IDENTYFIKACJA USZKODZEŃ WIELOKROTNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH Z WYKORZYSTANIEM MODELI ZREDUKOWANYCH

(1)

IDENTYFIKACJA USZKODZEŃ WIELOKROTNYCH

KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH Z WYKORZYSTANIEM MODELI

ZREDUKOWANYCH

Krystian Szopa

AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska

kszopa@agh.edu.pl

Streszczenie

Ważnym, z punktu widzenia diagnostyki wibroakustycznej, jest możliwość zastosowania metod redukcji w procesie identyfikacji uszkodzeń. Powszechnie stosowana metoda redukcji statycznej Guyana daje wyniki poprawne tylko dla częstotliwości bliskiej zeru, stąd w pracy sprawdzono możliwość zastosowania innych metod redukcji (m.in.

statycznej i dynamicznej metody IRS, metod iteracyjnych, ekwiwalentnych) w identyfikacji uszkodzeń wielokrotnych konstrukcji na podstawie własności dynamicznych obiektu. Obiektem badań, dla którego zweryfikowano model matematyczny identyfikacji poprzez eksperyment cyfrowy, jest uproszczony model konstrukcji wsporczej napowietrznej linii elektroenergetycznej, charakteryzujący się złożoną geometrią i dużą liczbą nieznanych parame- trów, szczególnie w stosunku do liczby wirtualnych punktów pomiarowych.

Słowa kluczowe: diagnostyka, wibroakustyka, metoda elementów skończonych

MULTIPLE DAMAGE IDENTIFICATION OF MECHANICAL CONSTRUCTIONS USING REDUCED MODELS

Summary

It is important from the point of view of vibroacoustic diagnostics to be able to apply reduction methods in the damage identification process. The commonly used Guyan static reduction method gives correct results only for near-zero frequencies, hence in this paper the possibility of using other reduction methods (e.g. static and dynamic IRS method, iterative methods, equivalent method) in the multiple damage identification, based on dynamic properties of an object were tested. The research object, for which the mathematical model of identification process was verified by numerical experiment, is a simplified model of the supporting structure of the overhead power line, characterized by complex geometry and a large number of unknown parameters, especially in relation to the number of virtual measurement points.

Keywords: diagnostics, vibroacoustics, finite element method

1. WSTĘP

Każde uszkodzenie wprowadza do układu zmiany w strukturze względem obiektu nieuszkodzonego. To z kolei powoduje zmianę parametrów charakteryzujących dynamikę układu. Model matematyczny, pozwalający określić zmianę parametrów modalnych na podstawie wprowadzonego uszkodzenia, nazywany jest modelem

prostym. W identyfikacji uszkodzeń o wiele większe znaczenie mają modele odwrotne, umożliwiające na podstawie zmiany odpowiedzi (w tym przypadku dynamicznej) uzyskanej z obiektu rzeczywistego wyznaczyć przyczynę tych zmian (tutaj wektor uszkodzeń).

(2)

Technika wibroakustyczna, zaliczana do metod badań nieniszczących (NDT), jest powszechnie stosowanym narzędziem w diagnostyce uszkodzeń konstrukcji mechanicznych. Pomimo tego, że pojawia się dużo prac opisu- jących algorytmy identyfikacji uszkodzeń konstrukcji prętowych na podstawie odpowiedzi dynamicznych, to prowadzi się stosunkowo niewiele badań łączących to zagadnienie z redukcją modeli numerycznych. Zastoso- wanie redukcji umożliwia dostosowanie liczby stopni swobody modelu matematycznego do eksperymentalnego i pozwala przyspieszyć obliczenia, co przy obiektach o złożonej geometrii może być znaczące.

Majumder i Manohar [10] przedstawili technikę identyfikacji uszkodzeń uwzględniającą redukcję dynamiczną oraz nieliniowości strukturalne. W redukcji zastosowano metodę ekwiwalentną, jednak pomimo dobrych rezulta- tów opracowany algorytm dotyczy szczególnego przypadku pojedynczej belki, w tym przypadku swobodnie podpartej. Dodatkowo model obliczeniowy został rozwa- żony dla układu płaskiego i trudno byłoby go uogólnić na obiekt przestrzenny o złożonej geometrii. Z kolei Escobar i in. [2] opisali technikę przekształcającą macierze sztywności konstrukcji nieuszkodzonych i uszkodzonych. Sama metoda jest tutaj jednak wyprowadzona z warunku statycznego, co oznacza, że, wykorzystując w modelu matematycznym postacie drgań własnych dla wyższych częstotliwości, do obliczeń mogą być wprowa- dzane błędy. Friswell i in. [4] jako jedni z pierwszych zaproponowali jednoczesną modyfikację macierzy sztyw- ności i tłumienia, aczkolwiek wadą ich metody było to, że nie gwarantowała zgodności z oryginalnym modelem elementów skończonych. Liu i in. [9] przedstawili model umożliwiający jednoczesne dostrajania macierzy sztyw- ności, bezwładności i tłumienia. Zastosowano statyczną metodę redukcji i dokonano wirtualnego pomiaru translacji we wszystkich 60 stopniach. Wydaje się to liczbą zbyt dużą jak na konstrukcję o przedstawionej w artykule geometrii, złożonej z 40 prętów.

Zagadnienie obejmujące dostrajanie modelu zredukowanego w identyfikacji uszkodzeń dla uproszczonego modelu konstrukcji wsporczej omówiono w [8,15]. Autorzy sprawdzili model matematyczny dla podstawowych redukcji statycznej i dynamicznej. W badaniach przyjęto pewne uproszczenia, m.in. sprawdzanie uszkodzeń tylko z jednej strony konstrukcji, brak uwzględnienia zmian sztywności w elementach spoza zbioru elementów, w których poszukiwane są uszkodzenia (a co za tym idzie ich wpływu na globalne charakterystyki dynamiczne), uwzględnienie tylko odkształceń osiowych dla elementów skratowań, uszkodzenia wielokrotne ograni- czono do uszkodzeń dwóch elementów.

Zaproponowany w niniejszej pracy model identyfikacji uszkodzeń oraz warunki przeprowadzonego eksperymen- tu cyfrowego zawierają elementy, które nie były

uwzględniane w znanych autorowi pracach. Po pierwsze, w żadnym ze wspomnianych artykułów nie przedstawiono możliwości zastosowania różnych metod redukcji.

Bardzo często badania ograniczały się jedynie do metody statycznej [6], rzadko obejmowały redukcję dynamiczną Kiddera [7]. Fakt, że metoda redukcji najlepiej odwzo- rowuje częstotliwości i postacie drgań własnych modelu pełnego, nie musi oznaczać, że ta metoda będzie najlep- szym rozwiązaniem w procesie identyfikacji uszkodzeń.

Dlatego też w niniejszej pracy porównano 7 metod redukcji modeli matematycznych. Oryginalnym elementem pracy jest wyprowadzenie macierzy transformacji konstrukcji uszkodzonych dla wybranych metod redukcji.

Kolejnym ważnym aspektem przeprowadzonych badań są modele numeryczne badanych obiektów, dla których zweryfikowano opisane metody. W [10] jest to pojedyn- cza belka, w [2] konstrukcja ramowa, jednak obie kon- strukcje zostały opisane modelami płaskimi. Modele przestrzenne zostały przedstawione w [8,15], jednak elementy skratowań zamodelowano elementami pręto- wymi, opisanymi liniową funkcją kształtu. W celu poprawnego odwzorowania zachowania prętów w linio- wej analizie dynamicznej należy użyć elementu wyższego rzędu. Dlatego też w niniejszej pracy ugięcie wszystkich elementów belkowych opisano wielomianem trzeciego stopnia. W [9] również przedstawiono ramę przestrzen- ną, jednak w procesie identyfikacji dokonano (wirtualnego) pomiaru przemieszczeń we wszystkich węzłach dla trzech kierunków. Biorąc pod uwagę, że liczba mierzo- nych stopni swobody jest większa od liczby elementów, w których szukane są uszkodzenia, metoda ta wydaje się mało efektywna i trudna do realizacji w praktyce.

Istotną kwestią w identyfikacji uszkodzeń jest wybór zbioru elementów, w których poszukiwane są uszkodzenia. Wrażliwość parametrów modalnych na uszkodzenia elementów jest różna w zależności od rodzaju elementu i jego rozmieszczenia w konstrukcji. W [8,15] autorzy identyfikują uszkodzenia tylko w ukośnikach dwóch ścian poniżej dolnego poprzecznika słupa. Takie podej- ście jest poprawne, gdyż wyznaczono obszar, w którym jest poszukiwane uszkodzenie, jednak badania nie uwzględniają wpływu uszkodzeń pozostałych elementów na charakterystyki dynamiczne układu. Dlatego model identyfikacji powinien obejmować możliwość zmiany sztywności nie tylko w macierzach identyfikowanych elementów, ale także wszystkich innych spoza obszaru detekcji.

2. MODEL IDENTYFIKACJI USZKODZEŃ KONSTRUKCJI

Identyfikacja uszkodzeń ma być oparta na pomiarze częstotliwości oraz postaci drgań własnych, w związku

(3)

z tym model wywodzi się z zagadnienia własnego, cha- rakteryzującego własności dynamiczne badanego obiektu

= , dla = 1,2, … , (1) gdzie: K - globalna macierz sztywności, M - globalna macierz bezwładności, - i-ta wartość własna, - i-ty wektor własny. Równanie jest spełnione dla każdej i-tej z r rozpatrywanych postaci modelu matematycznego.

Nie uwzględnia ono własności tłumienia układu, co jest bardzo częstą praktyką w tego typu modelach [1,13].

Wynika to z założeń, przyjmujących niewielkie siły tłumienia w stosunku do sił bezwładności i sprężystości [14].

Uszkodzenie konstrukcji wsporczej może wystąpić w postaci zmiany pola powierzchni przekroju poje- dynczego pręta, zmiany geometrycznego momentu bezwładności przekroju bądź własności materiałowych.

W konsekwencji każde uszkodzenie powoduje lokalną zmianę sztywności konstrukcji. Stąd przyjęto, że uszkodzenia zostaną zamodelowane jako zmiana w macierzach sztywności poszczególnych elementów skończonych.

Jeżeli elementy skończone (lub ich grupy) uda się przy- porządkować poszczególnym prętom konstrukcji, będzie można stwierdzić, jakie zaszły zmiany w obiekcie na podstawie informacji otrzymanych z modelu. Ponieważ uszkodzenia zazwyczaj mają niewielki wpływ na zmianę masy danego elementu, dlatego też przyjęto że macierze bezwładności nie ulegają zmianie

= − ∑ , (2)

= , (3)

gdzie ( ∙ ) jest macierzą globalną wyznaczoną analitycz- nie, rozumianą w tym przypadku jako odpowiadającą konstrukcji nieuszkodzonej, czyli tej, do której odnoszo- ne są zmiany, jest macierzą sztywności k-tego ele- mentu (ściśle mówiąc udziałem jaki wnosi k-ty element do globalnej macierzy sztywności), natomiast wskaź- nikiem uszkodzenia tego elementu. Wskaźnik uszkodzenia jest zdefiniowany jako względna zmiana wyrazów macierzy sztywności elementu uszkodzonego do nieuszkodzonego, stąd może przyjmować wartości od 0 dla elementu nieuszkodzonego (gdzie nie nastąpiła zmiana sztywności) do 1 dla całkowicie uszkodzonego. Warto nadmienić, że liczba n nie musi dotyczyć wszystkich elementów, z jakich jest złożona konstrukcja, a jedynie tych, w których rozpatrywane są uszkodzenia. Należy jednak pamiętać, że uszkodzenia które wystąpią w nieuwzględnionych elementach w rzeczywistości wpłyną na charakterystyki dynamiczne układu. Co więcej, nie musi być macierzą sztywności jednego elementu skończonego bądź elementu konstrukcji (np. pręta), ale sumą macierzy elementów wchodzących w skład pod- struktury obiektu. Macierze równań (2) i (3) są kwadra- towe i mają wymiar równy liczbie stopni swobody modelu pełnego.

Pomimo tego, że zależności pomiędzy parametrami wejściowymi i wyjściowymi są opisane w sposób jawny, to ze względu na nieliniowy charakter rozwiązywanego układu równań klasa realizacji zadania estymacji poszukiwanych wskaźników uszkodzeń wykorzystuje dostrajanie modelu. Ponieważ iteracyjne metody poprawiania modeli nie powodują utraty zgodności z modelami eksperymentalnymi, to modele cyfrowe zachowują interpretację fizyczną [14] i można je wykorzystać do identyfikacji uszkodzeń w konstrukcjach. Przedstawiona metodologia identyfikacji uszkodzeń na podstawie wła- sności dynamicznych oparta jest na podejściu przedstawionym między innymi w [15]. Aby zapewnić, że niniej- sza praca jest kompletna i zawiera niezbędne informacje, niektóre równania zostały zapisane poniżej.

Podstawiając (2) do (1), otrzymano równanie w postaci

( − ∑ ) = (4)

Macierze i wektory równania (4) należy uporządkować (dokonać permutacji) zgodnie z zależnościami opisanymi w [7,8], otrzymując tym samym

− ∑ − ∑

− ∑ − ∑ =

= (5)

Podmacierze ( ∙ ) mają wymiar × , gdzie to liczba głównych stopni swobody, a dodatkowych ( + = ). Analogicznie opisane są wymiary pozo- stałych podmacierzy oraz wektorów modalnych.

Jeżeli ( ∙ #) oznacza macierze wielkości uporządkowa- nych, to dodatkowo podstawiając do wzoru (5) zależność

= $ , (6)

otrzymano

( # − ∑ # )$ = #$ . (7)

gdzie $ jest macierzą transformacji dowolnej metody redukcji. Mnożąc (7) przez $^&, wyznaczono równanie zagadnienia własnego dla modelu zredukowanego do głównych stopni swobody

∑ ' _(,) = ' (, − (,) . (8) gdzie _(,, _(,, _(, są macierzami zredukowanymi powstałymi w wyniku lewostronnego i prawostronnego przemnożenia macierzy , , przez macierz transformacji $ .

Powyższe równanie można zapisać w innej postaci. W tym celu, przyjmując, że * = + , … , , … , ,^& jest kolumnowym wektorem uszkodzeń, to równanie (8) można zapisać w postaci macierzowej dla wszystkich uwzględnianych postaci drgań własnych = 1, … ,

-(*) ∙ * = .(*) (9)

gdzie

(4)

-(*) = /0 012 23

2³ 233 … 2

… 2³

⋮ ⋮

2⁵ 235 ⋱ ⋮

… 2⁵7889

(5×:;)×

, (10)

.(*) = <

==3

=⋮5

>

(5×:;)×

, (11)

oraz

2 = (, , (12)

= = ' (, − (,) . (13)

Równanie (9) jest równaniem nieliniowym o nieznanym parametrze *, który należy wyznaczyć, aby określić uszkodzenia w konstrukcji.

W celu rozwiązania układu równań (9) można dokonać jego linearyzacji i wyznaczać szukany wektor * w sposób iteracyjny. W konsekwencji metoda sprowadza się do liniowego układu równań postaci

-(* )* ? = .(* ), (14)

gdzie @ jest numerem kolejnej iteracji. W ogólnym przypadku macierz - jest prostokątna, a do rozwiązania układu można zastosować metodę rozkładu według wartości szczególnych (SVD). Układ jest rozwiązywany do momentu, aż zostanie spełniony warunek

‖* _? − * ‖3≤ C, (15)

gdzie C jest dopuszczalną wartością normy euklidesowej, bądź do utraty zbieżności rozwiązania.

Rys. 1. Algorytm identyfikacji konstrukcji mechanicznej

Algorytm modelu identyfikacji przedstawiono na rys. 1.

Metoda wymaga dostrojonego modelu elementów skoń- czonych. W trakcie redukcji zostaje zastosowana jedna z macierzy transformacji $ , a zlinearyzowany układ równań jest rozwiązywany metodą SVD.

Podstawę przedstawionej metody identyfikacji stanowią macierze transformacji niezbędne do opisania zagadnienia własnego dla modelu zredukowanego.

W metodzie statycznej $ = $ będzie taka sama dla każdej z postaci. W macierzach transformacji należy uwzględnić zmianę sztywności elementów, dlatego też $ w metodzie identyfikacji, na podstawie redukcji Guyana [6], można zapisać jako

$ = D

−( − ∑ )^E ( − ∑ ) , (16)

z kolei macierz transformacji dla redukcji dynamicznej Kiddera [7] ma postać

$F , = G D

+−( − ∑ − )^E ∙H

∙ H( − ∑ − ),I. (17) Z zależności (16) i (17) widać, że macierze transformacji są zależne od wektora uszkodzeń *, a $F , dodatkowo od wartości własnych i jest inna dla każdej postaci.

Dlatego też w ogólnym przypadku zredukowane macierze sztywności i bezwładności również są zależne od tych parametrów, a dodatkowo wyrazy macierzy - i . także od wektorów modalnych 2 ' , , *),

= ' , , *).

Opracowano macierze transformacji konstrukcji uszkodzonych dla pozostałych metod redukcji. Przy czym ich postać dla metod IRS [5,11] znacznie się komplikuje

$_J(K= /0 00

01 D

+−( − ∑ )^E( − ∑ ) +H

∙ +( − ∑ ) ∙

' − ( − ∑ )^E( − ∑ )) ∙

∙ H($^& $ )^E ($^& $ ), 788889 (18) gdzie w miejsce $ należy podstawić (16). Dlatego też podczas implementacji powyższego modelu identyfikacji wskazane jest obliczanie poszczególnych czynników równań w oddzielnych podprogramach.

Wyprowadzono macierz transformacji dla dynamicznej metody IRS [3], którą ostatecznie zapisano w postaci

$_LJ(K=

/0 00

01 D

+−( − ∑ − )^E ( − ∑ − ) +H

+( − ∑ − ) ∙

∙ ( − ( − ∑ − )^E ∙H

∙ HH( − ∑ − )) ($F& $_MN)^E ($_MN^& $_F )O 788889

(19)

(5)

Macierze transformacji iteracyjnych metod IRS [3]

wyznaczono w kolejnych krokach na podstawie (18) i (19). W przypadku transformacji SEREP [12] wyzna- czenie macierzy wymaga każdorazowego rozwiązania zagadnienia własnego układu.

3. OBIEKT BADAŃ

Przedmiotem badań jest uproszczony model stalowej konstrukcji wsporczej napowietrznej linii elektroenerge- tycznej. Wysokość słupa wynosi 2,65 m, co stanowi w przybliżeniu 1/10 wysokości tego typu obiektów spoty- kanych w przemyśle elektroenergetycznym. Krawężniki i poprzeczniki są wykonane z kątowników równoramien- nych, natomiast elementy drugorzędne (skratowania) mają przekrój prostokątny (tabela 1, rys. 2).

Rys. 2. Rozmieszczenie elementów (analogiczne dla wszystkich ścian) w konstrukcji (a) krawężniki, (b) elementy drugorzędne (skratowania), (c) poprzeczniki, (d) elementy należące do grupy Γ, w których poszukiwane są uszkodzenia

Tabela 1. Parametry przekroju poprzecznego i materiałowe elementów konstrukcji

Krawężniki Elementy

drugorzędne Poprzeczniki

Kształt przekroju +PP, L 25x25x3 Prost. 10x5 L 20x20x2

Pole przekroju poprzecznego +P³, 1,42 ∙ 10ÊS 50 ∙ 10ÊU 73 ∙ 10ÊU

Geometryczny moment bezwładności D_X +P^S, 0,8 ∙ 10ÊZ 1,04 ∙ 10^{E [} 0,28 ∙ 10ÊZ Geometryczny moment bezwładności D_\ +P^S, 0,8 ∙ 10ÊZ 4,17 ∙ 10^{E [} 0,28 ∙ 10ÊZ

Moduł Younga +]2, 2,05 ∙ 10 2,05 ∙ 10 2,05 ∙ 10

Moduł Kirchhoffa +]2, 8 ∙ 10^[ 8 ∙ 10^[ 8 ∙ 10^[

Masa właściwa +^_ P⁄ , ^` 7870 7870 7870

Model fizyczny ostał zbudowany jako przestrzenna konstrukcja ramowa (rys. 3a). W wyniku dyskretyzacji model fizyczny łączy 112 elementów belkowych w 40 węzłach, z których każdy ma 6 stopni swobody. Dodat- kowy stopień swobody do translacji na kierunku piono- wym przy utwierdzeniu, dla każdej z kotew daje model o 244 stopniach swobody. Ponieważ smukłość elementów jest stosunkowo duża, zastosowano elementy zgodne z teorią belki Eulera-Bernoullego. Geometria konstrukcji wsporczej została podzielona na 7 segmentów (rys. 3b).

Rys. 3. Uproszczony model konstrukcji wsporczej (a) model elementów skończonych, (b) podział geometrii na segmenty

(6)

3.1 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE SŁUPA

Znajomość odpowiedzi dynamicznej konstrukcji jest bardzo istotnym czynnikiem pozwalającym na dobór odpowiednich warunków badań w procesie identyfikacji uszkodzeń.

Ze względu na niskie tłumienie konstrukcji tego typu, model rozpatrzono jako układ nietłumiony. Wartości częstotliwości drgań własnych dla pierwszych postaci są

stosunkowo wysokie względem częstotliwości drgań własnych pełnowymiarowych konstrukcji słupów elek- troenergetycznych. Wynika to z przesztywnienia modelu słupa w porównaniu z konstrukcjami przemysłowymi.

Na rys. 4a i 4b przedstawiono dwie pierwsze postacie drgań własnych, które przyjmują pierwszą formę drgań giętnych na kierunkach odpowiednio X oraz Y. Pierwsza forma skrętna została pokazana na rys. 4c.

Kolejne postacie drgań własnych są podobne do form giętnych belki jednostronnie utwierdzonej.

Rys. 4. Postacie drgań własnych (a) pierwsza f_1= 25,72 Hz, (b) druga f_2= 27,42 Hz, (c) trzecia f_3= 39,60 Hz

3.2 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI

Każda zmiana sztywności oraz masy (bezwładności) poszczególnych elementów powoduje zmianę nie tylko w obszarze lokalnym, ale wpływa również na globalne charakterystyki dynamiczne układu. Oczywiście, w zależności od położenia oraz kształtu tych elementów zmiany w nich zachodzące w różny sposób wpływają na charakterystyki dynamiczne układu. Aby sprawdzić wpływ zmian parametrów konstrukcji na jej parametry modalne, stosuje się teorię wrażliwości.

Wrażliwość postaci drgań własnych na uszkodzenie elementu można przedstawić zgodnie z pozycją literatu- ry [14] jako

bcd

bef= ∑⁵k ^c^d^c_j_d^g^h_Ejⁱ^f_g^c^d

kl , ^ = 1, 2, … , n, , n = 1, 2, … , r. (20) Zależność ta pozwala obliczyć, o ile zmieni się prze- mieszczenie w każdym ze stopni swobody (DOFs) dla danej postaci drgań, na skutek uszkodzenia. Pozwala to wstępnie wytypować punkty pomiarowe, które powinny być rozmieszczone w stopniach swobody, dla których obserwuje się największe zmiany postaci drgań na skutek zmiany sztywności.

Potwierdzają się przypuszczenia, że najbardziej wrażliwe na uszkodzenia są przemieszczenia modalne w węzłach należących do zewnętrznych krawędzi poprzeczników i wierzchołka słupa. Postacie drgań są wrażliwe na uszkodzenia elementów 1 do 16 oraz 57 do 80 (rys. 5), co odpowiada krawężnikom oraz ukośnikom dolnej części

trzonu słupa (rys. 2d). Wiedza na temat wrażliwości parametrów modalnych na uszkodzenia konkretnych prętów konstrukcji wsporczej pozwoli wybrać zbiór elementów, w których będą poszukiwane uszkodzenia.

Rys. 5. Maksymalna wrażliwość przemieszczeń modalnych spośród 3 pierwszych postaci drgań własnych na uszkodzenia elementów konstrukcji

4. WERYFIKACJA METODY IDENTYFIKACJI USZKODZEŃ

W celu weryfikacji modelu identyfikacji uszkodzeń konstrukcji mechanicznych, opisanego w rozdziale 2, przeprowadzono eksperyment numeryczny. Na podstawie analizy własności dynamicznych obiektu wybrano 24 stopnie swobody, w których dokonano wirtualnego pomiaru przemieszczeń modalnych. Mierzone stopnie

(7)

swobody stanowią translacje na kierunkach X i Y w punktach przedstawionych na rys. 6c. To właśnie do tych stopni swobody redukowany jest model w procesie identyfikacji. Analiza wrażliwości wykazała, że uszko- dzeń należy poszukiwać w elementach od 1 do 16 i od 57 do 80, czyli w krawężnikach oraz ukośnikach dolnej części trzonu słupa, przypisanych do grupy Γ (rys. 2d).

Pozostałe pręty tworzą zbiór ∆.

W pierwszej kolejności porównano wyniki identyfikacji dla podstawowych metod redukcji statycznej Guyana i dynamicznej Kiddera. Rozpatrzono przypadek uszkodzenia 1 (tab. 2), który obejmuje jeden element krawężnika i 2 elementy skratowania (rys. 6a i 6b). Identyfikacja uszkodzeń z wykorzystaniem statycznej metody redukcji na podstawie postaci 1 i 2 daje duży błąd dla elementu nr 12 i dobre rezultaty dla elementów skratowań. Nie- stety, pojawiają się też fałszywe wskazania uszkodzeń o znacznych wartościach dla elementów 8, 16, 78 i 79 (rys. 7a). Metoda dynamiczna tego przypadku daje bardzo porównywalne rezultaty (rys. 7b). Z rys. 6a można odczytać, że elementy 8 i 16 łączą się bezpośred- nio z uszkodzonym elementem 12, współtworząc jeden z krawężników słupa. Z kolei elementy 78 i 79 należą do skratowania segmentu czwartego (rys. 3b), tego samego co uszkodzony element 77 będący w ich bezpośrednim sąsiedztwie. Można wnioskować, że uszkodzenie elementu powoduje zmianę przemieszczeń modalnych w punktach powiązanych nie tylko z tym elementem, ale też sąsiadujących. Wpływa to na wyniki identyfikacji i może objawiać się w postaci fałszywych wskazań dla elemen- tów znajdujących w bliskim położeniu względem elementu uszkodzonego.

Rys. 6. Konstrukcja wsporcza, numeracja wybranych elemen- tów (a) widok z przodu, (b) widok z tyłu, (c) główne stopnie swobody (kierunki X i Y).

Tabela 2. Przypadki uszkodzeń i wyniki identyfikacji

Zastosowanie wyższych postaci dla redukcji statycznej skutkuje całkowicie błędnie zidentyfikowanym stanem uszkodzenia (rys. 7c). Zupełnie odwrotnie wygląda sytuacja w przypadku redukcji dynamicznej. Uwzględ- nienie wyższych postaci powoduje zmniejszenie nie tylko błędów wskaźników uszkodzeń dla poszukiwanych elementów, ale również błędnych wskazań szczególnie dla elementu nr 16, 78 i 79. (rys. 7d).

Rys. 7. Zidentyfikowane uszkodzenia dla przypadku 1: na podstawie 1 i 2 postaci dla redukcji (a) statycznej, (b) dynamicznej; na podstawie 5 i 6 postaci dla redukcji (c) statycznej, (b) dynamicznej

Przypadek 1 Numer elementów (rys. 6)

12 57 77 - - -

Uszkodzenie

zamodelowane 0,45 0,30 0,90 - - - Uszkodzenia zidentyfikowane

-Stat., pos. 1 i 2 0,31 0,30 0,95 - - - -Dyn., pos. 1 i 2 0,33 0,29 0,81 - - -

-Stat., pos. 5 i 6 B B B - - -

-Dyn., pos. 5 i 6 0,41 0.24 0,85 - - - Przypadek 2 Numer elementów (rys. 6)

5 10 32 58 76 103

Uszkodzenie

zamodelowane 0,43 0,25 0,28 0,54 0,91 0,30 Uszkodzenia zidentyfikowane

-Dyn., pos. 1 i 2 0,42 0,06 N 0,50 0,84 N -Dyn., pos. 4,5,6 0,41 0,22 N 0,52 0,89 N B - błędnie zidentyfikowany stan uszkodzenia

N - element niepodlegający identyfikacji

(8)

W kolejnym etapie badań sprawdzono możliwość zastosowania statycznych i dynamicznych metod IRS (wraz z ich rozwinięciami iteracyjnymi) w opisanym modelu identyfikacji uszkodzeń. W trakcie rozwiązywania ukła- dów równań pojawiły się jednak problemy natury obli- czeniowej. W związku z tym przeprowadzono szczegóło- wą analizę numeryczną tych metod redukcji, w kontekście ich zastosowania w algorytmie identyfikacji uszkodzeń konstrukcji mechanicznych. Okazało się, że co prawda metody IRS poprawiają dokładność odwzorowania postaci modeli zredukowanych wobec modelu pełne- go, jednak wskaźniki uwarunkowania macierzy transformacji gwałtownie wzrastają (rys. 8).

Dla rozpatrywanego przypadku podstawowe macierze transformacji statycznej $ i dynamicznej $MN mają stosunkowo niski wskaźnik uwarunkowania wynoszący od 10 do 14. Dodatkowo warto odnotować, że wskaźnik ten nie zwiększa się wraz ze wzrostem częstotliwości p[, dla której obliczana jest macierz transformacji. Dla macierzy $J(K i $LJ(K wskaźnik ten jest już od 10 do 20 razy większy. Co więcej, po zastosowaniu iteracji dla metod IRS wraz z kolejnymi krokami wskaźnik uwarunkowania wzrasta, przekraczając wartość 550 dla 20 iteracji. Można też zauważyć, że im wyższa częstotliwość do której redukowany jest model, tym wskaźnik uwarunkowania, dla tej samej metody redukcji, będzie wyższy.

Rys. 8. Wskaźniki uwarunkowania macierzy transformacji dla różnych metod redukcji

Model zredukowany metodą ekwiwalentną (SEREP) zdecydowanie najlepiej opisuje charakterystykę modelu pełnego, co wynika z tego, że macierze transformacji są wyznaczane bezpośrednio z wektorów modalnych otrzymanych poprzez rozwiązanie zagadnienia własnego.

Z drugiej strony, równanie (9) także jest wyprowadzone z zagadnienia własnego. Teraz, obliczając poszczególne

wyrazy macierzy - i ., okazuje się, że dla tej samej postaci drgań własnych będzie spełniona zależność

q 2 = = , dla ^ = 1, 2, … , n (21) gdzie q jest liczbą rzeczywistą. W związku z tym wszystkie kolumny macierzy +- ., są od siebie liniowo zależne, a rząd tej macierzy jest równy 1.

Przeprowadzone badania wykazują, że do przedstawio- nego modelu identyfikacji uszkodzeń konstrukcji najlepiej zastosować redukcję dynamiczną Kiddera. Model zredukowany tą metodą z jednej strony dobrze opisuje dynamiczną charakterystykę modelu pełnego w otoczeniu zadanej częstotliwości p[, a z drugiej strony współczynnik uwarunkowania macierzy transformacji jest na tyle niewielki, że jest możliwe rozwiązanie zagadnienia odwrotnego. Dlatego też rozpatrzono jeszcze jeden przypadek uszkodzeń wielokrotnych. Głównym celem było poszukiwanie uszkodzeń w elementach zbioru Γ, jednak w badaniach uwzględniono także wpływ uszko- dzeń elementów zbioru ∆ na wyniki identyfikacji meto- dą opartą na dynamicznej redukcji Kiddera.

Przypadek 2 (tab. 2) to uszkodzenie czterech elementów ze zbioru Γ i dwóch ze zbioru ∆. W procesie identyfika- cji na podstawie 1 i 2 postaci drgań własnych nie zostało wykryte uszkodzenie elementu 10, pojawiają się również błędne wskazania dla elementów 14 oraz 73 i 74 (rys.

9a). Wyniki identyfikacji można poprawić, uwzględnia- jąc więcej postaci drgań własnych. Na rys. 9b można zauważyć, że, identyfikując uszkodzenia na podstawie 4, 5 i 6 postaci zmniejszono błąd wskaźników elementów uszkodzonych, dodatkowo zredukowano wartości fałszy- wych wskazań. Udało się zidentyfikować nie tylko uszkodzenia w elementach zbioru Γ, ale również po- prawnie wyznaczono wskaźniki uszkodzeń elementów 32 i 103 należących do zbioru ∆, mimo że nie było to wymagane.

Rys. 9. Zidentyfikowane uszkodzenia dla przypadku 2, redukcja Kiddera, na podstawie (a) 1 i 2 postaci, (b) 4, 5 i 6 postaci

(9)

Rys. 10. Zbieżność rozwiązania dla przypadku 2

Sprawdzono również zbieżność rozwiązania opisanego modelu identyfikacji metodą SVD i okazuje się, że w przeważającej większości rozpatrzonych przypadków rozwiązanie dla przyjętego kryterium zbieżności (15) i C = 0,1 jest osiągane po 3 iteracjach (rys. 10).

5. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono model identyfikacji uszkodzeń konstrukcji mechanicznych na podstawie własności dynamicznych i sprawdzono możliwość zastosowania różnych metod redukcji w opisanym modelu.

Metody dynamiczne pozwalają zredukować model dla dowolnej częstotliwości p[, a parametry otrzymane z takiego modelu będą odpowiadały parametrom otrzy- manym z modelu pełnego dla tej częstotliwości drgań układu. W procesie identyfikacji uszkodzeń metodą statyczną Guyana i dynamiczną Kiddera otrzymywane

wyniki są porównywalne tylko w zakresie niskich często- tliwości. Dla wyższych częstotliwości metoda dynamiczna nadal daje poprawny wynik, podczas gdy statyczna traci zbieżność rozwiązania, co jest związane z błędami odwzorowania postaci. Przeprowadzone badania symula- cyjne i analizy numeryczne poszczególnych technik redukcji wykazały, że w opisanym modelu identyfikacji uszkodzeń powinny być stosowane tylko dynamiczne metody redukcji.

Poprawa modeli zredukowanych metodami IRS powoduje wzrost wskaźnika uwarunkowania macierzy, sprawia- jąc, że cały układ równań modelu identyfikacji jest źle uwarunkowany. Dlatego też spośród dynamicznych metod redukcji należy wybrać metodę Kiddera lub przeprowadzić dalsze badania mające na celu poprawę uwarunkowania zadania poprzez zastosowanie technik regularyzacji. Udowodniono, że ze względu na wprowa- dzanie liniowych zależności do układu równań zastosowanie redukcji metodą SEREP w przedstawionym modelu identyfikacji uszkodzeń jest niemożliwe.

Przyjmowanie, że pewna grupa elementów konstrukcji nie ulega uszkodzeniu, jest często stosowaną praktyką w pracach poświęconych diagnostyce, jednak należy pamię- tać, że jest to duże uproszczenie, rzadko mające od- zwierciedlenie w warunkach rzeczywistych.

Literatura

1. Chen H.-P.: Application of regularization methods to damage detection in large scale plane frame structures using incomplete noisy modal data. „Engineering Structures” 2008, 11, Vol. 30, p. 3219–3227.

2. Escobar J. A., Sosa J. J., Gomez, R.: Structural damage detection using the transformation matrix. „Computers

& Structures” 2005, 4, Vol. 83, p. 357–368.

3. Friswell M. I., Garvey S. D., Penny J. E. T.: Model reduction using dynamic and iterated IRS tech- niques. „Journal of sound and vibration” 1995, 2, Vol. 186, p. 311–323.

4. Friswell M. I., Inman D. J., Pilkey D. F.: Direct updating of damping and stiffness matrices. „AIAA journal”

1998, 3, Vol. 36, p. 491–493.

5. Gordis J. H.: An analysis of the improved reduced system (IRS) model reduction procedure. 10th International Modal Analysis Conference 1992, p. 471–479.

6. Guyan R. J.: Reduction of stiffness and mass matrices. „AIAA journal” 1965, 2, Vol. 3, p. 380–380.

7. Kidder R. L.: Reduction of structural frequency equations. „AIAA journal” 1973, 6, Vol. 11, p. 892–892.

8. Lam H.-F., Yin T.: Dynamic reduction–based structural damage detection of transmission towers: Practical issues and experimental verification, „Engineering Structures” 2011, Vol. 33, p. 1459–1478.

9. Liu F. S., et al.: Model Updating and Damage Detection Using Cross Model Cross Mode Method for 3D Frame Structures. „Advanced Materials Research” 2011, Vols. 243-249, p. 5369–5373.

10. Majumder L., Manohar C. S.: Nonlinear reduced models for beam damage detection using data on moving oscillator–beam interactions. „Computers & Structures” 2004, 2, Vol. 82, p. 301–314.

11. O'Callahan J. C.: A procedure for an improved reduced system (IRS) model. Proceedings of the 7th international modal analysis conference. Schenectady, NY: Union College, 1989, p. 17–21.

12. O'Callahan J. C., Avitabile P., Riemer R.: System equivalent reduction expansion process (SEREP). Proceed- ings of the 7th international analysis conference. Schenectady, NY: Union College, 1989, p. 29–37.

(10)

13. Shi Z. Y., Law S. S., Zhang L. M.:

Sound and Vibration” 1998, 5, Vol. 218, p.

14. Uhl T.: Wspomaganie komputerowe CAD CAM.

mechanicznych. Warszawa: WNT, 1997.

15. Yin T., Wang W.-B., Chow H. M., Zhu H.

mission tower utilizing ambient vibration data.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Structural damage localization from modal strain energy change.

5, Vol. 218, p. 825–844.

Wspomaganie komputerowe CAD CAM. Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji 1997.

B., Chow H. M., Zhu H.-P.: Dynamic reduction-based structural damage detection of tran mission tower utilizing ambient vibration data. „Engineering Structures” 2009, 9, Vol. 31, p. 2009

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Structural damage localization from modal strain energy change. „Journal of

tyfikacja modeli konstrukcji

based structural damage detection of trans- 31, p. 2009–2019.