odchylona na północ od równika o kąt δθ = . Wektor w ^α definiujemy tak jak w poprzednim zadaniu. Korzystając z wyników poprzednich zadań proszę pokazać, że

d ² w ^θ

dφ ² = −w ^θ , d ² w ^φ dφ ² = 0,

i wypisać rozwiązania tych równań. Następnie, uwzględniając powyższe warunki początkowe proszę podać zależność θ(φ) dla geodetyki γ ₁ .

21. Niech g _αβ = η _αβ + h _αβ , gdzie h _αβ opisuje pole grawitacyjne. Proszę pokazać że przy założe- niach:

(a) pole grawitacyjne jest słabe (tzn. możemy zaniedbać wyrazy O(h ² _αβ )) (b) pole grawitacyjne jest statyczne (∂ ₀ h _αβ = 0)

(c) cząstka próbna poruszająca sie w polu grawitacyjnym jest nierelatywistyczna

(|dx ⁱ /dx ⁰ | << 1)

(2)

równanie geodezyjnej czasowej dla cząstki próbnej pokrywa się z równiem Newtona dla cząstki poruszającej się w polu grawitacyjnym zadanym potencjałem Φ, jeśli g ₀₀ = −(1+2Φ).

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/

Proszę pokazać, że przy przeniesieniu równoległym wektora ξ wzdłuż infinitezymalnego równoległoboku rozpiętego na wektorach δu, δv (rys.1) zmiana wektora ξ wynosi:

OTW (zestaw 5 - poniedziałek 30.10.2017)

Proszę dokończyć zadania z porzedniego zestawu.

18. W celu rozwiązania zadania 16, proszę przemysleć problem omawiany na wykładzie:

Proszę pokazać, że przy przeniesieniu równoległym wektora ξ wzdłuż infinitezymalnego równoległoboku rozpiętego na wektorach δu, δv (rys.1) zmiana wektora ξ wynosi:

δξ α (p) = −R α βµν (p)ξ β (p)δu µ δv ν .

Wskazówka: W punkcie, w którym liczymy δξ wygodnie jest wybrać układ lokalnie lo- rentzowski.

p -

δu

q



δv r



s −δu

−δv

rys.1

19. Rozważmy geodetyki γ 0 i γ 1 sparametryzowane parametrem afinicznym t, tzn. u µ ∇ µ u α = 0, gdzie u µ = dx µ

dt γ

(i analogicznie dla γ 1 ). Wprowadźmy parametr s, który rośnie w sposób ciągły pomiędzy γ 0 i γ 1 , a na γ 0 , γ 1 przyjmuje stałą ustaloną wartość. Definiujemy wektor w µ = dx µ

ds γ

. Proszę pokazać, że

u µ ∇ µ (u ν ∇ ν w α ) = R α βγδ u β u γ w δ .

d 2 w θ

dφ 2 = −w θ , d 2 w φ dφ 2 = 0,

i wypisać rozwiązania tych równań. Następnie, uwzględniając powyższe warunki początkowe proszę podać zależność θ(φ) dla geodetyki γ 1 .

21. Niech g αβ = η αβ + h αβ , gdzie h αβ opisuje pole grawitacyjne. Proszę pokazać że przy założe- niach:

(a) pole grawitacyjne jest słabe (tzn. możemy zaniedbać wyrazy O(h 2 αβ )) (b) pole grawitacyjne jest statyczne (∂ 0 h αβ = 0)

(c) cząstka próbna poruszająca sie w polu grawitacyjnym jest nierelatywistyczna

(|dx i /dx 0 | << 1)

równanie geodezyjnej czasowej dla cząstki próbnej pokrywa się z równiem Newtona dla cząstki poruszającej się w polu grawitacyjnym zadanym potencjałem Φ, jeśli g 00 = −(1+2Φ).

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/

δξ ^α (p) = −R ^α _βµν (p)ξ ^β (p)δu ^µ δv ^ν .

p ^-

19. Rozważmy geodetyki γ 0 i γ 1 sparametryzowane parametrem afinicznym t, tzn. u ^µ ∇ µ u ^α = 0, gdzie u ^µ = dx ^µ

(i analogicznie dla γ ₁ ). Wprowadźmy parametr s, który rośnie w sposób ciągły pomiędzy γ ₀ i γ ₁ , a na γ ₀ , γ ₁ przyjmuje stałą ustaloną wartość. Definiujemy wektor w ^µ = dx ^µ

ds _γ

u ^µ ∇ _µ (u ^ν ∇ _ν w ^α ) = R ^α _βγδ u ^β u ^γ w ^δ .

d ² w ^θ

dφ ² = −w ^θ , d ² w ^φ dφ ² = 0,

i wypisać rozwiązania tych równań. Następnie, uwzględniając powyższe warunki początkowe proszę podać zależność θ(φ) dla geodetyki γ ₁ .

21. Niech g _αβ = η _αβ + h _αβ , gdzie h _αβ opisuje pole grawitacyjne. Proszę pokazać że przy założe- niach:

(a) pole grawitacyjne jest słabe (tzn. możemy zaniedbać wyrazy O(h ² _αβ )) (b) pole grawitacyjne jest statyczne (∂ ₀ h _αβ = 0)

(|dx ⁱ /dx ⁰ | << 1)

równanie geodezyjnej czasowej dla cząstki próbnej pokrywa się z równiem Newtona dla cząstki poruszającej się w polu grawitacyjnym zadanym potencjałem Φ, jeśli g ₀₀ = −(1+2Φ).